소 아이디얼

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1. 개요

소 아이디얼은 환 R의 진 아이디얼 p에 대한 특별한 조건들을 만족하는 아이디얼로, 가환환과 비가환환 모두에서 정의된다. 가환환에서는 두 원소의 곱이 p에 속하면 두 원소 중 적어도 하나가 p에 속한다는 조건으로 정의되며, 이는 소수의 성질을 일반화한다. 비가환환에서는 두 아이디얼의 곱이 p에 포함되면 두 아이디얼 중 적어도 하나가 p에 포함된다는 조건으로 정의된다. 소 아이디얼은 아이디얼, 완전 소 아이디얼, 극대 아이디얼과 관계를 가지며, 특히 가환환에서는 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼이 동일하다. 소 아이디얼은 대수기하학에서 기약 다양체에 대응되며, 대수적 수론에서도 중요한 역할을 한다.

소 아이디얼

개요

종류	가환환의 아이디얼
정의	곱셈에 대한 소수의 일반화

정의

가환환 R에서의 소 아이디얼	R의 아이디얼 P에 대해, a, b ∈ R이고 ab ∈ P이면 a ∈ P 또는 b ∈ P이다.
환 R에서의 소 아이디얼	R의 아이디얼 P에 대해, R의 아이디얼 A와 B에 대해 AB ⊆ P이면 A ⊆ P 또는 B ⊆ P이다.
환 R에서의 소 아이디얼 (다른 정의)	R의 아이디얼 P가 소 아이디얼이라는 것은, 만약 P ≠ R이고 R P가 곱셈적으로 닫혀있다는 것을 의미한다.

예시

정수환에서의 소 아이디얼	정수환 ℤ에서, (p)가 소 아이디얼인 것은 p가 소수이거나 0인 것과 동치이다.
다항식환에서의 소 아이디얼	F가 체일 때, 다항식환 F[x]에서, (f(x))가 소 아이디얼인 것은 f(x)가 기약 다항식이거나 0인 것과 동치이다.
소 아이디얼이 아닌 예시	정수환 ℤ에서, (6)은 소 아이디얼이 아니다. 왜냐하면 2⋅3 = 6 ∈ (6)이지만 2 ∉ (6)이고 3 ∉ (6)이기 때문이다.

성질

극대 아이디얼과의 관계	극대 아이디얼은 항상 소 아이디얼이다.
소 아이디얼이 아닌 극대 아이디얼	소 아이디얼이 아닌 극대 아이디얼은 0이다.
데데킨트 정역	데데킨트 정역에서, 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.
소 아이디얼의 몫환	R/P가 정역인 것은 P가 소 아이디얼인 것과 동치이다.
아이디얼의 소수	아이디얼 I의 소수란, I를 포함하는 소 아이디얼이다.

활용

대수기하학	대수기하학에서, 아핀 대수 집합의 아이디얼이 소 아이디얼인 것은 그 대수 집합이 기약인 것과 동치이다.

준소 아이디얼	준소 아이디얼
소원	소원

2. 정의

환 $R$ 의 양쪽 진 아이디얼 $\mathfrak p\subsetneq R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.

* 임의의 두 양쪽 아이디얼 $\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak p$ 라면 $\mathfrak a\subseteq\mathfrak p$ 이거나 $\mathfrak b\subseteq\mathfrak p$ 이다.
* 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $(r)(s)\subseteq\mathfrak p$ 라면 $r\in\mathfrak p$ 이거나 $s\in\mathfrak p$ 이다.
* 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rRs\subseteq\mathfrak p$ 라면 $r\in\mathfrak p$ 이거나 $s\in\mathfrak p$ 이다.
* 임의의 오른쪽 아이디얼 $\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p$ 라면 $\mathfrak A\subseteq\mathfrak p$ 이거나 $\mathfrak B\subseteq\mathfrak p$ 이다.
* 임의의 왼쪽 아이디얼 $\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p$ 라면 $\mathfrak A\subseteq\mathfrak p$ 이거나 $\mathfrak B\subseteq\mathfrak p$ 이다.
* $R\setminus\mathfrak p$ 는 m계를 이룬다.
* 몫환 $R/\mathfrak p$ 가 소환이다.

여기서 환 $R$ 의 부분 집합 $S\subseteq R$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 m계(m-system^영어)라고 한다.

* 임의의 $s,t\in S$ 에 대하여, $srt\in S$ 인 $r\in R$ 가 존재한다.

가환환의 경우, 소 아이디얼은 다음과 같이 더 간단하게 정의할 수 있다. 가환환 $R$ 의 아이디얼 $P$ 가 다음 두 가지 성질을 만족하면 소 아이디얼이다.

* $a$ 와 $b$ 가 $R$ 의 두 원소이고, 이들의 곱 $ab$ 가 $P$ 의 원소이면, $a$ 는 $P$ 에 있거나 $b$ 는 $P$ 에 있다.
* $P$ 는 전체 환 $R$ 가 아니다.

이는 유클리드의 보조정리를 일반화한 것이다. 즉, 양의 정수 $n$ 이 소수일 필요충분조건은 $n\Z$ 가 $\Z$ 에서 소 아이디얼인 것이다.

환 $R$ 의 소 아이디얼들의 집합은 Spec $(R)$ 으로 표기된다. 단순환은 소환이므로 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다.

2.1. 완전 소 아이디얼

환 $R$ 의 양쪽 진 아이디얼 $\mathfrak p\subsetneq R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(completely prime ideal^영어)이라고 한다.

* 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rs\in\mathfrak p$ 라면 $r\in\mathfrak p$ 이거나 $s\in\mathfrak p$ 이다.
* 몫환 $R/\mathfrak p$ 는 영역이다.
* $R\setminus\mathfrak p$ 는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼

그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
* 영역이다.

3. 성질

환의 양쪽 진 아이디얼(전체 환이 아닌 아이디얼) $\mathfrak p$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.

* 임의의 두 양쪽 아이디얼 $\mathfrak a, \mathfrak b$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak a\mathfrak b \subseteq \mathfrak p$ 라면 $\mathfrak a \subseteq \mathfrak p$ 이거나 $\mathfrak b \subseteq \mathfrak p$ 이다.
* 임의의 $r, s \in R$ 에 대하여, 만약 $(r)(s) \subseteq \mathfrak p$ 라면 $r \in \mathfrak p$ 이거나 $s \in \mathfrak p$ 이다.
* 임의의 $r, s \in R$ 에 대하여, 만약 $rRs \subseteq \mathfrak p$ 라면 $r \in \mathfrak p$ 이거나 $s \in \mathfrak p$ 이다.
* 임의의 오른쪽 아이디얼 $\mathfrak A, \mathfrak B$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak A\mathfrak B \subseteq \mathfrak p$ 라면 $\mathfrak A \subseteq \mathfrak p$ 이거나 $\mathfrak B \subseteq \mathfrak p$ 이다.
* 임의의 왼쪽 아이디얼 $\mathfrak A, \mathfrak B$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak A\mathfrak B \subseteq \mathfrak p$ 라면 $\mathfrak A \subseteq \mathfrak p$ 이거나 $\mathfrak B \subseteq \mathfrak p$ 이다.
* $R \setminus \mathfrak p$ 는 m계를 이룬다.
* 몫환 $R / \mathfrak p$ 가 소환이다.

여기서 환 $R$ 의 부분 집합 $S \subseteq R$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 m계라고 한다.
* 임의의 $s, t \in S$ 에 대하여, $srt \in S$ 인 $r \in R$ 가 존재한다.

모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.

환 $R$ 의 양쪽 진 아이디얼 $\mathfrak p \subsetneq R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼이라고 한다.

* 임의의 $r, s \in R$ 에 대하여, 만약 $rs \in \mathfrak p$ 라면 $r \in \mathfrak p$ 이거나 $s \in \mathfrak p$ 이다.
* 몫환 $R / \mathfrak p$ 는 영역이다.
* $R \setminus \mathfrak p$ 는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼

그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
* 소환이다.

임의의 환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
* 영역이다.

극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.

자명환이 아닌 환은 초른 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 $R$ 의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여, $\mathfrak p$ 에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

3.1. 함자성

두 환 $R$ , $S$ 사이의 환 준동형 $f\colon R\to S$ 및 $S$ 의 완전 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여, 그 원상 $f^{-1}(\mathfrak p)$ 는 $R$ 의 완전 소 아이디얼이다.

가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 가환환 $R$ 의 소 아이디얼 집합 $\operatorname{Spec}(R)$ 은 위상 공간 및 스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴의 범주 $\operatorname{Sch}$ 로 가는 함자
: $\operatorname{Spec}\colon\operatorname{Ring}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Sch}$
를 정의한다.

3.2. 소 아이디얼 원리

소 아이디얼 원리(prime ideal principle^영어)에 따르면, $\mathcal F$ 가 환 $R$ 의 오카 족일 때, $\mathcal F$ 의 여집합 $\operatorname{Sub}(_RR_R)\setminus\mathcal F$ 의 극대 원소는 소 아이디얼이다. 여기서 $\operatorname{Sub}(_RR_R)$ 는 $R$ 의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.

3.3. 소 아이디얼 회피

환 $R$ 의 부분 유사환(곱셈에 대하여 닫혀 있고, 1을 포함하지 않을 수 있는 덧셈 부분군) $S\subseteq R$ 가 주어졌다고 하자. $R$ 의 양쪽 아이디얼들의 유한 집합 $\{\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_n\}$ 에 대해, $n\ge3$ 이면 $\mathfrak a_n$ 은 완전 소 아이디얼이고, 모든 $1\le i\le n$ 에 대하여 $S\not\subseteq\mathfrak a_i$ 이다.

소 아이디얼 회피 정리에 따르면, $S$ 가 각 아이디얼들을 회피하면 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다. 즉, 다음이 성립한다.
* $S\not\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak a_i$

3.4. 가환환의 소 아이디얼

가환환의 아이디얼에 대해서는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

가환환 $R$ 의 진 아이디얼 $\mathfrak p\subsetneq R$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* $\mathfrak p$ 는 소 아이디얼이다.
* $\mathfrak p$ 는 완전 소 아이디얼이다.
* $R/\mathfrak p$ 가 정역이다.

가환환 $R$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 의 여집합 $R\setminus\mathfrak p$ 는 모노이드를 이루므로, 이 집합에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 $(R\setminus\mathfrak p)^{-1}R$ 는 국소환을 이룬다.

가환환의 준동형 $f\colon R\to S$ 및 $S$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여, $f^{-1}(\mathfrak p)$ 는 $R$ 의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

3.4.1. 높이

가환환 $R$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 의 높이 $\operatorname{ht}\mathfrak p$ 는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.
: $\operatorname{ht}\mathfrak p=\max\{n\colon\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n=\mathfrak p\}$
특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 극소 소 아이디얼(minimal prime ideal^영어)이라고 한다.

예를 들어,
* 가환 아르틴 환의 경우 (크룰 차원이 0이므로) 극소 소 아이디얼, 소 아이디얼, 극대 아이디얼의 개념이 일치한다.
* 정역의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼이다.
* 가환 뇌터 환은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 에미 뇌터가 증명하였다.)

4. 예

* 정수환 $\mathbb Z$ 의 소 아이디얼은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 $p$ 는 $p$ 의 배수들로 구성된 아이디얼 $p\mathbb Z=\{np\colon n\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Z$ 와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다.
* 간단한 예로, 환 $R=\Z$ 에서 짝수의 부분 집합은 소 아이디얼이다.
* 정역 $R$ 이 주어졌을 때, 임의의 소원 $p \in R$ 은 주 소 아이디얼 $(p)$ 를 생성한다. 예를 들어, 체 $\mathbb{F}$ 위의 다항식환 $\mathbb{F}[x_1,\ldots,x_n]$ 에서 기약 다항식 $f(x_1, \ldots, x_n)$ 을 생각할 수 있다.
* 복소수 계수를 갖는 두 변수의 다항식 링 $\Complex[X,Y]$ 에서, 다항식 $Y^2 - X^3 - X - 1$ 에 의해 생성된 아이디얼은 소 아이디얼이다. (타원 곡선 참조).
* 정수 계수를 갖는 모든 다항식의 링 $\Z[X]$ 에서, $2$ 와 $X$ 에 의해 생성된 아이디얼은 소 아이디얼이다.
* 유리 정수환 Z에서, 소수 p의 배수 전체가 이루는 아이디얼 pZ는 소 아이디얼이다.
:일반적으로, 가환환 R에서, 그 소원 p가 생성하는 아이디얼 pR는 $0$ 이 아닌 소 아이디얼이 된다. 이는 역도 성립한다. 즉, p ∈ R에 대해 단항 아이디얼 pR ≠ $0$ 가 소 아이디얼이면, p''는 소원이다.

5. 비가환환으로의 확장

볼프강 크룰은 1928년에 소 아이디얼의 개념을 "아이디얼 단위"의 가환 정의를 사용하여 비가환 고리로 일반화하였다. (아마도 비가환) 고리 $R$의 진 아이디얼 $P$에 대해, 모든 두 아이디얼 $A$와 $B$의 곱 $AB$가 $P$에 포함될 때, 적어도 $A$와 $B$ 중 하나가 $P$에 포함되면 $P$를 소 아이디얼이라고 정의한다.

이 정의는 가환 고리에서 가환 정의와 동등하다. 비가환 고리 $R$의 아이디얼이 소 아이디얼의 가환 정의를 만족하면 비가환 버전을 만족한다는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 소 아이디얼의 가환 정의를 만족하는 아이디얼은 고리 내의 다른 소 아이디얼과 구별하기 위해 때때로 완전 소 아이디얼이라고 불린다. 완전 소 아이디얼은 소 아이디얼이지만, 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 체 위의 $n \times n$ 행렬의 고리에서 영 아이디얼은 소 아이디얼이지만, 완전 소 아이디얼은 아니다.

아이디얼 $P$가 소 아이디얼이라는 등가 공식은 다음 속성을 포함한다.
* $R$의 모든 $a$와 $b$에 대해, $(a)(b) \subseteq P$는 $a \in P$ 또는 $b \in P$를 의미한다.
* $R$의 모든 두 개의 오른쪽 아이디얼에 대해, $AB \subseteq P$는 $A \subseteq P$ 또는 $B \subseteq P$를 의미한다.
* $R$의 모든 두 개의 왼쪽 아이디얼에 대해, $AB \subseteq P$는 $A \subseteq P$ 또는 $B \subseteq P$를 의미한다.
* $R$의 모든 원소 $a$와 $b$에 대해, 만약 $aRb \subseteq P$이면, $a \in P$ 또는 $b \in P$이다.

가환 고리의 소 아이디얼은 $R$에서 곱셈적으로 닫힌 여집합을 갖는 것으로 특징지어지며, 비가환 고리의 소 아이디얼에 대한 유사한 특징을 공식화할 수 있다. 비어 있지 않은 부분 집합 $S \subseteq R$는 모든 $S$의 $a$와 $b$에 대해, $arb \in S$가 되는 $R$의 $r$이 존재하면 m-시스템이라고 한다.

위의 등가 조건 목록에 다음 항목을 추가할 수 있다.
* 여집합 $R \setminus P$는 m-시스템이다.

모든 원시 아이디얼은 소 아이디얼이다. 가환환과 마찬가지로 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 소 아이디얼은 최소 소 아이디얼을 포함한다. 환이 소환일 필요충분조건은 영 아이디얼이 소 아이디얼인 것이며, 더 나아가 환이 정역일 필요충분조건은 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼인 것이다.

가환 이론에서 비가환 이론으로 이어지는 또 다른 사실은, 만약 $A$가 영이 아닌 $R$-가군이고, $P$가 $A$의 부분 가군의 소포에서 소멸자 아이디얼의 극대 원소라면, $P$는 소 아이디얼이다.

단위적 환 $R$의 아이디얼 $P$가 소 아이디얼이라는 것은, $P \ne R$이고, 임의의 아이디얼 $A, B \subseteq R$에 대해, $AB \subseteq P$이면 $A \subseteq P$ 또는 $B \subseteq P$를 만족하는 것을 말한다.

이데알 $P \ne R$에 대해 다음 조건은 동치이다.
* $P$는 소 아이디얼
* $a, b \in R$에 대해, $(a)(b) \subseteq P$이면 $a \in P$ 또는 $b \in P$ (여기서, $(a) = RaR$)
* $a, b \in R$에 대해, $aRb \subseteq P$이면 $a \in P$ 또는 $b \in P$
* 왼쪽 아이디얼 $A, B$에 대해, $AB \subseteq P$이면 $A \subseteq P$ 또는 $B \subseteq P$
* 오른쪽 아이디얼 $A, B$에 대해, $AB \subseteq P$이면 $A \subseteq P$ 또는 $B \subseteq P$
* $R/P$는 소환

특히 단순환은 소환이므로 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다.

6. 역사

아이디얼 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.

비가환환에서의 소 아이디얼 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.

7. 응용

대수기하학에서 다양체는 다항식 링의 아이디얼의 영 집합으로 정의되는데, 기약 다양체는 소 아이디얼에 해당한다. 현대적인 추상적 접근 방식에서는 임의의 가환 링에서 시작하여 소 아이디얼 집합(이를 스펙트럼이라고도 함)을 위상 공간으로 변환하고, 따라서 스키마라고 하는 다양체의 일반화를 정의할 수 있다. 이는 기하학뿐만 아니라 수론에도 적용된다.

대수적 수론에서 소 아이디얼의 도입은 중요한 진전이었다. 산술의 기본 정리에 표현된 고유 인수 분해의 중요한 속성이 모든 대수적 정수 링에서 유지되는 것은 아니지만, 리하르트 데데킨트가 원소를 아이디얼로, 소원소를 소 아이디얼로 대체했을 때 대안이 발견되었다. 자세한 내용은 데데킨트 정역을 참조하라.