동축원 다발

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
4. 성질
참조

1. 개요

동축원 다발은 평면 위에 있는 원들의 특수한 집합으로, 두 원의 방정식을 이용하여 정의된다. 이 다발은 생성하는 두 원의 선형 결합으로 표현되며, 다발에 속하는 각 원은 보조 변수 쌍에 의해 식별된다. 동축원 다발은 이차 형식의 성질에 따라 타원형, 포물형, 쌍곡형으로 분류된다. 타원형은 두 원이 두 점에서 교차, 포물형은 한 점에서 접하며, 쌍곡형은 교차하지 않는 경우이다. 동축원 다발의 중심선과 근축은 중요한 성질이며, 직교 동축원 다발과 반전, 입체 사영과의 관계를 갖는다.

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동축원 다발
정의
설명	사영 평면에서 한 직선을 지나가는 원들의 모임이다.
성질
근축	공통 근축을 가진다.
극한점	두 개의 극한점을 가진다.
원의 종류	쌍곡선형: 교차하는 원들의 다발 포물선형: 한 점에서 접하는 원들의 다발 타원형: 교차하지 않는 원들의 다발
추가 정보
관련 개념	원뿔 곡선

2. 정의

평면 $\mathbb R^2$ 위에서 서로 다른 두 원 $\Gamma, \Gamma'$ 의 방정식이 다음과 같다고 하자.

: $a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d=0$

: $a'(x^2+y^2)-2b'x-2c'y+d'=0$

여기서 $(a,b,c,d)$ 와 $(a',b',c',d')$ 은 실수 동차 좌표이다. 이 두 원은 일반적인 실원이거나, 점원 또는 허원이거나, 유한 직선이거나, 무한원 직선일 수 있다.

'''두 원 $\Gamma, \Gamma'$ 으로 생성된 동축원 다발'''(영어: coaxal pencil of circles)은 두 원의 방정식의 선형 결합으로 표현되는 원들의 집합이다. 즉, 방정식이

: $\lambda(a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d)+\lambda'(a'(x^2+y^2)-2b'x-2c'y+d')=0$

인 원

: $\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'$

들의 족 $\mathcal C$ 를 의미한다. 여기서 $(\lambda,\lambda')$ 은 실수 동차 좌표이다.

동축원 다발

\mathcal C

는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상

\mathcal C

가 실원을 포함할 경우

\Gamma

가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우

\Gamma

가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표

(\lambda,\lambda')

에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

:

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}(\lambda,\lambda')=\lambda^2(b^2+c^2-ad)+\lambda\lambda'(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))+{\lambda'}^2({b'}^2+{c'}^2-a'd')

이는

(\lambda,\lambda')

에 대한 실수 이차 형식이다. 만약

\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'

이 직선이 아니라면, 이 값은

\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'

의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히,

\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'

이 직선이 아니고

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}(\lambda,\lambda')

이 양수, 0, 음수일 경우,

\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'

은 각각 실원, 점원, 허원이다. 이 이차 형식

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}

의 행렬식은 다음과 같다.

:

4\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}=4(b^2+c^2-ad)({b'}^2+{c'}^2-a'd')-(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))^2

동축원 다발

\mathcal C

는 이차 형식

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}

의 성질에 따라 분류된다.

주어진 두 원이 생성하는 원 다발의 방정식은, 두 원의 표준형 방정식의 선형 결합으로도 표현할 수 있다.

:

\lambda(x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1) + \mu(x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2) = 0

이 원 다발에 속하는 각 원은 보조 변수 쌍

(\lambda, \mu)

를 결정할 때마다 식별된다. 원래의 두 원은 한쪽 보조 변수를

0

으로 놓음으로써 얻어지며, 이 두 원을 이 원 다발의 '''기저원'''(base circle) 또는 '''생성원'''(generating circle)이라고 부른다. 그러나, 주어진 원 다발의 생성원의 선택은 임의적이며, 그 원 다발에 속하는 서로 다른 임의의 두 원을 생성원으로 사용할 수 있다. 두 보조 변수를 모두

0

으로 놓는 것은, 위 방정식이 자명한 관계식

0 = 0

이 되어 의미를 잃게 된다.

한쪽 보조 변수가 항상 0이 아닌 것으로 가정하면(예를 들어

\mu \ne 0

), 원 다발의 방정식은 보조 변수를 하나로 만들 수 있다.

k = \frac{\lambda}{\mu}

로 놓으면, 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

k(x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1) + (x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2) = 0

그러나, 이 방정식은

\mu = 0

에 대응하는 원(즉, 첫 번째 생성원)을 나타내지 않으므로 불완전하다. 이러한 성질은 보조 변수 쌍

(\lambda, \mu)

가 사영적인 보조 변수임을 의미한다. 사영 기하학의 관점에서 보면, 하나의 보조 변수

k

에 지배되는 원 다발의 방정식에서

\mu = 0

에 대응하는 생성원은

k = \infty

, 즉 무한원점에 해당한다.

반지름이

r

이고 중심이

(p, q)

인 원의 방정식은

(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2

으로 주어지지만, 이를 표준형

:

\alpha(x^2 + y^2) - 2\beta x - 2\gamma y + \delta = 0

의 형태로 쓸 수 있다. 여기서

\alpha = 1, \beta = p, \gamma = q, \delta = p^2 + q^2 - r^2

로 놓으면 된다. 네 값

(\alpha, \beta, \gamma, \delta)

에 임의의 스칼라를 곱해도 같은 원을 나타내므로, 이 네 값을 평면상의 모든 원으로 이루어진 공간에서의 동차 좌표로 간주할 수 있다.

\alpha = 0

인 경우는 직선을 나타내는데, 이는 "퇴화된" 원으로 간주할 수 있다(일반화 원 참조).

\alpha \ne 0

일 때,

p = \frac{\beta}{\alpha}, q = \frac{\gamma}{\alpha}, r = \sqrt{\frac{-\delta - \beta^2 - \gamma^2}{\alpha^2}}

로 계산하여 원의 중심과 반지름을 구할 수 있다. 이때

r = 0

이면 '''점원'''(한 점으로 퇴화된 원)이 되고,

r

이 순허수이면 '''허원'''(''imaginary circle'')을 나타낸다.

두 원

(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1)

과

(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2, \delta_2)

가 생성하는 동축원 다발은 이들의 아핀 결합, 즉 네 값의 묶음

:

z(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\delta_1)+(1-z)(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2,\delta_2)

이 나타내는 원의 (보조 변수

z

에 대한) 전체 집합으로도 표현할 수 있다.

서로 직교하는 두 동축원 다발. 빨간 원 다발은 공통의 두 점을 통과하고(타원형), 파란 원 다발은 그 두 점을 분리한다(쌍곡선형).

쌍곡선형 동축원 다발: 두 극한점(점원)은 근축과 중심축의 교점을 중심으로 하는 하나의 원 위에 있다

3. 분류

평면 $\mathbb R^2$ 위에서 서로 다른 두 원 $\Gamma, \Gamma'$ 으로 생성되는 동축원 다발 $\mathcal C$ 는 두 원의 방정식을 이용한 실수 이차 형식 $\Delta_{\Gamma,\Gamma'}(\lambda,\lambda')$ 의 성질을 통해 분류할 수 있다. 이 이차 형식은 $\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'$ 이 직선이 아닐 경우, 해당 원의 반지름 제곱에 비례하며, 그 값의 부호에 따라 원이 실원, 점원, 허원인지를 판별할 수 있다.

이차 형식 $\Delta_{\Gamma,\Gamma'}$ 의 행렬식 $\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}$ 의 부호에 따라 동축원 다발 $\mathcal C$ 는 다음과 같이 세 가지 유형으로 분류된다.

'''타원형 동축원 다발'''(elliptic pencil of coaxal circles^영어) 또는 '''교차 동축원 다발'''(intersecting pencil of coaxal circles^영어): $\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}>0$ 인 경우이다. 이 다발에 속하는 모든 비직선 원소는 실원이며, 생성원 $\Gamma$ 와 $\Gamma'$ 은 서로 다른 두 교점 $P, Q$ 에서 만난다. 이 두 교점을 다발의 '''기저점'''(base point^영어)이라고 한다. 일반적으로 타원형 동축원 다발은 두 기저점을 지나는 모든 원들의 집합이다.

'''포물형 동축원 다발'''(parabolic pencil of coaxal circles^영어) 또는 '''접동축원 다발'''(tangent pencil of coaxal circles^영어): $\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}=0$ 인 경우이다. 이 다발은 유일한 점원 $P$ 를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 생성원 $\Gamma$ 와 $\Gamma'$ 은 점 $P$ 에서 서로 접하며, 다발에 속하는 모든 원은 이 점 $P$ 에서 공통으로 접한다.

'''쌍곡형 동축원 다발'''(hyperbolic pencil of coaxal circles^영어) 또는 '''비교차 동축원 다발'''(nonintersecting pencil of coaxal circles^영어): $\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}<0$ 인 경우이다. 이 다발의 비직선 원소는 실원과 허원, 그리고 두 개의 점원 $P, Q$ 로 이루어진다. 생성원 $\Gamma$ 와 $\Gamma'$ 은 서로 만나지 않으며, 다발에 속하는 임의의 서로 다른 두 원도 서로 만나지 않는다. 두 점원 $P, Q$ 를 다발의 '''극한점'''(limiting point^영어) 또는 '''퐁슬레 점'''이라고 한다.

하나의 점

C

를 중심으로 하는 동심원의 족은 쌍곡형 동축원 다발의 특수한 경우로 볼 수 있으며, 이때 다른 극한점은 복소사영직선 상의 무한원점에 해당한다. 이에 대응하는 타원형 동축원 다발은 점

C

를 지나는 직선들의 족(공점선 다발)으로, 각 직선은 무한원점을 지나는 반지름이 무한대인 원으로 해석될 수 있다.

3. 1. 타원형 동축원 다발

만약 두 원

\Gamma, \Gamma'

의 방정식으로 정의된 행렬

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}

의 행렬식이 양수(

\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}>0

)일 경우,

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}

은 양의 정부호 이차 형식이 되며, 동축원 다발

\mathcal C

속 모든 비직선 원소는 실수 반지름을 가지는 원이다. 이때 두 원

\Gamma

와

\Gamma'

은 서로 다른 두 교점

P, Q

에서 만나며, 동축원 다발

\mathcal C

는 이 두 점

P

와

Q

를 지나는 모든 원들의 집합이 된다. 특히, 이 다발의 근축은 두 교점을 잇는 직선

PQ

이다. 이러한 동축원 다발을 '''타원형 동축원 다발'''(elliptic pencil of coaxal circles^eng) 또는 '''교차 동축원 다발'''(intersecting pencil of coaxal circles^eng)이라고 부르며, 두 공통 교점

P, Q

를 다발의 '''기저점'''(base point^eng)이라고 한다.

타원형 동축원 다발은 두 개의 생성원(다발을 정의하는 두 원)이 정확히 두 점에서 교차하는 경우에 해당한다. 이 다발에 속하는 모든 원은 두 기저점을 반드시 지나가며, 허수인 반지름을 가지는 허원은 포함하지 않는다.

만약 두 기저점 중 하나가 확장 복소평면의 무한대점(

Q=\widehat\infty

)이라면, 이 타원형 동축원 다발은 다른 기저점

P

를 공통 교점으로 가지는 공점선 다발이 된다.^[2]

3. 2. 포물형 동축원 다발

두 원

\Gamma, \Gamma'

의 방정식에 대한 행렬식

\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}

이 0인 경우, 즉

\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}=0

일 때, 해당 동축원 다발

\mathcal C

를 '''포물형 동축원 다발'''(抛物型同軸圓-, parabolic pencil of coaxal circles^영어) 또는 '''접동축원 다발'''(接同軸圓-, tangent pencil of coaxal circles^영어)이라고 한다.

이 경우, 이차 형식

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}

은 완전 제곱의 형태를 가진다.

:

\Delta_{\Gamma,\Gamma'}\colon(\lambda,\lambda')\mapsto\left(\lambda\sqrt{b^2+c^2-ad}\pm\lambda'\sqrt{{b'}^2+{c'}^2-a'd'}\right)^2

포물형 동축원 다발

\mathcal C

는 유일한 점원

P

를 가지며, 이 점원을 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 다발을 생성하는 두 원

\Gamma

와

\Gamma'

은 어떤 점

P

에서 서로 접한다. 더 나아가, 다발

\mathcal C

에 속하는 모든 원은 공통점

P

에서 서로 접하므로, 포물형 동축원 다발은 이 공통 접점을 갖는 실원들의 족으로 볼 수 있으며, 이 공통 접점

P

자체도 반지름이 0인 퇴화된 점원으로서 다발에 포함된다. 다발

\mathcal C

의 근축은 공통 접점

P

에서의 공통 접선이다.

만약 공통 접점

P

가 확장 복소평면의 무한대점

P=\widehat\infty

일 경우, 포물형 동축원 다발

\mathcal C

는 평행선 다발이 된다.^[2]

3. 3. 쌍곡형 동축원 다발

두 개의 생성원이 전혀 교차하지 않는 경우를 '''쌍곡형 원 다발'''이라고 한다. 이 경우, 원 다발은 실원과 허원을 모두 포함하며, 두 개의 점원(이를 '''퐁슬레 점''' 또는 '''초점'''이라고 부른다)도 포함한다. 원 다발이 쌍곡형이 되기 위한 필요충분조건은 평면상의 각 점이 그 원 다발에 속하는 원 중 정확히 하나 위에 있는 것이다.

하나의 초점 C만을 중심으로 하는 동심원의 족도 특별한 경우의 쌍곡형 원 다발이다. 이때 다른 하나의 초점은 복소사영직선의 무한원점에 있다고 생각한다.

4. 성질

동축원 다발 $\mathcal C$ 는 2차원 부분 사영 공간으로 볼 수 있다. 따라서 서로 다른 임의의 두 원소(원 또는 직선)를 선택하면 그 두 원소로부터 전체 동축원 다발 $\mathcal C$ 를 생성할 수 있다.

동축원 다발에 속하는 모든 원의 중심은 하나의 직선 위에 놓이는데, 이를 중심선이라고 한다. 또한, 다발에 속하는 임의의 두 원의 근축은 모두 동일하며, 이를 동축원 다발의 '''근축'''(radical axis^영어)이라고 부른다. 이 근축은 중심선에 수직이며, 동축원 다발 자체의 한 원소(직선)이기도 하다. 동축원 다발의 근축 위에 있는 임의의 점에서 다발에 속하는 (직선이 아닌) 원에 대해 계산한 방멱은 항상 같은 값을 가진다.

동축원 다발의 기하학적 성질을 파악하기 위해, 좌표평면에서 중심선을 $x$ 축으로, 근축을 $y$ 축으로 설정하는 것이 편리하다. 이렇게 좌표축을 잡으면, 동축원 다발 $\mathcal C$ 에 속하는 (직선이 아닌) 원들은 다음과 같은 형태의 방정식을 갖는다.

: $x^2+y^2-2ax+c=0$

여기서 $c$ 는 상수값으로, 다발의 근축 위의 점(특히 원점 (0,0), 즉 중심선과 근축의 교점)에서 각 원에 대한 방멱을 나타낸다. $a \in \mathbb R$ 는 각 원을 구별하는 매개변수이다.

이 상수 $c$ 의 값에 따라 동축원 다발은 세 가지 유형으로 분류된다.

'''타원형 동축원 다발''' ( $c<0$ ): 모든 원이 서로 다른 두 점(기저점) $(0, \pm\sqrt{-c})$ 에서 만난다. 위 방정식은 모든 실수 $a$ 에 대해 실원을 나타낸다.
'''포물형 동축원 다발''' ( $c=0$ ): 모든 원이 한 점(원점 (0,0))에서 서로 접한다. 위 방정식은 $a \ne 0$ 일 때 실원을, $a=0$ 일 때 원점을 나타내는 점원을 나타낸다.
'''쌍곡형 동축원 다발''' ( $c>0$ ): 어떤 두 원도 만나지 않는다. 대신 다발에는 두 개의 점원(극한점) $(\pm\sqrt{c}, 0)$ 이 포함된다. 위 방정식은 $|a| > \sqrt{c}$ 일 때 실원을, $a = \pm\sqrt{c}$ 일 때 점원을, $|a| < \sqrt{c}$ 일 때 허원을 나타낸다.

4. 1. 중심선과 근축

동축원 다발

\mathcal C

에 속하는 원들의 중심은 한 직선 위에 놓이며, 이 직선을 중심선이라고 한다. 동축원 다발

\mathcal C

에 속하는 임의의 두 원

\Gamma,\Gamma'\in\mathcal C

의 근축은 모두 같다. 이를 동축원 다발

\mathcal C

의 '''근축'''(根軸, radical axis^영어)이라고 부른다.

동축원 다발

\mathcal C

의 근축은 중심선의 수선이며, 동시에 동축원 다발

\mathcal C

의 한 원소(반지름이 무한대인 원, 즉 직선)이기도 하다. 실제로 동축원 다발에 속하는 두 원의 방정식에서 이차항(

x^2, y^2

)을 소거하면 근축의 방정식을 얻을 수 있다. 또한, 동축원 다발

\mathcal C

에 속하는 임의의 원(직선 제외)에 대하여, 근축 위의 한 점에서 그 원에 대한 방멱은 항상 일정한 값을 가진다.

좌표평면에서 동축원 다발

\mathcal C

의 중심선을

x

축으로, 근축을

y

축으로 설정하면, 동축원 다발에 속하는 원(직선 제외)들은 다음과 같은 간단한 형태의 방정식을 갖는다.

:

x^2+y^2-2ax+c=0

여기서

c

는 상수값으로, 동축원 다발의 중심(중심선과 근축의 교점, 즉 원점 (0, 0))에서 각 원에 대한 방멱을 나타낸다.

a\in\mathbb R

는 각 원을 구별하는 매개변수이다.

4. 2. 직교 동축원 다발

임의의 동축원 다발

\mathcal C

에 대하여, 그 다발에 속하는 모든 원과 직교하는 원들로 이루어진 유일한 동축원 다발

\mathcal C^\perp

가 존재한다. 이를

\mathcal C

의 '''직교 동축원 다발'''(直交同軸圓-, orthogonal pencil of coaxal circles^eng)이라고 한다. 두 원이 직교한다는 것은 두 원이 실수 교점을 가지며, 교점에서의 각 원의 접선이 서로 수직임을 의미한다.

직교 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 원래의 동축원 다발과 같다. 즉,

\mathcal C^{\perp\perp}=\mathcal C

가 성립한다. 또한, 동축원 다발

\mathcal C

의 직교 동축원 다발

\mathcal C^\perp

의 중심선과 근축은 각각

\mathcal C

의 근축과 중심선이다. 즉, 원래 다발의 중심선이 직교 다발의 근축이 되고, 원래 다발의 근축이 직교 다발의 중심선이 된다.

동축원 다발의 종류에 따라 직교 동축원 다발의 종류는 다음과 같이 결정된다.

만약 $\mathcal C$ 가 기저점(모든 원이 통과하는 두 점) $P,Q$ 를 갖는 타원형 동축원 다발이라면, $\mathcal C^\perp$ 는 극한점(다발에 속하는 점원) $P,Q$ 를 갖는 쌍곡형 동축원 다발이다.
특히, 만약 $\mathcal C$ 가 한 점 $P$ 에서 만나는 모든 원들의 다발(공점선 다발)이라면, $\mathcal C^\perp$ 는 중심이 $P$ 인 동심원 다발이다.
만약 $\mathcal C$ 가 포물형 동축원 다발(모든 원이 한 점에서 서로 접하는 다발)이라면, $\mathcal C^\perp$ 는 역시 포물형 동축원 다발이다. 즉, 포물형 동축원 다발은 자기 자신과 직교한다.
특히, 만약 $\mathcal C$ 가 평행선 다발(반지름이 무한대인 원들의 다발로 간주)이라면, $\mathcal C^\perp$ 역시 평행선 다발이다.
만약 $\mathcal C$ 가 극한점 $P,Q$ 를 갖는 쌍곡형 동축원 다발이라면, $\mathcal C^\perp$ 는 기저점 $P,Q$ 를 갖는 타원형 동축원 다발이다.
특히, 만약 $\mathcal C$ 가 중심이 $P$ 인 동심원 다발이라면, $\mathcal C^\perp$ 는 점 $P$ 에서 만나는 모든 원들의 다발(공점선 다발)이다.

요약하면, 타원형 동축원 다발과 쌍곡형 동축원 다발은 서로 직교 관계에 있으며, 포물형 동축원 다발은 자기 자신과 직교한다.

4. 3. 반전에 대한 상

원에 대한 반전 변환을 해도 타원형, 포물형, 쌍곡형 동축원 다발의 유형은 그대로 유지된다.

타원형 동축원 다발: 반전시키는 원의 중심이 하나의 기저점일 경우, 이 원에 대한 반전을 적용하면 교점이 다른 기저점의 상(像)이 되는 공점선 다발을 얻는다.
포물형 동축원 다발: 반전시키는 원의 중심이 다발의 중심일 경우, 이 원에 대한 반전을 적용하면 다발의 근축에 평행한 평행선 다발을 얻는다.
쌍곡형 동축원 다발: 반전시키는 원의 중심이 하나의 극한점일 경우, 이 원에 대한 반전을 적용하면 중심이 다른 극한점의 상(像)이 되는 동심원 다발을 얻는다.

동축원 다발에 속하는 임의의 원은, 그 다발과 직교하는 동축원 다발에 속하는 임의의 원에 대한 반전에 대해 변하지 않는다. 따라서 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이 된다.

4. 4. 입체 사영에 대한 상

동축원 다발은 입체 사영을 통해 공선면 다발과 일대일로 대응한다. 3차원 공간 속 단위구 S²와 특정 평면(예: z=0 평면) 사이에서, 구의 한 점(예: 북극 (0,0,1))을 기준으로 점들을 평면에 대응시키는 입체 사영 φ를 생각할 수 있다. 이 입체 사영을 통해 평면 위의 원이나 직선은 구 위의 원이나 점 등으로 변환된다.

구체적으로, 평면 위의 두 원 Γ(감마)와 Γ'(감마 프라임)을 입체 사영시키면, 그 원상(입체 사영 전의 모습)인 φ⁻¹(Γ)와 φ⁻¹(Γ')는 구 위의 특정 평면과 구의 교선으로 나타나는 원 또는 점이 된다. 이 두 원 Γ, Γ'으로 정의되는 동축원 다발 C는, 입체 사영된 상들의 평면으로 이루어진 공선면 다발 φ⁻¹(C)와 정확히 일대일 대응 관계를 가진다. 공선면 다발이란 하나의 직선(교선)을 공유하는 평면들의 집합을 의미한다.

입체 사영은 동축원 다발의 유형을 보존하며, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.

타원형 동축원 다발: 공선면 다발 φ⁻¹(C)의 교선이 단위구 S²와 서로 다른 두 점 P, Q에서 만나는 경우에 해당한다. 이때 동축원 다발의 기저점(모든 원이 통과하는 두 점)은 평면 위의 점 φ(P)와 φ(Q)가 된다. 만약 두 교점 중 하나가 입체 사영의 기준점(북극)이라면, 이 동축원 다발은 평면 위의 한 점 φ(P)를 지나는 공점선 다발(한 점을 지나는 직선들의 모임)이 된다.
포물형 동축원 다발: 공선면 다발 φ⁻¹(C)의 교선이 단위구 S²에 한 점 P에서 접하는 경우에 해당한다. 이때 동축원 다발의 중심(모든 원이 접하는 점)은 평면 위의 점 φ(P)가 된다. 만약 접점이 입체 사영의 기준점(북극)이라면, 이 동축원 다발은 특정 방향으로 나란한 평행선 다발이 된다.
쌍곡형 동축원 다발: 공선면 다발 φ⁻¹(C)의 교선이 단위구 S²와 만나지 않는 경우에 해당한다. 이때 동축원 다발의 극한점(다발에 속하는 원들의 크기가 무한히 작아질 때 수렴하는 두 점)은 공선면 다발 중 구에 접하는 두 평면의 접점 P, Q를 평면에 사영한 φ(P)와 φ(Q)가 된다. 만약 두 접점 중 하나가 입체 사영의 기준점(북극)이라면, 이 동축원 다발은 한 점 φ(P)를 중심으로 하는 동심원 다발이 된다.

또한, 서로 직교하는 두 동축원 다발 C와 C^⊥는 입체 사영을 통해 특별한 관계를 갖는 공선면 다발로 대응된다. 즉, 하나의 공선면 다발 φ⁻¹(C)에 속하는 평면들의 극은 다른 공선면 다발 φ⁻¹(C^⊥)의 교선 위에 놓이고, 그 반대도 성립한다. 이는 극과 극선 관계와 유사하다.

참조

_[1] MathWorld Coaxal Circles
_[2] 서적 Geometry of Complex Numbers https://archive.org/[...] Dover Publications 1979

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