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외부 (위상수학)

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1. 개요

외부 (위상수학)는 위상 공간 X의 부분 집합 A에 대해 정의되며, A의 외부 Ae는 A와 교차하지 않는 모든 열린 집합들의 합집합으로 정의된다. 외부 Ae는 A와 교차하지 않는 최대의 열린 집합이며, 집합 포함 관계와 외부의 포함 관계는 반대이다. 또한, A의 내부와 외부, A의 여집합과 외부 사이에는 관계가 성립한다.

외부 (위상수학)
위상수학
정의위상 공간에서, 집합 S의 외부는 S에 속하지 않는 모든 점들의 집합임.
표기법Se, ext(S), Ex(S) 등으로 표기함.
상세 내용
정의 (수식)"Se X \ S Sc" (여기서 X는 전체 공간, Sc는 S의 여집합을 의미함.)
외부점 (Exterior Point)정의: 집합 S의 외부점은 그 점을 중심으로 하는 열린 집합이 존재하여, 그 열린 집합이 S와 교집합이 없는 점을 의미함.
특징: 외부점은 그 집합의 외부의 점임.
외부의 성질공집합의 외부: "∅e X"
외부와 여집합의 관계: "Se ⊆ Sc"
외부의 외부: "Se ((Se)c)e"
합집합의 외부: "(S ∪ T)e Se ∩ Te"
외부와 내부, 경계의 관계"X Si ∪ Sb ∪ Se" (여기서 Si는 S의 내부, Sb는 S의 경계를 의미하며, 이 세 집합은 서로소임.)
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목차

2. 정의

X가 위상 공간이고 A \subseteq X일 때, A의 외부 A^e는 다음과 같이 정의된다.

:O_{\gamma} \cap A = \phi인 모든 열린 집합 O_{\gamma}에 대해서 A^e = \bigcup_{\gamma} O_{\gamma}

2.1. 기본 정의

X가 위상 공간이고 A \subseteq X일 때, A의 외부 A^e는 다음과 같이 정의된다.

:O_{\gamma} \cap A = \phi인 모든 열린 집합 O_{\gamma}에 대해서 A^e = \bigcup_{\gamma} O_{\gamma}

3. 특징

Se는 S와 교차하지 않는 최대의 열린 집합이다. S ⊆ T ⇒ Se ⊇ Te 즉, 부분 집합의 포함 관계는 외부의 포함 관계와 반대이다.
Si = (Sc)e
S가 닫힌 집합일 필요충분조건은 Se = Sc이다.
(Se)e ⊇ Si

3.1. 기본 성질

는 와 교차하지 않는 최대의 열린 집합이다. S ⊆ T ⇒ Se ⊇ Te 즉, 부분 집합의 포함 관계는 외부의 포함 관계와 반대이다.

3.2. 다른 개념과의 관계

4. 추가 설명 (선택 사항)