전변동 점감

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1. 개요

전변동 점감(TVD)은 수치 기법의 한 종류로, 편미분 방정식을 푸는 과정에서 전변동(Total Variation)이 감소하는 조건을 만족하는 기법을 의미한다. TVD 기법은 단조성을 보존하며, 1983년 하르텐(Harten)에 의해 단조 기법이 TVD이고, TVD 기법이 단조성을 보존한다는 것이 증명되었다. 전산 유체 역학(CFD)에서 TVD 기법은 충격파와 같은 불연속적인 변화를 예측할 때 가짜 진동 없이 더 정확한 결과를 얻는 데 사용된다. 그러나 고두노프 정리에 의해 TVD 기법은 1차 정확도 이상의 정확도를 가지기 어렵다는 한계가 있으며, 이러한 단점을 극복하기 위해 고해상도 기법, 플럭스 리미터 등 다양한 기술이 개발되었다.

전변동 점감

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2. 모델 방정식

수치 기법에서 다음 조건이 만족되면 전변동 점감(TVD)이라고 한다.

: $TV \left( u^{n+1}\right) \leq TV \left( u^{n}\right) .$

2.1. 전변동 (Total Variation)

편미분 방정식으로 설명되는 시스템에서, 다음의 쌍곡선 이류 방정식과 같이,

: $\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} = 0,$

전변동(TV)은 다음과 같다.

: $TV(u(\cdot,t)) = \int \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| \mathrm{d}x,$

이산적인 경우의 전변동은 다음과 같다.

: $TV(u^n) = TV(u(\cdot,t^n)) = \sum_j \left| u_{j+1}^n - u_j^n \right|.$

여기서 $u_{j}^n=u(x_{j},t^n)$ 이다.

2.2. 전변동 감소 (TVD) 조건

편미분 방정식으로 설명되는 시스템에서, 다음과 같은 쌍곡선 이류 방정식이 있다.

: $\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} = 0,$

전변동(TV)은 다음과 같이 정의된다.

: $TV(u(\cdot,t)) = \int \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| \mathrm{d}x ,$

이산적인 경우의 전변동은 다음과 같다.

: $TV(u^n) = TV(u(\cdot,t^n)) = \sum_j \left| u_{j+1}^n - u_j^n \right| .$

여기서 $u_{j}^n=u(x_{j},t^n)$ 이다.

수치 기법에서 다음 조건이 만족되면, 전변동 점감(TVD)이라고 한다.

: $TV \left( u^{n+1}\right) \leq TV \left( u^{n}\right) .$

3. 특징

수치 기법이 공간에서 단조 증가(또는 감소)하는 특성을 유지하면 단조성을 보존한다고 한다. 하르텐은 1983년에 수치 기법에 대해 다음과 같은 속성을 증명했다.

* 단조 기법은 TVD이며, TVD 기법은 단조성을 보존한다.

3.1. 단조성 보존

수치 기법에서 공간 상에서 u^영어ⁿ^영어이 단조 증가(또는 감소)하면, u^영어ⁿ⁺¹^영어도 단조 증가(또는 감소)하는 성질을 유지하는 경우, 이를 단조성을 보존한다고 한다.

하르텐(Harten)은 1983년에 수치 기법에 대해 다음과 같은 속성을 증명했다.

* 단조 기법은 TVD이다.
* TVD 기법은 단조성을 보존한다.

3.2. 하르텐(Harten)의 정리

단조 기법은 TVD이며, TVD 기법은 단조성을 보존한다.

4. 전산 유체 역학 (CFD)에서의 응용

전산 유체 역학(CFD)에서 전변동 점감(TVD) 기법은 " $\phi$ "장 변수의 변화가 불연속일 때 오해를 불러일으키는 진동 없이 더 날카로운 충격파 예측을 얻기 위해 사용된다. 미세 격자는 변화를 포착하는 데 필요하지만, 계산량이 많아 경제적이지 않다. 중앙 차분 기법, 풍상 차분 기법, 혼합 차분 기법, 멱법칙 기법을 사용하는 조밀한 격자는 잘못된 충격파 예측을 제공한다. TVD 기법은 조밀한 격자에서 더 날카로운 충격파 예측을 가능하게 하여 계산 시간을 절약하며, 기법이 단조성을 보존하므로 해에 가짜 진동이 없다.

4.1. 충격파 예측

전산 유체 역학에서, 전변동 점감(TVD) 기법은 " $\phi$ "장 변수의 변화가 불연속일 때 오해를 불러일으키는 진동 없이 더 날카로운 충격파 예측을 얻기 위해 사용된다.

변화를 포착하려면 미세 격자( $\Delta x$ 매우 작음)가 필요하며 계산량이 많아 경제적이지 않다. 중앙 차분 기법, 풍상 차분 기법, 혼합 차분 기법, 그리고 멱법칙 기법을 사용하는 조밀한 격자는 잘못된 충격파 예측을 제공한다. TVD 기법은 조밀한 격자에서 더 날카로운 충격파 예측을 가능하게 하여 계산 시간을 절약하며, 기법이 단조성을 보존하므로 해에 가짜 진동이 없다.

4.2. 기존 기법의 한계

전산 유체 역학에서, 전변동 점감(TVD) 기법은 장 변수의 변화가 불연속일 때 오해를 불러일으키는 진동 없이 더 날카로운 충격파 예측을 얻기 위해 사용된다.

변화를 포착하려면 미세 격자( $\Delta x$ 매우 작음)가 필요하며, 이는 계산량이 많아 경제적이지 않다. 중앙 차분 기법, 풍상 차분 기법, 혼합 차분 기법, 멱법칙 기법을 사용하는 조밀한 격자는 잘못된 충격파 예측을 제공한다. TVD 기법은 조밀한 격자에서 더 날카로운 충격파 예측을 가능하게 하여 계산 시간을 절약하며, 기법이 단조성을 보존하므로 해에 가짜 진동이 없다.

5. 이산화 (Discretisation)

'P'가 중앙에 있는 노드이고, 면에서의 속도, 노드 및 그 사이의 거리를 보여주는 그림

이산화(Discretisation)는 연속적인 방정식을 이산적인 형태로 바꾸는 과정이다. 전산 유체 역학(CFD)에서 유동을 해석하기 위해 이산화는 필수적인 과정이다.

주어진 1차원 대류 확산 방정식과 그 해를 유한 차분법(Finite Difference Method)을 사용하여 이산화하면 아래와 같은 방정식으로 표현될 수 있다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot P=(\phi_R-2\phi_P+\phi_L)

여기서

P

는 페클레 수이며 다음과 같이 정의된다.

:

P=\frac{F}{D}=\frac{\rho \mathbf{u} \delta x}{\Gamma}.

5.1. 1차원 대류 확산 방정식

정상 상태 1차원 대류 확산 방정식을 고려하면 다음과 같다.

: $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)\,= \nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)+S_{\phi}\;$

여기서 $\rho$ 는 밀도, $\mathbf{u}$ 는 속도 벡터, $\phi$ 는 수송되는 속성, $\Gamma$ 는 확산 계수, $S_{\phi}$ 는 속성 $\phi$ 의 생성을 담당하는 소스 항이다.

이 속성의 플럭스 균형을 제어 체적에 대해 만들면 다음과 같다.

: $\int_A \mathbf {n} \cdot (\rho\mathbf{u}\phi) \, \mathrm{d}A = \int_A \mathbf{n} \cdot (\Gamma \nabla \phi) \, \mathrm{d}A+ \int_{CV} S_\phi \, \mathrm{d}V$ $\;$

여기서 $\mathbf {n}$ 은 제어 체적의 표면에 대한 법선이다.

소스 항을 무시하면, 방정식은 다음과 같이 축소된다.

: $(\rho \mathbf {u} \phi A)_r - (\rho \mathbf {u} \phi A)_l = \left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_r-\left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_l$

다음을 가정한다.

:

\frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{\delta \phi}{\delta x}

그리고

A_r = A_l,

그러면 방정식은 다음과 같이 축소된다.

:

(\rho \mathbf {u} \phi)_r - (\rho \mathbf {u} \phi)_l \,= \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_r - \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_l.

예를 들어,

:

F_r=(\rho \mathbf{u})_r ;\qquad F_l=(\rho \mathbf{u})_l;

D_l = \left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_l ;\qquad D_r =\left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_r;

그림에서:

:

\delta \phi _r = \phi_R -\phi_P ;\qquad\delta x_r = x_{PR};

\delta \phi _l = \phi_P -\phi_L ;\qquad\delta x_l = x_{LP};

방정식은 다음과 같다.

:

F_r \phi_r - F_l \phi_l = D_r (\phi _R -\phi _P)-D_l(\phi _P - \phi _L);

연속 방정식도 이 문제에 대해 다음과 같은 동등한 형태 중 하나로 충족되어야 한다.

:

(\rho \mathbf {u})_r -(\rho \mathbf {u})_l\,=0\ \ \Longleftrightarrow\ \F_r-F_l=0\ \ \Longleftrightarrow\F_r=F_l=F.

확산율이 균질한 속성이며 동일한 격자 간격을 가지고 있다고 가정하면,

:

\Gamma _l=\Gamma _r; \qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR} = \delta x,

다음과 같다.

:

D_l=D_r=D.

방정식은 다음과 같이 더 축소된다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot F=D\cdot(\phi_R-2\phi_P+\phi_L).

위의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot P=(\phi_R-2\phi_P+\phi_L)

여기서

P

는 페클레 수이다.

:

P=\frac{F}{D}=\frac{\rho \mathbf{u} \delta x}{\Gamma}.

5.2. 플럭스 균형

정상 상태 1차원 대류 확산 방정식은 다음과 같다.

: $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)\,= \nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)+S_{\phi}\;$

여기서 $\rho$ 는 밀도, $\mathbf{u}$ 는 속도 벡터, $\phi$ 는 수송되는 속성, $\Gamma$ 는 확산 계수, $S_{\phi}$ 는 속성 $\phi$ 의 생성을 담당하는 소스 항이다.

이 속성의 플럭스 균형을 제어 체적에 대해 만들면 다음과 같다.

: $\int_A \mathbf {n} \cdot (\rho\mathbf{u}\phi) \, \mathrm{d}A = \int_A \mathbf{n} \cdot (\Gamma \nabla \phi) \, \mathrm{d}A+ \int_{CV} S_\phi \, \mathrm{d}V$ $\;$

여기서 $\mathbf {n}$ 은 제어 체적의 표면에 대한 법선이다.

소스 항을 무시하고, 방정식을 정리하면 다음과 같다.

: $(\rho \mathbf {u} \phi A)_r - (\rho \mathbf {u} \phi A)_l = \left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_r-\left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_l$

\frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{\delta \phi}{\delta x}

이고

A_r = A_l

라고 가정하면, 방정식은 다음과 같이 정리된다.

:

(\rho \mathbf {u} \phi)_r - (\rho \mathbf {u} \phi)_l \,= \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_r - \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_l.

여기서,

:

F_r=(\rho \mathbf{u})_r ;\qquad F_l=(\rho \mathbf{u})_l;

D_l = \left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_l ;\qquad D_r =\left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_r;

그림에서:

:

\delta \phi _r = \phi_R -\phi_P ;\qquad\delta x_r = x_{PR};

\delta \phi _l = \phi_P -\phi_L ;\qquad\delta x_l = x_{LP};

위 식들을 대입하면, 방정식은 다음과 같다.

:

F_r \phi_r - F_l \phi_l = D_r (\phi _R -\phi _P)-D_l(\phi _P - \phi _L);

연속 방정식은 이 문제에 대해 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:

(\rho \mathbf {u})_r -(\rho \mathbf {u})_l\,=0\ \ \Longleftrightarrow\ \ F_r-F_l=0\ \ \Longleftrightarrow\ F_r=F_l=F.

확산율이 균질하고 격자 간격이 동일하다고 가정하면,

:

\Gamma _l=\Gamma _r; \qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR} = \delta x,

D_l=D_r=D.

따라서 방정식은 다음과 같이 더 간단해진다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot F=D\cdot(\phi_R-2\phi_P+\phi_L).

위의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot P=(\phi_R-2\phi_P+\phi_L)

여기서

P

는 페클레 수이다.

:

P=\frac{F}{D}=\frac{\rho \mathbf{u} \delta x}{\Gamma}.

5.3. 단순화된 방정식 (소스 항 무시)

정상 상태 1차원 대류 확산 방정식에서 소스 항을 무시하면 방정식을 단순화할 수 있다.

: $(\rho \mathbf {u} \phi A)_r - (\rho \mathbf {u} \phi A)_l = \left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_r-\left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_l$

여기서

\rho

는 밀도,

\mathbf{u}

는 속도 벡터,

\phi

는 수송되는 속성,

\Gamma

는 확산 계수이다.

몇 가지 가정을 통해 식을 더욱 간단하게 만들 수 있다.

*

\frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{\delta \phi}{\delta x}

이고

A_r = A_l

이라면,

:

(\rho \mathbf {u} \phi)_r - (\rho \mathbf {u} \phi)_l \,= \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_r - \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_l.

* 다음을 정의하면:

:

F_r=(\rho \mathbf{u})_r ;\qquad F_l=(\rho \mathbf{u})_l;

D_l = \left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_l ;\qquad D_r =\left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_r;

\delta \phi _r = \phi_R -\phi_P ;\qquad\delta x_r = x_{PR};

\delta \phi _l = \phi_P -\phi_L ;\qquad\delta x_l = x_{LP};

위 식들을 정리하면 다음과 같다.

:

F_r \phi_r - F_l \phi_l = D_r (\phi _R -\phi _P)-D_l(\phi _P - \phi _L);

연속 방정식에 의해,

:

F_r-F_l=0\ \ \Longleftrightarrow\ F_r=F_l=F.

확산율이 균일하고 격자 간격이 동일하다고 가정하면,

:

\Gamma _l=\Gamma _r; \qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR} = \delta x,

D_l=D_r=D.

최종적으로 다음과 같은 단순화된 방정식을 얻는다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot F=D\cdot(\phi_R-2\phi_P+\phi_L).

위 식은 페클레 수

P

를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot P=(\phi_R-2\phi_P+\phi_L)

P=\frac{F}{D}=\frac{\rho \mathbf{u} \delta x}{\Gamma}.

5.4. 추가적인 단순화 및 가정

몇 가지 추가적인 단순화 및 가정을 통해 방정식을 더욱 간결하게 만들 수 있다.

먼저, 소스 항(

S_{\phi}

)을 무시하면 방정식은 다음과 같이 축소된다.

:

(\rho \mathbf {u} \phi A)_r - (\rho \mathbf {u} \phi A)_l = \left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_r-\left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_l

여기에

\frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{\delta \phi}{\delta x}

그리고

A_r = A_l

와 같은 가정을 적용하면, 방정식은 다음과 같이 된다.

:

(\rho \mathbf {u} \phi)_r - (\rho \mathbf {u} \phi)_l \,= \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_r - \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_l.

다음과 같이 변수를 정의한다.

:

F_r=(\rho \mathbf{u})_r ;\qquad F_l=(\rho \mathbf{u})_l;

D_l = \left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_l ;\qquad D_r =\left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_r;

그림에서 정의된 변수를 사용하면 다음과 같다.

:

\delta \phi _r = \phi_R -\phi_P ;\qquad\delta x_r = x_{PR};

\delta \phi _l = \phi_P -\phi_L ;\qquad\delta x_l = x_{LP};

이제 방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.

:

F_r \phi_r - F_l \phi_l = D_r (\phi _R -\phi _P)-D_l(\phi _P - \phi _L);

연속 방정식은 다음 조건 중 하나를 만족해야 한다.

:

(\rho \mathbf {u})_r -(\rho \mathbf {u})_l\,=0

F_r-F_l=0

F_r=F_l=F.

확산율이 균일하고 격자 간격이 동일하다고 가정하면,

:

\Gamma _l=\Gamma _r; \qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR} = \delta x

따라서,

:

D_l=D_r=D.

최종적으로 방정식은 다음과 같이 더욱 축소된다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot F=D\cdot(\phi_R-2\phi_P+\phi_L).

위의 방정식은 페클레 수(

P

)를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot P=(\phi_R-2\phi_P+\phi_L)

여기서

P

는 다음과 같이 정의된다.

:

P=\frac{F}{D}=\frac{\rho \mathbf{u} \delta x}{\Gamma}.

5.5. 최종 이산화 방정식

정상 상태 1차원 대류 확산 방정식은 다음과 같다.

: $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)\,= \nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)+S_{\phi}\;$

여기서 $\rho$ 는 밀도, $\mathbf{u}$ 는 속도 벡터, $\phi$ 는 수송되는 속성, $\Gamma$ 는 확산 계수, $S_{\phi}$ 는 속성 $\phi$ 의 생성을 담당하는 소스 항이다.

이 속성의 플럭스 균형을 제어 체적에 대해 만들고, 소스 항을 무시하면, 방정식은 다음과 같이 축소된다.

: $(\rho \mathbf {u} \phi A)_r - (\rho \mathbf {u} \phi A)_l = \left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_r-\left(\Gamma A \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_l$

\frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{\delta \phi}{\delta x}

이고

A_r = A_l

라고 가정하면, 방정식은 다음과 같이 된다.

:

(\rho \mathbf {u} \phi)_r - (\rho \mathbf {u} \phi)_l \,= \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_r - \left( \frac{\Gamma}{\delta x} \delta \phi\right)_l.

여기서,

:

F_r=(\rho \mathbf{u})_r ;\qquad F_l=(\rho \mathbf{u})_l;

D_l = \left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_l ;\qquad D_r =\left(\frac {\Gamma}{\delta x}\right)_r;

\delta \phi _r = \phi_R -\phi_P ;\qquad\delta x_r = x_{PR};

\delta \phi _l = \phi_P -\phi_L ;\qquad\delta x_l = x_{LP};

이산화 방정식은 다음과 같다.

:

F_r \phi_r - F_l \phi_l = D_r (\phi _R -\phi _P)-D_l(\phi _P - \phi _L);

연속 방정식에 의해,

:

F_r-F_l=F

확산율이 균질하고 동일한 격자 간격을 가지면,

:

\Gamma _l=\Gamma _r; \qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR} = \delta x,

D_l=D_r=D

최종 이산화 방정식은 다음과 같다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot F=D\cdot(\phi_R-2\phi_P+\phi_L).

위의 방정식은 페클레 수(

P

)를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

(\phi_r-\phi_l)\cdot P=(\phi_R-2\phi_P+\phi_L)

여기서

P

는 다음과 같다.

:

P=\frac{F}{D}=\frac{\rho \mathbf{u} \delta x}{\Gamma}.

6. TVD 스킴

전변동 점감(TVD) 스킴은 이산화된 방정식에 대입될 $\phi_r$ 과 $\phi_l$ 값을 다음과 같이 가정한다.

: $\phi_r\cdot P=\frac{1}{2}(P+|P|)[f_r^+\phi_R+(1-f_r^+)\phi_L]+\frac{1}{2}(P-|P|)[f_r^-\phi_P+(1-f_r^-)\phi_{RR}]$
: $\phi_l\cdot P=\frac{1}{2}(P+|P|)[f_l^+\phi_P+(1-f_l^+)\phi_{LL}]+\frac{1}{2}(P-|P|)[f_l^-\phi_L+(1-f_l^-)\phi_R]$

6.1. 가중 함수 (Weighting Function)

여기서 $P$ 는 페클레 수이고, $f$ 는 다음에서 결정되는 가중 함수이다.

: $f=f\left(\frac{\phi_U-\phi_{UU}}{\phi_D-\phi_{UU}}\right)$

여기서 $U$ 는 상류, $UU$ 는 $U$ 의 상류, $D$ 는 하류를 나타낸다.

$f^+$ 는 흐름이 양의 방향(즉, 왼쪽에서 오른쪽)일 때의 가중 함수이고, $f^-$ 는 흐름이 음의 방향(오른쪽에서 왼쪽)일 때의 가중 함수이다. 따라서,

: $\begin{align}& f_r^+\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_P-\phi_L}{\phi_R-\phi_L}\right)\text{의 함수이고}, \\[10pt]& f_r^-\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_R-\phi_{RR}}{\phi_P-\phi_{RR}}\right)\text{의 함수이고}, \\[10pt]& f_l^+\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_L-\phi_{LL}}{\phi_P-\phi_{LL}}\right)\text{의 함수이고}, \text{ 그리고} \\[10pt]& f_l^-\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_P-\phi_R}{\phi_L-\phi_R}\right)\text{의 함수입니다.}\end{align}$

흐름이 양의 방향이면 페클레 수 $P$ 는 양수이고, 항 $(P-|P|)= 0$ 이므로 함수 $f^-$ 는 $\phi_r$ 및 $\phi_l$ 의 가정에서 아무런 역할을 하지 않는다. 마찬가지로 흐름이 음의 방향이면 $P$ 는 음수이고, 항 $(P+|P|)= 0$ 이므로 함수 $f^+$ 는 $\phi_r$ 및 $\phi_r$ 의 가정에서 아무런 역할을 하지 않는다.

따라서 흐름 방향에 따라 속성 값을 고려하고 가중 함수를 사용하여 솔루션의 단조성을 달성하여 가짜 충격이 없는 결과를 생성한다.

6.2. 흐름 방향에 따른 가중 함수

전변동 점감 스킴은 이산화된 방정식에 대입될 $\phi_r$ 과 $\phi_l$ 의 값을 다음과 같이 가정한다.

: $\phi_r\cdot P=\frac{1}{2}(P+|P|)[f_r^+\phi_R+(1-f_r^+)\phi_L]+\frac{1}{2}(P-|P|)[f_r^-\phi_P+(1-f_r^-)\phi_{RR}]$
: $\phi_l\cdot P=\frac{1}{2}(P+|P|)[f_l^+\phi_P+(1-f_l^+)\phi_{LL}]+\frac{1}{2}(P-|P|)[f_l^-\phi_L+(1-f_l^-)\phi_R]$

여기서 $P$ 는 페클레 수이고, $f$ 는 다음 식에서 결정되는 가중 함수이다.

: $f=f\left(\frac{\phi_U-\phi_{UU}}{\phi_D-\phi_{UU}}\right)$

여기서 $U$ 는 상류, $UU$ 는 $U$ 의 상류, $D$ 는 하류를 나타낸다.

$f^+$ 는 흐름이 양의 방향(왼쪽에서 오른쪽)일 때의 가중 함수이고, $f^-$ 는 흐름이 음의 방향(오른쪽에서 왼쪽)일 때의 가중 함수이다. 따라서,

: $\begin{align}& f_r^+\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_P-\phi_L}{\phi_R-\phi_L}\right)\text{의 함수이고}, \\[10pt]& f_r^-\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_R-\phi_{RR}}{\phi_P-\phi_{RR}}\right)\text{의 함수이고}, \\[10pt]& f_l^+\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_L-\phi_{LL}}{\phi_P-\phi_{LL}}\right)\text{의 함수이고}, \text{ 그리고} \\[10pt]& f_l^-\text{ 는 }\left(\dfrac{\phi_P-\phi_R}{\phi_L-\phi_R}\right)\text{의 함수입니다.}\end{align}$

흐름이 양의 방향이면 페클레 수 $P$ 는 양수이고, $(P-|P|)= 0$ 이므로 함수 $f^-$ 는 $\phi_r$ 및 $\phi_l$ 을 가정할 때 아무런 역할을 하지 않는다. 마찬가지로 흐름이 음의 방향이면 $P$ 는 음수이고, $(P+|P|)= 0$ 이므로 함수 $f^+$ 는 $\phi_r$ 및 $\phi_r$ 을 가정할 때 아무런 역할을 하지 않는다.

따라서 흐름 방향에 따라 속성 값을 고려하고 가중 함수를 사용하여 솔루션의 단조성을 달성하여 가짜 충격이 없는 결과를 생성한다.

7. 한계

단조 기법은 비물리적인 해를 생성하지 않으므로 공학 및 과학 문제 해결에 유용하다. 고두노프 정리는 단조성을 보존하는 선형 기법이 기껏해야 1차 정확도만 가질 수 있다는 것을 보여주며, 이는 선형 기법의 한계를 나타낸다.

7.1. 고두노프 정리 (Godunov's Theorem)

고두노프 정리는 단조성을 보존하는 선형 기법은 기껏해야 1차 정확도만 가질 수 있음을 증명한다. 고차 선형 기법은 매끄러운 해에 대해서는 더 정확하지만, TVD가 아니며 불연속점이나 충격파가 발생하는 곳에서 스퓨리어스 진동(물결)을 도입하는 경향이 있다. 이러한 단점을 극복하기 위해 다양한 고해상도, 비선형 기술이 개발되었으며, 종종 플럭스/경사 리미터를 사용한다.

7.2. 고차 정확도 기법

고두노프 정리에 따르면 단조성을 보존하는 선형 기법은 기껏해야 1차 정확도만 가질 수 있다. 고차 선형 기법은 매끄러운 해에 대해서는 더 정확하지만, TVD가 아니며 불연속점이나 충격파가 발생하는 곳에서는 스퓨리어스 진동(물결)을 도입하는 경향이 있다. 이러한 단점을 극복하기 위해 플럭스/경사 리미터를 사용하는 다양한 고해상도, 비선형 기술이 개발되었다.

7.2.1. 플럭스 제한자 (Flux Limiter)

단조 기법은 비물리적인 해를 생성하지 않으므로 공학 및 과학 문제를 해결하는 데 매력적이다. 고두노프 정리는 단조성을 보존하는 선형 기법은 기껏해야 1차 정확도만 가질 수 있음을 증명한다. 고차 선형 기법은 매끄러운 해에 대해 더 정확하지만, TVD가 아니며 불연속점이나 충격파가 발생하는 곳에서 스퓨리어스 진동(물결)을 도입하는 경향이 있다. 이러한 단점을 극복하기 위해 다양한 고해상도, 비선형 기술이 개발되었으며, 종종 플럭스/경사 리미터를 사용한다.

7.2.2. 고해상도 기법 (High-Resolution Scheme)

고두노프 정리에 따르면 단조성을 보존하는 선형 기법은 기껏해야 1차 정확도만 가질 수 있다. 고차 선형 기법은 매끄러운 해에 대해서는 더 정확하지만, TVD가 아니며 불연속점이나 충격파가 발생하는 곳에서는 스퓨리어스 진동(물결)을 도입하는 경향이 있다. 이러한 단점을 극복하기 위해 다양한 고해상도 비선형 기술이 개발되었으며, 종종 플럭스/경사 리미터를 사용한다.