표준 중력 변수

1. 개요

표준 중력 변수는 천체의 질량과 중력 상수의 곱으로 정의되며, 천체의 궤도를 계산하는 데 사용된다. 중심체를 도는 작은 물체의 경우, 표준 중력 변수는 중력 상수와 중심체의 질량의 곱으로 나타낼 수 있으며, 궤도 반지름, 공전 속도, 각속도, 공전 주기를 이용하여 계산할 수 있다. 두 천체가 서로를 도는 경우, 표준 중력 변수는 각 천체의 질량과 중력 상수의 곱의 합으로 정의된다. 표준 중력 변수는 진자를 사용하여 측정할 수도 있으며, 지구 및 태양과 같은 천체의 경우 매우 정확하게 측정되어 있다.

2. 정의

표준 중력 변수는 특정 천체의 중력 상수 G와 질량 M의 곱으로, 일반적으로 μ로 표기한다.

중심체는 궤도체보다 질량이 훨씬 큰 천체()로 정의할 수 있다. 이러한 근사는 태양을 공전하는 행성이나 대부분의 위성에 적용되어 방정식을 단순화한다.

원 궤도의 경우, 중력에 의해 제공되는 원심력은 다음과 같다.
$$\backslash mu\; =\; rv^2\; =\; r^3\backslash omega^2\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi^2r^3\}\{T^2\}\; ,$$
여기서 r은 궤도 반지름, v는 궤도 속도, ω는 각속도, T는 궤도 주기이다.

이는 타원 궤도에 대해 일반화할 수 있다.
$$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi^2a^3\}\{T^2\}\; ,$$
여기서 a는 긴반지름이며, 이는 케플러의 제3법칙이다.

포물선 궤도의 경우 rv²는 상수이며 2μ와 같다. 타원 및 쌍곡선 궤도의 경우 μ는 2a|ε|인데, 여기서 a는 긴반지름이고 ε는 특수 궤도 에너지이다.

2.1. 중심체를 돌고 있는 작은 물체

중심체의 질량 M이 궤도를 도는 천체의 질량 m보다 훨씬 큰 경우(M ≫ m)는 태양을 도는 행성이나 대부분의 위성과 같이 방정식을 단순화 할 수 있다. 만유인력의 법칙에 따라 물체 간 거리를 r로 두면, 작은 물체에 가해지는 힘은 다음과 같다.

:$F\; =\; \backslash frac\{G\; M\; m\}\{r^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\; m\}\{r^2\}$

작은 물체의 운동을 예측하려면 G와 M의 곱만 필요하다. 반대로, 작은 물체의 궤도를 측정하면 G와 M을 개별적으로 알 수 있는 것이 아니라, 곱인 μ에 대한 정보만 얻을 수 있다. 중력 상수 G는 높은 정확도로 측정하기 어렵지만, 궤도는, 적어도 태양계에서는 매우 정밀하게 측정할 수 있으며, 이를 사용하여 μ를 유사한 정밀도로 결정할 수 있다.

2.1.1. 원 궤도

중심체를 따라 원 궤도로 공전하는 물체의 경우 표준 중력 변수는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash mu\; =\; rv^2\; =\; r^3\backslash omega^2\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi^2r^3\}\{T^2\}\; \backslash$

* r은 궤도 반지름이다.
* v는 공전 속도이다.
* ω는 각속도이다.
* T는 공전 주기이다.

2.1.2. 타원 궤도

타원 궤도의 경우, 표준 중력 변수는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash mu=4\backslash pi^2a^3/T^2\; \backslash$

여기서 a는 궤도 긴반지름이며, 이는 케플러의 제3법칙과 같다.

2.1.3. 포물선 및 쌍곡선 궤도

포물선 궤도에서는 rv²가 상수이며 2μ와 같다. 타원 또는 쌍곡선 궤도의 경우 μ = 2a|ε|가 되며, ε는 고유 궤도 에너지를 의미한다.

2.2. 서로를 도는 두 천체

두 천체의 질량이 비슷하여 어느 한 쪽을 중심으로 정의하기 어려운 경우(이체 문제), 표준 중력 변수는 다음과 같이 정의된다.

* 벡터 r은 한 천체에서 다른 천체까지의 거리이다.
* r, v, 타원 궤도의 경우 a는 위에 따라 정의된다(따라서 r은 거리를 의미한다.).
* μ = Gm₁ + Gm₂ = μ₁ + μ₂, 여기서 m₁과 m₂는 두 천체의 질량이다.

이 경우, 궤도의 형태에 따라 표준 중력 변수는 다음과 같이 표현된다.

* 원형 궤도의 경우, rv² = r³ω² = 4π²r³/T² = μ
* 타원 궤도의 경우, 4π²a³/T² = μ (a는 AU, T는 초 단위, M이 태양과의 상대적인 전체 질량이라고 한다면, a³/T² = M이 된다.)
* 포물선 궤도의 경우, rv²는 상수이고 2μ와 동일하다.
* 쌍곡선 궤도의 경우, μ는 고유 궤도 에너지의 절대값과 궤도 긴반지름을 2배 한 값을 곱한 값이다. 고유 궤도 에너지는 계의 총 에너지를 환산 질량으로 나눈 값으로 정의된다.

2.3. 진자를 이용한 측정

표준 중력 변수는 물체의 표면 위에서 진동하는 진자를 사용하여 결정할 수 있다.

:$\backslash mu\; \backslash approx\; \backslash frac\{4\; \backslash pi^2\; r^2\; L\}\{T^2\}$

여기서 r은 중력체의 반지름이고, L은 진자의 길이이며, T는 진자의 주기이다 (근사치의 이유는 역학에서의 진자 참조).

3. 역사

과거에는 가우스 중력 상수를 이용하여 계산했지만, 이후 관측 기술의 발달로 직접 계산하는 것이 가능해졌다.

4. 태양계 내 표준 중력 변수

태양계 내 천체들의 표준 중력 변수는 매우 정밀하게 측정된다.

4.1. 지심 중력 상수

지구의 중력 변수는 지심 중력 상수로 불리며, 그 값은 398600.4418km³이다. 이 값의 불확실성은 1/500,000,000 정도로 매우 작다.

이 상수의 값은 1950년대 우주 비행이 시작되면서 중요해졌으며, 1960년대에는 이를 최대한 정확하게 결정하기 위한 많은 노력이 있었다. Sagitov (1969)는 1960년대의 고정밀 측정에서 보고된 다양한 값을 인용하며, 상대 불확실성은 10⁻⁶ 정도였다고 보고했다.

1970년대부터 1980년대까지 지구 궤도의 인공위성 수가 증가하면서 고정밀 측정이 더 쉬워졌고, 상대 불확실성은 1992년 기준으로 약 2×10⁻⁹ (5억 분의 1)까지 3자리 정도 더 감소했다. 측정에는 레이더 또는 레이저 측정을 사용하여 높은 정확도로 얻을 수 있는, 위성에서 여러 시간대의 지구 관측소까지의 거리를 관찰하는 것이 포함된다.

4.2. 태양 중력 상수

태양을 중심으로 하는 표준 중력 변수는 태양 중력 상수 또는 태양의 지오퍼텐셜이라고 하며, 1.32712440018E+20 값을 가진다. 이 값은 행성 간 탐사선의 궤도를 결정하는 데 사용된다.

2015년 기준으로 태양 중력 상수의 상대 불확실성은 지구 질량의 불확실성보다 작은 10⁻¹⁰ 미만으로, 이는 태양 중력 상수가 행성 간 탐사선의 거리 측정에서 파생되었기 때문이다. 행성 간 탐사선 거리 측정의 절대 오차는 지구 위성 거리 측정과 거의 같지만, 관련된 절대 거리는 훨씬 더 크다.