이중 타원 전이

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1. 개요
2. 계산
- 2.1. 델타 V (Δv)
- 2.2. 전이 시간
3. 호만 전이와의 비교
4. 예시
5. 대한민국과의 관련성 (추가 제안)
참조

1. 개요

이중 타원 전이는 궤도 역학에서 두 번의 타원 궤도 전이를 사용하여 위성을 더 높은 궤도로 이동시키는 궤도 기동 방식이다. 델타 V(Δv)의 효율성을 높이기 위해 사용되며, 호만 전이보다 델타 V를 절약할 수 있지만, 전이 시간이 더 오래 걸린다. 이중 타원 전이에 필요한 속도 변화는 비바 방정식을 통해 계산하며, 출발 궤도와 목표 궤도의 반지름, 그리고 두 타원 궤도의 공통 원점 고도에 따라 달라진다. 호만 전이와의 비교를 통해 이중 타원 전이의 장단점을 파악할 수 있으며, 다른 궤도 기동과의 조합을 통해 효율성을 더욱 높일 수 있다.

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이중 타원 전이
궤도 전이 정보
유형	궤도 기동
목적	궤도 변경
추진력 요구량	다른 전이 궤도보다 클 수 있음
설명	두 번의 임펄스 기동으로 궤도를 변경하는 방식
개요
설명	이중 타원 전이는 호만 전이보다 더 많은 델타-v를 요구하지만, 특정 궤도 간에는 더 적은 델타-v를 사용할 수 있는 궤도 기동임
원리	초기 궤도에서 첫 번째 임펄스를 사용하여 전이 궤도로 진입, 더 큰 반장축을 가짐; 두 번째 임펄스는 궤도의 반대쪽에서 가해져 최종 목표 궤도로 진입
장점	특정 상황에서 호만 전이보다 효율적일 수 있음
단점	전이 시간이 길어질 수 있으며, 궤도 수정에 더 많은 시간이 소요됨

2. 계산

이중 타원 전이에서 각 분사에 필요한 델타-V는 비바 방정식을 통해 계산할 수 있다.

2. 1. 델타 V (Δv)

이중 타원 전이에 필요한 세 번의 속도 변화(

\Delta v

)는 비바 방정식을 통해 계산할 수 있다. 비바 방정식은 다음과 같다.

:

v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

$v$ : 위성의 속도
$\mu = GM$ : 중심체의 표준 중력 변수
$r$ : 중심체와 위성 사이의 거리 (궤도 반지름)
$a$ : 위성 궤도의 긴반지름

이중 타원 전이에 사용되는 변수는 다음과 같다.

$r_1$ : 출발 궤도의 반지름
$r_2$ : 최종 궤도의 반지름
$r_b$ : 두 전이 궤도의 공통 원점 고도 (자유 변수)
$a_1$ , $a_2$ : 두 타원 전이 궤도의 긴반지름 ( $a_1 = \frac{r_1 + r_b}{2}$ , $a_2 = \frac{r_2 + r_b}{2}$ )

각 분사 단계에서 필요한

\Delta v

는 다음과 같이 계산된다.

1. 첫 번째 분사 ( $\Delta v_1$ ): 반지름

r_1

인 원 궤도에서 순행 방향으로 분사하여 첫 번째 타원 전이 궤도로 진입한다.

:

\Delta v_1 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_1} - \frac{\mu}{a_1}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}

2. 두 번째 분사 ( $\Delta v_2$ ): 첫 번째 타원 전이 궤도의 원점(거리

r_b

)에서 순행 방향으로 분사하여 두 번째 타원 전이 궤도로 진입한다.

:

\Delta v_2 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_1}}

3. 세 번째 분사 ( $\Delta v_3$ ): 고도

r_2

인 지점에서 역행 방향으로 분사하여 최종 원 궤도에 진입한다.

:

\Delta v_3 = \sqrt{\frac{2 \mu}{r_2} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}

만약

r_b = r_2

이면, 이는 호만 전이와 같아지며,

\Delta v_3 = 0

이 된다.

r_b = \infty

일 경우, 이중 포물선 전이가 되며, 전이 시간은 무한대가 된다.

2. 2. 전이 시간

이중 타원 전이에서 각 전이 궤도는 타원 궤도의 절반에 해당하므로, 전이 시간은 각 궤도 주기의 절반씩을 더한 것과 같다. 궤도 주기를 계산하는 식은 다음과 같다.

:

T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.

총 전이 시간

t

는 각 궤도에서 보내는 시간의 합과 같다.

:

t_1 = \pi \sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}} \quad \text{,} \quad t_2 = \pi \sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}

:

t = t_1 + t_2.

3. 호만 전이와의 비교

이중 타원 전이는 특정 조건에서 호만 전이보다 델타-V(Δv, 속도 변화량)를 절약할 수 있다. 이 조건은 최종 궤도 반지름( $r_2$ )이 초기 궤도 반지름( $r_1$ )의 15.58배 이상일 때이다.

궤도 반경비를 변경했을 때의 호만 전이에 필요한 ΔV(굵은 검은색)와 이중 타원 전이에 필요한 ΔV(색상)의 변화

위 그림은 궤도 반지름이

r_1

인 원 궤도에서

r_2

인 원 궤도로 이동할 때 필요한 총

\Delta v

를 보여준다. 여기서

\Delta v

는 출발 궤도의 궤도 속도

v_1

로 정규화되어 있으며, 출발 궤도와 도달 궤도의 반지름비(

R \equiv r_2 / r_1

)의 함수로 표시된다.^[7] 굵은 검은색 곡선은 호만 전이, 옅은 색상의 곡선은 다양한 매개변수

\alpha \equiv r_b / r_1

를 가진 이중 타원 전이에서의

\Delta v

를 나타낸다.

r_b

는 전이 중 타원 궤도의 궤도 긴반지름을 출발 궤도의 궤도 반지름으로 정규화한 값이다.

그림에서 반지름비

R

이 11.94 미만이면 호만 전이가, 15.58을 초과하면 이중 타원 전이가 항상 유리하다. 반지름비가 11.94와 15.58 사이일 때는 전이에 사용하는 타원 궤도의 원지점 거리

r_b

에 따라 유리한 전이 방법이 달라진다.

다음 표는 이중 타원 전이가 유리해지는 최소

\alpha \equiv r_b / r_1

값을 보여준다.^[9]

이중 타원 전이가 최소 $\Delta v$ 를 필요로 하는 최소 $\alpha \equiv r_b/r_1$ ^[10]
반지름비 $\frac{r_2}{r_1}$	최소 $\alpha \equiv \frac{r_b}{r_1}$	비고
11.94 미만		호만 전이가 항상 유리
11.94	$\infty$	이중 타원 전이
12	815.81
13	48.90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
15.58 초과	$> \frac{r_2}{r_1}$	항상 이중 타원 전이가 유리

3. 1. 델타 V (Δv)

반지름 비

R \equiv r_2 / r_1

에 따라 호만 전이와 이중 타원 전이의 델타-V (

\Delta v

) 소모량을 비교하면 다음과 같다.

$R$ 이 11.94보다 작을 때는 항상 호만 전이가 효율적이다.
$R$ 이 15.58보다 클 때는 전이 궤도의 원점 ( $r_b$ )에 관계없이 이중 타원 전이가 항상 효율적이다.
$R$ 이 11.94와 15.58 사이일 때는 $r_b$ 값에 따라 효율적인 전이 방법이 달라진다.^[13]

이중 타원 전이의 $\Delta v$ 소모량이 호만 전이보다 더 작게끔 해주는 $\alpha \equiv r_b/r_1$ 의 최솟값^[14]
반지름의 비 $R \equiv \frac{r_2}{r_1}$	최소 $\alpha \equiv \frac{r_b}{r_1}$	참조
<11.94		호만 전이가 항상 우세
11.94	$\infty$	이중 포물선 전이
12	815.81
13	48.90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
>15.58	$> \frac{r_2}{r_1}$	이중 타원 전이가 항상 우세

위 그림은 초기 궤도 반지름( $r_1$ )에서 최종 궤도 반지름( $r_2$ )으로 이동하는 데 필요한 총 $\Delta v$ 를 보여준다. $\Delta v$ 는 초기 궤도의 궤도 속도( $v_1$ )로 정규화되어 있으며, 최종 궤도와 초기 궤도의 반지름 비( $R \equiv r_2 / r_1$ )의 함수로 표시된다. 이는 비교가 일반적일 수 있도록 하기 위함이다 (즉, $r_1$ 및 $r_2$ 의 특정 값에 종속되지 않고, 오직 그들의 비율에만 종속된다).^[2]

두꺼운 검은색 곡선은 호만 전이의 $\Delta v$ 를 나타내고, 더 얇은 색상 곡선은 이중 타원 전이에 해당하며, $\alpha \equiv r_b / r_1$ 매개변수의 다양한 값을 갖는다. 여기서 $r_b$ 는 타원 보조 궤도의 원점 반지름을 초기 궤도의 반지름으로 정규화한 값으로, 곡선 옆에 표시되어 있다.

3. 2. 전이 시간

이중 타원 전이는 호만 전이에 비해 전이 시간이 길다. 특히, 이중 포물선 전이의 경우 전이 시간이 무한대로 발산한다.^[1]

전이 시간은 각 반궤도에 필요한 시간의 합으로 계산된다. 이중 타원 전이의 경우, 두 개의 전이 궤도를 사용하며, 각 궤도는 타원 궤도의 절반이다.^[1] 궤도 주기 공식을 사용하여 계산하면 총 전이 시간은 다음과 같다.^[1]

:

t = \pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}} + \pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}

여기서

a_1

과

a_2

는 각 전이 궤도의 긴반지름이고,

\mu

는 표준 중력 변수이다.^[1]

이처럼 긴 전이 시간은 이중 타원 전이의 주요 단점이다. 특히 이중 포물선 전이의 극한 경우에는 무한대가 된다.^[1]

반면, 호만 전이는 하나의 전이 궤도만 사용하므로 전이 시간은 다음과 같다.^[1]

:

t = \pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}

3. 3. 다른 궤도 기동과의 조합

이중 타원 전이는 원형 궤도 간의 평면 전이에서 델타 V 측면에서 호만 전이보다 엄격하게 우위에 있는 작은 매개변수 창을 가지고 있지만, 절감 효과는 상당히 작으며, 다른 기동과 조합하여 사용할 때 훨씬 더 큰 도움이 된다.^[1]

원지점에서 우주선은 낮은 궤도 속도로 이동하며, 근지점의 상당한 변화는 작은 델타 V 비용으로 달성할 수 있다.^[1] 궤도면과 고도를 모두 조정해야 하는 임무에서, 이중 타원 전이와 유사하지만 원지점에서 궤도면 변경 기동을 포함하는 전이는 호만 전이에 추가하여 낮은 원형 궤도에서 궤도면 변경을 수행하는 것과 비교하여 델타-V를 극적으로 절약할 수 있다.^[1]

마찬가지로, 근지점을 행성체의 대기권으로 떨어뜨려 에어로브레이킹을 수행하는 것은 원지점에서의 속도 측면에서 비용이 적게 들지만, 원지점을 낮추기 위한 최종 원형화 연소에 도움이 되는 "무료" 항력을 사용할 수 있게 해준다.^[1] 비록 대기권 밖으로 다시 근지점을 올리는 추가적인 임무 단계를 추가하지만, 이는 일부 매개변수에서 단순히 원형 궤도에서 한 번의 연소로 근지점을 낮추는 것보다 훨씬 적은 델타 V를 소비할 수 있다.^[1]

4. 예시

(m/s)12825.02m/s3061.04m/s3123.62m/s3191.79m/s3194.89m/s2608.825m/s351.836m/s16.9336m/s0m/s30m/s447.662m/s616.926m/s842.322m/s총합 (m/s)4133.72m/s4117.53m/s4092.38m/s4051.04m/s4048.76m/s호만 전이 대비 절약 비율100%99.6%99.0%98.0%97.94%