라플라스 방정식

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1. 개요

라플라스 방정식은 리만 다양체에서 라플라스-벨트라미 연산자의 2차 편미분 방정식으로, 3차원 유클리드 공간에서는 $\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0$ 의 형태를 갖는다. 이 방정식은 푸아송 방정식과 헬름홀츠 방정식의 특수한 경우이며, 코시-리만 방정식의 해의 실수부와 허수부는 라플라스 방정식을 만족한다. 라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 하며, 디리클레 문제와 노이만 경계 조건과 같은 경계 조건을 가질 수 있다. 2차원 라플라스 방정식은 복소 해석적 함수와 밀접한 관련이 있으며, 3차원 공간에서는 구면 좌표계를 사용하여 일반해를 구할 수 있다. 이 방정식은 유체 역학, 정전기학, 자기학, 중력 등 다양한 분야에 응용된다.

라플라스 방정식

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2. 정의

n차원 리만 다양체에서 $\Delta$ 가 라플라스-벨트라미 연산자일 때, 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.

: $\Delta\phi=0$ .

3차원 유클리드 공간에서는

: $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

이므로, 다음 식이 된다.

: ${\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0$

2.1. 관련된 편미분 방정식

우변을 주어진 함수 $f(x,y,z)$ 로 바꾼 경우
: $\Delta \phi = f$
는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 $f=0$ 인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면
: $\Delta\phi=k^2\phi$
헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 $k^2=0$ 인 경우다.

코시-리만 방정식의 해의 두 성분은 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)
변수의 수는 임의의 유한 개로 확장할 수 있다. n개의 변수를 갖는 함수 φ = φ(x₁, x₂, ..., xₙ)에 대한 편미분 방정식
: ${\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi +{\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi +\cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0$
을 일반적으로 라플라스 방정식이라고 부른다. 마찬가지로 미분 연산자
: $\Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } +{\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }$
를 라플라시안이라고 부른다.
라플라시안의 고윳값은 어떤 함수 $u \ne 0$ 에 대해
: $\triangle u= \lambda u$
를 만족하는 $\lambda$ 이다. 이것은 헬름홀츠 방정식이다.

3. 경계 조건

라플라스 방정식의 디리클레 문제는 어떤 영역 $D$ 의 경계에서 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 $D$ 위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것으로 해석할 수 있다.

노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 $\varphi$ 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 한다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다. 열 방정식의 예에서, 이것은 경계를 통한 열속을 정하는 것과 같다. 특히, 단열 경계에서 $\varphi$ 의 법선 도함수는 0이다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

4. 2차원 라플라스 방정식

2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 독립 변수 $x$ , $y$ 에 대한 2차 편미분 방정식으로, 직교좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

: $\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \equiv \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0.$

라플라스 방정식은 복소해석함수와 밀접한 관련이 있으며, 그 해는 멱급수와 푸리에 급수로 전개될 수 있다. 특히, 극좌표계에서 라플라스 방정식의 일반해는 푸리에 급수 형태로 표현되며, 이는 로랑 급수의 계수와 관련된다.

4.1. 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식

2차원 라플라스 방정식의 차분방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=0$

여기서 $h$ 는 격자 간격(mesh size)을 나타낸다.

푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.

: $u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=h^{2}f\left( x,y \right)$

4.2. 해석적 함수와의 관계

복소 해석 함수 $f$ 의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. z = x + iy이고,
: $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
라 하자. $f(z)$ 가 해석적이려면
: $u_x = v_y, v_x=-u_y$
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
: $(u_y)_y=(-v_x)_y=-(v_y)_x = -(u_x)_x$
이다. 따라서 $u$ 는 라플라스 방정식을 만족한다. $v$ 도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

반대로, 조화 함수가 주어지면, 그것은 해석 함수 $f(z)$ 의 실수부이다(적어도 국소적으로). 만약 시험 형태가
: $f(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y),$
라면, 다음을 설정하면 코시-리만 방정식이 만족될 것이다.
: $\psi_x = -\varphi_y, \quad \psi_y = \varphi_x.$
이 관계는 $\psi$ 를 결정하지 않고, 오직 그 증분만을 결정한다.
: $d \psi = -\varphi_y\, dx + \varphi_x\, dy.$
$\varphi$ 에 대한 라플라스 방정식은 $\psi$ 에 대한 적분 가능 조건을 만족함을 의미한다.
: $\psi_{xy} = \psi_{yx},$
따라서 $\psi$ 는 선적분으로 정의될 수 있다. 적분 가능 조건과 스토크스 정리는 두 점을 연결하는 선적분의 값이 경로에 독립적임을 의미한다. 라플라스 방정식의 결과로 얻어지는 해의 쌍을 켤레 조화 함수라고 한다. 이 구성은 국소적으로만 유효하거나, 경로가 특이점을 감싸지 않는 경우에만 유효하다. 예를 들어, r과 $\theta$ 가 극좌표이고
: $\varphi = \log r,$
이라면, 해당하는 해석 함수는
: $f(z) = \log z = \log r + i\theta.$
이다. 그러나 각도 $\theta$ 는 원점을 포함하지 않는 영역에서만 단일값이다.

라플라스 방정식과 해석 함수 사이의 밀접한 관계는 라플라스 방정식의 모든 해가 모든 차수의 도함수를 가지며, 적어도 특이점을 포함하지 않는 원 안에서는 멱급수로 전개될 수 있음을 의미한다. 이것은 일반적으로 규칙성이 덜한 파동 방정식의 해와는 극명한 대조를 이룬다.

멱급수와 푸리에 급수 사이에는 밀접한 관계가 있다. 반지름 R의 원 안에서 함수 $f$ 를 멱급수로 전개하면, 이는
: $f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n,$
을 의미하며, 여기서 적절히 정의된 계수의 실수부와 허수부는 다음과 같이 주어진다.
: $c_n = a_n + i b_n.$
따라서
: $f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n r^n \cos n \theta - b_n r^n \sin n \theta\right] + i \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n r^n \sin n\theta + b_n r^n \cos n \theta\right],$
는 $f$ 에 대한 푸리에 급수이다. 이러한 삼각 함수는 배각 공식을 사용하여 자체적으로 전개될 수 있다.

4.3. 2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수

극좌표계 $(r,\theta)$ 에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
: $\Delta=r^{-1}\frac\partial{\partial r}r\frac\partial{\partial r}+r^{-2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}$ .

따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
: $\phi(r,\theta)=\sum_{n=-\infty}^\infty\left(a_nr^n\cos n\phi+b_nr^n\sin n\theta\right)$ .

이는 함수 $\phi$ 의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\phi(r,\theta)=\operatorname{Re}\left[\sum_{n=-\infty}^\infty(a_n-ib_n)z^n\right]$ .

즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.

5. 3차원 라플라스 방정식

3차원 공간에서 구면좌표계 $(r, \theta, \phi)$ 를 이용해 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

: $f(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \left(a_l^m r^l + b_l^m r^{-l-1}\right)Y_l^m(\theta,\phi)$ .

여기서 $Y_l^m(\theta,\phi)$ 는 구면 조화 함수이고, $a_l^m$ 와 $b_l^m$ 은 임의의 계수다. $f$ 가 원점에서 연속이려면 $b_l^m=0$ 이어야 한다.

5.1. 여러 좌표계에서의 표현

직교좌표계에서,
:\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } = 0.^영어

원통좌표계에서,
:\nabla^2 f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0.^영어

구면좌표계에서, (r, \theta, \varphi)^영어 규약을 사용하여,
:\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} =0.^영어

보다 일반적으로, 임의의 곡선좌표계에서,
:\nabla^2 f =\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k}g^{kj}\right) + \frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,^영어
또는
:\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{^영어 \frac{\partial}{\partial \xi^i}\!\left(\sqrt

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좌우로 밀어서 보기

g^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right) =0, \qquad (g=\det\{g_{ij}\})}}
여기서는 새로운 좌표에 대한 유클리드 계량 텐서이고 는 그 크리스토펠 기호를 나타낸다.

변수의 수는 임의의 유한 개로 확장할 수 있다. n개의 변수를 갖는 함수 φ = φ(x₁, x₂, ..., xₙ)^영어에 대한 편미분 방정식
:{\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi + {\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi + \cdots + {\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0^영어
을 일반적으로 라플라스 방정식이라고 부른다. 마찬가지로 미분 연산자
: \Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } + {\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots + {\partial^2 \over \partial x_n^2 ^영어}
를 라플라시안이라고 부른다.

5.2. 기본 해

라플라스 방정식의 기본 해는 다음을 만족한다.

: $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = -\delta(x-x',y-y',z-z'),$

여기서 디랙 델타 함수는 점 (x', y', z')에 집중된 단위 원천을 나타낸다. 이러한 성질을 갖는 함수는 없다. 사실 이것은 함수라기보다는 분포이다. 하지만 공간에 대한 적분이 1이고 지지집합(함수가 0이 아닌 영역)이 한 점으로 축소되는 함수들의 극한으로 생각할 수 있다(약해 참조). 기본 해를 정의할 때 일반적으로 사용하는 것과 다른 부호 규칙을 이 방정식에 사용하는 것이 일반적이다. −Δ가 양의 작용소이기 때문에 이러한 부호 선택은 종종 편리하다. 따라서 기본 해의 정의는 u의 라플라시안을 원점을 포함하는 임의의 부피에 대해 적분하면

: $\iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV =-1.$

임을 의미한다.

라플라스 방정식은 좌표의 회전에 대해 불변이며, 따라서 기본 해는 원점으로부터의 거리 r에만 의존하는 해 중에서 얻을 수 있을 것으로 예상할 수 있다. 원점을 중심으로 반지름 a인 구를 부피로 선택하면 가우스의 발산 정리에 의해

: $-1= \iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV = \iint_S \frac{du}{dr} \, dS = \left.4\pi a^2 \frac{du}{dr}\right|_{r=a}.$

이것으로부터 원점을 중심으로 하는 반지름 r의 구 위에서

: $\frac{du}{dr} = -\frac{1}{4\pi r^2},$

이므로

: $u = \frac{1}{4\pi r}.$

임을 알 수 있다. 반대 부호 규칙( 물리학에서 사용됨)을 사용하면 이것은 역제곱 법칙 힘에 대한 점입자가 생성하는 퍼텐셜이며, 푸아송 방정식의 해에서 발생한다. 비슷한 논증으로 2차원에서는

: $u = -\frac{\log(r)}{2\pi}.$

임을 보일 수 있다. 여기서 log(r)는 자연로그를 나타낸다. 반대 부호 규칙을 사용하면 이것은 점과 같은 싱크( 점입자 참조)가 생성하는 퍼텐셜이며, 이것은 2차원 비압축성 흐름에서 오일러 방정식의 해이다.

5.3. 그린 함수

그린 함수는 부피 *V*의 경계 *S*에서 적절한 조건을 만족하는 기본 해이다. 예를 들어,

: $G(x,y,z;x',y',z')$

는 다음을 만족할 수 있다.

: $\nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \qquad V$ 내에서,
: $G = 0 \quad (x,y,z) \qquad S$ 위에서.

이제 *u*가 *V*에서 다음과 같은 푸아송 방정식의 해라면:

: $\nabla \cdot \nabla u = -f,$

그리고 *u*가 *S* 위에서 경계값 *g*를 가진다면, 발산 정리의 결과인 그린 정리를 적용할 수 있다. 그린 정리는 다음과 같이 나타낸다.

: $\iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS. \,$

여기서 *u*_n과 *G*_n은 *S*에서의 법선 도함수를 나타낸다. *u*와 *G*가 만족하는 조건을 고려하면, 이 결과는 다음과 같이 간소화된다.

: $u(x',y',z') = \iiint_V G f \, dV - \iint_S G_n g \, dS. \,$

따라서 그린 함수는 *f*와 *g*의 데이터가 (*x*′, *y*′, *z*′)에 미치는 영향을 설명한다. 반지름 *a*인 구의 내부의 경우, 그린 함수는 반사를 이용하여 얻을 수 있다: 구의 중심으로부터 거리 ρ에 있는 점 P는 그 방사선을 따라 거리

: $\rho' = \frac{a^2}{\rho}. \,$

에 있는 점 P′로 반사된다. P가 구의 내부에 있다면, P′는 구의 외부에 있을 것이다. 그린 함수는 다음과 같이 주어진다.

: $\frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}, \,$

여기서 *R*은 점 P까지의 거리를 나타내고 *R*′는 반사된 점 P′까지의 거리를 나타낸다. 그린 함수에 대한 이 표현식의 결과는 푸아송 적분 공식이다. ρ, θ, φ를 점 P에 대한 구면 좌표라 하자. 여기서 θ는 수직축과의 각도를 나타내는데, 이는 일반적인 미국 수학 표기법과는 반대이지만 표준 유럽 및 물리학 관행과 일치한다. 그러면 구 내부에서 디리클레 경계값 *g*를 갖는 라플라스 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

: $u(P) =\frac{1}{4\pi} a^3\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right) \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{g(\theta',\varphi') \sin \theta'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{\frac{3}{2}}} d\theta' \, d\varphi'$

여기서

: $\cos \Theta = \cos \theta \cos \theta' + \sin\theta \sin\theta'\cos(\varphi -\varphi')$

는 (θ, φ)와 (θ′, φ′) 사이의 각도의 코사인이다. 이 공식의 간단한 결과는 *u*가 조화 함수라면, 구의 중심에서 *u*의 값은 구 위의 값들의 평균값이라는 것이다. 이 평균값 성질은 비상수 조화 함수가 내부 점에서 최댓값을 가질 수 없다는 것을 즉시 의미한다.

6. 라플라스 방정식의 응용

라플라스 방정식은 여러 물리 현상을 설명하는 데 유용하게 사용된다.

* 유체 역학: 2차원 정상 비압축성 비회전 유동에서 유선 함수는 라플라스 방정식을 만족한다. 코시-리만 방정식을 통해 속도 포텐셜과 유선 함수의 관계를 알 수 있으며, 모든 해석 함수는 이러한 유체 흐름에 대응된다.
* 정전기학: 시간에 무관한 2차원 공간의 전기장은 맥스웰 방정식을 따르며, 전기 전위는 푸아송 방정식을 만족한다. 전하가 없는 영역에서는 푸아송 방정식이 라플라스 방정식으로 단순화된다. 전기적 포텐셜은 주어진 경계 조건에서 유일하게 결정된다.
* 자기학: 자유 전류가 없는 경우, 자기 스칼라 포텐셜을 정의할 수 있으며, 이는 자기장과 관련된 방정식을 통해 라플라스 방정식으로 표현될 수 있다. 정전기와 마찬가지로 전하가 없는 영역에서 포아송 방정식은 자기 스칼라 포텐셜에 대한 라플라스 방정식으로 축소된다.
* 중력: 중력장은 중력 포텐셜의 음의 기울기로 표현될 수 있으며, 가우스 중력 법칙을 통해 중력장에 대한 푸아송 방정식을 유도할 수 있다. 진공 상태에서는 이 방정식이 라플라스 방정식으로 단순화된다.
* 슈바르츠실트 계량: 슈바르츠실트 시공간의 라플라스 방정식 해는 구면 조화 함수와 르장드르 함수를 사용하여 표현할 수 있다.

6.1. 유체 역학

수평 및 수직 속도 성분을 각각 u^영어, v^영어라 하자. 2차원 정상 비압축성 비회전 유동의 연속 조건은 다음과 같다.

:u_x + v_y = 0

그리고 유동이 비회전임을 나타내는 조건은 다음과 같다.

:∇ × V = v_x - u_y = 0

함수 ψ^영어의 미분을 다음과 같이 정의하면

:dψ = udy - vdx

연속 조건은 이 미분에 대한 적분 가능 조건이 된다. 이렇게 얻어진 함수를 유선 함수라고 하는데, 이는 유선을 따라 일정하기 때문이다. ψ^영어의 1차 도함수는 다음과 같다.

:ψ_x = -v, ψ_y = u

그리고 비회전 조건은 ψ^영어가 라플라스 방정식을 만족함을 의미한다. ψ^영어와 켤레인 조화 함수 φ^영어를 속도 포텐셜이라고 한다. 코시-리만 방정식은 다음을 의미한다.

:φ_x = ψ_y = u, φ_y = -ψ_x = v

따라서 모든 해석 함수는 평면에서 정상 비압축성 비회전 비점성 유체 흐름에 해당한다. 실수부는 속도 포텐셜이고, 허수부는 유선 함수이다.

6.2. 정전기학

맥스웰 방정식에 따르면, 시간에 무관한 2차원 공간의 전기장 $(u, v)$ 는 다음을 만족한다.

$\nabla \times (u,v,0) = (v_x -u_y)\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{0},$

$\nabla \cdot (u,v) = \rho,$

여기서 $\rho$ 는 전하 밀도이다. 첫 번째 맥스웰 방정식은 미분 방정식

$d \varphi = -u\, dx -v\, dy,$

에 대한 적분 조건이며, 따라서 전기 전위 $\varphi$ 는 다음을 만족하도록 구성될 수 있다.

$\varphi_x = -u, \quad \varphi_y = -v.$

두 번째 맥스웰 방정식은 다음을 의미한다.

$\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = -\rho,$

이는 푸아송 방정식이다. 라플라스 방정식은 2차원과 마찬가지로 정전기학과 유체 흐름에서 3차원 문제에 사용될 수 있다.

전기장을 $\mathbf{E}$ , 전하 밀도를 $\rho$ , 진공의 유전율을 $\varepsilon_0$ 라고 하자. 그러면 미분 형태의 전기에 대한 가우스 법칙(맥스웰 방정식의 첫 번째 방정식)은 다음과 같다.

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.$

이제 전기장은 전기적 포텐셜 $V$ 의 음의 기울기로 표현될 수 있다.

$\mathbf E=-\nabla V,$

단, 전기장이 회전이 없을 경우, 즉 $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$ 일 때 성립한다. $\mathbf{E}$ 의 회전이 없는 성질은 정전기 조건으로도 알려져 있다.

$\nabla\cdot\mathbf E = \nabla\cdot(-\nabla V)=-\nabla^2 V$
$\nabla^2 V = -\nabla\cdot\mathbf E$

이 관계를 가우스 법칙에 대입하면 전기에 대한 포아송 방정식을 얻는다.

$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.$

전하가 없는 영역( $\rho = 0$ )의 특수한 경우에는 포아송 방정식은 전기적 포텐셜에 대한 라플라스 방정식으로 축소된다.

정전기적 포텐셜 $V$ 가 영역 $\mathcal{R}$ 의 경계에서 지정되면, 그 값은 유일하게 결정된다. 만약 $\mathcal{R}$ 가 지정된 전하 밀도 $\rho$ 를 가진 도체 물질로 둘러싸여 있고, 총 전하 $Q$ 가 알려져 있다면, $V$ 역시 유일하다.

6.3. 자기학

자유 전류가 없는 경우, 자기장 $\mathbf{H}$ 는 다음과 같이 표현된다.

$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{0}.$

따라서 자기 스칼라 포텐셜 $\psi$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\mathbf{H} = -\nabla\psi.$

$\mathbf{H}$ 의 정의를 이용하면,

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \mu_{0}\nabla\cdot\left(\mathbf{H} + \mathbf{M}\right) = 0,$

이므로, 다음을 얻는다.

$\nabla^2 \psi = -\nabla\cdot\mathbf{H} = \nabla\cdot\mathbf{M}.$

정전기와 유사하게, 전하가 없는 영역( $\mathbf{M} = 0$ )에서 포아송 방정식은 자기 스칼라 포텐셜에 대한 라플라스 방정식으로 축소된다.

$\nabla^2 \psi = 0$

라플라스 방정식과 경계 조건을 만족시키지 않는 포텐셜은 유효하지 않은 정전기 또는 자기 스칼라 포텐셜이다.

6.4. 중력

g를 중력장, ρ를 질량 밀도, G를 중력 상수라고 할 때, 미분 형태의 가우스 중력 법칙은 다음과 같다.

: $\nabla\cdot\mathbf g=-4\pi G\rho.$

중력장은 보존장이므로 중력 포텐셜의 음의 기울기로 표현할 수 있다.

: $\begin{align}\mathbf g &= -\nabla V, \\\nabla\cdot\mathbf g &= \nabla\cdot(-\nabla V) = -\nabla^2 V, \\\implies\nabla^2 V &= -\nabla\cdot\mathbf g.\end{align}$

가우스 중력 법칙의 미분 형태를 사용하면 다음과 같다.

: $\nabla^2 V = 4\pi G\rho,$

이는 중력장에 대한 푸아송 방정식이다.

진공 상태에서는 ρ = 0 이므로, 다음을 얻는다.

: $\nabla^2 V = 0,$

이는 중력장에 대한 라플라스 방정식이다.

6.5. 슈바르츠실트 계량

S. Persides는 일정한 의 초곡면 상에서 슈바르츠실트 시공간의 라플라스 방정식을 풀었다. 정준 변수 , , 를 사용하면 해는 다음과 같다.

:

여기서 는 구면 조화 함수이고,

:

여기서 과 은 각각 제1종과 제2종 르장드르 함수이고, 는 슈바르츠실트 반지름이다. 매개변수 은 임의의 음이 아닌 정수이다.

7. 일반화

변수의 수는 임의의 유한 개로 확장할 수 있다. n개의 변수를 갖는 함수 φ = φ(x₁, x₂, ..., xₙ)에 대한 편미분 방정식

: ${\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi +{\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi +\cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0$

을 일반적으로 라플라스 방정식이라고 부른다. 마찬가지로 미분 연산자

: $\Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } +{\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }$

를 라플라시안이라고 부른다.

라플라시안의 고윳값은 어떤 함수 u ≠ 0에 대해

: $\triangle u= \lambda u$

를 만족하는 λ이다. 이것은 헬름홀츠 방정식이다.

8. 고유값 문제

라플라시안의 고유값은 어떤 함수 u ≠ 0 에 대해
: $\triangle u= \lambda u$
를 만족하는 λ이다. 이것은 헬름홀츠 방정식이다.