완전 미분 방정식

1. 개요

완전 미분 방정식은 미분 방정식의 한 유형으로, 특정 조건을 만족할 때 해를 구할 수 있다. 1차 완전 미분 방정식은 $M(x,\; y)dx\; +\; N(x,\; y)dy\; =\; 0$ 형태이며, $M\_y\; =\; N\_x$ 조건을 만족할 때 완전 미분 방정식이 된다. 2차 및 고차 미분 방정식으로 확장될 수 있으며, 각 차수에 따라 판별 조건과 해법이 존재한다. 완전 미분 방정식은 다양한 공학 및 과학 분야에서 응용된다.

2. 정의

$u(x,y)$가 연속인 편도함수를 가질 때, 단순 연결된 열린 집합에서 정의된 음함수 1차 상미분 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$I(x,\; y)\backslash ,\; dx\; +\; J(x,\; y)\backslash ,\; dy\; =\; 0,$

이 방정식은 다음과 같은 조건을 만족하는 연속 미분 가능 함수 F(포텐셜 함수)가 존재하면 완전 미분 방정식이라고 한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; I$
:$\backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; J.$

완전 방정식은 다음과 같은 형태로도 나타낼 수 있다.

:$I(x,\; y)\; +\; J(x,\; y)\; \backslash ,\; y\text{'}(x)\; =\; 0$

"완전 미분 방정식"이라는 명칭은 어떤 함수 $F(x\_0,\; x\_1,...,x\_\{n-1\},x\_n)$의 전미분에서 유래한다. $x\_0$에 대한 전미분은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash frac\{dF\}\{dx\_0\}=\backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\_0\}+\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash frac\{dx\_i\}\{dx\_0\}.$

2.1. 1차 완전 미분 방정식

$u(x,y)$가 연속인 편도함수를 가질 때 u의 미분은 다음과 같다.

:$du=\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}dx+\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}dy$

$u(x,y)\; =\; const.$일 때, $du=0$이므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

위의 식이 완전미분방정식이다.

예를 들어 함수 $F:\backslash mathbb\{R\}^\{2\}\backslash to\backslash mathbb\{R\}$가 다음과 같이 주어진다고 하자.

:$F(x,y)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(x^2\; +\; y^2)+c$

이 함수는 미분 방정식

:$x\backslash ,dx\; +\; y\backslash ,dy\; =\; 0.\backslash ,$

에 대한 스칼라 퍼텐셜이다.

2.1.1. 1차 완전 미분 방정식의 판별

$u(x,y)$가 연속인 편도함수를 가질 때 u의 미분은 다음과 같다.

:$du=\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}dx+\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}dy$

$u(x,\; y)\; =\; const.$일 때, $du\; =\; 0$이므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$M(x,\; y)dx\; +\; N(x,\; y)dy\; =\; 0$

위의 식이 완전미분방정식이다. 함수 $M$, $N$, $M\_y$, $N\_x$가 주어지고, 아래 첨자는 상대 변수에 대한 편미분을 나타내며, 영역 에서 연속이라고 하자. 그러면 미분 방정식

:$M(x,\; y)\; +\; N(x,\; y)\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; 0$

은 다음 조건이 만족될 때, 완전 미분 방정식이 된다.

:$M\_y(x,\; y)\; =\; N\_x(x,\; y)$

즉, 'potential function'이라고 불리는 함수 $\backslash psi(x,\; y)$가 존재하여 다음을 만족한다.

:$\backslash psi\_x(x,\; y)\; =\; M(x,\; y)$ and $\backslash psi\_y(x,\; y)\; =\; N(x,\; y)$

따라서 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$
M_y(x, y) = N_x(x, y) \iff
\begin{cases}
\exists \psi(x, y)\\
\psi_x(x, y) = M(x, y)\\
\psi_y(x, y) = N(x, y)
\end{cases}

2.1.2. 1차 완전 미분 방정식의 해법

$u(x,y)$가 연속인 편도함수를 가질 때 u의 미분은 다음과 같다.

:$du=\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}dx+\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}dy$

$u(x,y)\; =\; const.$일 때, $du=0$이므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

위의 식이 완전미분방정식이다.

$\backslash psi(x,y)$라는 함수가 존재하여 $\backslash psi\_x(x,\; y)\; =\; M(x,\; y)$ 이고 $\backslash psi\_y(x,\; y)\; =\; N(x,\; y)$라고 가정하면, $M\_y(x,\; y)\; =\; \backslash psi\_\{xy\}(x,\; y)$ 이고 $N\_x(x,\; y)\; =\; \backslash psi\_\{yx\}(x,\; y)$가 성립한다.

$M\_y$와 $N\_x$가 연속이므로, $\backslash psi\_\{xy\}$와 $\backslash psi\_\{yx\}$ 또한 연속이며, 이는 그들의 등식을 보장한다.

$M\_y(x,\; y)\; =\; N\_x(x,\; y)$이고, 다음을 만족하는 함수 $\backslash psi(x,\; y)$가 존재한다고 가정하자.

:$\backslash psi\_x(x,\; y)\; =\; M(x,\; y)$ 이고 $\backslash psi\_y(x,\; y)\; =\; N(x,\; y)$

먼저 첫 번째 방정식을 $x$에 대해 적분한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x\}(x,\; y)\; =\; M(x,\; y)$
:$\backslash psi(x,\; y)\; =\; \backslash int\; M(x,\; y)\; \backslash ,\; dx\; +\; h(y)$
:$\backslash psi(x,\; y)\; =\; Q(x,\; y)\; +\; h(y)$

여기서 $Q(x,\; y)$는 $Q\_x\; =\; M$을 만족하는 임의의 미분 가능한 함수이다. 함수 $h(y)$는 적분 상수의 역할을 하지만, 단순히 상수일 뿐만 아니라 $y$의 함수인데, $M$이 $x$와 $y$ 모두의 함수이고 $x$에 대해서만 적분하고 있기 때문이다.

$\backslash psi\_y\; =\; N$을 만족하는 $h(y)$를 항상 찾을 수 있음을 보이려면 다음과 같다.

:$\backslash psi(x,\; y)\; =\; Q(x,\; y)\; +\; h(y)$

양변을 $y$에 대해 미분한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; Q\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)\; +\; h\text{'}(y)$

결과를 $N$과 같게 설정하고 $h\text{'}(y)$에 대해 푼다.

:$h\text{'}(y)\; =\; N(x,\; y)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; Q\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)$

이 방정식에서 $h\text{'}(y)$를 결정하려면 우변이 $y$에만 의존해야 한다. 이는 $x$에 대한 미분이 항상 0임을 보여줌으로써 증명할 수 있으며, 따라서 우변을 $x$에 대해 미분한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; N\}\{\backslash partial\; x\}(x,\; y)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\backslash frac\{\backslash partial\; Q\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)\; \backslash iff\; \backslash frac\{\backslash partial\; N\}\{\backslash partial\; x\}(x,\; y)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}\backslash frac\{\backslash partial\; Q\}\{\backslash partial\; x\}(x,\; y)$

$Q\_x\; =\; M$이므로,

:$\backslash frac\{\backslash partial\; N\}\{\backslash partial\; x\}(x,\; y)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; M\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)$

이것은 $M\_y(x,\; y)\; =\; N\_x(x,\; y)$라는 초기 가정에 따라 0이다.

따라서,

:$h\text{'}(y)\; =\; N(x,\; y)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; Q\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)$
:$h(y)\; =\; \backslash int\{\backslash left(N(x,\; y)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; Q\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)\backslash right)\; dy\}$
:$\backslash psi(x,\; y)\; =\; Q(x,\; y)\; +\; \backslash int\; \backslash left(N(x,\; y)\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; Q\}\{\backslash partial\; y\}(x,\; y)\backslash right)\; \backslash ,\; dy\; +\; C$

다음과 같은 형태의 일계 완전 미분 방정식

:$M(x,\; y)\; +\; N(x,\; y)\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; 0$

는 잠재 함수 $\backslash psi(x,\; y)$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; y\}\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; 0$

여기서

:$$
\begin{cases}
\psi_x(x, y) = M(x, y)\\
\psi_y(x, y) = N(x, y)
\end{cases}


이는 $\backslash psi(x,y)$의 전미분을 구하는 것과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; y\}\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; 0\; \backslash iff\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash psi(x,\; y(x))\; =\; 0$

따라서 완전 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

:$\backslash psi(x,\; y(x))\; =\; c$

그리고 문제는 $\backslash psi(x,\; y)$를 찾는 것으로 축소된다.

$M(x,\; y)\; \backslash ,\; dx$와 $N(x,\; y)\; \backslash ,\; dy$를 적분한 다음, 결과 식에서 각 항을 한 번만 쓰고 모두 더하여 $\backslash psi(x,\; y)$를 구할 수 있다.

:$$
\begin{cases}
\psi_x(x, y) = M(x, y)\\
\psi_y(x, y) = N(x, y)
\end{cases}


양변을 적분하면

:$$
\begin{cases}
\psi(x, y) = \int M(x, y) \, dx + h(y) = Q(x, y) + h(y)\\
\psi(x, y) = \int N(x, y) \, dy + g(x) = P(x, y) + g(x)
\end{cases}


따라서

:$Q(x,\; y)\; +\; h(y)\; =\; P(x,\; y)\; +\; g(x)$

여기서 $Q(x,\; y)$와 $P(x,\; y)$는 $Q\_x\; =\; M$이고 $P\_y\; =\; N$인 미분 가능한 함수이다.

양변이 정확히 같은 식 $\backslash psi(x,\; y)$가 되게 하려면, $h(y)$는 $P(x,\; y)$의 식에 포함되어야 한다. 왜냐하면 $g(x)$에는 포함될 수 없기 때문이다. $g(x)$는 전적으로 $y$의 함수이고 $x$의 함수가 아니므로 $x$와 관련될 수 없다. 유사하게, $g(x)$는 $Q(x,\; y)$의 식에 포함되어야 한다.

따라서,

:$Q(x,\; y)\; =\; g(x)\; +\; f(x,\; y)$ 이고 $P(x,\; y)\; =\; h(y)\; +\; d(x,\; y)$

어떤 식 $f(x,\; y)$ 및 $d(x,\; y)$에 대해 위 식에 대입하면 다음과 같다.

:$g(x)\; +\; f(x,\; y)\; +\; h(y)\; =\; h(y)\; +\; d(x,\; y)\; +\; g(x)\; \backslash Rightarrow\; f(x,\; y)\; =\; d(x,\; y)$

따라서 $f(x,\; y)$와 $d(x,\; y)$는 같은 함수이다.

:$Q(x,\; y)\; =\; g(x)\; +\; f(x,\; y)$ 이고 $P(x,\; y)\; =\; h(y)\; +\; f(x,\; y)$

:$$
\begin{cases}
\psi(x, y) = Q(x, y) + h(y)\\
\psi(x, y) = P(x, y) + g(x)
\end{cases}


이므로,

:$\backslash psi(x,\; y)\; =\; g(x)\; +\; f(x,\; y)\; +\; h(y)$

따라서, $\backslash int\; M(x,y)\; \backslash ,\; dx$ 와 $\backslash int\; N(x,\; y)\; \backslash ,\; dy$를 수행한 다음 두 결과 식에서 공통 항(즉 $f(x,\; y)$)을 가져오고, 마지막으로 둘 중 하나에서 고유하게 발견되는 항($g(x)$와 $h(y)$)을 추가하여 $\backslash psi(x,\; y)$를 구성할 수 있다.

2.2. 2차 완전 미분 방정식

2차 완전 미분 방정식은 1차 완전 미분 방정식의 개념을 확장한 것이다. 2차 미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

:$f(x,y)+g\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)\{dy\; \backslash over\; dx\}+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\; (J(x,y))=0$

2차 완전 미분 방정식은 주어진 식을 1차 완전 미분 방정식 형태로 변환하여 해를 구할 수 있으며, 이때 해에는 2개의 임의 상수가 포함된다.

2.2.1. 2차 완전 미분 방정식의 판별

정확한 미분 방정식의 개념은 2차 방정식으로 확장될 수 있다.

1차 정확 방정식을 생각해보자.

:$I(x,y)+J(x,y)\{dy\; \backslash over\; dx\}=0$

두 함수 $I(x,y)$, $J(x,y)$는 모두 두 변수의 함수이므로, 다변수 함수를 암묵적으로 미분하면 다음과 같다.

:$\{dI\; \backslash over\; dx\}\; +\backslash left(\{\; dJ\backslash over\; dx\}\backslash right)\{dy\; \backslash over\; dx\}+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\; (J(x,y))=0$

전체 도함수를 확장하면 다음과 같다.

:$\{dI\; \backslash over\; dx\}=\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; x\}+\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}$

:$\{dJ\; \backslash over\; dx\}=\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}$

$\{dy\; \backslash over\; dx\}$ 항을 결합하면 다음과 같다.

:$\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; x\}+\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\; (J(x,y))=0$

방정식이 정확하다면, $\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}=\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}$이다. 또한, $J(x,y)$의 전체 도함수는 암묵적 보통 도함수 $\{dJ\; \backslash over\; dx\}$와 같다. 이는 다음과 같이 재작성된 방정식으로 이어진다.

:$\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; x\}+\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}+\{dJ\; \backslash over\; dx\}\backslash right)+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\; (J(x,y))=0$

이제 다음과 같은 2차 미분 방정식이 있다고 하자.

:$f(x,y)+g\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)\{dy\; \backslash over\; dx\}+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\; (J(x,y))=0$

정확한 미분 방정식의 경우, $\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}=\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}$이면 다음과 같다.

:$\backslash int\; \backslash left(\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\backslash right)\; \backslash ,\; dy=\backslash int\; \backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)\; \backslash ,\; dy$

:$\backslash int\; \backslash left(\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\backslash right)\; \backslash ,\; dy=\backslash int\; \backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)\; \backslash ,\; dy=I(x,y)-h(x)$

여기서 $h(x)$는 $I(x,y)$를 $y$에 대해 편미분할 때 0으로 미분된 $x$만의 임의의 함수이다. 적분 결과가 부분적으로 0으로 미분된 원래의 함수 $h(x)$가 누락된 $I(x,y)$로 생각하는 것이 더 직관적이다.

만약

:$\{dI\backslash over\; dx\}=\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; x\}+\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}$

이면, 항 $\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; x\}$는 $x$와 $y$만의 함수여야 한다. 왜냐하면 $x$에 대한 편미분은 $y$를 상수로 유지하고 $y$의 도함수를 생성하지 않기 때문이다. 2차 방정식에서

:$f(x,y)+g\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)\{dy\; \backslash over\; dx\}+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\; (J(x,y))=0$

항 $f(x,y)$만 순전히 $x$와 $y$의 항이다. $\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; x\}\; =\; f(x,y)$라고 하면,

:$f(x,y)=\{\; dI\backslash over\; dx\}-\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}$

$x$에 대한 $I(x,y)$의 전체 도함수는 암묵적 보통 도함수 $\{dI\; \backslash over\; dx\}$와 같으므로, 다음과 같다.

:$f(x,y)+\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}=\{dI\; \backslash over\; dx\}=\{d\; \backslash over\; dx\}(I(x,y)-h(x))+\{dh(x)\; \backslash over\; dx\}$

:$\{dh(x)\; \backslash over\; dx\}=f(x,y)+\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}-\{d\; \backslash over\; dx\}(I(x,y)-h(x))$

:$h(x)\; =\backslash int\backslash left(f(x,y)+\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}-\{d\; \backslash over\; dx\}(I(x,y)-h(x))\backslash right)\; \backslash ,\; dx$

따라서 2차 미분 방정식

:$f(x,y)+g\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)\{dy\; \backslash over\; dx\}+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\; (J(x,y))=0$

는 $g\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)=\{\; dJ\backslash over\; dx\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}=\{dJ\; \backslash over\; dx\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}$이고, 아래 식이

:$\backslash int\backslash left(f(x,y)+\{\backslash partial\; I\backslash over\backslash partial\; y\}\{dy\; \backslash over\; dx\}-\{d\; \backslash over\; dx\}\; (I(x,y)-h(x))\; \backslash right)\; \backslash ,\; dx=\backslash int\; \backslash left(f(x,y)-\{\backslash partial\; \backslash left(I(x,y)-h(x)\backslash right)\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)\; \backslash ,\; dx$

오직 $x$의 함수일 경우에만 정확하다. $h(x)$가 임의의 상수로 계산되면, $I(x,y)-h(x)$에 추가되어 $I(x,y)$를 만든다. 방정식이 정확하다면, 1차 정확 방정식의 일반적인 방법을 사용하여 해결할 수 있는 1차 정확 형태로 줄일 수 있다.

:$I(x,y)+J(x,y)\{dy\; \backslash over\; dx\}=0$

그러나 이제 마지막 암묵적 해에서는 2차 방정식에서 예상되는 두 개의 임의의 상수인 $C\_1x$ 항이 $x$에 대해 두 번 적분된 $h(x)$의 적분에서 나오며, $C\_2$가 있다.

2.2.2. 2차 완전 미분 방정식의 해법

다음 미분 방정식을 생각해 보자.

:$(1-x^2)y$-4xy'-2y=0

$y$ 항을 검사하여 항상 정확성을 쉽게 확인할 수 있다. 이 경우, $x$에 대한 $1-x^2$의 편미분 및 전미분은 모두 $-2x$이므로, 그 합은 $-4x$이며, 이는 $y\text{'}$ 앞에 있는 항과 정확히 일치한다. 정확성에 대한 조건 중 하나가 충족되면 다음을 계산할 수 있다.

:$\backslash int\; (-2x)\; \backslash ,\; dy=I(x,y)-h(x)=-2xy$

$f(x,y)=-2y$라고 하면,

:$\backslash int\; \backslash left(-2y-2xy\text{'}-\{d\; \backslash over\; dx\}\; (-2xy)\backslash right)\; \backslash ,\; dx=\backslash int\; (-2y-2xy\text{'}+2xy\text{'}+2y)\; \backslash ,\; dx=\backslash int\; (0)\; \backslash ,\; dx\; =\; h(x)$

따라서 $h(x)$는 실제로 $x$만의 함수이고, 2차 미분 방정식은 정확하다. 그러므로 $h(x)=C\_1$이고 $I(x,y)=-2xy+C\_1$이다. 1차 정확 방정식으로의 환원은 다음과 같다.

:$-2xy+C\_1+(1-x^2)y\text{'}=0$

$I(x,y)$를 $x$에 대해 적분하면

:$-x^2y+C\_1x+i(y)=0$

여기서 $i(y)$는 $y$의 임의의 함수이다. $y$에 대해 미분하면 도함수와 $y\text{'}$ 항을 연관시키는 방정식이 나온다.

:$-x^2+i\text{'}(y)=1-x^2$

따라서 $i(y)=y+C\_2$이고 전체 음함수 해는 다음과 같다.

:$C\_1x+C\_2+y-x^2y=0$

$y$에 대해 명시적으로 풀면 다음과 같다.

:$y=\; \backslash frac\{C\_1x+C\_2\}\{1-x^2\}$

2.3. 고차 완전 미분 방정식

정확한 미분 방정식의 개념은 임의의 차수로 확장될 수 있다. 2차 완전 미분 방정식을 n번 음함수 미분하면 (n+2)차 미분 방정식을 얻을 수 있으며, 이를 통해 고차 완전 미분 방정식의 정의와 판별법을 유도할 수 있다.

2.3.1. 고차 완전 미분 방정식의 판별

정확한 미분 방정식의 개념은 임의의 차수로 확장될 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 정확한 2차 미분 방정식에서 시작해 보자.

:$\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}(J(x,y))+\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{dJ\; \backslash over\; dx\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)+f(x,y)=0$

여기서

:$f(x,yt)=\{dht(x)\; \backslash over\; dx\}+\{d\; \backslash over\; dx\}(I(x,y)-h(x))-\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\{dy\; \backslash over\; dx\}$

이다.

정확한 2차 미분 방정식을 $n$번 음함수 미분하면, $(n+2)$차 미분 방정식이 생성되며, 이 방정식의 형태에서 정확성을 위한 새로운 조건을 유추할 수 있다. 예를 들어, 위 2차 미분 방정식을 한 번 미분하여 3차 정확 방정식을 얻으면 다음과 같다.

:$\{d^3y\; \backslash over\; dx^3\}(J(x,y))+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\{dJ\; \backslash over\; dx\}+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\backslash left(\{dJ\; \backslash over\; dx\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)+\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{d^2J\; \backslash over\; dx^2\}+\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)\backslash right)+\{df(x,y)\; \backslash over\; dx\}=0$

여기서

:$\{df(x,y)\; \backslash over\; dx\}=\{d^2h(x)\; \backslash over\; dx^2\}+\{d^2\; \backslash over\; dx^2\}\; (I(x,y)-h(x))-\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}-\{dy\; \backslash over\; dx\}\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)=F\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)$

이고, $F\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)$는 $x,y$와 $\{dy\; \backslash over\; dx\}$만의 함수이다.

$F\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)$에서 나오지 않는 모든 $\{dy\; \backslash over\; dx\}$ 및 $\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}$ 항을 결합하면 다음과 같다.

:$\{d^3y\; \backslash over\; dx^3\}(J(x,y))+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\backslash left(2\{dJ\; \backslash over\; dx\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)+\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{d^2J\; \backslash over\; dx^2\}+\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)\backslash right)+F\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)=0$

따라서 3차 미분 방정식의 정확성을 위한 세 가지 조건은 다음과 같다.

* $\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}$ 항은 $2\{dJ\; \backslash over\; dx\}+\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}$이어야 한다.
* $\{dy\; \backslash over\; dx\}$ 항은 $\{d^2J\; \backslash over\; dx^2\}+\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)$이어야 한다.
* $F\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)-\{d^2\; \backslash over\; dx^2\}\; (I(x,y)-h(x))+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}+\{dy\; \backslash over\; dx\}\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)$는 $x$만의 함수여야 한다.

2.3.2. 고차 완전 미분 방정식의 해법

다음 비선형 3차 미분 방정식을 고려해 보자.

:$yy$'+3y'y+12x^2=0

만약 $J(x,y)=y$라면, $y$\left(2{dJ \over dx}+{\partial J\over\partial x}\right)는 $2y\text{'}y$이고, $y\text{'}\backslash left(\{d^2J\; \backslash over\; dx^2\}+\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)\backslash right)=y\text{'}y$이며, 이 둘을 더하면 $3y\text{'}y$가 된다. 다행히 이 값은 우리 방정식에 나타난다. 완전성의 마지막 조건은 다음과 같다.

:$F\backslash left(x,y,\{dy\; \backslash over\; dx\}\backslash right)-\{d^2\; \backslash over\; dx^2\}\backslash left(I(x,y)-h(x)\backslash right)+\{d^2y\; \backslash over\; dx^2\}\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}+\{dy\; \backslash over\; dx\}\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\{\backslash partial\; J\backslash over\backslash partial\; x\}\backslash right)=12x^2-0+0+0=12x^2$

이것은 실제로 $x$만의 함수이다. 따라서 이 미분 방정식은 완전하다. 두 번 적분하면 $h(x)=x^4+C\_1x+C\_2=I(x,y)$가 된다. 방정식을 1차 완전 미분 방정식으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:$x^4+C\_1x+C\_2+yy\text{'}=0$

$I(x,y)$를 $x$에 대해 적분하면 $\{x^5\backslash over\; 5\}+C\_1x^2+C\_2x+i(y)=0$이 된다. $y$에 대해 미분하고 그 값을 1차 방정식에서 $y\text{'}$ 앞에 있는 항과 같게 하면 $i\text{'}(y)=y$이고 $i(y)=\{y^2\backslash over\; 2\}+C\_3$이다. 전체 음함수 해는 다음과 같다.

:$\{x^5\backslash over\; 5\}+C\_1x^2+C\_2x+C\_3+\{y^2\backslash over\; 2\}=0$

따라서 양함수 해는 다음과 같다.

:$y=\backslash pm\backslash sqrt\{C\_1x^2+C\_2x+C\_3-\backslash frac\{2x^5\}\{5\}\}$