역상이원

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1. 개요

역상이원은 두 원의 성질과 관련된 기하학적 개념으로, 특히 두 원이 교차하거나 접할 때 나타나는 특징을 설명한다. 두 원 α와 β가 교차하고 다른 두 원 γ와 δ가 각각 α와 β에 접하며 서로 접할 경우, γ와 δ의 접점은 α와 β의 역상이원 중 하나 위에 존재한다. 세 개의 원에 대한 역상이원을 고려할 때, 최대 8개의 삼중 교차점이 생길 수 있으며, 이는 세 원을 동일하게 만드는 반전원의 중심이 된다. 또한, 세 원이 서로 외접하는 경우, 역상이원은 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이는 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점과 일치한다.

역상이원

정의

설명	두 원의 상사중심을 지나는 원
특징	두 원의 상사변환에 대해 불변 두 원의 공통내접선과 공통외접선의 교점을 지남 두 원의 크기가 같으면 직선이 됨 (근축)

성질

중심	두 원의 중심을 잇는 직선 위에 위치
위치 관계	두 원의 중심을 잇는 선분을 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 함 두 원의 상사중심을 지남

활용

기하학 문제 해결	두 원과 관련된 기하학적 문제를 해결하는 데 유용하게 사용됨

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 두 원의 교차와 접점
- 2.2. 역상이원과 교차각
3. 세 개의 원에 대한 역상이원
- 3.1. 삼중 교차점
- 3.2. 등동점과의 관계

2. 성질

두 원 α와 β가 서로 교차하며, 또 다른 두 원 γ와 δ가 각각 원 α와 β에 접하며 서로 접하면, 두 원 γ와 δ의 접점은 반드시 두 원 α와 β의 두 역상이원 중 한 원 위에 존재한다. 두 원 α와 β가 서로 만나지 않으며 동심원을 이루지도 않는 경우, 원 γ와 δ의 접점은 두 개의 원 위에 존재하지만, 이 중 하나만이 원 α와 β의 역상이원이다. 원 α와 β가 한 점에서 접하거나 동심원인 경우, 원 γ와 δ의 접점은 하나의 원궤적(원 α와 β의 역상이원)을 그린다.

만약 두 원 α와 β가 서로 교차하면 두 원의 역상이원 두 개 또한 서로 교차하며 이는 원 α와 β가 교차할 때 이루는 호의 각을 이등분한다.

원 γ가 두 원 α와 β를 동일한 각도에서 교차하게 된다면, 원 γ는 원 α와 β의 역상이원 중 하나와 반드시 직교한다. 또한 원 γ가 두 원 α와 β를 보각을 이루며 교차한다면 다른 역상이원과 직교하며, 원 γ가 두 원 α와 β과 직교하며 교차한다면 두 역상이원 모두와 직교하게 된다.

2.1. 두 원의 교차와 접점

2.2. 역상이원과 교차각

두 원 α와 β가 서로 교차하면, 두 역상이원은 두 원의 교차점을 지나며, 두 원이 이루는 각을 이등분한다. 원 γ가 두 원 α와 β를 동일한 각도로 교차하면, 원 γ는 원 α와 β의 역상이원 중 하나와 직교한다. 또한 원 γ가 두 원 α와 β를 보각을 이루며 교차하면, 다른 역상이원과 직교한다. 원 γ가 두 원 α와 β와 직교하면, 두 역상이원 모두와 직교한다.

두 원 α와 β가 서로 교차하며, 또 다른 두 원 γ와 δ가 서로 각각 원 α와 β에 접하며 여기에 두 원 γ와 δ가 서로 접하면 두 원 γ와 δ의 접점은 반드시 두 원 α와 β의 두 역상이원 중 한 원 위의 점에 존재한다.

3. 세 개의 원에 대한 역상이원

세 원 α, β, γ가 주어졌을 때, 각 쌍의 원에 대한 역상이원을 고려할 수 있다.

세 원 α, β, γ에 대해서 두 원 α와 β의 역상이원은 β와 γ의 역상이원을 교차한다고 가정하자. 그럼 α와 γ의 역상이원을 그리면 세 개의 역상이원은 서로 교차를 하며 두 개의 삼중점이 생긴다. 이런 식으로 처음 두 원을 선택하거나 두 원이 교차하는 두 점을 고르는 두 가지 방법을 통해 모든 역상이원을 그리면 최대 8개의 삼중점을 만들 수 있다. 이 삼중점들은 세 원 α, β, γ를 모두 동일하게 만드는 반전원의 중심에 해당한다.

세 원 α, β, γ에 대해, 쌍(α,β)에 대한 유사반대원의 원이 쌍(β,γ)에 대한 두 번째 유사반대원의 원과 교차한다고 가정하자. 그렇다면 세 쌍의 원(α,γ)에 대한 세 번째 유사반대원의 원이 존재하여 세 개의 유사반대원의 원이 두 개의 삼중 교차점에서 서로 교차한다. 이와 같은 방식으로 최대 8개의 삼중 교차점이 생성될 수 있는데, 첫 번째 두 원 각각을 선택하는 방법이 두 가지이고, 선택된 두 원이 교차하는 점이 두 개이기 때문이다. 이 8개 이하의 삼중 교차점은 세 원 α, β, γ를 모두 같은 원으로 만드는 반전의 중심이다. 서로 외접하는 세 원의 경우, 각 쌍에 대한 (고유한) 유사반대원의 원이 다시 두 개의 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이 점은 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점이다.

3.1. 삼중 교차점

세 원 α, β, γ에 대해서 두 원 α와 β의 역상이원은 β와 γ의 역상이원을 교차한다고 가정하자. 그럼 α와 γ의 역상이원을 그리면 세 개의 역상이원은 서로 교차를 하며 두 개의 삼중점이 생긴다. 이런 식으로 처음 두 원을 선택하거나 두 원이 교차하는 두 점을 고르는 두 가지 방법을 통해 모든 역상이원을 그리면 최대 8개의 삼중점을 만들 수 있다. 이 삼중점들은 세 원 α, β, γ를 모두 동일하게 만드는 반전원의 중심에 해당한다.

세 원 α, β, γ에 대해, 쌍(α,β)에 대한 유사반대원의 원이 쌍(β,γ)에 대한 두 번째 유사반대원의 원과 교차한다고 가정하자. 그렇다면 세 쌍의 원(α,γ)에 대한 세 번째 유사반대원의 원이 존재하여 세 개의 유사반대원의 원이 두 개의 삼중 교차점에서 서로 교차한다. 이와 같은 방식으로 최대 8개의 삼중 교차점이 생성될 수 있는데, 첫 번째 두 원 각각을 선택하는 방법이 두 가지이고, 선택된 두 원이 교차하는 점이 두 개이기 때문이다. 이 8개 이하의 삼중 교차점은 세 원 α, β, γ를 모두 같은 원으로 만드는 반전의 중심이다. 서로 외접하는 세 원의 경우, 각 쌍에 대한 (고유한) 유사반대원의 원이 다시 두 개의 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이 점은 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점이다.

3.2. 등동점과의 관계

세 원 α, β, γ가 서로 외접하는 경우, 각 쌍에 대한 역상이원은 두 개의 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이 점은 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점과 일치한다. 세 원 α, β, γ에 대해서, 쌍(α,β)에 대한 유사반대원의 원이 쌍(β,γ)에 대한 두 번째 유사반대원의 원과 교차한다고 가정하면, 세 쌍의 원(α,γ)에 대한 세 번째 유사반대원의 원이 존재하여 세 개의 유사반대원의 원이 두 개의 삼중 교차점에서 서로 교차한다. 이런 방식으로 최대 8개의 삼중 교차점이 생성될 수 있는데, 이는 세 원 α, β, γ를 모두 같은 원으로 만드는 반전의 중심에 해당한다.