스콧 위상

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1. 개요

스콧 위상은 원순서 집합에 정의되는 위상의 일종으로, 스콧 열린 집합과 스콧 닫힌 집합을 통해 정의된다. 스콧 위상은 스콧 연속 함수, 유향 완비 부분 순서 집합의 성질과 밀접한 관련이 있으며, 콜모고로프 공간, 하우스도르프 공간 등 위상 공간적 성질을 갖는다. 또한, 스콧 위상은 함자성을 가지며 곱과의 호환성을 보인다. 스콧 위상은 격자를 형성하며, 콤팩트 공간의 정의에도 활용된다.

스콧 위상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시

2. 정의

원순서 집합 $(P,\lesssim)$ 의 부분 집합 $U\subseteq P$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합(Scott-open set^영어)이라고 한다.

* 다음 두 조건을 만족시킨다.
$U$ 는 상집합이다.
임의의 상향 집합 $D\subseteq P$ 에 대하여, 만약 $\sup D\in U$ 라면, $D\cap U\ne\varnothing$ 이다. ( $U$ 가 상집합이므로, $\sup D\in U$ 인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
* 스콧 닫힌집합의 여집합이다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(P,\lesssim)$ 의 부분 집합 $F\subseteq P$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합(Scott-closed set^영어)이라고 한다.

* 다음 두 조건을 만족시킨다.
$U$ 는 하집합이다.
임의의 상향 집합 $D\subseteq P$ 에 대하여, 만약 $D\subseteq F$ 이며, $\sup D$ 가 존재한다면, $\sup D\in F$ 이다. ( $F$ 가 하집합이므로, $\sup D\in F$ 인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
* 스콧 열린집합의 여집합이다.

원순서 집합 $(P,\lesssim)$ 의 스콧 열린집합들의 집합은 $P$ 위의 위상을 이룬다. 이를 $P$ 의 스콧 위상이라고 한다.

3. 성질

스콧 위상을 갖는 유향 완비 부분 순서(dcpo)는 항상 콜모고로프 공간(T₀ 분리 공리를 만족)한다. 하지만 스콧 위상을 갖는 dcpo가 하우스도르프 공간이 되려면 순서가 자명해야 한다.

모든 콜모고로프 공간에 대해, 위상은 해당 공간에 순서 관계, 즉 특화 순서를 유도한다. x ≤ y는 x의 모든 열린 근방이 y의 열린 근방이기도 할 경우에만 해당한다. dcpo D의 순서 관계는 스콧 위상에 의해 유도된 특화 순서로서 스콧 열린 집합으로부터 재구성될 수 있다. 하지만 스콧 위상을 갖춘 dcpo는 소버 공간일 필요는 없다.

주어진 위상 공간의 열린 집합은 포함 관계에 의해 정렬될 때 스콧 위상을 정의할 수 있는 격자를 형성한다. 위상 공간 T의 부분 집합 X가 T의 위상에 대해 콤팩트( X의 모든 열린 덮개가 X의 유한 부분 덮개를 포함한다는 의미)이기 위한 필요충분조건은, X의 열린 근방 집합이 스콧 위상에 대해 열려 있다는 것이다.

3.1. 스콧 연속 함수

원순서 집합 $(P,\lesssim_P)$ , $(Q,\lesssim_Q)$ 사이의 함수 $f\colon P\to Q$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $f$ 를 스콧 연속 함수(Scott-continuous function^영어)라고 한다.

* 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
* (상향 집합의 상한 보존) 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$ 에 대하여, 만약 $\sup D$ 가 존재한다면, $f(\sup D)=\sup f(D)$

스콧 연속 함수는 항상 증가함수이며, 단조적이다. 즉, $A \le_{P} B$ 일 경우 $A, B \subset P$ 에 대해 $f(A) \le_{Q} f(B)$ 이다.

유향 완비 부분 순서 집합의 부분 집합은 부분 순서에 의해 유도된 스콧 위상에 대해 닫힌 집합이 되기 위한 필요충분조건은, 하강 집합이고 유향 부분 집합의 상한에 대해 닫혀 있는 경우이다.

스콧 위상을 갖는 유향 완비 부분 순서 집합(dcpo)은 항상 콜모고로프 공간(T₀ 분리 공리 만족)이다. 하지만 스콧 위상을 갖는 dcpo가 하우스도르프 공간이 되는 경우는 순서가 자명할 때뿐이다. 스콧 열린 집합은 포함 관계로 정렬될 때 완비 격자를 형성한다.

누엘 벨냅은 스콧 연속성을 사용하여 논리 연산자를 4치 논리로 확장했다.

어떤 반순서 집합의 부분 집합이 그 반순서에 의해 유도되는 스콧 위상에 관해 닫힌 집합이 되기 위한 필요충분조건은, 그것이 아래쪽 집합이며 유향 부분 집합의 상한에 대해 닫혀 있는 것이다.

스코트 위상을 갖는 유향 완비 반순서는 항상 콜모고로프 공간(T₀ 분리 공리 만족)이다. 한편, 스코트 위상을 갖는 유향 완비 반순서가 하우스도르프 공간이 되기 위한 필요충분조건은 그 순서가 자명한 경우이다. 스코트 열린 집합은 포함 관계에 의해 순서가 정해질 때 완비 격자를 구성한다.

3.2. 위상 공간적 성질

스콧 연속 함수는 항상 단조적이며, 이는 $A \le_{P} B$ 일 경우 $A, B \subset P$ 에 대해 $f(A) \le_{Q} f(B)$ 임을 의미한다.

유향 완비 부분 순서 집합의 부분 집합이 부분 순서에 의해 유도된 스콧 위상에 대해 닫힌 집합이 되려면, 하강 집합이고 유향 부분 집합의 상한에 대해 닫혀 있어야 한다.

스콧 위상을 갖는 유향 완비 부분 순서 집합(dcpo)은 항상 콜모고로프 공간(T₀ 분리 공리를 만족)이다. 하지만 스콧 위상을 갖는 dcpo가 하우스도르프 공간이 되려면 순서가 자명해야 한다. 스콧 열린 집합은 포함 관계로 정렬될 때 완비 격자를 형성한다.

모든 콜모고로프 공간에 대해, 위상은 해당 공간에 순서 관계, 즉 특화 순서를 유도한다. x ≤ y는 x의 모든 열린 근방이 y의 열린 근방이기도 할 경우에만 해당한다. dcpo D의 순서 관계는 스콧 위상에 의해 유도된 특화 순서로서 스콧 열린 집합으로부터 재구성될 수 있다. 하지만 스콧 위상을 갖춘 dcpo는 소버 공간일 필요는 없다.

주어진 위상 공간의 열린 집합은 포함 관계에 의해 정렬될 때 스콧 위상을 정의할 수 있는 격자를 형성한다. 위상 공간 T의 부분 집합 X가 T의 위상에 대해 콤팩트 (X의 모든 열린 덮개가 X의 유한 부분 덮개를 포함한다는 의미)이기 위한 필요충분조건은, X의 열린 근방 집합이 스콧 위상에 대해 열려 있다는 것이다.

3.3. 스콧 열린 집합의 완비 격자

원순서 집합 $(P,\lesssim)$ 의 스콧 열린집합은 포함 관계에 따라 정렬하면 완비 격자가 된다.

3.4. 함자성

스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주 $\mathcal C\subset\operatorname{Proset}$ 와 위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 사이의 함자
: $\Sigma\colon\mathcal C\to\operatorname{Top}$
를 정의한다.

3.5. 곱과의 호환

위 함자는 연속 dcpo의 범주 $\operatorname{ContDcpo}$ 와 콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname{Kolm}$ 사이로 제한시켰을 때, 유한 곱을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo $(P,\le_P)$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 임의의 dcpo $(Q,\le_Q)$ 에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
$P$ 와 $Q$ 의 직접곱 $P\times Q$ 의 스콧 위상
$P$ 와 $Q$ 의 스콧 위상의 곱위상
* $P$ 의 스콧 열린집합들의 완비 헤이팅 대수는 연속 완비 헤이팅 대수이다.

4. 예시

주어진 위상 공간의 열린 집합은 포함 관계에 의해 정렬될 때 스콧 위상을 정의할 수 있는 격자를 형성한다. 위상 공간 T의 부분 집합 X가 T의 위상에 대해 콤팩트할 필요충분조건은 (모든 X의 열린 덮개가 X의 유한 부분 덮개를 포함한다는 의미에서) X의 열린 근방 집합이 스콧 위상에 대해 열려 있다는 것이다.

누엘 벨냅은 스콧 연속성을 사용하여 논리 연산자를 4치 논리로 확장했다.

어떤 주어진 위상 공간에서의 열린 집합은 포함 관계에 의해 정렬될 때 스콧 위상을 정의할 수 있는 격자를 구성한다. 어떤 위상 공간 T의 부분 집합 X가, T 상의 위상에 관해 콤팩트 (X의 모든 열린 덮개가 X의 유한 열린 덮개를 포함한다는 의미)이기 위한 필요 충분 조건은, X의 열린 근방의 집합이 스콧 위상에 대해 열려 있는 것이다.