잉여류체

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1. 개요

잉여류체는 가환 국소환이나 스킴의 점에 대응하는 체를 의미한다. 가환 국소환 R의 잉여류체는 R을 극대 아이디얼 m으로 나눈 몫환 R/m이다. 스킴 X의 점 x에서의 잉여류체는 국소환의 잉여류체로 정의되며, 이는 아핀 근방과 소 아이디얼을 사용하여 계산된다. 잉여류체는 체의 확대와 관련이 있으며, 특히 유한형 스킴에서 닫힌 점은 잉여류체가 기저 체의 유한 확대인 경우에 해당한다.

잉여류체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 국소환의 잉여류체
- 2.2. 스킴의 점에서의 잉여류체
3. 예
- 3.1. 대수적으로 닫힌 체의 경우
- 3.2. 대수적으로 닫히지 않은 체의 경우
4. 성질

2. 정의

잉여류체는 국소환과 스키마 두 가지 경우로 나누어 정의된다.

가환환 국소환 $R$ 은 유일한 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 을 가지며, 이 경우 잉여류체는 체 $R/\mathfrak m$ 이다. 스키마 $X$ 의 점 $x$ 에서의 잉여류체는 그 점에서의 국소환 $X_p$ 의 잉여류체이다.

2.1. 국소환의 잉여류체

가환환 국소환 $R$ 은 유일한 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 을 갖는다. $R$ 의 잉여류체는 체 $R/\mathfrak m$ 이다. 어떤 체 $k$ 에 대해, $k(x)=k$ 인 점 $x$ 를 $\color{blue}k$ -유리점이라고 한다.

2.2. 스킴의 점에서의 잉여류체

스키마 $X$ 의 점 $x$ 에서의 잉여류체는 $x$ 를 포함하는 아핀 근방 $\mathcal{U} = \text{Spec}(A)$ (여기서 $A$ 는 가환환)를 선택하여 정의한다. $x$ 는 $\mathcal{U}$ 안에서 소 아이디얼 $\mathfrak{p} \subseteq A$ 에 대응된다. (자리스키 위상 참조). $x$ 에서의 $X$ 의 국소환은 $A\setminus \mathfrak{p}$ 에 의한 $A$ 의 국소화 $A_{\mathfrak{p}}$ 이며, 이는 극대 아이디얼 $\mathfrak{m} = \mathfrak{p} A_{\mathfrak{p}}$ 을 갖는다. 점 $x$ 의 잉여류체는 다음과 같이 정의된다.

: $k(x) := A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p} A_{\mathfrak{p}}$ .

이 정의는 아핀 근방 $\mathcal{U}$ 의 선택에 의존하지 않는다.

어떤 체 $k$ 에 대해, 점 $x$ 가 $k(x) = k$ 를 만족하면 $k$ -유리점이라고 한다.

3. 예

체 $k$ 위의 아핀 직선 $\mathbb{A}^1(k)=\operatorname{Spec}(k[t])$ 을 예로 들어 설명한다. $k$ 가 대수적으로 닫힌 체인지 아닌지에 따라 잉여류체의 종류가 달라진다.

3.1. 대수적으로 닫힌 체의 경우

대수적으로 닫힌 체인 체 $k$ 위의 아핀 직선 $\mathbb{A}^1(k)=\text{Spec}(k[t])$ 를 생각해 보자. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 종류의 소 아이디얼이 존재한다.

* $(t-a)$ , $a\in k$
* $(0)$ , 영 아이디얼

각 경우의 잉여류체는 다음과 같다.

* $k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)} \cong k$
* $k[t]_{(0)} \cong k(t)$ , $k$ 위의 일변수 함수체

만약 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있지 않다면, 더 많은 유형이 나타난다. 예를 들어, $k=\mathbb{R}$ (실수)이라면, 소 아이디얼 $(x^2+1)$ 은 $\mathbb{C}$ (복소수체)와 동형인 잉여류체를 갖는다.

3.2. 대수적으로 닫히지 않은 체의 경우

k^영어가 대수적으로 닫혀 있지 않은 경우, 더 많은 유형의 소 아이디얼이 나타날 수 있다. 예를 들어, k^영어=R^영어인 경우, 소 아이디얼 $(x^2+1)$ 은 C^영어와 동형인 잉여류체를 갖는다.

4. 성질

잉여류체는 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

* 체 k 위의 국소 유한형 사상인 스킴에서, 점 x가 닫힌 점인 것과 k(x)가 기초 체 k의 유한 차수 확대인 것은 동치이다. 이는 힐베르트 영점 정리의 기하학적 정식화이다. 위의 예시에서 1종류의 점은 닫힌 점이며, 잉여 체 k를 갖고, 2종류의 점은 생성점이며, k 위 초월 차수 1이다.

4.1. 닫힌 점과 유한 확대

체 $k$ 위의 유한형인 스킴에서, 점 $x$ 가 닫힌 점이 될 필요충분조건은 $k(x)$ 가 기저 체 $k$ 의 유한 확대인 것이다. 이는 힐베르트 영점 정리의 기하학적 표현이다.

4.2. 사상과 체 확대

사상 $\operatorname{Spec}(K) \rightarrow X$ (여기서 $K$ 는 어떤 체)는 점 $x \in X$ 와 체 확대 $K/k(x)$ 를 지정하는 것과 같다.

4.3. 크룰 차원과 초월 차수

체 위의 유한형 스킴의 크룰 차원은 일반점의 잉여류체의 초월 차수와 같다.