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영상법

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목차

1. 개요

영상법은 전자기학 문제를 풀기 위한 기법으로, 복잡한 경계 조건을 가진 문제를 가상의 전하를 도입하여 단순화하는 방법이다. 주로 무한 도체 평면, 유전체 경계면, 구면 등에서 전하 분포에 따른 전위와 전기장을 계산하는 데 사용된다. 점전하, 전기 쌍극자 모멘트, 선형 유전체, 구면 등 다양한 상황에 적용될 수 있으며, 역변환법과 같은 관련 개념으로 확장된다. 영상법을 통해 계산된 힘과 에너지는 실제 전하와 가상 전하 사이의 상호작용을 기반으로 하며, 경계면에 유도되는 전하 분포를 모사하는 방식으로 물리적 해석이 가능하다.

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영상법
개요
이름영상법
영어 이름Method of image charges
분야고전 전자기학
하위 분야정전기학
설명고전적인 전자기학에서 사용되는 계산 기법

2. 평면에서의 영상법

무한한 도체 평면 위에 전하가 있으면 정전기 유도에 의해 도체 표면에 전하가 유도된다. 이러한 계에서 공간 모든 위치의 전위를 계산하는 정전기학 문제를 생각해 보자. 도체 표면 위의 전위는 일정하므로, 이를 편의상 0으로 놓는다.

이러한 문제는 직접 계산하기 힘들지만, 평면 반대쪽에 정확하게 같은 위치에 있지만 그 부호가 다른 전하를 가상으로 추가하고, 도체 평면을 없애면 비교적 쉽게 풀 수 있다. 새로운 문제에서는 대칭에 따라 서로 부호가 다른 두 전하 정중앙에서 전위가 정확히 0이 된다. 즉, 새로운 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건(평면 위에 전위가 0)을 만족한다. 라플라스 방정식의 경계 조건을 만족시키는 해는 유일하므로, 원래 문제의 해는 새로운 문제의 해와 (도체 위의 부분에서) 같다.

가장 간단한 예는 점전하가 있는 경우지만, 임의의 전하 분포에 대해서도 사용할 수 있다.

2. 1. 점전하

평면에서의 영상법


영상 전하법의 가장 간단한 예는 무한 접지(V=0) 도체 평면의 ''xy'' 평면 위에 (0,0,a)에 위치한 전하 ''q''를 갖는 점전하의 경우이다. 이 문제를 단순화하기 위해, 등전위 평면을 (0,0,-a)에 위치한 전하 −''q''로 대체할 수 있다. 이러한 배열은 z>0 (즉, 도체 평면 위)인 모든 지점에서 동일한 전기장을 생성하며, 평면을 따라 전위가 0이어야 한다는 경계 조건을 만족한다.[2]

''z'' 축에서 +''a''에 +''q''이고 −''a''에 −''q''인 이 두 점전하로 인한 공간의 모든 지점에서의 전위는 원통 좌표계에서 다음과 같이 주어진다.

:V\left(\rho,\varphi,z\right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{\sqrt{\rho^2 + \left(z-a \right)^2}} + \frac{-q}{\sqrt{\rho^2 + \left(z+a \right)^2}} \right) \,

따라서 접지된 평면의 표면 전하 밀도는 다음과 같다.

:\sigma = -\varepsilon_0 \left.\frac{\partial V}{\partial z} \right|_{z=0} = \frac{-q a}{2 \pi \left(\rho^2 + a^2\right)^{3/2} }

또한, 도체 평면에 유도된 ''총'' 전하는 전체 평면에 걸쳐 전하 밀도를 적분한 것이므로 다음과 같다.

:

\begin{align}

Q_t & = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty \sigma\left(\rho\right)\, \rho\,d \rho\,d\theta \\[6pt]

& = \frac{-qa}{2\pi} \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^\infty \frac{\rho\,d \rho}{\left(\rho^2 + a^2\right)^{3/2}} \\[6pt]

& = -q

\end{align}



평면에 유도된 총 전하는 단순히 −''q''가 된다. 이는 가우스 법칙을 통해서도 알 수 있는데, 쌍극자 장이 먼 거리에서 거리의 세제곱에 반비례하여 감소하고, 따라서 무한히 큰 구를 통과하는 총 장속이 사라진다는 것을 고려하면 된다.

전기장은 중첩의 원리를 만족하기 때문에, 여러 점전하 아래의 도체 평면은 각 전하의 거울상으로 개별적으로 대체될 수 있으며, 다른 수정 사항은 필요하지 않다.

2. 2. 전기 쌍극자 모멘트

무한 접지된 도체 평면 위의 (0,0,a)에 위치한 전기 쌍극자 모멘트 '''p'''의 영상은 ''xy'' 평면에 위치한 (0,0,-a)에 같은 크기와 방향을 가지고 방위각으로 π만큼 회전된 쌍극자 모멘트이다. 즉, 데카르트 성분 (p\sin\theta\cos\phi,p\sin\theta\sin\phi,p\cos\theta)를 가진 쌍극자 모멘트는 영상 쌍극자 모멘트 (-p\sin\theta\cos\phi,-p\sin\theta\sin\phi,p\cos\theta)를 갖게 된다. 쌍극자는 다음과 같은 ''z'' 방향의 힘을 받는다.

:F = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3p^2}{16a^4} \left(1 + \cos^2\theta\right)

그리고 쌍극자와 도체 평면에 수직인 평면 내에서 다음과 같은 토크를 받는다.

:\tau = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p^2}{16a^3} \sin 2\theta

2. 3. 선형 유전체

선형 유전체는 전기 감수율 \chi_e를 가지는 물질로, \mathbf{P}=\epsilon_0\chi_e\mathbf{E}를 만족한다. 유전율이 다른 두 유전체 경계면에서 전하가 있을 때, 각 영역에 적절한 영상 전하를 도입하여 전위를 계산할 수 있다.

선형 유전체 경계면에서의 영상법


z>0 영역의 유전율을 \epsilon_1, z<0 영역의 유전율을 \epsilon_2라고 하고, 경계면(z=0)에서 d만큼 떨어진 z>0 영역에 전하량 q인 입자가 있다고 가정하자. 이때, z>0 영역의 전위는 z<0 영역에 영상 전하 q'을, z<0 영역의 전위는 z>0 영역에 영상 전하 q''를 위치시켜 계산할 수 있다.

경계 조건(전위의 연속성, 전속 밀도의 수직 성분 연속성)을 이용하면, 영상 전하의 크기와 위치는 다음과 같이 결정된다.[3]

  • q'=\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}q
  • q''=\frac{2\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}q


여기서 \epsilon_{r_1}과 \epsilon_{r_2}는 각 유전체의 상대 유전율이다.

각 영역에서의 전위는 다음과 같이 주어진다.

  • V_{up}=\frac{q}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}+\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right]
  • V_{down}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{2}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}\right]


구속 전하를 이용하여 영상 전하를 유도할 수도 있다. 유전체 내부에 위치한 점전하 q 주위로 유도되는 구속 전하와 경계면에 유도되는 구속 전하를 고려하여 전위를 계산하면 위와 동일한 결과를 얻는다.

금속의 경우와 달리, 가상 전하 q'는 실제 전하와 정확히 반대되지 않는다. 전하가 더 강한 유전체 물질 내부에 배치된 경우(전하는 유전율이 낮은 영역에서 밀려남) 동일한 부호를 갖지 않을 수도 있다.[3]

3. 구면에서의 영상법

구면에서의 영상법은 구형 도체 또는 유전체 표면에 전하가 있을 때, 전위 및 전하 분포를 계산하는 방법이다.

반지름 ''R''의 구에 대한 라플라스 방정식을 위한 영상법을 설명하는 그림. 녹색 점은 구 내부에 있는 전하 ''q''이며, 원점에서 거리 ''p''만큼 떨어져 있고, 빨간색 점은 해당 점의 영상으로, 전하 −''qR''/''p''를 가지며, 원점에서 거리 ''R''2/''p''만큼 떨어져 구 외부에 위치한다. 두 전하가 생성하는 전위는 구 표면에서 0이다.

3. 1. 점전하

구면에서도 영상법을 적용할 수 있다.[6] 반지름 R인 도체 구면 안에 점전하 q가 구 한가운데에서 p만큼 떨어진 곳에 있는 경우, 정전기 유도에 의해 도체 표면에 디리클레 경계 조건을 적용해야 한다. 도체 표면의 전위를 0으로 놓으면, 구의 중심에서 R^2/p만큼 떨어진 곳에 가상의 전하 -qR/p를 놓는 문제로 바꿀 수 있다. 이 새 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건을 만족한다.

구면 밖에 전하가 위치해 있는 경우나 점전하 대신 임의의 전하 분포가 있는 경우도 마찬가지로 다룰 수 있다. 영상법은 구에도 적용될 수 있으며,[4] 평면에서의 점전하 이미지의 경우는 구에 대한 이미지의 특수한 경우이다.

구 '''내부'''에 있는 점전하 '''내부'''의 전위 \mathbf{p} 위치를 찾는 경우, 그림에서 녹색 점으로 표시된 점의 점하를 ''q''라고 하면, 접지된 구에 대한 이 전하의 이미지는 빨간색으로 표시된다. 이 전하는 ''q''의 전하를 가지며 구의 중심과 \left(R^2 /p^2\right) \mathbf{p} 벡터 위치에 있는 내부 전하를 연결하는 선 위에 놓인다. 반경 벡터 \mathbf{r}로 지정된 점에서의 전위는 두 전하만의 합으로 주어진다.

:

4\pi\varepsilon_0 V(\mathbf{r}) = \frac{q}

+ \frac{(-qR/p)}

=

\frac{q}{\sqrt{r^2+p^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}} +

\frac{(-qR/p)}{\sqrt{r^2 +\frac{R^4}{p^2}-\frac{2R^2}{p^2}\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}



가장 오른쪽에 있는 수식을 곱하면 다음과 같다.

:

V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\left[

\frac{q}{\sqrt{r^2+p^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}-\frac{q}{\sqrt{\frac{r^2p^2}{R^2}+R^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}\right]



구의 표면(''r'' = ''R''영어)에서 전위가 사라지는 것을 알 수 있다. 따라서 구 내부의 전위는 두 전하의 전위에 대한 위 식에 의해 주어지며, 구 외부에서는 유효하지 않다. 이미지 전하는 실제로 존재하지 않고, 내부 전하에 의해 구에 유도된 표면 전하 밀도를 "대신"하고 있기 때문이다.

단순화를 위해 내부 전하가 z축에 있다고 가정하면 유도된 전하 밀도는 극각 ''θ''의 함수가 되며 다음과 같이 주어진다.

:

\sigma(\theta)

= \varepsilon_0 \left.\frac{\partial V}{\partial r} \right|_{r=R}

=\frac{-q\left(R^2-p^2\right)}{4\pi R\left(R^2+p^2-2pR\cos\theta\right)^{3/2}}



구의 총 전하는 모든 각도에 대해 적분하여 구할 수 있다.

:

Q_t=\int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi} d\phi\,\,\sigma(\theta) R^2\sin\theta = -q



반경 ''R''의 접지된 구 외부에 벡터 위치 \mathbf{p}에 전하 ''q''가 있는 경우, 구 외부의 전위는 전하와 구 내부의 이미지 전하의 전위의 합으로 주어진다. 이미지 전하는 −''qR''/''p''의 전하를 가지며 벡터 위치 \left(R^2 / p^2\right) \mathbf{p}에 위치하게 된다. 첫 번째 경우와 달리 적분 값은 −''qR''/''p''가 된다.

3. 2. 전기 쌍극자 모멘트

전기 점 쌍극자의 영상은 조금 더 복잡하다. 쌍극자가 작은 거리에 의해 분리된 두 개의 큰 전하로 묘사되는 경우, 쌍극자의 영상은 전하가 수정될 뿐만 아니라 그 사이의 거리도 수정된다. 반경 ''R''의 구 안에 있는 벡터 위치 \mathbf{p}에서 쌍극자 모멘트 M을 갖는 쌍극자는 벡터 위치 \left(R^2/p^2\right)\mathbf{p}(단순 전하와 동일)에 영상을 갖게 되며, 다음과 같은 단순 전하를 갖는다.

:

q'=\frac{R\mathbf{p}\cdot\mathbf{M}}{p^3}



그리고 다음과 같은 쌍극자 모멘트를 갖는다.

:

\mathbf{M}'=\left(\frac{R}{p}\right)^3\left[

  • \mathbf{M}

+\frac{2\mathbf{p}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{M})}{p^2}

\right]


4. 역변환법 (Method of inversion)

영상법은 구에 적용되어 바로 역변환법으로 이어진다.[5] 위치의 조화 함수 \Phi(r,\theta,\phi)가 주어졌을 때, 여기서 r,\theta,\phi는 위치의 구면 좌표이며, 원점을 중심으로 하는 반지름 ''R''인 구에서의 이 조화 함수의 영상은 다음과 같다.

:\Phi'(r,\theta,\phi)=\frac{R}{r}\,\Phi{\left(\frac{R^2}{r},\theta,\phi\right)}

전위 \Phi가 위치 (r_i,\theta_i,\phi_i)에 크기 q_i의 전하 집합으로부터 발생하면, 영상 전위는 위치 (R^2/r_i,\theta_i,\phi_i)에 크기 Rq_i/r_i의 일련의 전하의 결과가 된다. 따라서 전위 \Phi가 전하 밀도 \rho(r,\theta,\phi)에서 발생하면, 영상 전위는 전하 밀도 \rho'(r,\theta,\phi)=(R/r)^5 \rho(R^2 / r,\theta,\phi)의 결과가 된다.

5. 힘과 에너지

영상 전하를 이용하면 원래 전하가 받는 힘과 시스템의 에너지를 계산할 수 있다.

영상법으로 구한 구조에서 전하량 q인 입자가 받는 힘은 다음과 같다.[7]

:\mathbf{F}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{(2d)^2}\mathbf{\hat{z}}

2d만큼 떨어진 두 실제 입자계의 에너지는 다음과 같다.

:W_0=\int^{2d}_{\infty}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int^{2d}_{\infty}\frac{q^2}{r^2}dr=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{2d}

영상 전하-전하 쌍의 에너지는 다음과 같다.

:W=\int^d_{\infty}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int^d_{\infty}\frac{q^2}{(2r)^2}dr=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{4d}

따라서, W=\frac{1}{2}W_0이 성립한다. 이는 W=\frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 d\tau를 고려했을 때, 영상법의 경우 도체 내부에서 전기장이 없으므로 전하-전하 쌍에 비해 에너지가 절반으로 줄어든다는 것을 의미한다.[7]

6. 물리적 해석



영상 전하는 실제로 경계면에 유도되는 전하 분포를 모사하는 가상의 전하이다. 평면 및 선형 유전체 경계면에서 유도되는 전하량을 계산하여 영상 전하의 타당성을 검증할 수 있다.[2]


  • 평면에서의 영상 전하: 도체 평면 위에 전하가 있을 때, 정전기 유도에 의해 도체 표면에 전하가 유도된다. 이때, 평면 반대쪽에 같은 위치에 있지만 부호가 다른 가상 전하를 추가하고 도체 평면을 없애는 방식으로 문제를 단순화할 수 있다. 이 가상 전하를 영상 전하라 한다. 도체 표면에 실제로 유도되는 총 전하량은 영상 전하의 전하량과 크기는 같고 부호는 반대이다.
  • 구면에서의 영상 전하: 반지름 R인 도체 구면 내부에 점전하 q가 구 중심에서 p만큼 떨어진 곳에 있을 때, 구 외부 R^2/p 위치에 가상의 전하 -qR/p를 놓아 문제를 단순화할 수 있다.
  • 선형 유전체 경계면에서의 영상 전하: 유전율 \epsilon_1을 갖는 유전체 내부에 전하량 q인 점전하가 있을 때, 다른 유전율 \epsilon_2를 갖는 경계면에 유도되는 구속 전하를 고려하여 문제를 해결한다. z>0 영역에서의 전위는 z<0 영역에 경계면으로부터 d만큼 위치한 영상 전하 q'를 이용하여 구할 수 있다. 영상 전하는 q'=q''=\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}(\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2})}q와 같이 주어지며, 이를 통해 각 영역에서의 전위를 계산할 수 있다.


각 경우에 구한 전위를 바탕으로 공간에 유도되는 전하를 계산하면, 유도 전하량과 영상 전하의 전하량이 일치한다. 즉, 영상 전하는 실제로 유도되는 전하 분포에서 기인한다고 볼 수 있다.

참조

[1] 서적 Introduction to Electrodynamics (4th ed.) Pearson PLC
[2] 논문
[3] 논문
[4] 서적 Equations of Mathematical Physics https://books.google[...] Dover Publications
[5] 논문
[6] 서적 Equations of Mathematical Physics Dover Publications
[7] 간행물 Subtleties in energy calculations in the image method http://stacks.iop.or[...]


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