정전기학

2.3. 가우스 법칙

가우스 법칙은 "전기장 내에서 임의의 모양으로 그려진 자유 공간 내의 임의의 닫힌 표면을 통과하는 총 전기 선속은 표면에 의해 둘러싸인 총 전하에 비례한다"고 명시하고 있다. 많은 수치 문제는 물체 주변의 가우스 표면을 고려하여 해결할 수 있다.

수학적으로 가우스 법칙은 적분 방정식의 형태를 취한다.

:$\backslash Phi\_E\; =\; \backslash oint\_S\backslash mathbf\; E\backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\; A\; =\; \{Q\_\backslash text\{enclosed\}\backslash over\backslash varepsilon\_0\}\; =\; \backslash int\_V\{\backslash rho\backslash over\backslash varepsilon\_0\}\backslash mathrm\{d\}^3\; r,$

여기서 $\backslash mathrm\{d\}^3\; r\; =\backslash mathrm\{d\}x\; \backslash \; \backslash mathrm\{d\}y\; \backslash \; \backslash mathrm\{d\}z$는 부피 요소이다. 전하가 표면에 분포되거나 선을 따라 분포된 경우 $\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}^3r$을 $\backslash sigma\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}A$ 또는 $\backslash lambda\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ell$로 바꾼다. 발산 정리를 사용하면 가우스 법칙을 미분 형태로 작성할 수 있다.

:$\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\; E\; =\; \{\backslash rho\backslash over\backslash varepsilon\_0\}.$

여기서 $\backslash nabla\; \backslash cdot$는 발산 연산자이다.

가우스 법칙은 폐곡면을 관통하는 모든 전속은 폐곡면 내부의 모든 전하에 비례한다는 법칙이며, 이때의 비례 상수는 진공 유전율이라고 한다.

수학적으로 가우스 법칙은 적분을 사용한 식(가우스 법칙의 적분형)으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash oint\_S\backslash varepsilon\_0\backslash vec\{E\}\; \backslash cdot\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\{A\}\; =\; \backslash int\_V\backslash rho\backslash cdot\backslash mathrm\{d\}V$

또는 미분을 사용한 식(가우스 법칙의 미분형)으로도 나타낼 수 있다.

:$\backslash vec\{\backslash nabla\}\backslash cdot\backslash varepsilon\_0\backslash vec\{E\}\; =\; \backslash rho$

여기서 $\backslash vec\{\backslash nabla\}\backslash cdot$은 발산을 나타낸다.

2.4. 푸아송 방정식

정전기적 전위는 가우스 법칙의 미분 형태와 결합되어 전위 Φ와 전하 밀도 ρ 사이의 관계를 제공한다.

:$\{\backslash nabla\}^2\; \backslash phi\; =\; -\; \{\backslash rho\backslash over\backslash varepsilon\_0\}.$

이 관계는 푸아송 방정식의 한 형태이다. 전하가 없는 경우, 방정식은 라플라스 방정식이 된다.

:$\{\backslash nabla\}^2\; \backslash phi\; =\; 0,$

2.5. 라플라스 방정식

정전기적 전위의 정의는 가우스 법칙의 미분 형태와 결합되어 전위 Φ와 전하 밀도 ρ 사이의 관계를 제공한다.

:$\{\backslash nabla\}^2\; \backslash phi\; =\; -\; \{\backslash rho\backslash over\backslash varepsilon\_0\}.$

이 관계는 푸아송 방정식의 한 형태이다. 전하가 없는 경우, 방정식은 라플라스 방정식이 된다.

:$\{\backslash nabla\}^2\; \backslash phi\; =\; 0$

3. 정전기학의 기술

3.1. 전위

전기장 E는 전위 V와 다음의 관계를 갖는다.
:$\backslash vec\{E\}\; =\; -\; \backslash vec\{\backslash nabla\}V\; =\; \backslash frac\{kQ\}\{r\}$
전기장은 비회전성이므로, 구배라고 불리는 스칼라 함수의 구배로 표현될 수 있으며, 이를 정전기적 위치 에너지(또는 전압)라고 한다. 전기장 $\backslash mathbf\; E$는 고전위 영역에서 저전위 영역으로 향하며, 수학적으로 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash mathbf\; E\; =\; -\backslash nabla\backslash phi.$
구배 정리를 사용하여 정전기적 위치 에너지는 전하를 점 $a$에서 점 $b$로 이동시키는 데 필요한 단위 전하당 일의 양임을 다음과 같은 선적분으로 나타낼 수 있다.
:$-\backslash int\_a^b\; \{\backslash mathbf\; E\backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\; \backslash ell\}\; =\; \backslash phi\; (\backslash mathbf\; b)\; -\backslash phi(\backslash mathbf\; a).$
이러한 방정식으로부터, 전기장이 사라지는 모든 영역 (예: 도체 내부)에서 전기적 위치 에너지가 일정하다는 것을 알 수 있다.

전기장은 소용돌이가 없으므로 전기장을 스칼라 함수의 기울기로 표현할 수 있다. 이 스칼라 함수를 정전 포텐셜 (또는 전위)이라고 부른다. 어떤 지점에서의 정전 포텐셜은 무한대에서 그 지점까지 단위 전하를 이동시키는 데 필요한 일의 양으로 정의할 수 있다.

3.2. 정전기 에너지

시험 입자의 위치 에너지, $U\_\backslash mathrm\{E\}^\{\backslash text\{single\}\}$는 일의 선적분, $q\_n\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathrm\; d\backslash mathbf\backslash ell$으로부터 계산될 수 있다. 무한대 지점으로부터 적분하며, 전하 $Q\_n$을 가진 $N$개의 입자들이 이미 $\backslash mathbf\; r\_i$ 지점에 위치해 있다고 가정한다. 이 위치 에너지(단위: 줄)는 다음과 같다.
: $U\_\backslash mathrm\{E\}^\{\backslash text\{single\}\}=q\backslash phi(\backslash mathbf\; r)=\backslash frac\{q\; \}\{4\backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash frac\{Q\_i\}\{\backslash left\; \backslash |\backslash mathcal\{\backslash mathbf\; R\_i\}\; \backslash right\; \backslash |\}$
여기서 $\backslash mathbf\backslash mathcal\; \{R\_i\}\; =\; \backslash mathbf\; r\; -\; \backslash mathbf\; r\_i$는 점 $\backslash mathbf\; r$에 위치한 시험 전하 $q$로부터 각 전하 $Q\_i$까지의 거리이며, $\backslash phi(\backslash mathbf\; r)$는 시험 전하가 없을 때 $\backslash mathbf\; r$ 지점에서 측정될 전기 전위이다. 단 두 개의 전하만 존재할 경우 위치 에너지는 $Q\_1\; Q\_2/(4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\; r)$이다. N개의 전하 모음에 의한 전체 전기 위치 에너지는 이러한 입자들을 하나씩 조립하여 계산한다.
: $U\_\backslash mathrm\{E\}^\{\backslash text\{total\}\}\; =\; \backslash frac\{1\; \}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\; \_0\}\backslash sum\_\{j=1\}^N\; Q\_j\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{j-1\}\; \backslash frac\{Q\_i\}\{r\_\{ij\}\}=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; Q\_i\backslash phi\_i\; ,$
여기서 j = 1부터 N까지의 다음 합은 i = j를 제외한다.
: $\backslash phi\_i\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\; \backslash varepsilon\; \_0\}\; \backslash sum\_\{\backslash stackrel\{j=1\}\{j\; \backslash ne\; i\}\}^N\; \backslash frac\{Q\_j\}\{r\_\{ij\}\}.$

이 전기 전위 $\backslash phi\_i$는 전하 $Q\_i$가 없었을 경우 $\backslash mathbf\; r\_i$에서 측정될 것이다. 이 공식은 각 점 전하를 분산된 전하 구름으로부터 조립하는 데 필요한 (무한대) 에너지를 분명히 제외한다. 전하에 대한 합은 $\backslash sum\; (\backslash cdots)\; \backslash rightarrow\; \backslash int(\backslash cdots)\backslash rho\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d^3r$ 처방을 사용하여 전하 밀도에 대한 적분으로 변환될 수 있다.
: $U\_\backslash mathrm\{E\}^\{\backslash text\{total\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\backslash rho(\backslash mathbf\; r)\backslash phi(\backslash mathbf\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^3\; r\; =\; \backslash frac\{\backslash varepsilon\_0\; \}\{2\}\; \backslash int\; \backslash left|\{\backslash mathbf\{E\}\}\backslash right|^2\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^3\; r,$

정전기 에너지에 대한 이 두 번째 표현은 전기장이 전기 전위의 음의 경사라는 사실과 벡터 미적분 항등식을 부분 적분과 유사한 방식으로 사용한다. 정전기장 에너지에 대한 이 두 개의 적분은 정전기 에너지 밀도에 대한 두 개의 상호 배타적인 공식을 나타내는 것처럼 보인다. 즉, $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash rho\backslash phi$와 $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon\_0\; E^2$이며, 둘 다 모든 공간에 대해 적분될 경우에만 전체 정전기 에너지에 대해 동일한 값을 생성한다.

3.3. 정전기 압력

도체 표면 전하는 전기장이 존재할 때 힘을 경험한다. 이 힘은 표면 전하에서의 불연속적인 전기장의 평균이다. 표면 바로 바깥의 장을 기준으로 한 이 평균은 다음과 같다.

:$P\; =\; \backslash frac\{\backslash varepsilon\_0\}\{2\}\; E^2,$

이 압력은 표면 전하의 부호에 관계없이 도체를 장 안으로 끌어당기는 경향이 있다.

4. 정전기 근사

정전기 근사의 타당성은 전기장이 비회전이라는 가정에 달려 있다.

:$\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\; E\; =\; 0.$

패러데이의 법칙으로부터, 이 가정은 시간 변화 자기장의 부재 또는 거의 부재를 의미한다.

:$\{\backslash partial\backslash mathbf\; B\backslash over\backslash partial\; t\}\; =\; 0.$

다시 말해, 정전기학은 자기장이나 전류의 부재를 필요로 하지는 않는다. 오히려 자기장이나 전류가 실제로 존재한다면, 시간과 함께 변하지 않거나, 최악의 경우, 시간과 함께 매우 천천히 변해야 한다. 어떤 문제에서는 정확한 예측을 위해 정전기학과 정자기학이 모두 필요할 수 있지만, 둘 사이의 결합은 여전히 무시할 수 있다. 정전기학과 정자기학은 모두 전자기학의 비상대론적 갈릴레이 극한으로 볼 수 있다. 또한, 일반적인 정전기학은 완전한 설명을 위해 추가해야 하는 양자 효과를 무시한다.

5. 정전기 유도

정전기 유도와 유전 분극 문서도 참고하라.

전하 유도는 음전하를 띤 물체가 다른 물체의 표면에서 전자를 반발시킴으로써 일어난다. 이로 인해 다른 물체의 표면 근처 영역은 양전하를 띠게 되고, 물체 사이에는 인력이 작용한다. 예를 들어, 고무 풍선을 문지르면 고무 풍선은 벽에 달라붙는다. 이는 음전하를 띤 고무 풍선을 벽에 가까이 가져가면 벽 표면 근처의 전자가 반발하고, 벽 표면 근처가 양전하를 띠게 되므로 벽과 고무 풍선 사이에는 인력이 생기기 때문이다.

5.1. 전하 유도

전하 유도는 음전하를 띤 물체가 다른 물체의 표면에서 전자를 반발시킴으로써 일어난다. 이로 인해 다른 물체의 표면 근처 영역은 양전하를 띠게 되고, 물체 사이에는 인력이 작용한다. 예를 들어, 고무 풍선을 문지르면 고무 풍선은 벽에 달라붙는다. 이는 음전하를 띤 고무 풍선을 벽에 가까이 가져가면 벽 표면 근처의 전자가 반발하고, 벽 표면 근처가 양전하를 띠게 되므로 벽과 고무 풍선 사이에는 인력이 생기기 때문이다.

5.2. 유전 분극

6. 대전 현상

마찰 대전은 접촉 대전의 하나로, 서로 다른 물질을 접촉시킨 후 분리하면 대전되는 현상이다. 물체의 한쪽은 양전하를 띠고, 다른 한쪽은 같은 양의 음전하를 띤다. 띠는 전하의 양과 음의 정도는 재질, 표면의 거칠기, 온도, 뒤틀림 등의 특성에 따라 다르다. 예를 들어 호박은 양모와 같은 소재로 문지르면 대전된다. 이 특성은 탈레스에 의해 기록된 것이 가장 오래되었으며, 사람에 의해 조사된 최초의 전기 현상이다. 그 외에 유리와 비단, 경질 고무와 모피의 조합 등이 강하게 대전되는 물질의 조합 예시이다.

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8.1. 정전기

정전기는 표면 스핀으로 도체 내부 전류, 외부에서 비스듬히 입사한 광, 그리고 다른 물체로 문지름 등에 의해 발생한다.

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1832년 마이클 패러데이가 전기의 정체에 대한 실험 결과를 발표하기 전까지, 물리학자들은 정전기가 다른 종류의 전하와는 뭔가 다르다고 생각했다. 마이클 패러데이는 자석에 의한 유도 전류, 전지에 의한 볼타 전지(볼타 전지에 의한 두 종류 금속과 전해액의 반응으로 생기는 직류 전류), 그리고 정전기가 모두 같은 현상임을 증명했다.

정전기는 일반적으로 한 물질을 다른 물질과 마찰시킴으로써 발생한다. 예를 들어 플라스틱과 양모, 신발 굽과 카펫 등이 있다. 이러한 대전은 한쪽 표면의 전자가 다른 표면으로 끌려가 이동하면서 발생한다.

정전기의 방전은 전자에 의해 음전하를 띤 물질이 양전하를 띤 도체와 접촉할 때 또는 그 반대의 경우에 발생한다.

정전기는 제록그래피(en), 에어 필터, 자동차 도장 등에 널리 사용된다. 작은 전자 부품 등은 정전기에 의해 고장나기 쉽다. 따라서 부품 제조업체 등에서는 대전 방지 장치 등을 사용하여 정전기에 의한 고장을 방지하고 있다.

8.2. 유동 대전

9. 정전기 응용

표면 전하가 균형을 이루지 못하면 물체는 인력 또는 반발력을 나타낸다. 접촉 대전이나 마찰 대전의 원리에 따라, 두 개의 다른 표면을 접촉시킨 후 떼어내면 이 표면 전하의 불균형이 일어나 정전기가 발생한다. 두 개의 부도체를 문지르면 강한 정전기가 발생하는데, 이는 단순히 마찰에 의한 효과뿐만 아니라, 마찰이 없더라도 한쪽 절연체를 다른 부도체 위에 올려놓기만 해도 대전이 일어난다. 하지만 대부분의 표면은 거친 구조를 가지고 있어, 접촉만으로는 마찰보다 대전하는 데 시간이 오래 걸린다. 마찰은 물체의 표면끼리의 접촉을 증가시키는 효과가 있다. 절연체는 전기를 전달하지 않는 성질이 있어, 표면 전하를 생성하고 축적하는 데 적합하다. 고무, 플라스틱, 유리, 식물의 수 (pith) 등이 그 예시이다. 도체는 금속 표면이 액체나 고체의 부도체와 접촉하는 등, 극히 제한적인 경우에만 표면 전하의 불균형을 만들어낸다. 접촉 대전으로 이동한 전하는 각 물체의 표면에 축적된다. 정전기 발전기는 이 원리를 이용하여 고전압·저전류를 만들어내는 장치로, 교실에서의 물리 실험 등에 사용된다.

전류가 있더라도 정전기력이나 방전, 코로나 방전 및 다른 현상이 일어나지 않는 것은 아니다. 두 현상이 같은 계에서 동시에 발생할 수 있다.

정전 유도의 원리는 오랫동안 산업 분야에 응용되어 왔으며, 경제적인 산업용 정전 도장 시스템에서 시작되었다. 자동차, 자전거 등의 에나멜 도장 및 폴리우레탄 도장 등에도 사용되고 있다.

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13. 정전기와 화학 공업

화학 공업에서 인화성 물질을 취급할 때 정전기는 폭발성 혼합물에 점화하여 심각한 재해를 일으킬 수 있다. 서로 다른 소재를 붙였다 떼거나, 전기 전도율이 낮은 유체가 파이프라인을 흐를 때 유동 대전 현상으로 정전기가 발생할 수 있다.

전기 전도율이 높은(50 피코지멘스 매 미터 [pS/m] 이상) 유체에서는 전하가 분리되어도 곧 재결합되지만, 절연 유체에서는 정체에 의한 완화 시간(RC 회로의 시간 상수와 유사) 동안 전하가 축적될 수 있다. 탄화수소 유체의 경우 완화 시간은 대략 18을 전기 전도율로 나눈 값으로, 전하가 거의 완전히 방출되는 데는 완화 시간의 4~5배가 소요된다.

전하 생성은 유체 속도가 빠르거나 파이프 직경이 클수록 증가하며, 특히 20 cm 이상의 파이프에서는 현저하게 커진다. 따라서 유체 속도 제한이 전하 생성을 제어하는 가장 효과적인 방법이다. 영국 규격(BS PD CLC/TR 50404:2003)에서는 속도 제한을 규정하고 있으며, 특히 물을 포함하는 탄화수소의 경우 제한 속도를 1 m/s로 권장한다.

전하 축적을 방지하기 위해 접합과 접지를 실시하지만, 전기 전도율이 10 pS/m 이하인 유체에서는 이것만으로는 불충분하여 추가적인 정전기 방지 대책이 필요하다.

정전기 안전 관련 규격은 다음과 같다:

* BS PD CLC/TR 50404:2003 Code of Practice for Control of Undesirable Static Electricity
* NFPA 77 (2007) Recommended Practice on Static Electricity
* API RP 2003 (1998) Protection Against Ignitions Arising Out of Static, Lightning, and Stray Currents