오일러-라그랑주 방정식

1. 개요

오일러-라그랑주 방정식은 변분법을 사용하여 범함수의 정류점을 찾는 데 사용되는 편미분 방정식이다. 레온하르트 오일러와 조제프루이 라그랑주가 1750년대에 타우토크론 문제 연구를 위해 개발했다. 이 방정식은 라그랑주 역학, 해밀턴 역학, 심플렉틱 기하학, 리만 기하학 등 다양한 분야에서 활용되며, 뉴턴 역학을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 고계 도함수, 여러 함수, 여러 변수를 포함하는 경우로 확장될 수 있으며, 장 이론에서도 중요한 역할을 한다.

2. 정의

$\backslash mathcal\; C^1$ 미분 가능 다양체 $X$와 그 접다발 $TX$를 생각한다. 유한한 닫힌 구간 $[a,b]\backslash subset\backslash mathbb\{R\}$와, 연속미분가능 다발 사상 $L(t,x,v)\backslash in\backslash mathbb\; R$, $t\backslash in[a,b]$, $x\backslash in\; X$, $v\backslash in\; T\_xX$를 생각한다. $L(t,x,v)$의 두 번째와 세 번째 변수를 미분하여 도함수 다발 사상 $L\_x(t,x,v)\backslash in\; T\_x^*X$와 $L\_v(t,x,v)\backslash in\; T\_x^*X$를 정의할 수 있다. 임의의 연속미분가능함수 $q\backslash colon[a,b]\backslash to\; X$를 정의역으로 하는 범함수
:$S[q]=\backslash int\_a^bL(t,q(t),q\text{'}(t))\backslash ;dt$
를 정의할 수 있다. 여기서 $q\text{'}$는 $q$의 도함수 $q\text{'}(t)\backslash in\; T\_\{q(t)\}X$를 뜻한다. 주어진 경계조건
:$q(a)=x\_a\backslash in\; X$
:$q(b)=x\_b\backslash in\; X$
아래 $S[q]$의 정류점을 찾는 변분문제를 생각할 수 있다. 이 변분문제의 해 $q\_0$는 다음 방정식
:$L\_x(t,q\_0,q\text{'}\_0)=\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash left(L\_v(t,q\_0(t),q\text{'}\_0(t))\backslash right)\backslash in\; T\_\{q(t)\}^*X$
을 만족한다. 이를 오일러-라그랑주 방정식이라고 부른다.

(X, L)을 자유도 n인 실수 역학계라 하자. 여기서 X는 배위 공간이고, L = L(t, q(t), v(t))는 매끄러운 실수값 함수인 라그랑주량이다. q(t) ∈ X이고, v(t)는 n차원 "속도 벡터"이다.

q(a) = xₐ이고 q(b) = xբ인 매끄러운 경로 q: [a, b] → X의 집합을 P(a, b, xₐ, xբ)라 하자. 작용 함수 S: P(a, b, xₐ, xբ) → ℝ은 다음과 같이 정의된다.

$$S[\backslash boldsymbol\; q]\; =\; \backslash int\_a^b\; L(t,\backslash boldsymbol\; q(t),\backslash dot\{\backslash boldsymbol\; q\}(t))\backslash ,\; dt.$$

경로 q ∈ P(a, b, xₐ, xբ)가 S의 정상점이 되는 것은 다음과 같은 경우이고, 그 경우에만 가능하다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q^i\}(t,\backslash boldsymbol\; q(t),\backslash dot\{\backslash boldsymbol\; q\}(t))-\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; q^i\}(t,\backslash boldsymbol\; q(t),\backslash dot\{\backslash boldsymbol\; q\}(t))\; =\; 0,$
\quad i = 1, \dots, n.
여기서 q̇(t)는 q(t)의 시간에 대한 도함수이다.

3. 역사

레온하르트 오일러와 조제프루이 라그랑주가 1750년대에 타우토크론 문제(등시강하곡선 문제)를 연구하면서 오일러-라그랑주 방정식을 개발하였다.

타우토크론 문제는 가중치가 있는 입자가 출발점에 관계없이 고정된 시간에 고정된 지점으로 낙하하는 곡선을 결정하는 문제이다.

라그랑주는 1755년에 이 문제를 해결하고 그 해결책을 오일러에게 보냈다. 두 사람은 이 방법을 더욱 발전시켜 역학에 적용했고, 이는 라그랑주 역학의 공식화로 이어졌다. 이들의 서신은 궁극적으로 1766년 오일러가 만든 변분법으로 이어졌다.

4. 증명

1차원 오일러-라그랑주 방정식의 유도는 변분법의 기본정리에 기반한다.

경계 조건 f(a) = c, f(b) = d를 만족하고, 다음 범함수 J를 최대 또는 최소로 만드는 함수 f를 찾는다고 가정한다.

:$J\; =\; \backslash int\_a^b\; F(x,f(x),f\text{'}(x))\backslash ,\; dx.\; \backslash ,\backslash !$

여기서 F는 연속적인 편미분값을 가진다고 가정한다.

f가 상대 범함수를 최대 또는 최소로 만든다면, f에 매우 작은 변화를 가했을 때 J의 값은 늘거나(f가 J를 최소화할 때) 줄 수 있다(f가 J를 최대화할 때).

f에 매우 작은 변화를 준 함수 g_ε(x) = f(x) + εη(x)를 도입한다. 여기서 η(x)는 η(a) = η(b) = 0을 만족하는 미분 가능한 함수이다. f 대신 g를 넣은 J는 다음과 같은 함수가 된다.

:$J(\backslash epsilon)\; =\; \backslash int\_a^b\; F(x,g\_\backslash epsilon(x),\; g\_\backslash varepsilon\text{'}(x)\; )\backslash ,\; dx.\; \backslash ,\backslash !$

J를 ε에 대해 미분한 전미분을 구하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; J\}\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash varepsilon\}\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}F\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash epsilon\}(x,g\_\backslash varepsilon(x),\; g\_\backslash varepsilon\text{'}(x)\; )\backslash ,\; dx.$

전미분의 정의에 의해 다음 식이 유도된다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}F\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash epsilon\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\}\backslash frac\{\backslash partial\; x\}\{\backslash partial\; \backslash varepsilon\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; g\_\backslash varepsilon\}\backslash frac\{\backslash partial\; g\_\backslash varepsilon\}\{\backslash partial\; \backslash varepsilon\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; g\text{'}\_\backslash varepsilon\}\backslash frac\{\backslash partial\; g\text{'}\_\backslash varepsilon\}\{\backslash partial\; \backslash varepsilon\}\; =\; \backslash eta(x)\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; g\_\backslash varepsilon\}\; +\; \backslash eta\text{'}(x)\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; g\_\backslash varepsilon\text{'}\}.$

따라서,

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; J\}\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash epsilon\}\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left[\backslash eta(x)\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; g\_\backslash varepsilon\}\; +\; \backslash eta\text{'}(x)\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; g\_\backslash varepsilon\text{'}\}\; \backslash ,\; \backslash right]\backslash ,dx.$

ε = 0 이면 g_ε = f 이고, f 가 J를 극값으로 만드는 부분이므로, J'(0) = 0 이 된다. 즉,

:$J\text{'}(0)\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left[\; \backslash eta(x)\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\}\; +\; \backslash eta\text{'}(x)\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\text{'}\}\; \backslash ,\backslash right]\backslash ,dx\; =\; 0.$

두 번째 항에 부분적분을 적용하면 다음과 같다.

:$0\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\}\; -\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\text{'}\}\; \backslash right]\; \backslash eta(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash left[\; \backslash eta(x)\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\text{'}\}\; \backslash right]\_a^b.$

η에 대한 경계값 조건을 이용하면,

:$0\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\}\; -\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\text{'}\}\; \backslash right]\; \backslash eta(x)\backslash ,dx.\; \backslash ,\backslash !$

변분법의 기본정리를 적용하면, 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

:$0\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\}\; -\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; f\text{'}\}.$

5. 뉴턴 역학과의 관계

오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴 역학을 일반화 좌표로 확장한 것으로 볼 수 있다. 뉴턴 역학에서 라그랑지안은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이로 주어지며, 오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴의 운동 방정식과 동등하다.

3차원 데카르트 좌표계 $\backslash boldsymbol\{x\}=(x,y,z)$에서 시간 미분 $\backslash dot\{\backslash boldsymbol\{x\}\}\; =\; \backslash boldsymbol\{v\}\; =\; (v\_x,\; v\_y,\; v\_z)$는 속도를 나타낸다. 퍼텐셜이 속도에 의존하지 않는다고 가정하면, 라그랑지안 L은 운동 에너지와 퍼텐셜의 차이, 즉

$L(\backslash boldsymbol\{x\},\; \backslash boldsymbol\{v\},\; t)$
=\frac{m}{2}({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2) -V(\boldsymbol{x})

로 표현된다. 이때 라그랑주의 운동 방정식은

$m\backslash dot\{\backslash boldsymbol\{v\}\}\; =\; -\backslash nabla\; V(\backslash boldsymbol\{x\})$

가 되며, 이는 뉴턴의 운동 방정식과 일치한다.

일반화 운동량 $p\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_i\}$을 사용하면, 오일러-라그랑주 방정식은 $\backslash dot\{p\}\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_i\}$ (일반화 운동량의 미분 = 일반화 힘) 형태로 표현된다. 이는 뉴턴 방정식의 "운동량의 미분 = 힘"을 일반화한 것이다.

5.1. 일반화 좌표

오일러-라그랑주 방정식은 데카르트 좌표계를 사용하는 뉴턴의 운동 방정식과 달리, 임의의 좌표( 일반화 좌표 )를 사용할 수 있다는 장점이 있다.

예를 들어 단진자의 운동을 기술할 때, 뉴턴 방정식에서는 세로축과 가로축 방향의 두 변수(데카르트 좌표)가 필요하여 식이 복잡해진다. 하지만 오일러-라그랑주 방정식을 사용하면 단진자의 각도라는 하나의 변수(일반화 좌표)만으로 운동을 기술할 수 있어 더 간단한 방정식을 얻을 수 있다. (단진자의 길이는 일정하다고 가정) 물론 뉴턴 방정식으로 식을 세운 후 극좌표로 변환하여 같은 결과를 얻을 수도 있지만, 오일러-라그랑주 방정식은 이러한 변환 없이 처음부터 각도에 대한 방정식을 직접 얻을 수 있다는 장점이 있다.

6. 다양한 분야로의 확장

오일러-라그랑주 방정식은 물리학의 여러 분야에서 중요한 작용의 최소 원리에서 유도된다. 이 원리에 따르면, 물리 현상은 라그랑지안(운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이)의 시간 적분인 작용을 최소화하는 방향으로 움직인다. 오일러-라그랑주 방정식은 이러한 작용의 최소 원리를 만족하는 물체의 궤적을 변분법을 통해 구하는 과정에서 유도된다.

작용의 최소 원리는 뉴턴 역학(광학의 페르마의 원리까지 거슬러 올라간다)에서 발견되었지만, 전자기학, 상대성이론 등 다른 분야에서도 적용된다. 따라서 이러한 분야에서도 오일러-라그랑주 방정식과 유사한 방정식을 만들 수 있으며, 이 방정식들은 해당 분야의 기본 방정식과 동일하다.

뉴턴 역학의 경우, 라그랑지안을 르장드르 변환하여 해밀토니안(에너지)을 얻고, 오일러-라그랑주 방정식을 해밀토니안을 사용하여 다시 쓰면 해밀턴의 정준 방정식을 얻는다. 그러나 뉴턴 역학 이외의 분야에서는 라그랑지안-해밀토니안 변환이 쉽지 않다.

새로운 물리학 분야를 연구할 때, 라그랑지안이나 해밀토니안을 정의하면, 오일러-라그랑주 방정식이나 정준 방정식에 해당하는 방정식을 공식화할 수 있어, 미지의 영역에서 기본 방정식을 유도하는 강력한 도구가 된다.

6.1. 라그랑주 역학

오일러-라그랑주 방정식은 1750년대에 오일러와 라그랑주가 타우토크론 문제 연구와 관련하여 개발되었다. 이 문제는 가중치가 있는 입자가 출발점에 관계없이 고정된 시간에 고정된 지점으로 낙하하는 곡선을 결정하는 문제이다.

라그랑주는 1755년에 이 문제를 해결하고 그 해결책을 오일러에게 보냈다. 두 사람 모두 라그랑주의 방법을 더욱 발전시켜 역학에 적용했고, 이는 라그랑주 역학의 공식화로 이어졌다. 그들의 서신은 궁극적으로 1766년 오일러 자신이 만든 용어인 변분법으로 이어졌다.

라그랑주 역학에서 함수 $u\_i$는 일반화 좌표 $q\_i$이며, 그 변수는 시간 t이다. 일반화 좌표의 차원 f를 계의 (역학적인) 자유도라고 한다. 함수 F는 라그랑지안 L이 그 역할을 한다. 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_i\}(q(t),\; \backslash dot\{q\}(t),\; t)$
-\frac{d}{dt} \left(
\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}(q(t), \dot{q}(t), t)
\right) =0

여기서 점은 시간에 대한 미분을 나타낸다. 이 식을 특히 라그랑주의 운동 방정식이라고 부르기도 한다.

일반화 운동량은 다음과 같이 정의된다.

:$p\_i(q(t),\; \backslash dot\{q\}(t),\; t)$
= \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}(q(t), \dot{q}(t), t)

이것을 사용하면 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$\backslash dot\{p\}\_i\; =\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_i\}(q(t),\; \backslash dot\{q\}(t),\; t)$

위 식의 우변을 일반화 힘이라고 부르면, 위 방정식은 「일반화 운동량의 미분 = 일반화 힘」을 의미한다.

뉴턴 방정식은 「운동량의 미분 = 힘」이었으므로, 오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴 방정식을 일반화 좌표로 확장한 것이라고 볼 수 있다.

6.2. 해밀턴 역학

라그랑지안을 르장드르 변환하면 해밀토니안(에너지에 대응하는 함수)을 얻을 수 있으며, 오일러-라그랑주 방정식은 해밀턴의 정준 방정식으로 다시 쓸 수 있다. 이 방정식들은 뉴턴 역학의 기본 방정식 중 하나이다. 오일러-라그랑주 방정식이나 정준 방정식으로 기술한 뉴턴 역학을 해석역학이라고 한다. 뉴턴 역학 이외의 분야에서는 라그랑지안에서 해밀토니안으로(혹은 그 역) 쉽게 변환할 수 있는 것은 아니다.

7. 일반화

오일러-라그랑주 방정식은 여러 변수를 갖는 함수, 여러 함수, 그리고 함수의 고계 도함수를 포함하는 경우 등 다양하게 일반화될 수 있다.

여러 함수와 여러 변수의 경우

* 여러 개의 함수와 여러 개의 변수가 있는 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 각 함수에 대한 편미분 항을 포함하는 연립 방정식 형태로 확장된다.
* 예를 들어, m개의 함수 \(f_1, \dots, f_m\)과 n개의 변수 \(x_1, \dots, x_n\)이 있다면, 각 함수 \(f_i\)에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_i} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{i,j}}\right) = 0_i


여기서 \(\mathcal{L}\)은 라그랑지언이고, \(f_{i,j} := \cfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\) 이다.

7.1. 고계 도함수를 포함하는 경우

범함수가 함수의 고계 도함수를 포함하는 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 고계 도함수에 대한 편미분 항을 포함하는 형태로 확장된다.

함수형식

:$$
I[f] = \int_{x_0}^{x_1} \mathcal{L}(x, f, f', f, \dots, f^{(k)})~\mathrm{d}x ~;~~
f' := \cfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}, ~f := \cfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}, ~
f^{(k)} := \cfrac{\mathrm{d}^kf}{\mathrm{d}x^k}


의 정류값은 다음의 오일러-라그랑주 방정식을 통해 얻을 수 있다.

:$$
\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f'}\right) + \cfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f''}\right) - \dots +
(-1)^k \cfrac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d} x^k}\left(\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f^{(k)}}\right) = 0


단, 함수 자체뿐만 아니라 처음 $k-1$개의 도함수에 대해 고정된 경계 조건이 주어져야 한다. 최고차 도함수 $f^\{(k)\}$의 끝점 값은 유동적이다.

두 변수 x₁과 x₂에 의존하는 미지 함수 f가 하나 있으며, 함수가 f의 n차까지의 고계도함수에 의존하는 경우, 즉

:$$
\begin{align}
I[f] & = \int_{\Omega} \mathcal{L}(x_1, x_2, f, f_{1}, f_{2}, f_{11}, f_{12}, f_{22},
\dots, f_{22\dots 2})\, \mathrm{d}\mathbf{x} \\
& \qquad \quad
f_{i} := \cfrac{\partial f}{\partial x_i} \; , \quad
f_{ij} := \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} \; , \;\; \dots
\end{align}


이면, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f}
& - \frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{1}}\right)
- \frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{2}}\right)
+ \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{11}}\right)
+ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{12}}\right)
+ \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{22}}\right) \\
& - \dots
+ (-1)^n \frac{\partial^n}{\partial x_2^n}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{22\dots 2}}\right) = 0
\end{align}


이는 다음과 같이 간략하게 나타낼 수 있다.

:$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} +\sum_{j=1}^n \sum_{\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_j} (-1)^j \frac{\partial^j}{\partial x_{\mu_{1}}\dots \partial x_{\mu_{j}}} \left( \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial f_{\mu_1\dots\mu_j}}\right)=0


여기서 $\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_j$는 변수의 개수를 나타내는 지표이며, 이 경우 1부터 2까지의 값을 가진다. $f\_\{12\}\; =\; f\_\{21\}$과 같이 동일한 편도함수를 여러 번 세는 것을 방지하기 위해 $\backslash mu\_1\; \backslash dots\; \backslash mu\_j$ 지표에 대한 합은 $\backslash mu\_1\; \backslash leq\; \backslash mu\_2\; \backslash leq\; \backslash ldots\; \backslash leq\; \backslash mu\_j$에 대해서만 계산된다.

7.2. 여러 함수와 여러 변수의 경우

여러 개의 함수와 여러 개의 변수가 있는 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 확장된다.

:$$
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_1} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{1,j}}\right) &= 0_1 \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_2} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{2,j}}\right) &= 0_2 \\
\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_m} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{m,j}}\right) &= 0_m.
\end{align}


여기서 $f\_\{i,j\}\; :=\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; f\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\}$ 이다. 이것은 각 함수 $f\_i$에 대한 편미분 항을 포함하는 연립 방정식 형태이다. 즉, 여러 변수 $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n$과 여러 함수 $f\_1,\; \backslash dots,\; f\_m$에 대해, 각 함수 $f\_i$에 대한 오일러-라그랑주 방정식이 시스템을 이룬다.

7.3. 장 이론

위에서는 오일러-라그랑주 방정식의 물리학적 측면을 설명했지만, 방정식 자체는 물리학과 무관하게 정식화할 수 있으므로, 먼저 물리학적 배경에서 벗어나 방정식을 설명하고, 그 후에 방정식의 뉴턴 역학적 해석을 설명한다.

C¹급 함수
: u^영어: R^영어 → R^영어;
: x^영어 = (x^영어, …, x^영어) ↦ u^영어(x) = (u^영어(x), …, u^영어(x))
를 생각한다.

: F^영어: R^영어 × R^영어 × R^영어 → R^영어;
: (v, m, x) ↦ F^영어(v,m,x)
라고 할 때, 오일러-라그랑주 방정식은 u(x)^영어에 대한 다음과 같은 연립 편미분 방정식이다.

:
\right )= 0 \quad (i=1, \ldots, f)

여기서 는 x에 대한 편미분

:

을 나타낸다.

일반적으로는 기호를 간략하게 사용하여 위의 방정식을

:

과 같이 표기하는 경우가 많다. 이 표기에서는 F에 대입되는 값으로서의 u^영어, ∂^영어u^영어가 F의 변수로서의 v^영어, m^영어와 혼용되고 있다.

더 나아가 벡터 표기를 사용하여 f개의 식을 일괄적으로

:
\right )= 0}}

으로 나타낼 수도 있다.