인과 구조

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1. 개요
2. 정의
3. 인과 관계
- 3.1. 시간적/인과적 선행/후행
- 3.2. 미래와 과거
4. 점근적 과거와 미래
- 4.1. 등각 콤팩트화
- 4.2. 무한의 종류
5. 추가 개념 (영문 위키 참조)
참조

1. 개요

인과 구조는 로런츠 다양체에서 사건 간의 인과 관계를 설명하는 개념으로, 시간과 공간의 관계를 정의한다. 벡터의 시간꼴, 영벡터, 공간꼴 분류를 통해 곡선의 인과적 성질을 파악하며, 시간 방향성을 설정하여 시간 가향성 및 시간 지향성을 정의한다. 인과 관계는 시간 순 선행과 인과적 선행으로 구분되며, 이를 통해 미래와 과거를 정의하고, 시간 순 미래, 시간 순 과거, 인과적 미래, 인과적 과거를 포함하는 인과 구조를 형성한다. 또한, 등각 콤팩트화를 통해 시공간의 무한을 정의하며, 컨포멀 기하학, 코시 전개, 중력 특이점, 사건 지평선 등과 관련된 개념들을 포함한다.

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인과 구조

2. 정의

로런츠 다양체 $(M,g)$ 와 그 계량 부호수(−+++)를 기반으로, 현대 물리학(특히 일반 상대성 이론)에서 시공간은 로렌츠 다양체로 표현된다. 다양체 내 점들 간의 인과 관계는 시공간에서 어떤 사건이 다른 사건에 영향을 미칠 수 있는지를 설명한다.

로런츠 다양체의 인과 구조는 곡률 때문에 더 복잡해진다. 인과 구조는 점 쌍을 연결하는 매끄러운 함수 곡선의 접선 벡터를 통해 정의된다.

2. 1. 벡터의 분류

로런츠 다양체 위의 한 점

x \in M

에서, 벡터

v \in T_xM

는 계량

g(v, v)

의 값에 따라 다음과 같이 분류된다.

$g(v,v)<0$ 인 경우, $v$ 는 '''시간꼴'''(timelike^영어)이다.
$g(v,v)=0$ 인 경우, $v$ 는 '''영벡터'''(null vector^영어)이다.
$g(v,v)>0$ 인 경우, $v$ 는 '''공간꼴'''(spacelike^영어)이다.

시간꼴/영/공간꼴 벡터장은 모든 점에서 각각 시간꼴/영벡터/공간꼴인 벡터장을 의미한다. '''인과 벡터장'''(causal vector field^영어)은 모든 점에서 시간꼴이거나 영벡터인 벡터장이다.

2. 2. 곡선의 분류

M

의 매끄러운 정칙 곡선(또는 경로)은 접선 벡터에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

'''시간꼴'''(또는 '''시간유사''') 곡선: 접선 벡터가 곡선의 모든 점에서 시간유사한 경우이다. 세계선이라고도 한다.^[2]
'''영벡터''' 곡선: 접선 벡터가 곡선의 모든 점에서 영벡터인 경우이다.
'''공간꼴'''(또는 '''공간유사''') 곡선: 접선 벡터가 곡선의 모든 점에서 공간유사한 경우이다.
'''인과적'''(또는 '''비공간유사''') 곡선: 접선 벡터가 곡선의 모든 점에서 시간유사하거나 영벡터인 경우이다.
$\Sigma$ 의 정칙성과 비퇴화 요구 사항은 단일 점으로 구성된 것과 같은 폐쇄된 인과 곡선이 모든 시공간에 의해 자동으로 허용되지 않도록 한다.

2. 3. 시간 방향

점

x\in M

에서, 시간꼴 벡터

v\in T_xM

들의 집합에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

:

u\sim v\Leftrightarrow g(u,v)<0

이에 따라,

x

에서의 모든 시간꼴 벡터들은 두 동치류로 분류할 수 있다.

x

에서의 '''시간 방향'''은 이 둘 가운데 하나를 선택한 것이며, 선택된 방향을 '''미래 방향''', 선택되지 않은 방향을 '''과거 방향'''이라고 한다.

만약 로렌츠 다양체

M

전체에 시간 방향을 연속적으로 줄 수 있다면

M

을 '''시간 가향'''(time-orientable^영어)하다고 한다.

'''미래 방향 시간꼴 벡터장'''(future-oriented timelike vector field^영어)은 모든 점에서 미래 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다. 마찬가지로, '''과거 방향 시간꼴 벡터장'''(past-oriented timelike vector field^영어)은 모든 점에서 과거 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다.^[1]

3. 인과 관계

현대 물리학(특히 일반 상대성 이론)에서 시공간은 로렌츠 다양체로 표현된다. 다양체 내 점들 간의 인과 관계는 시공간에서 어떤 사건이 다른 사건에 영향을 미칠 수 있는지를 설명하는 것으로 해석된다.

임의의 (곡면일 수 있는) 로렌츠 다양체의 인과 구조는 곡률의 존재로 인해 더 복잡해진다. 이러한 다양체의 인과 구조에 대한 논의는 점 쌍을 연결하는 매끄러운 함수 곡선의 관점에서 표현되어야 하며, 곡선의 접선 벡터에 대한 조건은 인과 관계를 정의한다.

3. 1. 시간적/인과적 선행/후행

두 점

x, y \in M

사이에 다음과 같은 관계가 정의된다.

만약 $x$ 에서 $y$ 로 가는 미래 방향 시간꼴 곡선이 존재한다면 $x$ 가 $y$ 보다 '''시간 순으로 선행한다'''(chronologically precedes^영어)고 하고, $x \ll y$ 라고 쓴다.
만약 $x$ 에서 $y$ 로 가는 미래 방향 인과 곡선이 존재한다면 $x$ 가 $y$ 보다 '''인과적으로 선행한다'''(causally precedes^영어)고 하고, $x \prec y$ 라고 쓴다.

마찬가지로, 그 반대 개념인 '''시간 순 후행''' (

x \gg y

) 및 '''인과적 후행'''(

x \succ y

)도 정의할 수 있다.

이러한 관계들은 추이법칙을 만족시킨다. 즉,

:

x \ll y, y \ll z \implies x \ll z

:

x \prec y, y \prec z \implies x \prec z

또한, 인과적 선행은 시간 순 선행보다 더 약한 개념이다.

:

x \ll y \implies x \prec y

:

x \ll y, y \prec z \implies x \ll z

:

x \prec y, y \ll z \implies x \ll z

3. 2. 미래와 과거

두 점

x,y\in M

사이의 관계는 다음과 같이 정의된다.

만약 $x$ 에서 $y$ 로 가는 미래 방향 시간꼴 곡선이 존재한다면 $x$ 가 $y$ 보다 '''시간 순으로 선행한다'''(chronologically precedes^영어)고 하고, $x\ll y$ 라고 쓴다.
만약 $x$ 에서 $y$ 로 가는 미래 방향 인과 곡선이 존재한다면 $x$ 가 $y$ 보다 '''인과적으로 선행한다'''(causally precedes^영어)고 하고, $x\prec y$ 라고 쓴다.

마찬가지로, 그 반대 개념인 '''시간 순 후행''' (

x\gg y

) 및 '''인과적 후행'''(

x\succ y

)도 정의할 수 있다.

이들은 추이법칙을 만족시킨다. 즉

:

x \ll y,y\ll z\implies x\ll z

:

x\prec y,y\prec z\implies x\prec z

또한, 인과적 선행은 시간 순 선행보다 더 약한 개념이다.

:

x\ll y\implies x\prec y

:

x\ll y,y\prec z\implies x\ll z

:

x\prec y,y\ll z\implies x\ll z

시간 순/인과적 선행을 사용하여, 다음과 같은 미래 및 과거 개념을 정의할 수 있다.

점 $x$ 의 '''시간 순 미래''' $I^+(x)$ 는 $x$ 보다 시간 순으로 후행하는 점들의 집합이다.

::

I^+(x)=\{y\in M\colon x\ll y\}

점 $x$ 의 '''시간 순 과거''' $I^-(x)$ 는 $x$ 보다 시간 순으로 선행하는 점들의 집합이다.

::

I^-(x)=\{y\in M\colon x\gg y\}

점 $x$ 의 '''인과적 미래''' $J^+(x)$ 는 $x$ 보다 인과적으로 후행하는 점들의 집합이다.

::

J^+(x)=\{y\in M\colon x\prec y\}

점 $x$ 의 '''인과적 과거''' $J^-(x)$ 는 $x$ 보다 인과적으로 선행하는 점들의 집합이다.

::

J^-(x)=\{y\in M\colon x\succ y\}

4. 점근적 과거와 미래

시공간의 등각 콤팩트화를 통해 미래/과거 시간꼴 무한, 공간꼴 무한, 미래/과거 영벡터 무한을 정의한다. 이러한 무한들은 등각 무한대라고도 불린다.^[1]

미래 방향의 시간꼴 측지선은 $i^+$ (future timelike infinity^영어), 즉 '''미래 시간꼴 무한대'''에서 끝난다. 과거 방향의 시간꼴 측지선은 $i^-$ (past timelike infinity^영어), 즉 '''과거 시간꼴 무한대'''에서 끝난다. 미래 방향의 널 측지선은 ℐ⁺, 즉 '''미래 널 무한대'''에서 끝난다. 과거 방향의 널 측지선은 ℐ⁻, 즉 '''과거 널 무한대'''에서 끝난다. 공간꼴 측지선은 '''공간꼴 무한대'''에서 끝난다.^[1]

4. 1. 등각 콤팩트화

시공간

(M,g)

를 등각 콤팩트화

(M,g)\hookrightarrow(\tilde M,g)

하여 경계

\partial\tilde M

을 추가할 수 있다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\tilde M=M\sqcup\partial\tilde M

$\tilde M$ 의 '''미래 시간꼴 무한'''(future timelike infinity^영어) $i^+\subset\partial\tilde M$ 는 $M$ 에서 시작하는 시간꼴 곡선들의 미래 방향 끝점들의 집합이다.
$\tilde M$ 의 '''과거 시간꼴 무한'''(past timelike infinity^영어) $i^-\subset\partial\tilde M$ 는 $M$ 에서 끝나는 시간꼴 곡선들의 과거 방향 끝점들의 집합이다.
$\tilde M$ 의 '''공간꼴 무한'''(spacelike infinity^영어) $i^0\subset\partial\tilde M$ 은 $M$ 에서 시작하는 공간꼴 곡선들의 끝점들의 집합이다.
$\tilde M$ 의 '''미래 영벡터 무한'''(future null infinity^영어) $\mathcal I^+\subset\partial\tilde M$ 은 $M$ 에서 시작하는 영벡터 곡선들의 미래 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 플러스"로 발음한다.
$\tilde M$ 의 '''과거 영벡터 무한'''(past null infinity^영어) $\mathcal I^-\subset\partial\tilde M$ 은 $M$ 에서 끝나는 영벡터 곡선들의 과거 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 마이너스"로 발음한다.

무한 메트릭은 무한 길이/고유 시간을 갖는 측지선을 허용한다. 그러나, 때때로 무한대에 접근할 때 0으로 충분히 빠르게 감소하는 등각 인자를 갖는 메트릭의 등각 재조정을 수행하여 다양체의 '''등각 경계'''를 얻을 수 있다. 등각 경계의 위상 구조는 인과 구조에 따라 달라진다.

미래 방향의 시간꼴 측지선은 $i^+$ , 즉 '''미래 시간꼴 무한대'''에서 끝난다.
과거 방향의 시간꼴 측지선은 $i^-$ , 즉 '''과거 시간꼴 무한대'''에서 끝난다.
미래 방향의 널 측지선은 ℐ⁺, 즉 '''미래 널 무한대'''에서 끝난다.
과거 방향의 널 측지선은 ℐ⁻, 즉 '''과거 널 무한대'''에서 끝난다.
공간꼴 측지선은 '''공간꼴 무한대'''에서 끝난다.

다양한 공간에서 등각 경계는 다음과 같다.

공간	미래/과거 시간꼴 무한대 ( $i^\pm$ )	미래/과거 영벡터 무한대 (ℐ^±)	공간꼴 무한대
민코프스키 공간	점	널 시트	여차원 2
안티 드 시터 공간	없음	없음	여차원 1
드 시터 공간	여차원 1	없음	없음

4. 2. 무한의 종류

시공간

(M,g)

를 등각 콤팩트화

(M,g)\hookrightarrow(\tilde M,g)

할 수 있다고 가정하면, 다음과 같은 무한의 종류를 정의할 수 있다.

$\tilde M$ 의 미래 시간꼴 무한 (future timelike infinity^영어) $i^+\subset\partial\tilde M$ 는 $M$ 에서 시작하는 시간꼴 곡선들의 미래 방향 끝점들의 집합이다.
$\tilde M$ 의 과거 시간꼴 무한 (past timelike infinity^영어) $i^-\subset\partial\tilde M$ 는 $M$ 에서 끝나는 시간꼴 곡선들의 과거 방향 끝점들의 집합이다.
$\tilde M$ 의 공간꼴 무한 (spacelike infinity^영어) $i^0\subset\partial\tilde M$ 은 $M$ 에서 시작하는 공간꼴 곡선들의 끝점들의 집합이다.
$\tilde M$ 의 미래 영벡터 무한 (future null infinity^영어) $\mathcal I^+\subset\partial\tilde M$ 은 $M$ 에서 시작하는 영벡터 곡선들의 미래 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 플러스"로 발음하는데, 이는 LaTeX 매크로 {\scr I}^+에서 유래한다.
$\tilde M$ 의 과거 영벡터 무한 (past null infinity^영어) $\mathcal I^-\subset\partial\tilde M$ 은 $M$ 에서 끝나는 영벡터 곡선들의 과거 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 마이너스"로 발음하는데, 이는 LaTeX 매크로 {\scr I}^-에서 유래한다.

미래 방향의 시간꼴 측지선은

i^+

(미래 시간꼴 무한대)에서 끝나고, 과거 방향의 시간꼴 측지선은

i^-

(과거 시간꼴 무한대)에서 끝난다. 미래 방향의 널 측지선은 ℐ⁺ (미래 널 무한대)에서 끝나고, 과거 방향의 널 측지선은 ℐ⁻ (과거 널 무한대)에서 끝난다. 공간꼴 측지선은 공간꼴 무한대에서 끝난다.

공간에 따라 무한대의 위상 구조는 다음과 같이 달라진다.

공간	$i^\pm$	ℐ^±	공간꼴 무한대
민코프스키 공간	점	널 시트	여차원이 2
안티 드 시터 공간	없음	없음	여차원이 1
드 시터 공간	여차원이 1	(해당 없음)	(해당 없음)

5. 추가 개념 (영문 위키 참조)

컨포멀 기하학에서 두 계량 $\,g$ 와 $\hat{g}$ 가 어떤 실수 함수 $\Omega$ (컨포멀 인자)에 대해 $\hat{g} = \Omega^2 g$ 로 표현될 때, 이들은 컨포멀 관계에 있다고 한다. 접선 벡터가 시간유사(타임라이크), 영벡터(널), 공간유사(스페이스라이크)인지에 대한 정의는 어느 계량을 사용해도 변하지 않는다. 따라서 로렌츠 다양체의 인과 구조는 컨포멀 변환에 의해 영향을 받지 않으며, 영벡터(널) 측지선은 컨포멀 스케일링 하에서도 영벡터(널) 측지선으로 유지된다.

측지선이 유한한 아핀 매개변수 후에 종결되고, 매니폴드를 확장하여 측지선을 연장하는 것이 불가능할 경우, '''특이점'''을 갖게 된다.^[1] 블랙홀이나 빅뱅의 경우처럼, 미래 또는 과거의 시간꼴 경계는 일부 장소에서 특이점으로 끝난다.^[1]

절대 사건 지평선은 미래의 시간꼴 무한대의 과거 널 원뿔이며, Raychaudhuri 광학 방정식을 따르는 널 측지선에 의해 생성된다.^[1]

5. 1. 컨포멀 기하학

두 계량

\,g

와

\hat{g}

가 어떤 실수 함수

\Omega

(컨포멀 인자)에 대해

\hat{g} = \Omega^2 g

로 표현될 때, 이 두 계량은 '''컨포멀 관계'''에 있다고 한다.(컨포멀 맵 참조).

접선 벡터가 시간유사(타임라이크), 영벡터(널), 공간유사(스페이스라이크)인지에 대한 정의는

\,g

또는

\hat{g}

를 사용해도 변하지 않는다. 예를 들어,

X

가

\,g

계량에 대해 시간유사 접선 벡터라면,

\,g(X,X) < 0

이다. 그러면

\hat{g}(X,X) = \Omega^2 g(X,X) < 0

이므로,

X

는

\hat{g}

에 대해서도 시간유사 접선 벡터이다.

따라서 로렌츠 다양체의 인과 구조는 컨포멀 변환에 의해 영향을 받지 않는다.

영벡터(널) 측지선은 컨포멀 스케일링 하에서도 영벡터(널) 측지선으로 유지된다.

5. 2. 중력 특이점

측지선이 유한한 아핀 매개변수 후에 종결되고, 매니폴드를 확장하여 측지선을 연장하는 것이 불가능할 경우, '''특이점'''을 갖게 된다.^[1] 블랙홀의 경우, 미래의 시간꼴 경계는 일부 장소에서 특이점으로 끝난다.^[1] 빅뱅의 경우, 과거의 시간꼴 경계 역시 특이점이다.^[1]

5. 3. 절대 사건 지평선

절대 사건 지평선은 미래의 시간꼴 무한대의 과거 널 원뿔이다. 이는 Raychaudhuri 광학 방정식을 따르는 널 측지선에 의해 생성된다.^[1]

참조

_[1] 서적 1979
_[2] 웹사이트 Notes on Lorentzian causality https://www.math.mia[...] University of Miami 2021-07-02
_[3] 서적 1972
_[4] 간행물 The order on the light cone and its induced topology 2018-05
_[5] 서적 1972
_[6] 간행물 Spacetime Causal Structure and Dimension from Horismotic Relation 2016-05-25
_[7] 서적 1972
_[8] 서적 1970
_[9] 서적 1973

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