자크 비네

1. 개요

자크 비네는 1806년 에콜 폴리테크니크를 졸업하고, 1807년 교사로 복귀하여 1816년 학업 검사관으로 승진했다. 그는 1823년 콜레주 드 프랑스의 천문학 교수가 되었으며, 1821년 레지옹 도뇌르 훈장의 기사 작위를 받았고, 1843년 프랑스 과학 아카데미 회원으로 선출되었다. 비네는 피보나치 수열의 n번째 항을 계산하는 비네 공식을 발견한 것으로 알려져 있다.

2. 생애 및 경력

자크 필리프 마리 비네는 1806년 에콜 폴리테크니크를 졸업하고 교사 생활을 시작했다. 1816년 학업 검사관으로 승진했으며, 1823년 콜레주 드 프랑스 천문학 교수가 되었다. 1821년 레지옹 도뇌르 훈장 슈발리에(기사) 작위를 받았고, 1843년 프랑스 과학 아카데미 회원이 되었다. 그러나 1830년 샤를 10세를 지지했다는 이유로 루이 필리프 국왕에 의해 해임되었다.

2.1. 에콜 폴리테크니크 및 초기 경력

비네는 1806년 에콜 폴리테크니크를 졸업하고 1807년 교사로 복귀했다. 1816년 에콜의 학업 검사관으로 승진했다. 그는 1830년 11월 13일까지 이 직책을 맡았는데, 새로 즉위한 프랑스의 루이 필리프 국왕에 의해 해임되었다. 이는 비네가 이전 국왕인 샤를 10세를 강력하게 지지했기 때문일 것으로 보인다. 1823년 비네는 들랑브르의 뒤를 이어 콜레주 드 프랑스의 천문학 교수가 되었다. 1821년 레지옹 도뇌르 훈장의 슈발리에(기사)가 되었고, 1843년 프랑스 과학 아카데미 회원으로 선출되었다.

2.2. 콜레주 드 프랑스 교수 및 이후 경력

비네는 1823년 들랑브르의 뒤를 이어 콜레주 드 프랑스의 천문학 교수가 되었다. 그는 1821년 레지옹 도뇌르 훈장의 슈발리에(기사) 작위를 받았으며, 1843년 프랑스 과학 아카데미 회원으로 선출되었다.

1830년 11월 13일, 비네는 루이 필리프 국왕에 의해 콜레주 드 프랑스 교수직에서 해임되었는데, 이는 그가 이전 국왕인 샤를 10세를 강력하게 지지했기 때문으로 보인다.

3. 주요 업적

자크 비네는 피보나치 수열의 일반항을 구하는 공식을 제시하였다. 이 공식은 피보나치 수열의 n번째 항을 폐쇄 형식으로 표현한다.

3.1. 비네의 공식

피보나치 수열은 다음과 같이 정의된다.

* $u\_0\; =\; 0$
* $u\_1\; =\; 1$
* $u\_n\; =\; u\_\{n-1\}\; +\; u\_\{n-2\},\backslash text\{\; for\; \}n\; >\; 1$

비네의 공식은 이 수열의 $n^\backslash text\{번째\}$ 항에 대한 Closed-form expression^영어 표현을 제공한다.

:$u\_n\; =\; \backslash frac\{(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})^n\; -\; (1\; -\; \backslash sqrt\{5\})^n\}\{2^n\; \backslash sqrt\{5\}\}$

3.1.1. 공식 유도 과정

피보나치 수 u_n의 생성함수는 다음과 같다.

* $u\_0\; =\; 0\; \backslash ,$
* $u\_1\; =\; 1\; \backslash ,$
* $u\_n\; =\; u\_\{n-1\}\; +\; u\_\{n-2\}\; \backslash ;,\backslash ;n\; >\; 1\; \backslash ,$

:$u\_n\; =\; \backslash frac\{(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})^n\; -\; (1\; -\; \backslash sqrt\{5\})^n\}\{2^n\; \backslash sqrt\{5\}\}$

피보나치 수열은 다음과 같이 정의된다.

* $u\_0\; =\; 0$
* $u\_1\; =\; 1$
* $u\_n\; =\; u\_\{n-1\}\; +\; u\_\{n-2\},\backslash text\{\; for\; \}n\; >\; 1$

비네 공식은 이 수열의 $n^\backslash text\{번째\}$ 항에 대한 폐쇄 형식 표현을 제공한다.

:$u\_n\; =\; \backslash frac\{(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})^n\; -\; (1\; -\; \backslash sqrt\{5\})^n\}\{2^n\; \backslash sqrt\{5\}\}$

다음이 주어지면:

$\backslash varphi\; =\; \{(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})\; \backslash over\; 2\}$

비네 공식의 단순화된 버전은 다음과 같다.

$u\_n\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\}\backslash right\backslash rfloor$.

3.1.2. 공식의 활용

비네가 발견한 n번째 피보나치 수 $u\_n$의 생성함수는 다음과 같다.

:$u\_n\; =\; \backslash frac\{(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})^n\; -\; (1\; -\; \backslash sqrt\{5\})^n\}\{2^n\; \backslash sqrt\{5\}\}$

이 공식은 피보나치 수열의 $n^\backslash text\{번째\}$ 항에 대한 폐쇄 형식 표현을 제공한다.

황금비 $\backslash varphi\; =\; \{(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})\; \backslash over\; 2\}$가 주어지면, 비네 공식은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:$u\_n\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\}\backslash right\backslash rfloor$