긴반지름

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1. 개요
2. 기하학
- 2.1. 타원
- 2.2. 쌍곡선
3. 천문학
4. 한국 천문학 및 우주 개발에의 응용
참조

1. 개요

긴반지름은 기하학에서 타원이나 쌍곡선의 크기를 나타내는 중요한 지표이다. 타원의 경우, 중심에서 두 초점을 지나는 긴지름의 절반이며, 쌍곡선에서는 두 쌍곡선 사이의 최단 거리의 절반을 의미한다. 천문학에서는 궤도 긴반지름이 공전 주기와 함께 궤도 요소로 사용되며, 케플러의 법칙에 따라 공전 주기와 관련된다. 대한민국에서는 인공위성 궤도 설계 및 우주 탐사선 궤적 결정 등 다양한 분야에 궤도 긴반지름 개념이 활용된다.

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긴반지름
개요
정의	궤도의 타원의 가장 긴 지름의 절반
기호	a
단위	길이 단위 (예: 미터, 천문단위)
궤도 요소
정의	궤도를 정의하는 6개의 요소 중 하나
종류	궤도 경사 (궤도 기울기) 승교점 경도 이심률 근일점 인수 평균 근점 이각 긴반지름
계산 및 관계
공전 주기 (T)	케플러의 제3법칙에 따라 결정됨: T² ∝ a³
총 에너지 (E)	E = -GMm / 2a (G: 중력 상수, M: 중심 천체의 질량, m: 궤도를 도는 천체의 질량)
궤도 에너지	특정 궤도의 궤도 에너지는 긴반지름에 의해서만 결정되며, 다른 궤도 요소에는 의존하지 않음.
쌍곡선 궤도	긴반지름이 음수 값을 가짐.
추가 정보
관련 용어	짧은반지름 궤도 요소 케플러 법칙
관련 위키백과 문서
링크	궤도 궤도 요소 케플러 법칙 타원

2. 기하학

타원과 쌍곡선에서 궤도 긴반지름은 도형의 형태와 크기를 결정하는 중요한 요소이다. 궤도 긴반지름은 이들 도형의 중심에서 가장 멀리 떨어진 점까지의 거리를 의미한다.

타원과 쌍곡선에서의 긴반지름에 대한 자세한 내용은 각각 하위 문단을 참고하라.

2. 1. 타원

타원의 긴반지름은 중심과 두 초점을 지나는 긴지름의 절반이다. 긴반지름 a^영어, 짧은반지름 b^영어인 타원에서 이심률 e^영어는 다음과 같다.

:b^영어=a^영어²

타원에서 궤도 장반경은 장축 방향의 반지름이다. 궤도 장반경을 포함하는 직선은 중심과 두 개의 초점, 타원 위에서 가장 곡률이 큰 두 점을 지난다. 원의 경우에는 궤도 장반경은 반지름과 같다.

궤도 장반경의 길이 a^영어는, 궤도 단반경 b^영어, 이심률 e^영어, 반통경 l^영어과 다음과 같은 관계가 있다.

:b^영어 = a^영어sqrt|√1 - e²^영어

:l^영어 = a(1 - e²)^영어

:al^영어 = b²^영어

하나의 초점을 고정하고, 다른 하나의 초점을 한 방향으로 계속 늘이면 포물선을 얻을 수 있다. a^영어와 b^영어는 무한대가 되지만, a^영어 쪽이 b^영어보다 빠르게 증가한다.

궤도 장반경은, 하나의 초점에서 타원 위의 한 점에 이르는, 최소 거리와 최대 거리의 평균값이다. 극좌표계에서 하나의 초점을 원점, 다른 하나의 초점을 x축의 양의 방향에 두면,

:r(1 - ecosθ)^영어 = l^영어

이 되며,

:r^영어 = l/(1 + e)^영어과 r^영어 = l/(1 - e)^영어의 평균값은

:a^영어=l/(1-e²)^영어

이다.

2. 2. 쌍곡선

쌍곡선에서 긴반지름은 두 쌍곡선 사이의 최단 거리가 된다. 쌍곡선 식

:

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1

에서 긴반지름은

a

이다.

쌍곡선에서 궤도 긴반지름은 두 분기점 사이의 절반 거리이다.

a

가

x

축 방향에 있다고 하면,

:

\frac{\left( x - h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y - k \right)^2}{b^2} = 1

이 된다.

반통경과 이심률을 사용하면,

:

a = \frac{\ell}{e^2 - 1}

로 쓸 수 있다.

쌍곡선의 주축은 궤도 긴반지름과 같은 방향이다.

3. 천문학

천문학에서 궤도 긴반지름은 공전 주기와 함께 천체의 궤도를 나타내는 가장 중요한 궤도 요소 중 하나이다. 태양계 내에서는 케플러의 제3법칙에 따라 궤도 긴반지름과 공전 주기가 서로 관련되어 있다. 예를 들어 국제 우주 정거장의 공전 주기는 91.74분이며, 궤도 긴반지름은 6738km이다.

3. 1. 공전 주기

천체역학에서 타원 궤도를 도는 천체의 공전 주기

T

는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

T = 2\pi\sqrt{\frac {a^3} \mu}

$a$ : 궤도의 긴반지름
$\mu$ : 표준 중력 변수

이 식에서, 같은 궤도 긴반지름을 가진 타원 궤도의 공전 주기는 이심률에 관계없이 같다는 것을 알 수 있다.

3. 2. 케플러의 법칙

태양계에서 궤도 긴반지름은 케플러의 제3법칙에 의해 공전 주기와 관련된다.

:

T^2 = a^3.

여기서 ''T''는 년으로 나타낸 공전 주기, ''a''는 천문단위로 나타낸 궤도 긴반지름이다. 이 식은 아이작 뉴턴에 의해 유도된 이체 문제를 기술하는 다음 식으로부터 중력 항을 단순화한 것이다.

:

T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}a^3.

여기서

''G''는 중력 상수,
''M''는 주성의 질량,
''m''은 반성의 질량이다.

일반적으로 ''M''는 ''m''보다 충분히 크기 때문에, ''m''의 영향은 무시할 수 있으며, 케플러의 식이 유도된다.

3. 3. 위치 벡터로부터의 계산

천체역학에서 궤도 긴반지름(

a

)은 천체의 위치 벡터로부터 계산할 수 있다. 타원 궤도에서는 다음과 같다.

:

a = -\frac{\mu}{2\epsilon}

여기서,

$v$ 는 속도 벡터로부터 얻어지는 궤도 속도
$\mathbf{r}$ 는 주성의 위치 벡터
$G$ 는 중력 상수
$M$ 은 주성의 질량

:

\epsilon = \frac{\,v^2}{2\,} - \frac{\mu}{\left | \mathbf{r} \right |}

:

\mu = GM

주성의 질량과 전체 위치 에너지가 주어지면 궤도 이심률과는 관계없이 궤도 긴반지름의 값이 결정된다.

4. 한국 천문학 및 우주 개발에의 응용

긴반지름 개념은 대한민국의 여러 우주 개발 분야에서 활용되고 있다. 저궤도 인공위성은 지구 관측, 통신 등 다양한 목적에 맞게 궤도 긴반지름을 조절하여 설계된다. 정지궤도 위성은 지구 적도 상공에서 지구 자전 주기와 동일한 공전 주기를 가지며, 궤도 긴반지름은 약 42164km이다. 대한민국의 정지궤도 위성으로는 천리안, 무궁화 위성 등이 있다. 우주 탐사선의 경우, 행성 간 이동 궤도를 결정할 때 궤도 긴반지름이 핵심 변수로 활용된다.

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