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전변동

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목차

1. 개요

전변동은 1881년 카미유 조르당에 의해 처음 소개된 개념으로, 함수의 변동 정도를 나타내는 지표이다. 실변수 함수의 전변동은 구간 내에서 함수의 값 변화의 절댓값 합으로 정의되며, 여러 변수의 함수, 특히 L¹ 공간에 속하는 함수의 전변동은 발산 연산자를 사용하여 정의된다. 확률 측도의 전변동 거리는 두 확률 분포 간의 차이를 측정하는 데 사용되며, 미분가능 함수와 측도의 전변동은 적분 및 노름을 사용하여 표현될 수 있다. 전변동 개념은 미분 방정식의 수치 해석, 영상 잡음 제거 등 다양한 분야에 응용된다.

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전변동

2. 역사적 배경

카미유 조르당은 1881년 논문에서 실변수 함수의 전변동 개념을 처음 소개했다.[1] 조르당은 이 개념을 사용하여 변동이 유계인 불연속 함수의 푸리에 급수에 대한 수렴 정리를 증명했다. 그러나 여러 가지 이유로 이 개념을 여러 변수의 함수로 확장하는 것은 간단하지 않았다.

이후 한스 한, 주세페 비탈리 등 여러 수학자들이 전변동 개념을 발전시켰다.

3. 정의

전변동은 함수의 정의역과 함수가 실변수 함수인지, 다변수 함수인지에 따라 다르게 정의된다.

3. 1. 한 개의 실변수 함수

실수 또는 복소수 값을 갖는 함수 f의 전변동은 구간 [a, b] \subset \mathbb{R}에서 다음과 같이 정의된다.[1]

: V_a^b(f)=\sup_{\mathcal{P}} \sum_{i=0}^{n_P-1} | f(x_{i+1})-f(x_i) |,

여기서 상한은 주어진 구간의 모든 분할 \mathcal{P} = \left\{P=\{ x_0, \dots , x_{n_P}\} \mid P\text{는 } [a,b] \text{의 분할이다.} \right\} 의 집합에서 나타난다. 즉, a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n_{P}} = b이다.[1]

3. 2. n > 1 개의 실변수 함수

'''Ω'''를 '''R'''''n''의 열린 집합이라고 할 때, ''L''1('''Ω''')에 속하는 함수 ''f''의 '''Ω'''에서 전변동은 다음과 같이 정의된다.[2]

: V(f,\Omega):=\sup\left\{\int_\Omega f(x) \operatorname{div} \phi(x) \, \mathrm{d}x \colon \phi\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\ \Vert \phi\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\},

여기서,

  • C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)은 \Omega에 포함된 콤팩트 지지 집합(콤팩트 지지)의 미분가능 함수(연속 미분 가능) 벡터 함수(벡터 값 함수)의 집합(집합)이다.
  • \Vert\;\Vert_{L^\infty(\Omega)}은 본질적 상한 노름(노름)이다.
  • \operatorname{div}는 발산(divergence) 연산자이다.


이 정의는 주어진 함수의 정의역(정의역) \Omega \subseteq \mathbb{R}^n이 유계 집합일 것을 요구하지 않는다.

3. 2. 1. 확률 측도의 전변동 거리

두 확률 측도 μ와 ν의 확률 측도의 전변동 거리는 \| \mu - \nu \|로 정의되며, 여기서 노름은 부호 측도의 전변동 노름이다. (\mu-\nu)(X)=0이라는 성질을 이용하면 다음과 같은 동등한 정의를 얻을 수 있다.

:\|\mu-\nu\| = |\mu-\nu|(X)=2 \sup\left\{\,\left|\mu(A)-\nu(A)\right| : A\in \Sigma\,\right\}

이 값은 자명하지 않다. 위의 2라는 인자는 일반적으로 생략된다. 비공식적으로, 이는 두 확률 분포가 동일한 사건에 할당할 수 있는 확률의 가장 큰 차이를 의미한다. 범주형 분포의 경우 전변동 거리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\delta(\mu,\nu) = \sum_x \left| \mu(x) - \nu(x) \right|\;.

또한 이전 정의를 반으로 나누어 [0, 1] 범위의 값으로 정규화할 수도 있다.

:\delta(\mu,\nu) = \frac{1}{2}\sum_x \left| \mu(x) - \nu(x) \right|[3]

4. 기본 성질

전변동은 유계 변동 함수의 공간에서 정의된 노름이며, 측도의 전변동은 유계 변동 측도의 공간에서 정의된 노름이다.[1]

4. 1. 미분가능 함수의 전변동

C^1(\overline{\Omega}) 함수 f의 전변동은 적분으로 표현할 수 있다.

'''정리 1.''' 미분가능 함수 f가 구간 [a , b] \subset \mathbb{R}에서 정의될 때, 전변동은 다음과 같다. 여기서 f'는 리만 적분 가능하다.

: V_a^b(f) = \int _a^b |f'(x)|\mathrm{d}x

만약 f가 미분가능하고 단조 함수라면, 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

: V_a^b(f) = |f(a) - f(b)|

모든 미분가능 함수 f에 대해, 정의역 구간 [a,b]를 f가 국소적으로 단조인 하위 구간 [a,a_1], [a_1,a_2], \dots, [a_N,b] (여기서 a)로 분해할 수 있다. 그러면 [a,b]에서 f의 전변동은 이러한 하위 구간에서의 국소 변동의 합으로 표현될 수 있다.

:

\begin{align}

V_a^b(f) &= V_a^{a_1}(f) + V_{a_1}^{a_2}(f) + \, \cdots \, +V_{a_N}^b(f)\\[0.3em]

&=|f(a)-f(a_1)|+|f(a_1)-f(a_2)|+ \,\cdots \, + |f(a_N)-f(b)|

\end{align}

'''정리 2.''' C^1(\overline{\Omega}) 함수 f가 유계 열린 집합 \Omega \subseteq \mathbb{R}^n에서 정의되고, \partial \Omega 가 C^1 클래스일 때, '''f의 전변동'''은 다음과 같은 표현을 갖는다.

:V(f,\Omega) = \int_\Omega \left|\nabla f(x) \right| \mathrm{d}x .

4. 2. 측도의 전변동

전변동은 유계변동 측도의 공간에서 정의된 노름이다. σ-대수 집합 위의 측도 공간은 이 노름과 관련하여 바나흐 공간이며, 이를 ca 공간이라고 한다. 이 공간은 더 큰 바나흐 공간인 ba 공간에 포함되는데, 이 공간은 가산 가법이 아닌 ''유한 가법'' 측도로 구성되며, 또한 동일한 노름을 갖는다.[1] 이 노름과 관련된 거리 함수는 두 측도 ''μ''와 ''ν'' 사이의 전변동 거리를 생성한다.[1]

'''R''' 위의 유한 측도의 경우, 위에서 설명한 측도 ''μ''의 전변동과 함수의 전변동 사이의 관계는 다음과 같다.[1] 주어진 ''μ''에 대해, \varphi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} 함수를 다음과 같이 정의한다.[1]

:\varphi(t) = \mu((-\infty,t])~.

그러면 부호 측도 ''μ''의 전변동은 위에서 언급한 의미에서 함수 \varphi의 전변동과 같다.[1] 일반적으로, 가측 공간 (X,\Sigma) 위의 임의의 부호 측도 ''μ''에 대해 요르단 분해 정리를 사용하여 부호 측도의 전변동을 다음과 같이 정의할 수 있다.[1]

:\|\mu\|_{TV} = \mu_+(X) + \mu_-(X)~,

5. 응용

전변동은 최적 제어, 수치 해석, 변분법 등 여러 수학 및 공학 분야에서 응용된다. 예를 들어, 미분 방정식의 근사 해를 찾는 미분 방정식의 수치해석에 활용된다.[4]

5. 1. 영상 처리

이미지 처리에는 전변동 잡음제거(Total variation denoising) 기법을 통해 정칙화된 깨끗한 이미지를 얻을 수 있다. 전변동 점감(Total variation diminishing) 성질을 가진 수치적 방법을 편미분방정식 풀이에 이용하기도 한다.[4]

참조

[1] 서적 2001
[2] 서적 Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems https://doi.org/10.1[...] Oxford University Press 2000
[3] 웹사이트 On Choosing and Bounding Probability Metrics https://www.math.hmc[...] 2017-04-08
[4] 논문 https://arxiv.org/pd[...] 2024-12-15


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