가환환

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1. 개요

가환환은 곱셈 연산이 가환성을 만족하는 환을 의미하며, 대수학의 중요한 개념 중 하나이다. 환은 덧셈과 곱셈의 두 이항 연산을 갖춘 집합으로, 덧셈에 대해 아벨 군을 이루고 곱셈에 대해 모노이드를 이루며, 곱셈은 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족해야 한다. 가환환은 이러한 환의 조건에 더하여 곱셈의 교환 법칙이 성립해야 한다. 가환환은 정수환, 다항식환, 연속 함수 환 등 다양한 예시를 가지며, 대수기하학, 정수론 등 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 가환환의 종류로는 정역, 유일 인수 분해 정역, 주 아이디얼 정역, 체 등이 있으며, 환의 스펙트럼, 아이디얼, 국소화, 호몰로지 대수 등과 같은 개념들을 통해 가환환의 구조와 성질을 연구한다.

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가환환
개요
정수환 Z는 가환환의 한 예이다.
수학 분야	추상대수학
정의
정의	곱셈의 교환 법칙이 성립하는 환
참고	곱셈의 교환 법칙이 성립하지 않는 환은 비가환환이라고 한다.
예시
예시	정수환 다항식환 합동식환
추가 설명	이들은 모두 가환환의 중요한 예시이다.
성질
아이디얼	가환환에서는 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼의 구분이 없다.
극대 아이디얼	가환환의 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다.
관련 개념
관련 개념	체 정역 나눗셈환

2. 정의

환 $(R,+,\cdot,0,1)$ 에서 $(R,+,0)$ 는 아벨 군을 이루며, $(R,\cdot,1)$ 은 모노이드를 이룬다. 만약 $(R,\cdot,1)$ 이 가환 모노이드를 이룬다면, $R$ 를 '''가환환'''이라고 한다. 즉, 가환환에서는 모든 $r,s\in R$ 에 대하여 $rs=sr$ 이다.

3. 성질

가환환과 환 준동형의 범주 $\operatorname{CRing}$ 는 아핀 스킴의 범주 $\operatorname{Aff}$ 의 반대 범주와 동치이다. 구체적으로, 이 동치는 환의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}$ 에 의하여 주어진다. 즉, 스킴 이론을 통해 가환환 사이의 연산을 대수기하학적으로 해석할 수 있다.

가환환의 범주는 다음과 같은 성질을 갖는다.

시작 대상	정수환 $\mathbb Z$
끝 대상	자명환 $0$
곱	직접곱
쌍대곱	가환환의 자유곱
동등자	집합의 범주에서의 동등자
쌍대동등자	$f,g\colon R\to S$ 에 대하여, $\operatorname{coeq}(f,g)=S/(f(r)-g(r)\colon r\in R)$

가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$ 은 환의 범주 $\operatorname{Ring}$ 의 충만한 부분 범주를 이루며, 모든 극한을 보존시킨다. 즉, 환의 범주에서의 극한은 가환의 범주에서의 극한과 같다. 그러나 쌍대극한은 일반적으로 다르다.

웨더번의 소정리에 의해, 임의의 유한 나눗셈환은 가환, 즉 유한체를 이룬다. 환의 가환성을 보장하는 또 다른 조건으로, 재이콥슨의 조건 "''R''의 임의의 원소 ''r''에 대해 적당한 자연수 ''n'' > 1이 존재하여 ''r''^''n'' = ''r''을 만족하는 것"이 있다^[2]。 임의의 ''r''에 대해 ''r''² = ''r''인 환을 불 대수라고 한다. 환의 가환성을 보장하는 더 일반적인 조건도 알려져 있다^[3]。

4. 종류

가환환은 정역, 정수적으로 닫힌 정역, 크룰 정역, 유일 인수 분해 정역, 데데킨트 정역, 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체 등으로 분류할 수 있으며, 이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 환 ⊋ 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

정수 전체 '''Z'''는 통상적인 덧셈과 곱셈에 관하여 가환환을 이룬다. 가환체는 임의의 0이 아닌 원소가 가역적인 가환환이며, 유리수, 실수, 복소수는 체를 이룬다.

이차 정방 행렬 전체는 가환환이 아니지만, 같은 닮음 변환으로 동시에 대각화 가능한 행렬 전체는 가환환을 이룬다. 예를 들어, 어떤 정해진 노드 집합에 관한 차분상 행렬 전체는 가환환이다.

가환환 ''R''의 변수 ''X''에 대한 다항식 전체 ''R''[''X'']는 다항식환이라는 가환환을 이룬다. ''V''가 위상 공간일 때, ''V''상의 실수 값 또는 복소수 값의 연속 함수, 미분 가능 함수, 정칙 함수 전체도 가환환을 이룬다.

4. 1. 정역

영인자를 가지지 않는 가환환을 정역이라고 한다. 특수한 성질을 갖는 가환환들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[1]

: 환 ⊋ 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

4. 2. 유일 인수 분해 정역 (UFD)

정역에서 모든 0이 아닌 원소가 기약 원소의 곱으로 유일하게 분해되는 정역을 유일 인수 분해 정역(UFD)이라고 한다.^[1]

4. 3. 주 아이디얼 정역 (PID)

모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역을 주 아이디얼 정역(PID)이라고 한다. 주 아이디얼 환의 두 가지 중요한 예시는 정수(

\mathbb{Z}

)와 체

k

위의 다항식 환(

k \left[X\right]

)이다. 이들은 추가적으로 정역이므로, 주 아이디얼 정역이라고 한다.

일반 환과 달리 주 아이디얼 정역의 경우, 개별 원소의 속성은 전체 환의 속성과 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, 모든 주 아이디얼 정역은 유일 인수 분해 정역(UFD)이며, 이는 모든 원소가 기약 원소의 곱으로 (인수 재정렬을 제외하고) 유일한 방식으로 표현될 수 있음을 의미한다. 정역에서 원소

a

가

a=bc

로 표현될 때,

b

또는

c

가 단위원이 되는 경우에만 가능하다면,

a

를 기약 원소라고 한다. 체론에서 중요한 예시로, 체

k

에 대한

k \left[X\right]

의 기약 원소인 기약 다항식이 있다.

\mathbb{Z}

가 UFD라는 사실은 모든 자연수가 소수의 거듭제곱의 곱으로 유일하게 분해될 수 있다고 말함으로써 더 기본적인 방식으로 표현할 수 있다. 이는 또한 산술의 기본 정리로 알려져 있다.

원소

a

가 곱

bc

를 나눌 때,

a

가

b

또는

c

를 나눌 경우 소수 원소이다. 정역에서 소수이면 기약임을 의미한다. 그 역은 유일 인수 분해 정역에서는 참이지만 일반적으로는 거짓이다.

4. 4. 체 (Field)

0 ≠ 1이고 모든 0이 아닌 원소

a

가 가역적인, 즉 곱셈 역원

b

를 가져

a \cdot b = 1

이 성립하는 가환환이다. 따라서 정의에 의해 모든 체는 가환환이다. 유리수, 실수, 복소수는 체를 이룬다.

5. 분류

임의의 가환환은 영근기에 대한 몫환을 통해 축소환으로 나타낼 수 있다. 가환 축소환은 정역들의 직접곱의 부분환으로 나타낼 수 있다. 모든 정역은 그 분수체의 부분환으로 나타낼 수 있다. 즉, 가환환, 가환 축소환, 정역, 체 순으로, 점점 더 정칙적인 구조로 나타낼 수 있다.^[1]

6. 예

정수 집합 $\mathbb Z$ 에 덧셈과 곱셈을 하면 가환환이 된다.
자명환은 가환환이다.
모든 불 대수는 가환환으로 볼 수 있다.
모든 체는 가환환이다. 대표적인 예로 유리수체, 실수체, 복소수체 등이 있다.
임의의 위상 공간 $X$ 위의 실수값 연속 함수들의 집합 $\mathcal C(X;\mathbb R)$ 는 덧셈과 곱셈에 대해 가환환이 된다.
주어진 가환환 $R$ 의 계수를 갖는 변수 $X$ 의 모든 다항식 집합 $R \left[ X \right]$ 는 다항식환이 된다. 이는 여러 변수에도 마찬가지로 성립한다.

7. 가분성

환에서 곱셈에 대한 역원을 갖는 원소를 단원이라고 한다. 영인자는 $ab=0$ 을 만족하는 0이 아닌 원소 $b$ 가 존재하는 원소 $a$ 이다. $R$ 이 0이 아닌 영인자를 가지지 않으면 정역이라고 한다. 어떤 양의 정수 $n$ 에 대해 $a^n = 0$ 을 만족하는 원소 $a$ 는 멱영원소라고 한다.

8. 국소화

환의 국소화는 일부 원소를 가역적으로 만드는 과정, 즉 곱셈의 역원을 환에 추가하는 과정이다. 구체적으로, $S$ 가 $R$ 의 곱셈 닫힌 집합(즉, $s, t \in S$ 이면 $st$ 도 $S$ 에 속한다)일 때, $R$ 의 $S$ 에서의 국소화 또는 $S$ 에 있는 분모를 가진 분수 환은 일반적으로 $S^{-1}R$ 로 표기하며, 다음과 같은 기호로 구성된다.

: $\frac{r}{s}$ with $r \in R, s \in S$

이는 유리수에서 익숙한 약분과 유사한 특정 규칙을 따른다. 실제로 이 언어에서 $\mathbb{Q}$ 는 모든 0이 아닌 정수에서 $\mathbb{Z}$ 의 국소화이다. 이 구성은 $\mathbb{Z}$ 대신 모든 정역 $R$ 에 대해 작동한다. 국소화 $\left(R \setminus \left\{ 0 \right\}\right)^{-1}R$ 는 $R$ 의 분수체라고 하는 체이다.

9. 아이디얼과 가군

환 $R$ 의 아이디얼은 $R$ 의 부분 가군이다. 즉, 아이디얼 $I$ 는 $R$ 의 공집합이 아닌 부분 집합으로, $R$ 의 모든 원소 $r$ 과 $I$ 의 원소 $i$ , $j$ 에 대해 $ri$ 와 $i+j$ 가 모두 $I$ 에 속한다.

모든 환은 영 아이디얼 $\left\{0\right\}$ 과 전체 환 $R$ 을 아이디얼로 가진다. $R$ 의 부분 집합 $F=\left\{f_j\right\}_{j \in J}$ ( $J$ 는 지수 집합)에 의해 생성된 아이디얼은 $F$ 를 포함하는 가장 작은 아이디얼이며, 다음과 같은 유한 선형 결합으로 표현된다.

: $r_1 f_1 + r_2 f_2 + \dots + r_n f_n$

하나의 원소로 생성되는 아이디얼은 주 아이디얼이라고 한다.

9. 1. 주 아이디얼 정역 (PID)

모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역을 주 아이디얼 정역(PID)이라고 한다. 주 아이디얼 정역에서 원소의 속성은 전체 환의 속성과 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, 모든 주 아이디얼 정역

R

은 유일 인수 분해 정역(UFD)이며, 이는 모든 원소가 기약 원소의 곱으로 (인수 재정렬을 제외하고) 유일한 방식으로 표현될 수 있음을 의미한다. 여기서, 정역에서 원소

a

가 다음 조건을 만족하면 기약 원소라고 한다.

:

a=bc

:

b

또는

c

가 단원(unit)인 경우에만 위 식이 성립한다.

체론에서 중요한 예시로, 체

k

에 대한

k \left[X\right]

의 기약 원소인 기약 다항식이 있다.

\mathbb{Z}

가 UFD라는 사실은 모든 자연수가 소수의 거듭제곱의 곱으로 유일하게 분해될 수 있다고 말함으로써 더 기본적인 방식으로 표현할 수 있다. 이는 또한 산술의 기본 정리로 알려져 있다.

원소

a

가 곱

bc

를 나눌 때,

a

가

b

또는

c

를 나눌 경우 소수 원소이다. 정역에서 소수이면 기약임을 의미한다. 그 역은 유일 인수 분해 정역에서는 참이지만 일반적으로는 거짓이다.

9. 2. 몫환

아이디얼

I

에 대한 몫환

R/I

은

I

의 잉여류 집합에 다음과 같은 연산을 부여하여 만들어진다.

\left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I

와

\left(a+I\right) \left(b+I\right)=ab+I

예를 들어,

n

이 정수인 환

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

(또는

\mathbb{Z}_n

으로 표기)는 법

n

에 대한 정수의 환이며, 모듈러 연산의 기초가 된다.

9. 3. 극대 아이디얼

이상을 생각함으로써 가환환의 내부 구조가 결정된다. 어떤 진 이상(즉, ''R''이 아닌 이상)에도 포함되지 않는 이상을 극대 아이디얼이라고 한다. 이상 ''m''이 극대일 필요충분조건은 잉여환 ''R''/''m''이 체가 되는 것이다. (선택 공리와 동치인) 초른의 보조정리에 따르면, 임의의 환이 적어도 하나의 극대 아이디얼을 가진다는 것을 보일 수 있다.^[1]

10. 뇌터 환과 아르틴 환

뇌터 환은 모든 아이디얼의 오름 사슬이 안정화되는 환이며, 에미 뇌터의 이름을 따서 지어졌다. 이와 동치로, 모든 아이디얼이 유한 개의 원소로 생성되거나, 유한 생성 부분 가군의 부분 가군은 유한 생성된다는 조건이 있다. 힐베르트 기저 정리에 의해, $R$ 이 뇌터 환이면 다항식 환 $R \left[X_1, X_2, \dots, X_n\right]$ 도 뇌터 환이다.

아르틴 환은 모든 아이디얼의 내림 사슬이 안정화되는 환이며, 에밀 아르틴의 이름을 따서 지어졌다. 뇌터 환이 아르틴 환보다 더 일반적인 개념이다. 예를 들어, 정수환 $\mathbb{Z}$ 는 뇌터 환이지만, 아르틴 환은 아니다. 홉킨스-레비츠키 정리에 따르면, 모든 아르틴 환은 뇌터 환이다. 더 정확하게는, 아르틴 환은 크룰 차원이 0인 뇌터 환으로 특징지을 수 있다.

11. 환의 스펙트럼

환의 스펙트럼은 주어진 환의 모든 소 아이디얼들의 집합이며, 자리스키 위상을 갖는다.^[1] 환의 스펙트럼은 환의 대수적 속성을 기하학적으로 반영하며, $\text{Spec}\ R$ 로 표기한다.

자리스키 위상에서 열린 집합의 기저는 다음과 같다.

: $D\left(f\right) = \left\{p \in \text{Spec} \ R,f \not\in p\right\},$ 여기서 $f$ 는 환의 임의의 원소이다.

이는 $f$ 를 잉여류체 ''R''/''p''에서 ''f''의 이미지인 ''f'' mod ''p'' 값을 갖는 함수로 해석할 때, ''f''가 0이 아닌 위치를 나타낸다.

스펙트럼은 극대 아이디얼의 집합을 포함하며, 이는 mSpec (''R'')로 표기되기도 한다. 대수적으로 닫힌 체 ''k''에 대해, mSpec (k[''T''₁, ..., ''T''_''n''] / (''f''₁, ..., ''f''_''m''))는 다음 집합과 일대일 대응된다.

: {''x'' =(''x''₁, ..., ''x''_''n'') ∊ ''k''^''n'' | ''f''₁(''x'') = ... = ''f''_''m''(''x'') = 0.}

이는 다항식 해 집합의 기하학적 속성을 반영하며, 가환환론 연구의 초기 동기 중 하나였다.

비극대 아이디얼을 환의 기하학적 속성의 일부로 고려하는 것은 여러 이유로 유용하다. 예를 들어, 최소 소 아이디얼은 Spec ''R''의 기약 성분에 해당한다. 뇌터 환 ''R''의 경우, Spec ''R''은 유한 개의 기약 성분만을 갖는다. 이는 임의의 아이디얼을 유한 개의 프라이머리 아이디얼의 곱으로 분해할 수 있다는 프라이머리 분해의 기하학적 표현이다. 이 사실은 데데킨트 환에서 소 아이디얼로의 분해를 일반화한 것이다.

11. 1. 소 아이디얼

소 아이디얼은 환의 두 원소 ''a'', ''b''의 곱 ''ab''가 ''p''에 속하면 ''a'' 또는 ''b'' 중 적어도 하나가 ''p''에 속하는 성질을 갖는 아이디얼 ''p''이다.^[1] 이 조건은 몫환 ''R''/''p''가 정역이 된다는 것과 동치이다. 또한, ''p''의 여집합 ''R'' ∖ ''p''가 곱셈에 대해 닫혀 있다는 조건과도 같다.

어떤 아이디얼이 소 아이디얼인지 (즉, 그 몫환에 영인자가 없는지) 증명하는 것은 쉽지 않을 수 있으며, 매우 어려운 문제가 되기도 한다.

11. 2. 아핀 스킴

소 이데알은 환 ''R''의 소 이데알 전체로 이루어진 집합인 '''환의 스펙트럼''' Spec ''R''^[1]을 통해 환을 "기하학적"으로 해석하기 위한 핵심 개념이다. 영환이 아닌 임의의 환은 적어도 하나의 소 이데알을 가지므로, 스펙트럼은 공집합이 아니다. ''R''이 체라면 유일한 소 이데알이 영 이데알이므로, 그 스펙트럼도 한 점으로 이루어진다. 한편, 유리 정수환 '''Z'''의 스펙트럼은 영 이데알에 대응하는 한 점 외에, (소 이데알 ''p'''''Z'''를 생성하는) 각 소수 ''p''에 대응하는 점을 갖는다. 스펙트럼에는 자리스키 위상이라고 하는 위상이 들어간다. 이는 환의 각 원소 ''f''에 대해 부분 집합 ''D''(''f'') = {''p'' ∈ ''Spec R'' : ''f'' ∉ ''p''}가 열린 집합으로 정의되는 위상이다. 이 위상은 해석학이나 미분기하학에서 보는 위상과는 달리, 예를 들어 한 점 집합이 일반적으로 닫히지 않기도 한다. 또한 예를 들어, 영 이데알 0 ⊂ '''Z'''에 대응하는 점의 폐포는 '''Z'''의 스펙트럼 전체와 일치한다.

스펙트럼의 개념은 가환환론과 대수기하학에 공통적인 기반이다. 대수기하학은 Spec ''R''에 층

\scriptstyle\mathcal O

(국소적으로, 즉 다양한 열린 집합 위에서 정의된 함수의 집합)을 부수시키는 것으로 시작한다. 이 공간과 층으로 이루어진 데이터를 아핀 스킴이라고 부른다. 아핀 스킴이 주어지면, 기초가 되는 환 ''R''은 층

\scriptstyle\mathcal O

의 대역 절단 전체로 이루어진 환으로 복구된다. 더 나아가, 이렇게 얻어진 환과 아핀 스킴 사이의 일대일 대응은 환 준동형과 가환이 된다. 즉, 임의의 환 준동형 ''f'': ''R'' → ''S''에 대해 화살표의 방향을 거꾸로 하는 연속 사상

: Spec ''S'' → Spec ''R''; ''q'' ↦ ''f''⁻¹(''q'')

이 생겨난다. 이는 ''S''의 임의의 소 이데알은 ''f''에 의한 원상으로 ''R''의 소 이데알로 옮겨진다는 것을 말한다. 스펙트럼은 국소화와 잉여환의 직관적인 상보성을 명확한 형태로 서술하는 데에도 도움이 된다. 즉, 자연스러운 사상 ''R'' → ''R''_''f'' 및 ''R'' → ''R''/''fR''은 (생각하는 환의 스펙트럼에 자리스키 위상을 넣으면) 상보적인 관계에 있는 스펙트럼의 열린 매입 및 닫힌 매입에 대응한다.

결국, 이 두 범주의 동치성은 기하학적인 방식으로 환의 대수적 성질을 매우 잘 반영한다. 아핀 스킴은 (다양체가 ''R''^''n''의 열린 집합 위에서 국소적으로 정의되는 것과 정확히 같은 방식으로) 개형의 국소 모델이 되고 있다(스킴은 대수기하학의 주요 연구 대상이다). 그렇기 때문에, 기하학적 직관에서 유래하는 많은 개념을 환과 그 준동형에 적용할 수 있다.

12. 크룰 차원

환 ''R''의 크룰 차원(또는 차원) dim ''R''은 ''R''에서 독립적인 원소의 수를 세는 방식으로 환의 "크기"를 측정하는 것이다. 체 ''k'' 위의 대수 차원은 다음 네 가지 성질로 공리화될 수 있다.

차원은 국소적인 성질이다: dim ''R'' = sup_{p ∊ Spec ''R''} dim ''R''_''p''.
차원은 멱영 원소와 무관하다: ''I'' ⊆ ''R''이 멱영이면 dim ''R'' = dim ''R'' / ''I''.
차원은 유한 확장에 대해 일정하다: ''S''가 ''R''-가군으로서 유한 생성된 ''R''-대수이면 dim ''S'' = dim ''R''.
차원은 dim ''k''[''X''₁, ..., ''X''_''n''] = ''n''으로 보정된다. 이 공리는 ''n'' 변수의 다항식 환을 ''n'' 차원 공간의 대수적 유사물로 간주함으로써 동기를 얻는다.

차원은 모든 환 ''R''에 대해 소 아이디얼 사슬 길이 ''n''의 상한으로 정의된다.

: 0 ⊆ ''p''₀ ⊆ ''p''₁ ⊆ … ⊆ ''p''_''n''.

예를 들어, 체는 유일한 소 아이디얼이 영 아이디얼이므로 0차원이다. 정수는 1차원인데, (0) ⊊ (''p'') (여기서 ''p''는 소수) 꼴의 사슬만 존재하기 때문이다. 비노에터 환과 비국소 환의 경우 차원이 무한할 수 있지만, 노에터 국소 환은 유한 차원을 갖는다. 처음 두 공리는 정의로부터 바로 얻어지고, 나머지 두 공리는 가환대수학의 going-up 정리 및 크룰의 주 아이디얼 정리를 통해 증명된다.

보다 구체적으로, 크룰 차원은 소 아이디얼이 이루는 승쇄열의 길이 ''n''의 상한으로 정의된다. 체의 소 아이디얼은 영 아이디얼뿐이므로 체는 영차원이다. 가환환이 아르틴 환이 되기 위한 필요충분조건은 뇌터 환이면서 영차원(즉, 임의의 소 아이디얼이 극대 아이디얼)인 것이다. 유리 정수 환 '''Z'''는 임의의 아이디얼이 주 아이디얼이므로, 소 아이디얼의 임의의 승쇄는 소수 ''p''에 대해

: 0 = ''p''₀ ⊆ ''p'''''Z''' = ''p''₁

의 형태가 되므로 1차원이다.

차원의 개념은, 환이 뇌터 환일 때 잘 작동한다. 예를 들어 뇌터 환의 경우

: dim ''R''[''X''] = dim ''R'' + 1

이 성립한다 (일반적인 경우에는 dim ''R'' + 1 ≤ dim ''R''[''X''] ≤ 2 dim ''R'' + 1). ''R''의 차원은 임의의 소 아이디얼 ''p''에서의 국소화 ''R''_''p''의 차원의 상한과 일치한다. 직관적으로, ''R''의 차원은 ''R''의 스펙트럼의 국소적 성질이며, 국소환에만 차원을 정의하기도 한다. 이는 일반적인 뇌터 환의 경우 임의의 국소화가 유한 차원임에도 환 자체는 무한 차원일 수 있기 때문이다.

체 ''k''와 ''n''-변수 다항식 ''f''_''i''에 대해, 환

:''k''[''X''₁, ''X''₂, …, ''X''_''n''] / (''f''₁, ''f''₂, …, ''f''_''m'')

의 차원을 계산하는 것은 쉽지 않다. 크룰의 주 아이디얼 정리에 따르면, 뇌터 환 ''R''에서 ''n''개의 원소로 생성된 아이디얼 ''I''에 대해, ''R''/''I''의 차원은 dim ''R'' − ''n'' 이상이다. 차원이 가능한 한 적은 경우(dim(''R''/''I'') = dim ''R'' − ''n'')의 잉여환 ''R''/''I''를 완전 교차환이라고 한다.

유일한 극대 아이디얼 ''m''을 갖는 국소환 ''R''이 정칙이라는 것은, ''R''의 크룰 차원이 여접 공간 ''m'' / ''m''²의 (체 ''R''/''m'' 위의 벡터 공간으로서의) 차원과 일치할 때를 의미한다.

13. 환 준동형

환 준동형은 덧셈과 곱셈 구조를 보존하는 함수이다. 환 준동형의 핵은 아이디얼이고, 상은 부분환이다.

환 준동형 ''f'' : ''R'' → ''S''는 다음을 만족한다.

''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b'')
''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'')
''f''(1) = 1

이러한 조건은 ''f''(0) = 0 임을 보장한다. 이때, ''S''는 ''r'' · ''s'' := ''f''(''r'') · ''s'' 와 같이 ''R''-대수가 된다.

''f''의 핵과 상은 다음과 같이 정의된다.

ker(''f'') = {''r'' ∈ ''R'', ''f''(''r'') = 0}
im(''f'') = ''f''(''R'') = {''f''(''r''), ''r'' ∈ ''R''}

핵은 ''R''의 아이디얼이고, 상은 ''S''의 부분환이다.

환 준동형이 전단사이면 동형사상이라고 한다. 중국인의 나머지 정리는 환 동형사상의 예시이다.

:

\mathbf Z/n = \bigoplus_{i=0}^k \mathbf Z/p_i ,

여기서 ''n'' = ''p''₁''p''₂...''p''_''k''는 쌍별로 다른 소수의 곱이다.

가환환은 환 준동형과 함께 범주를 형성한다. 환 '''Z'''는 이 범주의 시작 대상이며, 모든 가환환 ''R''에 대해 고유한 환 준동형 '''Z''' → ''R''이 존재함을 의미한다. 이 사상을 통해 정수 ''n''은 ''R''의 원소로 간주될 수 있다. 예를 들어, 이항 정리는 이 사상을 사용하여 이항 계수를 ''R''의 원소로 해석함으로써 이해할 수 있다.

:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k a^k b^{n-k}

14. 국소환

환이 단 하나의 극대 아이디얼 ''m''을 가지면 국소환이라고 부른다.^[1] 임의의 환 ''R''과 소 아이디얼 ''p''에 대해, 국소화 ''R''_''p''는 국소환이다. 이 국소화는 Spec ''R''에서 ''p'' 주변의 기하학적 성질을 반영한다. 가환대수학의 여러 개념과 문제는 ''R''이 국소환인 경우로 축소할 수 있어, 국소환은 깊이 연구되는 환의 종류이다. ''R''의 잉여류체는 ''k'' = ''R'' / ''m''으로 정의된다.^[1]

임의의 ''R''-가군 ''M''에 대해, ''M'' / ''mM''는 ''k''-벡터 공간을 생성한다. 나카야마 보조정리에 따르면, 유한 생성 가군 ''M''이 영가군인 것과 ''M'' / ''mM''이 영가군인 것은 동치이다.^[1]

소 아이디얼 (''p'' 또는 $\scriptstyle\mathfrak{p}$ 로 표기)은 19세기 대수학자들이 '''Z'''처럼 소인수분해의 유일성이 성립하지 않는 환을 발견하면서 등장했다. (유일 인수 분해 환에서는 소인수분해가 유일하다.) 소 아이디얼은 진 이데알이며, 환의 두 원소 ''a'', ''b''의 곱 ''ab''가 ''p''에 속하면 ''a'' 또는 ''b'' 중 적어도 하나는 ''p''에 속한다. 이는 잉여환 ''R''/''p''가 정역이라는 것, 그리고 ''p''의 여집합 ''R'' ∖ ''p''가 곱셈 닫힌 집합이라는 것과 동치이다. 국소화 (''R'' ∖ ''p'')⁻¹''R''은 ''R''_''p''로 표기하며, 이 환은 유일한 극대 아이디얼 ''pR''_''p''을 갖는 국소환이다.^[1]

체는 정역이므로 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 어떤 이데알이 소 아이디얼인지 (즉, 잉여환이 영인자를 갖지 않는지) 판별하는 것은 어려운 문제일 수 있다.^[1]

right

소 아이디얼은 '''환의 스펙트럼''' Spec ''R'' ^[1]을 통해 환을 기하학적으로 해석하는 핵심 개념이다. 영환이 아닌 환은 적어도 하나의 소 아이디얼을 가지므로 스펙트럼은 공집합이 아니다. ''R''이 체이면 유일한 소 아이디얼은 영 이데알이고, 스펙트럼은 한 점으로 이루어진다. '''Z'''의 스펙트럼은 영 이데알에 대응하는 점과 각 소수 ''p''에 대응하는 점(''p''Z'''라는 소 이데알을 생성)으로 구성된다. 스펙트럼에는 자리스키 위상이 부여되는데, 이는 환의 각 원소 ''f''에 대해 ''D''(''f'') = {''p'' ∈ ''Spec R'' : ''f'' ∉ ''p''}를 열린 집합으로 정의하는 위상이다. 이 위상은 해석학, 미분기하학에서 사용하는 위상과 다를 수 있다. 예를 들어 한 점 집합이 닫혀 있지 않을 수 있고, 영 이데알 0 ⊂ '''Z'''에 대응하는 점의 폐포는 '''Z'''의 스펙트럼 전체이다.^[1]

스펙트럼은 가환환론과 대수기하학의 공통 기반이다. 대수기하학은 Spec ''R''에 층 $\scriptstyle\mathcal O$ (국소적으로 정의된 함수의 집합)를 추가하여 아핀 스킴을 정의한다. 아핀 스킴에서 환 ''R''은 층 $\scriptstyle\mathcal O$ 의 대역 절단으로 복구된다. 환과 아핀 스킴 사이의 일대일 대응은 환 준동형과 가환된다. 환 준동형 ''f'': ''R'' → ''S''에 대해,

: Spec ''S'' → Spec ''R''; ''q'' ↦ ''f''⁻¹(''q'')

와 같은 연속 사상이 존재한다. 즉, ''S''의 소 아이디얼은 ''f''의 원상으로 ''R''의 소 아이디얼이 된다. 스펙트럼은 국소화와 잉여환의 상보성을 보여준다. 자연스러운 사상 ''R'' → ''R''_''f'' 및 ''R'' → ''R''/''fR''은 스펙트럼의 열린 매입 및 닫힌 매입에 대응한다.^[1]

이 두 범주의 동치성은 환의 대수적 성질을 기하학적으로 반영한다. 아핀 스킴은 (다양체가 ''R''^''n''의 열린 집합 위에서 국소적으로 정의되는 것처럼) 스킴의 국소 모델이며(스킴은 대수기하학의 주요 연구 대상), 기하학적 직관을 환과 준동형에 적용할 수 있게 한다.^[1]

14. 1. 정칙 국소환

코탄젠트 공간의 차원과 크룰 차원이 같은 뇌터 국소환을 정칙 국소환이라고 한다. 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역(UFD)이다.^[1]

''k''-벡터 공간 ''m''/''m''²는 코탄젠트 공간의 대수적 표현이다. ''m''의 원소는 어떤 점 ''p''에서 사라지는 함수로 생각할 수 있고, ''m''²는 차수가 2 이상인 함수를 포함한다. 모든 뇌터 국소환 ''R''에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:dim_''k'' ''m''/''m''² ≥ dim ''R''

이는 코탄젠트 공간(또는 접선 공간)의 차원이 공간 Spec ''R''의 차원보다 크거나 같다는 것을 의미한다. 만약 이 부등식에서 등식이 성립하면, ''R''을 정칙 국소환이라고 한다. 뇌터 국소환은 다음 환(접선 원뿔 위의 함수환)이

:

\bigoplus_n m^n / m^{n+1}

''k'' 위 다항식환과 동형일 때 정칙 국소환이다. 정규 국소환은 다항식환과 다소 유사하다.^[1]

이산 값매김환은 모든 원소 ''r''에 정수를 할당하는 함수를 갖추고 있으며, 이 숫자는 ''r''의 영점 또는 극점의 차수로 생각할 수 있다. 이산 값매김환은 정확히 1차원 정규 국소환이다. 예를 들어, 리만 곡면 위 정칙 함수의 아 germs 환은 이산 값매김환이다.

14. 2. 완비 교차 환

크룰의 주 아이디얼 정리에 따르면, 환의 차원 이론의 기본 결과로, 다음 형태의 환의 차원은 최소 ''r'' − ''n''이다.

: ''R'' = ''k''[''T''₁, ..., ''T''_''r''] / (''f''₁, ..., ''f''_''n'')

완전 교차 환은 환 ''R''이 이러한 최소 경계에 도달하는 방식으로 표현될 수 있을 때를 말한다. 이 개념은 주로 국소 환에 대해서도 연구된다. 모든 정칙 국소 환은 완전 교차 환이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

환 ''R''이 '집합론적' 완전 교차라는 것은 ''R''과 관련된 축소 환, 즉 멱영 원소를 모두 나눈 환이 완전 교차라는 의미이다. 2017년 현재, 3차원 공간의 곡선이 집합론적 완전 교차인지 여부는 일반적으로 알려져 있지 않다.

14. 3. 코헨-매콜리 환

모든 국소 Noether 환에 대해 다음 부등식이 성립한다.

: depth(''R'') ≤ dim(''R'')

여기서 깊이(depth)는 극대 정칙열의 원소 개수이고, dim(''R'')은 환 ''R''의 크룰 차원을 의미한다. 이 부등식에서 등호가 성립하는 국소환을 코헨-매콜리 환이라고 한다. 즉, 코헨-매콜리 환은 깊이와 차원이 같은 국소환이다. 국소 완비 교차환과 정규 국소환은 코헨-매콜리 환이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 코헨-매콜리 환은 전체 사슬 환과 같이 정규환이 가지는 좋은 성질들을 공유하면서도, 정규 국소환보다 몫을 취하는 것에 대해 더 안정적이다.

15. 가환환의 구성

주어진 환으로부터 새로운 환을 구성하는 방법에는 여러 가지가 있다. 이러한 구성은 환의 특정 속성을 개선하여 더 쉽게 이해할 수 있도록 하는 것을 목표로 한다. 예를 들어, 분수체에서 정수적으로 닫힌 정역을 정규라고 하는데, 이는 바람직한 속성이다. 예를 들어 모든 1차원 정규 환은 반드시 정규이다. 환을 정규로 만드는 것을 ''정규화''라고 한다.^[1]

15. 1. 완비화

I^영어-adic 완비는 환 ''R''/''I''^''n''의 역극한이다. 예를 들어, k^영어가 체일 때, k^영어''X'' (k^영어에 대한 1변수 형식적 멱급수 환)는 k^영어[''X'']]의 ''X''에 의해 생성된 주 아이디얼 I^영어에 대한 I^영어-adic 완비이다. 이와 유사하게, ''p''진 정수의 환은 주 아이디얼 (''p'')에 대한 '''Z'''의 완비이다. 자신의 완비와 동형인 모든 환은 완비 환이라고 한다.

완비 국소 환은 헨젤의 보조정리를 만족하며, 대략적으로 말해 잉여류체 ''k''에 대한 (다양한 문제의) 해를 ''R''까지 확장할 수 있게 해준다.

16. 호몰로지 대수

가환환의 여러 심오한 측면들은 호몰로지 대수학의 방법들을 사용하여 연구되어 왔다. 호흐스터(Hochster)는 2007년에 이 활발한 연구 분야에서 몇 가지 미해결 문제들을 나열하였다.^[2]

웨더번의 소정리에 의해, 임의의 유한 나눗셈환은 가환환이며, 이는 유한체를 이룬다. 환의 가환성을 보장하는 또 다른 조건으로, 재이콥슨의 조건 "R의 임의의 원소 r에 대해 적당한 자연수 n > 1이 존재하여 rⁿ = r을 만족하는 것"이 있다.^[2] 임의의 r에 대해 r² = r인 환을 불 대수라고 한다. 환의 가환성을 보장하는 더 일반적인 조건도 알려져 있다.^[3]

16. 1. Ext 함자

후자의 함자는 ''M''이 사영일 때 완전하지만 그렇지 않다. 즉, ''R''-가군의 전사 사상 에 대해, 사상 가 사상 로 확장될 필요는 없다. 고차 Ext 함자는 Hom-함자의 비 완전성을 측정한다. 호몰로지 대수에서 이 표준 구성의 중요성은, 잉여류체 ''k''를 갖는 국소 노에터 환 ''R''이 정칙이라는 것은 다음 조건과 동치라는 사실에서 알 수 있다.

가 충분히 큰 모든 ''n''에 대해 소멸한다. 또한, 이러한 Ext-군의 차원(베티 수)은 ''R''이 국소 완전 교차 환일 때에만 ''n''에서 다항식적으로 증가한다.^[2] 이러한 고려 사항의 핵심 논증은 코슐 복합체로, 이는 정칙 수열을 사용하여 국소 환 ''R''의 잉여류체 ''k''의 명시적인 자유 분해를 제공한다.

16. 2. 평탄 가군

텐서 곱은 가환환과 관련된 또 다른 비정확한 함자이다. 일반적인 ''R''-가군 ''M''에 대한 함자

: ''M'' ⊗_''R'' −

는 오른쪽으로만 정확하다. 만약 이것이 정확하다면, ''M''은 평탄하다고 불린다. ''R''이 국소환이면, 유한하게 표시된 평탄 가군은 유한 계수를 갖는 자유 가군이므로 사영 가군이다. 평탄성은 호몰로지 대수를 사용하여 정의되었음에도 불구하고, 심오한 기하학적 함의를 가진다. 예를 들어, ''R''-대수 ''S''가 평탄하다면, ''R''의 소 아이디얼 ''p''에 대한 섬유의 차원

: ''S'' / ''pS'' = ''S'' ⊗_''R'' ''R'' / ''p''

는 "예상된" 차원, 즉 dim ''S'' − dim ''R'' + dim(''R'' / ''p'')을 갖는다.

참조

_[1] 문서 線型作用素のスペクトル
_[2] 서적
_[3] 서적

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