역상이원
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1. 개요
역상이원은 두 원의 성질과 관련된 기하학적 개념으로, 특히 두 원이 교차하거나 접할 때 나타나는 특징을 설명한다. 두 원 α와 β가 교차하고 다른 두 원 γ와 δ가 각각 α와 β에 접하며 서로 접할 경우, γ와 δ의 접점은 α와 β의 역상이원 중 하나 위에 존재한다. 세 개의 원에 대한 역상이원을 고려할 때, 최대 8개의 삼중 교차점이 생길 수 있으며, 이는 세 원을 동일하게 만드는 반전원의 중심이 된다. 또한, 세 원이 서로 외접하는 경우, 역상이원은 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이는 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점과 일치한다.
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| 역상이원 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 두 원의 상사중심을 지나는 원 |
| 특징 | 두 원의 상사변환에 대해 불변 두 원의 공통내접선과 공통외접선의 교점을 지남 두 원의 크기가 같으면 직선이 됨 (근축) |
| 성질 | |
| 중심 | 두 원의 중심을 잇는 직선 위에 위치 |
| 위치 관계 | 두 원의 중심을 잇는 선분을 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 함 두 원의 상사중심을 지남 |
| 활용 | |
| 기하학 문제 해결 | 두 원과 관련된 기하학적 문제를 해결하는 데 유용하게 사용됨 |
2. 성질
두 원 ''α''와 ''β''가 서로 교차하며, 또 다른 두 원 ''γ''와 ''δ''가 각각 원 ''α''와 ''β''에 접하며 서로 접하면, 두 원 ''γ''와 ''δ''의 접점은 반드시 두 원 ''α''와 ''β''의 두 역상이원 중 한 원 위에 존재한다.[6][3] 두 원 ''α''와 ''β''가 서로 만나지 않으며 동심원을 이루지도 않는 경우, 원 ''γ''와 ''δ''의 접점은 두 개의 원 위에 존재하지만, 이 중 하나만이 원 ''α''와 ''β''의 역상이원이다.[6] 원 ''α''와 ''β''가 한 점에서 접하거나 동심원인 경우, 원 ''γ''와 ''δ''의 접점은 하나의 원궤적(원 ''α''와 ''β''의 역상이원)을 그린다.[6][3]
만약 두 원 ''α''와 ''β''가 서로 교차하면 두 원의 역상이원 두 개 또한 서로 교차하며 이는 원 ''α''와 ''β''가 교차할 때 이루는 호의 각을 이등분한다.
원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''를 동일한 각도에서 교차하게 된다면, 원 ''γ''는 원 ''α''와 ''β''의 역상이원 중 하나와 반드시 직교한다. 또한 원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''를 보각을 이루며 교차한다면 다른 역상이원과 직교하며, 원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''과 직교하며 교차한다면 두 역상이원 모두와 직교하게 된다.[5][2]
2. 1. 두 원의 교차와 접점
두 원 ''α''와 ''β''가 서로 교차하며, 또 다른 두 원 ''γ''와 ''δ''가 각각 원 ''α''와 ''β''에 접하며 서로 접하면, 두 원 ''γ''와 ''δ''의 접점은 반드시 두 원 ''α''와 ''β''의 두 역상이원 중 한 원 위에 존재한다.[6][3] 두 원 ''α''와 ''β''가 서로 만나지 않으며 동심원을 이루지도 않는 경우, 원 ''γ''와 ''δ''의 접점은 두 개의 원 위에 존재하지만, 이 중 하나만이 원 ''α''와 ''β''의 역상이원이다.[6] 원 ''α''와 ''β''가 한 점에서 접하거나 동심원인 경우, 원 ''γ''와 ''δ''의 접점은 하나의 원궤적(원 ''α''와 ''β''의 역상이원)을 그린다.[6][3]만약 두 원 ''α''와 ''β''가 서로 교차하면 두 원의 역상이원 두 개 또한 서로 교차하며 이는 원 ''α''와 ''β''가 교차할 때 이루는 호의 각을 이등분한다.
원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''를 동일한 각도에서 교차하게 된다면, 원 ''γ''는 원 ''α''와 ''β''의 역상이원 중 하나와 반드시 직교한다. 또한 원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''를 보각을 이루며 교차한다면 다른 역상이원과 직교하며, 원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''과 직교하며 교차한다면 두 역상이원 모두와 직교하게 된다.[5][2]
2. 2. 역상이원과 교차각
두 원 ''α''와 ''β''가 서로 교차하면, 두 역상이원은 두 원의 교차점을 지나며, 두 원이 이루는 각을 이등분한다.[5][2] 원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''를 동일한 각도로 교차하면, 원 ''γ''는 원 ''α''와 ''β''의 역상이원 중 하나와 직교한다.[5][2] 또한 원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''를 보각을 이루며 교차하면, 다른 역상이원과 직교한다.[5][2] 원 ''γ''가 두 원 ''α''와 ''β''와 직교하면, 두 역상이원 모두와 직교한다.[5][2]두 원 ''α''와 ''β''가 서로 교차하며, 또 다른 두 원 ''γ''와 ''δ''가 서로 각각 원 ''α''와 ''β''에 접하며 여기에 두 원 ''γ''와 ''δ''가 서로 접하면 두 원 ''γ''와 ''δ''의 접점은 반드시 두 원 ''α''와 ''β''의 두 역상이원 중 한 원 위의 점에 존재한다.[6]
3. 세 개의 원에 대한 역상이원
세 원 ''α'', ''β'', ''γ''가 주어졌을 때, 각 쌍의 원에 대한 역상이원을 고려할 수 있다.
세 원 ''α'', ''β'', ''γ''에 대해서 두 원 ''α''와 ''β''의 역상이원은 ''β''와 ''γ''의 역상이원을 교차한다고 가정하자. 그럼 ''α''와 ''γ''의 역상이원을 그리면 세 개의 역상이원은 서로 교차를 하며 두 개의 삼중점이 생긴다.[4] 이런 식으로 처음 두 원을 선택하거나 두 원이 교차하는 두 점을 고르는 두 가지 방법을 통해 모든 역상이원을 그리면 최대 8개의 삼중점을 만들 수 있다. 이 삼중점들은 세 원 ''α'', ''β'', ''γ''를 모두 동일하게 만드는 반전원의 중심에 해당한다.[4]
세 원 ''α'', ''β'', ''γ''에 대해, 쌍(''α'',''β'')에 대한 유사반대원의 원이 쌍(''β'',''γ'')에 대한 두 번째 유사반대원의 원과 교차한다고 가정하자. 그렇다면 세 쌍의 원(''α'',''γ'')에 대한 세 번째 유사반대원의 원이 존재하여 세 개의 유사반대원의 원이 두 개의 삼중 교차점에서 서로 교차한다.[1] 이와 같은 방식으로 최대 8개의 삼중 교차점이 생성될 수 있는데, 첫 번째 두 원 각각을 선택하는 방법이 두 가지이고, 선택된 두 원이 교차하는 점이 두 개이기 때문이다. 이 8개 이하의 삼중 교차점은 세 원 ''α'', ''β'', ''γ''를 모두 같은 원으로 만드는 반전의 중심이다.[1] 서로 외접하는 세 원의 경우, 각 쌍에 대한 (고유한) 유사반대원의 원이 다시 두 개의 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이 점은 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점이다.
3. 1. 삼중 교차점
세 원 ''α'', ''β'', ''γ''에 대해서 두 원 ''α''와 ''β''의 역상이원은 ''β''와 ''γ''의 역상이원을 교차한다고 가정하자. 그럼 ''α''와 ''γ''의 역상이원을 그리면 세 개의 역상이원은 서로 교차를 하며 두 개의 삼중점이 생긴다.[4] 이런 식으로 처음 두 원을 선택하거나 두 원이 교차하는 두 점을 고르는 두 가지 방법을 통해 모든 역상이원을 그리면 최대 8개의 삼중점을 만들 수 있다. 이 삼중점들은 세 원 ''α'', ''β'', ''γ''를 모두 동일하게 만드는 반전원의 중심에 해당한다.[4]세 원 ''α'', ''β'', ''γ''에 대해, 쌍(''α'',''β'')에 대한 유사반대원의 원이 쌍(''β'',''γ'')에 대한 두 번째 유사반대원의 원과 교차한다고 가정하자. 그렇다면 세 쌍의 원(''α'',''γ'')에 대한 세 번째 유사반대원의 원이 존재하여 세 개의 유사반대원의 원이 두 개의 삼중 교차점에서 서로 교차한다.[1] 이와 같은 방식으로 최대 8개의 삼중 교차점이 생성될 수 있는데, 첫 번째 두 원 각각을 선택하는 방법이 두 가지이고, 선택된 두 원이 교차하는 점이 두 개이기 때문이다. 이 8개 이하의 삼중 교차점은 세 원 ''α'', ''β'', ''γ''를 모두 같은 원으로 만드는 반전의 중심이다.[1] 서로 외접하는 세 원의 경우, 각 쌍에 대한 (고유한) 유사반대원의 원이 다시 두 개의 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이 점은 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점이다.
3. 2. 등동점과의 관계
세 원 ''α'', ''β'', ''γ''가 서로 외접하는 경우, 각 쌍에 대한 역상이원은 두 개의 삼중 교차점에서 120° 각도로 교차하며, 이 점은 세 접점으로 형성된 삼각형의 등동점과 일치한다.[1] 세 원 ''α'', ''β'', ''γ''에 대해서, 쌍(''α'',''β'')에 대한 유사반대원의 원이 쌍(''β'',''γ'')에 대한 두 번째 유사반대원의 원과 교차한다고 가정하면, 세 쌍의 원(''α'',''γ'')에 대한 세 번째 유사반대원의 원이 존재하여 세 개의 유사반대원의 원이 두 개의 삼중 교차점에서 서로 교차한다.[1] 이런 방식으로 최대 8개의 삼중 교차점이 생성될 수 있는데, 이는 세 원 ''α'', ''β'', ''γ''를 모두 같은 원으로 만드는 반전의 중심에 해당한다.[4][1]참조
[1]
서적
Advanced Euclidean Geometry
https://books.google[...]
Courier Dover Publications
[2]
서적
A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation: with numerous examples
https://books.google[...]
Macmillan
[3]
웹사이트
Tangencies: Circular Angle Bisectors
http://www.ics.uci.e[...]
1999
[4]
서적
Advanced Euclidean Geometry
https://books.google[...]
Courier Dover Publications
[5]
서적
A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation: with numerous examples
https://books.google[...]
Macmillan
[6]
웹사이트
Tangencies: Circular Angle Bisectors
http://www.ics.uci.e[...]
1999
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