적분인자

1. 개요

적분 인자는 적분을 용이하게 하기 위해 미분 방정식에 곱해지는 식을 의미한다. 1차 선형 상미분 방정식의 경우, 적분 인자는 e^{\int P(x) \, dx}이며, 2차 및 n차 선형 상미분 방정식에도 적용될 수 있다. 카라테오도리의 정리는 1-형식 ψ의 적분 인자의 존재에 대한 조건을 제시하며, 열역학 제2법칙의 공식화에 활용되었다.

2. 정의 및 활용

적분 인자는 미분 방정식에 곱해져 적분을 용이하게 만드는 함수이다. 예를 들어, 다음과 같은 비선형 2차 방정식이 있다.

:$\backslash frac\{d^2\; y\}\{d\; t^2\}\; =\; A\; y^\{2/3\}$

이 방정식은 $\backslash frac\{d\; y\}\{d\; t\}$를 적분 인자로 허용한다.

:$\backslash frac\{d^2\; y\}\{d\; t^2\}\; \backslash frac\{d\; y\}\{d\; t\}\; =\; A\; y^\{2/3\}\; \backslash frac\{d\; y\}\{d\; t\}.$

연쇄 법칙을 이용하면 방정식의 양변을 다음과 같이 미분 형태로 표현할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\}\{d\; t\}\backslash left(\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash left(\backslash frac\{d\; y\}\{d\; t\}\backslash right)^2\backslash right)\; =\; \backslash frac\{d\}\{d\; t\}\backslash left(A\; \backslash frac\; 3\; 5\; y^\{5/3\}\backslash right).$

따라서,

:$\backslash left(\backslash frac\{d\; y\}\{d\; t\}\backslash right)^2\; =\; \backslash frac\{6\; A\}\{5\}\; y^\{5/3\}\; +\; C\_0.$

여기서 $C\_0$는 상수이다.

이 식은 변수 분리를 통해 다음과 같이 음함수 해로 나타낼 수 있다.

:$\backslash int\_\{y(0)\}^\{y(t)\}\; \backslash frac\{d\; y\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{6\; A\}\{5\}\; y^\{5/3\}\; +\; C\_0\}\}\; =\; t$

이는 비초등 적분을 포함하며, 진자의 주기를 구하는 데에도 활용된다.

1차 선형 상미분 방정식과 2차 선형 상미분 방정식의 경우, 특정한 형태의 적분 인자를 사용하여 해를 구할 수 있다. 하지만, 3차 이상의 고차 방정식에서는 적분 인자를 적용하기 위한 방정식 형태가 매우 구체적이 되므로 덜 유용하다.

2.1. 1차 선형 상미분 방정식

1차 선형 상미분 방정식은 적분인자를 사용하여 해를 구할 수 있다. 적분인자는 미분 방정식의 양변에 곱하여 좌변을 특정한 함수의 도함수 형태로 만들어 적분을 용이하게 하는 함수이다.

일반적인 1차 선형 상미분 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

:$y\text{'}+\; P(x)y\; =\; Q(x)$

이 방정식을 풀기 위해, 적분 인자 $M(x)$를 사용한다. $M(x)$는 다음과 같이 정의된다.

:$M(x)\; =\; e^\{\backslash int\; P(x)\; \backslash ,\; dx\}$

$M(x)$를 원래 방정식에 곱하면 좌변은 $(M(x)y)\text{'}$ 형태로 변환되어 적분이 가능해진다. 즉,

:$M(x)y\text{'}\; +\; P(x)\; M(x)y\; =\; M(x)y\text{'}\; +\; M\text{'}(x)y\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}(\; M(x)y)$

가 되고, 이를 통해 방정식을 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(\; M(x)y\backslash right)\; =\; Q(x)\; M(x)$

양변을 $x$에 대해 적분하면,

:$e^\{\backslash int\; P(x)\; \backslash ,\; dx\}y\; =\; \backslash left(\; \backslash int\; Q(x)\; e^\{\backslash int\; P(x)\; \backslash ,\; dx\}\; \backslash ,dx\; \backslash right)+\; C$

여기서 $C$는 상수이다.

따라서 일반 해는 다음과 같다.

:$y\; =\; e^\{-\backslash int\; P(x)\; \backslash ,\; dx\}\backslash left(\; \backslash int\; Q(x)\; e^\{\backslash int\; P(x)\; \backslash ,\; dx\}\; \backslash ,dx\; \backslash right)+\; Ce^\{-\; \backslash int\; P(x)\; \backslash ,\; dx\}$

동차 미분 방정식의 경우, 즉 $Q(x)\; =\; 0$인 경우 일반 해는 다음과 같이 더 간단해진다.

:$y\; =\; Ce^\{-\; \backslash int\; P(x)\; \backslash ,\; dx\}$

적분 과정에서 임의의 상수를 포함하거나, $P(x)$의 적분이 로그를 포함하는 경우 절댓값을 굳이 포함할 필요는 없다. 이는 방정식을 풀기 위해 하나의 적분 인자만 필요하며, 상수나 절댓값은 서로 상쇄되기 때문이다.

2.1.1. 예시

Example^영어

:$y\text{'}-\backslash frac\{2y\}\{x\}\; =\; 0.$

이 경우 $P(x)\; =\; \backslash frac\{-2\}\{x\}$임을 알 수 있다.

:$M(x)=e^\{\backslash int\_1^x\; P(x)\; dx\}$

:$M(x)=e^\{\backslash int\_1^x\; \backslash frac\{-2\}\{x\}\backslash ,dx\}\; =\; e^\{-2\; \backslash ln\; x\}\; =\; \{\backslash left(e^\{\backslash ln\; x\}\backslash right)\}^\{-2\}\; =\; x^\{-2\}$

:$M(x)=\backslash frac\{1\}\{x^2\}.$

양변에 $M(x)$를 곱하면

:$\backslash frac\{y\text{'}\}\{x^2\}\; -\; \backslash frac\{2y\}\{x^3\}\; =\; 0$

위의 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$\backslash frac\{d\; (x^\{-2\}y)\}\{dx\}\; =\; 0$

x에 대해 양변을 적분하면

:$x^\{-2\}y\; =\; C$

또는

:$y\; =\; Cx^2$

여기서 C는 상수이다.

2.2. 2차 선형 상미분 방정식

1차 선형 미분 방정식에 대한 적분 인자 방법은 2차 방정식으로도 자연스럽게 확장될 수 있다. 1차 방정식을 풀 때, 적분 인자 $M(x)$를 찾아 $y\text{'}+p(x)y=h(x)$에 곱하여 $(M(x)y)\text{'}=M(x)h(x)$를 얻고, 적분 후 $M(x)$로 나누어 $y$를 구했다. 2차 선형 미분 방정식의 경우, $M(x)=e^\{\backslash int\; p(x)\backslash ,dx\}$가 적분 인자로 작동하게 하려면,

:$(M(x)y)$=M(x)\left(y + 2p(x)y' + \left(p(x)^2+p'(x)\right) y \right)=M(x)h(x)

와 같은 형태여야 한다. 즉, 2차 방정식이 $y\text{'}\text{'}\; +\; 2p(x)y\text{'}\; +\; \backslash left(p(x)^2+p\text{'}(x)\backslash right)\; y=h(x)$ 형태여야 적분 인자를 사용할 수 있다.

2.2.1. 예시

Integrating factor^영어를 이용한 미분방정식의 풀이 예시는 다음과 같다.

:$y$+2xy'+\left(x^2+1\right)y=0

위 식은 적분 인자를 사용하여 정확하게 풀 수 있다. 적절한 $p(x)$는 $y\text{'}$ 항을 검토하여 추론할 수 있다. 이 경우, $2p(x)=2x$이므로, $p(x)=x$이다. $y$ 항을 검토하면, $p(x)^2+p\text{'}(x)=x^2+1$임을 알 수 있으므로, 모든 항에 적분 인자 $\{\{llang|en|e|e\}^\{\backslash int\; x\; \backslash ,\; dx\}\; =\; \{\{llang|en|e|e\}^\{x^2/2\}$를 곱한다. 그러면 다음을 얻는다.

:$\{\{llang|en|e|e\}^\{x^2/2\}y$+2{{llang|en|e|e}^{x^2/2}p(x)y'+{{llang|en|e|e}^{x^2/2}\left(p(x)^2+p'(x)\right)y=0

이는 재정렬하여 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash left(\{\{llang|en|e|e\}^\{x^2/2\}y\backslash right)$=0

두 번 적분하면 다음을 얻는다.

:$\{\{llang|en|e|e\}^\{x^2/2\}y=c\_1x+c\_2$

Integrating factor^영어로 나누면 다음을 얻는다.

:$y=\backslash frac\{c\_1x+c\_2\}\}$

2차 적분 인자의 적용은 다음과 같은 미분 방정식을 포함한다.

:$y$+2\cot(x)y'-y=1

$y\text{'}$ 앞에 $2p(x)$ 항이 있지만, $y$ 앞에 $p(x)^2+p\text{'}(x)$ 항이 없다. 하지만,

:$p(x)^2+p\text{'}(x)=\backslash cot^2(x)-\backslash csc^2(x)$

그리고 코탄젠트와 코시컨트를 관련시키는 피타고라스 항등식으로부터,

:$\backslash cot^2(x)-\backslash csc^2(x)=-1$

따라서 $y$ 앞에 필요한 항이 있으므로 적분 인자를 사용할 수 있다.

:$\{\{llang|en|e|e\}^\{\backslash int\; \backslash cot(x)\backslash ,dx\}=\{\{llang|en|e|e\}^\{\backslash ln(\backslash sin(x))\}=\backslash sin(x)$

각 항에 $\backslash sin(x)$를 곱하면 다음과 같다.

:$\backslash sin(x)y$+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)

재배열하면 다음과 같다.

:$(\backslash sin(x)y)$=\sin(x)

두 번 적분하면 다음과 같다.

:$\backslash sin(x)y=-\backslash sin(x)+c\_1x+c\_2$

마지막으로 적분 인자로 나누면 다음과 같다.

:$y=c\_1x\backslash csc(x)+c\_2\backslash csc(x)-1$

2.3. n차 선형 상미분 방정식

적분 인자는 임의의 차수로 확장될 수 있지만, 이를 적용하기 위해 필요한 방정식 형태는 차수가 증가함에 따라 더욱 구체화되어 고차 방정식에서는 덜 유용하게 된다. 일반적인 방법은 $n$차 미분 방정식에 대해 함수 $M(x)y$를 $n$번 미분하고 동류항을 결합하는 것이다. 그러면 다음과 같은 형태의 방정식이 만들어진다.

:$M(x)F\backslash !\backslash left(y,y\text{'},y$,\ldots,y^{(n)}\right)

만약 $n$차 방정식이 $n$번 미분 후에 얻은 형태 $F\backslash !\backslash left(y,y\text{'},y$,\ldots,y^{(n)}\right)과 일치한다면, 모든 항에 적분 인자를 곱하고 $h(x)M(x)$를 $n$번 적분한 다음 양변을 적분 인자로 나누어 최종 결과를 얻을 수 있다.

2.3.1. 예시

다음 미분방정식에서
:$y$ + 3x^2y'' + \left(3x^4+6x\right)y' + \left(x^6+6x^3+2\right)y = 0
$p(x)=x^2$이므로, 적분인자는 $e^\{x^3/3\}$이다. 재정렬하면
:$\backslash left(e^\{x^3/3\}y\backslash right)$=0
세 번 적분하고 적분인자로 나누면
:$y=\backslash frac\{c\_1x^2+c\_2x+c\_3\}\{e^\{x^3/3\}\}$

3. 카라테오도리의 정리

다양체 $M$의 영역 $U$에서 정의된 1-형식 $\backslash psi$에 대해, $\backslash psi\; =\; f\; \backslash ,\; dg$ 를 만족하는 함수 $f$, $g$(단, $f\; \backslash neq\; 0$)가 존재할 때, $1/f$를 $\backslash psi$의 적분 인자라고 부른다. 카라테오도리의 정리는 1-형식 $\backslash psi$의 적분 인자 존재에 관한 동치 조건을 제시한다.

3.1. 카라테오도리의 정리의 동치 조건

Carathéodory^영어의 정리에서 다음 세 명제는 동치이다.

1. M의 임의의 점 x에 대해, 점 x의 근방 V가 존재하고, V 내의 임의의 x의 근방 W에, 구분적으로 C^∞-급 곡선 γ가 있고, $\backslash dot\{\backslash gamma\}$가 정의되는 모든 점에서 ψ{$\backslash dot\{\backslash gamma\}$(t)} = 0을 만족하는 곡선 γ에 의해 점 x와 연결되지 않는 점 y ∈ W가 존재한다.
2. ψ ∧ dψ = 0
3. 임의의 점 x ∈ M에 어떤 근방 V가 존재하며, ψ의 V로의 제한은 적분인자를 가진다.

이 정리는 1909년에 콘스탄틴 카라테오도리가 열역학 제2법칙을 공식화하기 위해 도입하였다. ψ가 닫힌 형식(dψ = 0)이면 푸앵카레 보조 정리에 의해 적분 인자 1이 존재한다. n ≤ 2일 때 카라테오도리의 정리에 의해 모든 1-형식에 대해 적분 인자가 존재함이 보장된다(이는 요한 프리드리히 파프가 처음 제시하였다).

3.2. 카라테오도리의 정리와 열역학 제2법칙

카라테오도리의 정리는 1909년에 콘스탄틴 카라테오도리에 의해 열역학 제2법칙의 공식화를 위해 도입되었다 . 1-형식 ψ가 닫힌 형식(즉, dψ = 0이 성립하는 것)이면 푸앵카레 보조 정리에 의해 적분 인자 1이 존재한다 . 또한 n ≤ 2 일 때, 카라테오도리의 정리에 의해 모든 1-형식에 대해 적분 인자의 존재가 보장된다(이는 요한 프리드리히 파프에 의해 처음 제시되었다) .