연속 방정식

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1. 개요

연속 방정식은 주어진 물리량의 밀도, 플럭스, 생성 또는 감소량을 나타내는 방정식으로, 가장 일반적인 형태는 미분 형태로 표현된다. 이 방정식은 발산 정리를 통해 유도되며, 다양한 물리 분야에서 질량, 전하, 확률 등의 보존 법칙을 설명하는 데 사용된다. 유체역학에서는 질량 보존의 법칙을, 전자기학에서는 전하 보존의 법칙을, 양자역학에서는 확률 보존의 법칙을 나타내며, 상대성 이론에서는 4-벡터와 4-경사를 사용하여 로렌츠 불변 형태로 표현된다. 또한, 뇌터 정리에 의해 연속 대칭과 보존 법칙 사이의 관계를 설명하며, 컴퓨터 비전 분야에서도 광학 흐름 방정식을 유도하는 데 활용된다.

2. 일반적인 형태

연속 방정식 또는 보존 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같은 미분 방정식으로 표현된다.

: ${\partial \varphi \over \partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f} = s$

여기서 $\varphi$ 는 어떤 물리량의 밀도(단위 부피 당 물리량)이고, $\mathbf{f}$ 는 그 물리량의 플럭스(단위 면적당 단위 시간당 물리량의 이동량)를 나타내는 벡터장이며, $s$ 는 단위 부피당 단위 시간당 그 물리량이 생성되거나( $s>0$ , 소스) 소멸되는( $s<0$ , 싱크) 양을 나타낸다. 이 방정식은 임의의 미소 체적 내에서 물리량의 변화율이 경계를 통한 유출입과 내부에서의 생성/소멸의 합과 같다는 원리로부터 유도된다. 만약 물리량이 보존된다면 $s=0$ 이 된다.

이 일반적인 형태는 다양한 물리적 상황에 적용될 수 있다.

유체역학에서는 질량 보존의 법칙을 나타내는 연속 방정식이 자주 사용된다.

:

{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0

여기서 ρ는 유체의 밀도, '''v'''는 유속, ''t''는 시간이며, ∇는 델 연산자이다. 이 경우 질량은 생성되거나 소멸되지 않으므로

s=0

이다.

만약 유체가 비압축성 유체(밀도 ρ가 상수)라면, 위 식은 더욱 간단해진다.

:

\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0

이는 비압축성 유체의 부피가 보존됨을 의미한다.

더 넓은 의미에서, 어떤 스칼라 물리량 ''q''의 보존 법칙은 다음과 같이 표현된다.

:

{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

여기서 ρ는 ''q''의 밀도이고, '''j'''는 ''q''의 플럭스이다.

가장 일반적인 형태는 ''q''의 수송 방정식으로, 생성 및 소멸 항을 포함한다.

:

{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma

여기서 σ는 ''q''의 발생원 밀도(

s

와 동일한 의미)이다.

이러한 광의의 연속 방정식을 플럭스 형식 또는 일반적인 보존 법칙이라고도 한다.^[9] 이 미분 형태의 방정식은 적분 형태의 보존 법칙으로부터 가우스의 정리(발산 정리)를 이용하여 유도될 수 있다. 적분 형태는 특정 부피 내의 총 물리량 변화가 경계를 통한 순 유출량과 내부 생성량의 합과 같다는 것을 나타낸다.

특히, 생성이나 소멸이 없는 경우(σ = 0)의 연속 방정식

:

{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0

을 보존 법칙의 미분형 또는 보존형 방정식이라고 부른다. 이는 해당 물리량이 국소적으로 보존됨을 의미한다.

2. 1. 플럭스(Flux)

연속 방정식은 '''플럭스'''(flux)를 정의할 수 있을 때 유용하다. 플럭스를 정의하려면 먼저 질량, 에너지, 전하, 운동량, 분자 수 등과 같이 흐르거나 움직일 수 있는 양

q

가 있어야 한다.

\rho

를 이 양의 부피 밀도로 정의하며, 즉 단위 부피당

q

의 양을 의미한다.

이 양

q

가 흐르는 방식은 플럭스에 의해 설명된다.

q

의 플럭스는 벡터장이며, 이를

\mathbf{j}

로 표기한다. 다음은 플럭스의 몇 가지 예시와 속성이다.

플럭스의 차원은 "단위 시간, 단위 면적당 흐르는 $q$ 의 양"이다. 예를 들어, 흐르는 물에 대한 질량 연속 방정식에서, 1초에 1그램의 물이 단면적이 1cm²인 파이프를 통해 흐른다면, 파이프 내부의 평균 질량 플럭스 $\mathbf{j}$ 는 (1 g/s) / cm²이며, 그 방향은 물이 흐르는 방향으로 파이프를 따라간다. 파이프 외부, 즉 물이 없는 곳에서는 플럭스가 0이다.
관련 흐름을 설명하는 속도장 $\mathbf{u}$ 가 있다면—다시 말해, 점 $\mathbf{x}$ 의 모든 양 $q$ 가 속도 $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ 로 움직인다면—플럭스는 정의상 밀도에 속도장을 곱한 것과 같다.

:

\mathbf{j} = \rho \mathbf{u}

예를 들어, 흐르는 물에 대한 질량 연속 방정식에서

\mathbf{u}

가 각 지점에서의 물의 속도이고,

\rho

가 각 지점에서의 물의 밀도라면,

\mathbf{j}

는 물질 유량이라고도 알려진 질량 플럭스가 된다.

잘 알려진 예로, 전하의 플럭스는 전류 밀도이다.

플럭스 또는 플럭스 밀도의 그림, $\mathbf{j}_1$ 및 $\mathbf{j}_2$ 는 양 $q$ 가 열린 표면 $S_1$ 및 $S_2$ 를 통과하는 것을 나타낸다. (벡터 $\mathbf{S}_1$ 및 $\mathbf{S}_2$ 는 무한소 면적 요소로 미분될 수 있는 벡터 면적을 나타낸다).

가상의 표면 $S$ 가 있는 경우, $S$ 에 대한 플럭스의 표면 적분은 단위 시간당 표면 $S$ 를 통과하는 $q$ 의 양과 같다.

:

(\text{가상 표면 }S\text{를 통해 흐르는 }q\text{의 속도}) = \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S}

여기서

\iint_S d\mathbf{S}

는 표면 적분이다.

(여기서 "플럭스"라고 불리는 개념은 일부 문헌에서 '''플럭스 밀도'''라고도 하며, 이 맥락에서 "플럭스"는 플럭스 밀도의 표면 적분을 나타낸다. 자세한 내용은 플럭스의 주요 기사를 참조하십시오.)

2. 2. 적분 형태

연속 방정식은 적분 형태로도 표현될 수 있다. 이는 특정 부피 내 물리량의 변화를 그 경계를 통한 유출입과 내부에서의 생성 및 소멸로 설명하는 방식이다.

어떤 닫힌 영역 내의 물리량 ''q''의 총량은 다음과 같은 두 가지 요인에 의해서만 변한다.

영역의 경계(표면)를 통해 ''q''가 안으로 들어오면 총량은 증가하고, 밖으로 나가면 감소한다.
영역 내부에서 새로운 ''q''가 생성되면 총량은 증가하고, ''q''가 파괴(소멸)되면 감소한다.

이를 수학적으로 표현하면, 부피 ''V'' 내에서 물리량 ''q''의 시간에 따른 변화율은 다음과 같은 적분 형태의 연속 방정식으로 나타낼 수 있다.

\frac{d q}{d t} + \oint_{S}\mathbf{j} \cdot d\mathbf{S} = \Sigma

연속 방정식의 적분 형태에서, ''S''는 왼쪽의 표면처럼 부피 ''V''를 완전히 둘러싸는 모든 폐곡면이다. ''S''는 오른쪽의 표면처럼 경계가 있는 표면이 ''아닐'' 수 있다. (표면은 파란색, 경계는 빨간색이다.)

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

''S''는 부피 ''V''를 둘러싸는 임의의 가상의 폐곡면이다.
$\oint_{S} d\mathbf{S}$ 는 폐곡면 ''S''에 대한 표면 적분을 의미한다.
''q''는 부피 ''V'' 안에 있는 해당 물리량의 총량이다.
'''j'''는 물리량 ''q''의 유량(flux) 밀도, 즉 단위 면적당 시간당 통과하는 양을 나타내는 벡터이다.
''t''는 시간을 나타낸다.
Σ는 단위 시간당 부피 ''V'' 내부에서 ''q''가 순수하게 생성되는 속도이다. ''q''가 생성되는 경우를 '소스(source)'라 하며 Σ > 0 이 된다. 반대로 ''q''가 파괴되거나 소멸되는 경우를 '싱크(sink)'라 하며 Σ < 0 이 된다.

간단한 예시로, ''V''를 하나의 건물이라고 하고, ''q''를 건물 안의 사람 수라고 생각해보자. 이때 표면 ''S''는 건물의 벽, 문, 지붕, 바닥 등이 된다. 연속 방정식은 다음과 같은 의미를 가진다.

사람들이 건물 안으로 들어오면(표면 ''S''를 통한 유입), 건물 안의 사람 수(''q'')는 증가한다.
사람들이 건물 밖으로 나가면(표면 ''S''를 통한 유출), 건물 안의 사람 수(''q'')는 감소한다.
건물 안에서 아기가 태어나면(내부 생성, 소스, Σ > 0), 건물 안의 사람 수(''q'')는 증가한다.
건물 안에서 사람이 사망하면(내부 소멸, 싱크, Σ < 0), 건물 안의 사람 수(''q'')는 감소한다.

이 적분 형태의 연속 방정식은 발산 정리를 이용하면 미분 형태로 변환될 수 있다.

3. 유체 역학

유체 동역학에서 연속 방정식은 질량 보존의 법칙을 수학적으로 나타낸 것이다. 이는 어떤 시스템으로 들어오는 질량의 속도와 시스템을 떠나는 질량의 속도, 그리고 시스템 내부에 축적되는 질량 사이의 관계를 설명한다.^[1]^[2]

연속 방정식의 미분방정식 형태는 다음과 같다.^[1]

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\rho$ : 유체의 밀도
$t$ : 시간
$\mathbf{u}$ : 유체의 유속 벡터장 (유체 속도)
$\nabla \cdot$ : 발산 연산자

위 식에서 시간 미분 항(

\frac{\partial \rho}{\partial t}

)은 시스템 내 질량의 시간에 따른 변화율(축적 또는 손실)을 나타내고, 발산 항(

\nabla \cdot (\rho \mathbf{u})

)은 공간적인 질량의 유입과 유출 차이를 나타낸다. 이 방정식은 오일러 방정식 중 하나로 간주되기도 한다.

만약 유체가 비압축성이어서 밀도

\rho

가 일정하다고 가정하면, 연속 방정식은 더 단순한 형태로 표현될 수 있다. (자세한 내용은 #비압축성 유체 섹션 참조)

한편, 나비에-스토크스 방정식은 선운동량 보존 법칙을 설명하는 벡터 형태의 연속 방정식이라고 할 수 있다.

유체의 흐름 속도를

\mathbf{v}

라고 할 때, 질량의 유속(질량 플럭스)

\mathbf{j}

는 밀도와 속도의 곱, 즉

\mathbf{j} = \rho \mathbf{v}

로 정의된다.^[10] 이를 이용하여 연속 방정식을 표현하기도 한다.

3. 1. 비압축성 유체

비압축성 유체는 밀도

\rho

가 변하지 않는 유체를 의미한다. 즉, 유체가 흐르는 동안 특정 유체 요소의 밀도가 일정하게 유지된다는 뜻이다.^[9] 일반적인 연속 방정식은 질량 보존의 법칙을 나타내며, 미분 형태는 다음과 같다.^[1]

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

여기서

t

는 시간,

\mathbf{u}

는 유체의 유속 벡터장이다.

유체가 비압축성일 경우, 즉 움직이는 유체 요소를 따라갔을 때 밀도 변화가 없으면(

\frac{D \rho}{D t} = 0

), 위 방정식은 다음과 같이 단순화된다.^[3]^[9]

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0

이 식은 비압축성 조건이라고도 불린다.^[9]

이 단순화된 방정식은 속도장

\mathbf{u}

의 발산이 모든 지점에서 0임을 의미하며,^[3] 이는 물리적으로 유체가 흐르는 동안 국소적인 부피 변화(팽창 또는 수축)가 없고, 따라서 흘러가는 유체 요소의 부피가 불변임을 뜻한다.^[3]^[9] 예를 들어, 굵기가 변하는 파이프를 통해 물(대체로 비압축성 유체로 간주됨)이 흐를 때, 파이프가 좁아지는 구간에서는 부피가 변하지 않으므로 유체의 속도가 증가하게 된다.^[3]

3. 2. 레이놀즈 수송 정리

속도가 '''v'''로 표시되는 흐름에서의 연속 방정식은 질량 보존 법칙과 레이놀즈 수송 정리를 이용하여 유도할 수 있다.^[9]

흐름과 함께 이동하는 임의의 적분 영역을

\Omega(t)

라고 할 때, 이 영역 내의 총 질량 변화율은 질량 보존 법칙에 따라 0이다. 이를 레이놀즈 수송 정리를 이용해 표현하면 다음과 같다.

:

0= {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t} \int_{\Omega(t)} \rho\, dV = \int_{\Omega(t)} \left( {D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla \cdot \boldsymbol{v} \right) dV

여기서

\rho

는 유체 밀도,

\boldsymbol{v}

는 유체 속도,

{D \over Dt}

는 물질 미분을 의미한다. 첫 번째 등식은 질량 보존 법칙을 나타내고, 두 번째 등식은 레이놀즈 수송 정리를 적용한 결과이다.

위 적분식이 임의의 영역

\Omega(t)

에 대해 항상 성립해야 하므로, 적분 내부의 함수는 0이 되어야 한다. 따라서 다음 식이 성립한다.

:

{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0

이 식은 물질 미분의 정의

:

{D \over Dt}\equiv{\partial \over \partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla

와 벡터 미분 공식을 적용하면, 앞서 제시된 연속 방정식의 일반적인 미분 형태와 동일함을 확인할 수 있다.

:

{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0

4. 전자기학

전자기학에서 연속 방정식은 국소적인 전하량 보존 법칙을 나타내는 중요한 관계식이다.^[11] 이는 전류 밀도 '''J'''의 발산이 전하 밀도 ρ의 시간에 따른 변화율의 음수 값과 같다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 공간에서 전하가 흘러나가면 그 공간 내부의 전하량은 감소한다는 것을 수식으로 표현한 것이다.

연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \rho \over \partial t}$

또는, 이항하여 다음과 같이 쓰기도 한다.

: ${\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0$

여기서 '''J'''는 전류 밀도(단위: 암페어/제곱미터)이고, ρ는 전하 밀도(단위: 쿨롬/세제곱미터)이다. 전류는 전하의 움직임이므로, 이 방정식은 만약 어떤 미소 부피에서 전하가 외부로 흘러나가면(즉, 전류 밀도 '''J'''의 발산 ∇·'''J'''가 양수이면), 해당 부피 내의 총 전하량은 감소해야 하며, 따라서 전하 밀도 ρ의 시간 변화율 ∂ρ/∂t는 음수가 된다는 것을 나타낸다. 이는 전하가 생성되거나 소멸되지 않고 보존된다는 전하 보존 법칙의 미분 형태 표현이다.

이 연속 방정식은 맥스웰 방정식으로부터 수학적으로 유도될 수 있지만, 전하 보존 자체는 맥스웰 방정식보다 더 근본적인 물리 법칙으로 간주된다. 맥스웰 방정식과의 구체적인 관계 및 유도 과정은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

4. 1. 맥스웰 방정식과의 관계

전자기학에서 연속 방정식은 두 맥스웰 방정식의 결과로 유도될 수 있으며, 이는 국소적인 전하량 보존 법칙을 나타낸다. 이 방정식은 전류 밀도 J의 발산이 전하 밀도 ρ의 시간에 따른 변화율의 음수 값과 같다는 것을 보여준다.

:

\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \rho \over \partial t}.

이 관계는 맥스웰 방정식으로부터 다음과 같이 유도할 수 있다. 먼저 변위 전류 항을 포함하여 수정된 앙페르 회로 법칙 (맥스웰-앙페르 방정식)은 다음과 같다.

:

\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.

여기서 H는 자기장 세기, J는 전류 밀도, D는 변위장이다. 위 식의 양변에 발산 연산자(∇·)를 적용하면,

:

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) = \nabla \cdot \mathbf{J} + \nabla \cdot \left({\partial \mathbf{D} \over \partial t}\right).

벡터 항등식에 따라, 어떤 벡터장의 회전(curl)의 발산은 항상 0이므로 좌변은 0이 된다. 또한 발산 연산자와 시간 편미분 연산자는 교환 가능하므로 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

0 = \nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial (\nabla \cdot \mathbf{D}) \over \partial t}. \qquad (1)

다음으로, 또 다른 맥스웰 방정식인 가우스 법칙은 다음과 같다.

:

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho.\,

여기서 ρ는 전하 밀도이다. 이 가우스 법칙을 식 (1)에 대입하면,

:

\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0,\,

이것이 바로 연속 방정식이다.

원래의 앙페르 회로 법칙 (

\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}

)만으로는 전하량 보존 법칙을 만족시키지 못했다. 이 식의 양변에 발산을 취하면 좌변은 0이 되지만, 우변은

\nabla \cdot \boldsymbol{J}

가 되어 일반적으로 0이 아니기 때문이다. 제임스 클러크 맥스웰은 이 문제를 해결하기 위해 변위 전류 항

{\partial \boldsymbol{D} \over \partial t}

을 도입하여 앙페르 법칙을 수정하였다. 이렇게 수정된 법칙과 가우스 법칙을 결합함으로써 전하량 보존을 나타내는 연속 방정식을 일관성 있게 유도할 수 있게 되었다. 전류는 전하의 흐름이므로, 연속 방정식은 어떤 공간에서 전하가 빠져나가면(즉, 전류 밀도의 발산이 양수이면) 그 공간 안의 총 전하량은 감소해야 한다는(즉, 전하 밀도의 시간 변화율이 음수여야 한다는) 물리적 사실, 즉 전하량 보존 법칙을 나타낸다.

4. 2. 사원 전류

전하 보존 법칙을 나타내는 연속 방정식은 사원 전류를 사용함으로써 로렌츠 공변적이고 간결한 형태로 나타낼 수 있다. 사원 전류 ''J''^μ (μ= 0, 1, 2, 3)는 다음과 같이 정의된다.

:

J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right)

여기서 ''c''는 광속, ''ρ''는 전하 밀도, '''j'''는 전류 밀도이다.

또한, 사원 벡터 형태의 미분 연산자를 다음과 같이 정의한다.

:

\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} {\partial \over \partial t} , \nabla \right)

이 사원 전류와 미분 연산자를 이용하면, 연속 방정식은 아래와 같이 매우 간결하게 표현할 수 있다.

:

\partial_\mu J^\mu = 0

여기서는 아래첨자에 대해 아인슈타인 표기법이 사용되었다.

5. 양자 역학

양자역학에서도 연속 방정식은 중요한 역할을 하는데, 이는 확률의 보존과 관련이 있다.^[12] 위치 공간에서 시간 ''t''와 위치 '''r'''에 대한 단일 입자의 파동 함수를 Ψ = Ψ('''r''', ''t'')라고 할 때, 확률 밀도 ρ와 확률 전류(또는 확률 흐름) '''j'''는 다음과 같이 정의된다.

확률 밀도 (입자를 특정 위치와 시간에서 발견할 확률):

\rho(\mathbf{r}, t) = \Psi^{*}(\mathbf{r}, t)\Psi(\mathbf{r}, t) = |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2

확률 전류 (확률의 흐름을 나타내는 벡터장):

\mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left[ \Psi^{*} \left( \nabla\Psi \right) - \Psi \left( \nabla\Psi^{*} \right) \right]

이 정의들을 사용하면, 양자역학에서의 연속 방정식은 다음과 같은 형태로 표현된다.

\nabla \cdot \mathbf{j} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0

이 방정식은 특정 공간 영역 내에서 확률의 총량이 시간에 따라 변하는 정도는 그 영역의 경계를 통해 들어오거나 나가는 확률 흐름(확률 전류)과 같다는 것을 의미한다. 즉, 확률은 소멸하거나 생성되지 않고 국소적으로 보존된다는 것을 보여준다. 확률이 마치 유체처럼 흘러가는 것으로 비유할 수 있지만, 입자 자체가 결정론적으로 이 벡터장을 따라 흐르는 것은 아니다.

이 연속 방정식은 슈뢰딩거 방정식으로부터 유도될 수 있으며, 이는 확률 보존이 슈뢰딩거 방정식과 일관됨을 보여준다.^[4]

5. 1. 슈뢰딩거 방정식과의 관계

양자역학에서 연속 방정식은 확률의 보존 법칙을 나타낸다.^[12] 위치 공간에서 시간 ''t''와 위치 '''r'''에 대한 단일 입자의 규격화된 파동 함수를 Ψ = Ψ('''r''', ''t'')라고 하자. 이때 확률 밀도 ρ와 확률 전류 '''j'''는 다음과 같이 정의된다.

\rho(\mathbf{r}, t) = \Psi^{*}(\mathbf{r}, t)\Psi(\mathbf{r}, t) = |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2

\mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left[ \Psi^{*} \left( \nabla\Psi \right) - \Psi \left( \nabla\Psi^{*} \right) \right]

여기서 ρ는 특정 위치와 시간에서 입자를 발견할 확률 밀도를 나타내며, '''j'''는 확률의 흐름, 즉 확률 전류를 나타내는 벡터장이다.

이 정의들을 이용하여 슈뢰딩거 방정식으로부터 확률에 대한 연속 방정식을 유도할 수 있다. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식과 그 복소 켤레는 각각 다음과 같다.^[4]

\begin{align}i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + U\Psi \\

i\hbar\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi^{*} + U\Psi^{*}

\end{align}

여기서 ''U''는 전위 함수이다. 확률 밀도 ρ의 시간에 대한 편미분은 다음과 같이 계산된다.

\frac{\partial \rho}{\partial t}= \frac{\partial | \Psi |^2}{\partial t }= \frac{\partial}{\partial t} \left( \Psi^{*} \Psi \right)= \Psi^{*} \frac{\partial\Psi}{\partial t} + \Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}

위의 슈뢰딩거 방정식과 그 복소 켤레 식을 각각 사용하여 ∂Ψ/∂t 와 ∂Ψ*/∂t 항을 치환하면,

\begin{align}\frac{\partial \rho}{\partial t}&= \frac{1}{i\hbar} \left[ -\frac{\hbar^2\Psi^{*}}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi^{*}\Psi \right] - \frac{1}{i\hbar} \left[ -\frac{\hbar^2\Psi}{2m}\nabla^2\Psi^{*} + U\Psi\Psi^{*} \right] \\&= \frac{\hbar}{2im} \left[ \Psi\nabla^2\Psi^{*} - \Psi^{*}\nabla^2\Psi \right] \\\end{align}

한편, 확률 전류 '''j'''의 발산을 계산하면 다음과 같다.

\begin{align}\nabla \cdot \mathbf{j}&=  \nabla \cdot \left[ \frac{\hbar}{2mi} \left( \Psi^{*} \left( \nabla \Psi \right) - \Psi \left( \nabla \Psi^{*} \right) \right) \right] \\&=  \frac{\hbar}{2mi} \left[ \nabla\Psi^{*} \cdot \nabla\Psi + \Psi^{*} \nabla^2 \Psi - \nabla\Psi \cdot \nabla\Psi^{*} - \Psi \nabla^2\Psi^{*} \right] \\&=  \frac{\hbar}{2mi} \left[ \Psi^{*} \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2\Psi^{*} \right] \\\end{align}

따라서 다음 관계가 성립한다.

\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{j}

이를 정리하면 양자역학에서의 연속 방정식 형태를 얻는다.

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0

이 방정식은 특정 부피 내에서 확률의 총량이 시간에 따라 변하는 정도는 그 부피의 경계면을 통해 들어오거나 나가는 확률 흐름(확률 전류)의 양과 같다는 것을 의미하며, 이는 확률이 국소적으로 보존됨을 나타낸다.

6. 확산 방정식

브라운 운동처럼 확률적(무작위적) 과정에 따라 연속적으로 움직이는 양, 예를 들어 용해된 단일 분자의 위치 같은 것이 있다면, 그 양의 확률 분포에 대한 연속 방정식이 존재한다. 이때 플럭스(흐름)는 단위 시간당 단위 면적을 통과하는 확률로 정의된다. 연속 방정식은 이 플럭스의 음의 발산(divergence)이 확률 밀도의 시간 변화율과 같다는 것을 보여준다. 이는 분자가 항상 어딘가에 존재하며(확률 분포의 총합은 1), 순간이동 없이 연속적으로 움직인다는 물리적 사실을 수학적으로 나타낸다.

브라운 운동과 같이 미시적인 현상에서 비롯되는 물질의 수송 현상을 생각해 보자.^[13] 이 경우, 경험적으로 알려진 피크의 법칙(Fick's first law)에 따라 물질의 흐름(유속) '''j'''는 농도(밀도) ρ의 기울기(gradient)에 비례한다.

$\boldsymbol{j}= -\kappa \nabla \rho$

여기서 비례 상수 κ는 확산 계수라 불리며, 차원은 $\mathrm{L}^2\ \mathrm{T}^{-1}$ (길이²/시간)이다. 만약 확산 계수 κ가 공간적으로 일정하다면, 이 피크의 법칙을 연속 방정식 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0$ 에 대입하여 다음과 같은 확산 방정식을 얻을 수 있다.

${\partial \rho \over \partial t} = \kappa \nabla^2 \rho$

이 방정식은 시간에 따른 농도(밀도) 분포의 변화를 설명한다.

7. 반도체

반도체 내에서 총 전류 흐름은 전도대의 전자와 가전자대의 정공에 의한 드리프트 전류 및 확산 전류로 구성된다.

전자에 대한 1차원 일반 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$\frac{\partial n}{\partial t} = n \mu_n \frac{\partial E}{\partial x} + \mu_n E \frac{\partial n}{\partial x} + D_n \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} + (G_n - R_n)$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

''n'': 전자의 국소 농도
$\mu_n$ : 전자 이동도
''E'': 공핍 영역을 가로지르는 전기장
''D_n'': 전자에 대한 확산 계수
''G_n'': 전자의 생성률 (전자가 새로 생겨나는 비율)
''R_n'': 전자의 재결합률 (전자가 정공과 결합하여 사라지는 비율)

마찬가지로 정공에 대한 연속 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial p}{\partial t} = -p \mu_p \frac{\partial E}{\partial x} - \mu_p E \frac{\partial p}{\partial x} + D_p \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + (G_p - R_p)

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

''p'': 정공의 국소 농도
$\mu_p$ : 정공 이동도
''E'': 공핍 영역을 가로지르는 전기장
''D_p'': 정공에 대한 확산 계수
''G_p'': 정공의 생성률 (정공이 새로 생겨나는 비율)
''R_p'': 정공의 재결합률 (정공이 전자와 결합하여 사라지는 비율)

이 방정식들은 반도체 소자 내에서 시간에 따른 전자와 정공의 농도 변화를 설명한다. 방정식의 각 항은 전기장에 의한 이동(드리프트 전류), 농도 차이에 의한 이동(확산 전류), 그리고 외부 요인(빛, 열 등)이나 내부 과정에 의한 전하 운반자의 생성 및 소멸(재결합) 과정을 나타낸다. 이러한 연속 방정식은 트랜지스터, 다이오드 등 다양한 반도체 소자의 동작 원리를 이해하고 분석하는 데 기본적으로 사용된다.

8. 상대성 이론

특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론에서도 연속 방정식은 물리적 양의 보존을 기술하는 데 중요한 역할을 수행한다.

특수 상대성 이론에서는 4-벡터와 같은 수학적 도구를 사용하여 연속 방정식을 로렌츠 불변인 형태로 간결하게 표현할 수 있다. 이는 서로 다른 관성계에서 관측하더라도 물리 법칙이 동일하게 성립함을 보여주는 중요한 특징이다. 예를 들어, 전하 보존이나 에너지-운동량 보존과 같은 기본적인 보존 법칙들이 이러한 4-벡터 형식을 통해 기술된다.

일반 상대성 이론에서는 중력에 의해 시공간이 휘어지는 효과를 고려해야 한다. 따라서 연속 방정식을 기술할 때 일반적인 미분 연산자 대신 공변 미분을 사용해야 한다. 이는 특히 물질과 에너지의 분포를 나타내는 응력-에너지 텐서를 다룰 때 중요하며, 아인슈타인 장 방정식의 형태에도 영향을 미친다.^[5] 하지만 시공간이 크게 휘어진 블랙홀 주변과 같은 극한 환경에서는 연속 방정식의 적분 형태를 정의하거나 적용하기 어려울 수 있다.^[7]

8. 1. 특수 상대성 이론

4-벡터와 4-경사를 포함한 특수 상대성 이론의 표기법과 도구는 모든 연속 방정식을 편리하게 작성할 수 있는 방법을 제공한다.

어떤 보존되는 양의 밀도 ''ρ''와 그 흐름을 나타내는 전류 밀도 '''j'''는 4-전류라고 불리는 4-벡터 ''J''^μ (μ= 0, 1, 2, 3)로 결합될 수 있다.

J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right) = \left(c \rho, j_x, j_y, j_z \right)

여기서 ''c''는 광속이다. 이 4-전류의 4-발산은 4-경사 ∂_''μ''를 사용하여 다음과 같이 계산된다.

\partial_\mu J^\mu = \frac{\partial (c\rho)}{\partial (ct)} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j}

여기서 ''μ''는 시공간 차원을 나타내는 인덱스이며, 아래첨자에 대해 아인슈타인 표기법이 사용되었다.

소스나 싱크가 없는 경우, 즉 해당 물리량이 완벽하게 보존될 때 연속 방정식은 다음과 같이 매우 간결한 형태로 표현된다.

\partial_\mu J^\mu = 0

이 형태의 연속 방정식은 명백하게 로렌츠 불변성을 만족한다.

이러한 로렌츠 불변 형태는 다양한 물리적 보존 법칙을 나타내는 데 사용된다. 예를 들어, 전하 보존 법칙은 전기 4-전류 ''J''^μ를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

\partial_\mu J^\mu = 0

또한, 에너지-운동량 보존 법칙은 응력-에너지 텐서 ''T''^μν를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

\partial_\nu T^{\mu\nu} = 0

8. 2. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서는 시공간이 휘어져 있기 때문에, 에너지, 전하 또는 다른 보존되는 양에 대한 연속 방정식(미분 형태)은 일반적인 발산 대신 공변 미분을 사용한다.

예를 들어, 응력-에너지 텐서는 질량-에너지 분포의 에너지-운동량 밀도, 에너지-운동량 플럭스, 전단 응력 등을 포함하는 2차 텐서장이다. 일반 상대성 이론에서 에너지-운동량 보존 법칙은 응력-에너지 텐서의 공변 발산이 0이라는 것을 의미한다.

{T^\mu}_{\nu; \mu} = 0.

이것은 아인슈타인 장 방정식이 일반 상대성 이론에서 가지는 형태에 중요한 제약 조건이 된다.^[5]

하지만, 응력-에너지 텐서의 일반 발산은 반드시 0이 되는 것은 아니다.^[6]

\partial_{\mu} T^{\mu\nu} = - \Gamma^{\mu}_{\mu \lambda} T^{\lambda \nu} - \Gamma^{\nu}_{\mu \lambda} T^{\mu \lambda},

위 식의 우변은 평평한 기하학에서만 정확히 0이 된다.

결과적으로, 연속 방정식의 적분 형태는 정의하기 어렵고, 시공간이 상당히 휘어진 영역(예를 들어 블랙홀 주변이나 우주 전체)에서는 반드시 성립하지 않을 수 있다.^[7]

9. 뇌터 정리 (Noether's theorem)

물리학에서 보존 방정식이 자주 나타나는 이유 중 하나는 뇌터 정리 때문이다. 뇌터 정리에 따르면, 물리 법칙이 연속 대칭성을 가질 때마다 그에 해당하는 보존되는 물리량이 있으며, 이에 대한 연속 방정식이 존재한다. 가장 잘 알려진 세 가지 예시는 다음과 같다.

물리학 법칙은 시간 이동에 대해 변하지 않는다. 예를 들어, 오늘의 물리 법칙은 어제와 같다. 이러한 대칭성은 에너지 보존 법칙과 그에 대한 연속 방정식으로 이어진다.
물리학 법칙은 공간 이동에 대해 변하지 않는다. 예를 들어, 우주 공간의 로켓은 어느 방향으로 이동하든 동일한 물리 법칙을 따른다. 이는 운동량 보존 법칙과 관련 연속 방정식으로 이어진다.
물리학 법칙은 회전(방향)에 대해 변하지 않는다. 예를 들어, 우주 공간에서는 특별한 기준 방향이 없으며, 물리 법칙은 어떤 방향을 기준으로 하든 동일하다. 이러한 대칭성은 각운동량 보존 법칙과 그에 대한 연속 방정식으로 이어진다.

10. 컴퓨터 비전

컴퓨터 비전에서 광학 흐름(optical flow)은 시각 장면에서 물체가 움직이는 것처럼 보이는 패턴을 의미한다. 움직이는 물체의 밝기가 두 이미지 프레임 사이에서 변하지 않는다고 가정하면, 다음과 같은 광학 흐름 방정식을 유도할 수 있다.

$\frac{\partial I}{\partial x}V_x + \frac{\partial I}{\partial y}V_y + \frac{\partial I}{\partial t}= \nabla I\cdot\mathbf{V} + \frac{\partial I}{\partial t}= 0$

여기서 각 변수는 다음을 의미한다.

''t'': 시간
''x'', ''y'': 이미지 내의 좌표
''I'': 이미지 좌표 (''x'', ''y'') 및 시간 ''t''에서의 이미지 강도(밝기)
'''V''': 이미지 좌표 (''x'', ''y'') 및 시간 ''t''에서의 광학 흐름 속도 벡터 $(V_x, V_y)$

참조

_[1] 서적 Geophysical fluid dynamics https://archive.org/[...] Springer Science+Business Media|Springer
_[2] 서적 Aerodynamics Pitman Publishing Limited
_[3] 웹사이트 The Basics of Fluid Dynamics https://community.du[...] 2019-12-22
_[4] 서적 Quantum Mechanics Demystified McGraw Hill
_[5] 서적 Relativity DeMystified McGraw Hill (USA)
_[6] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[7] 웹사이트 Is Energy Conserved in General Relativity? http://math.ucr.edu/[...] 2014-04-25
_[8] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[9] 서적 流体解析ハンドブック共立出版 1998-03-20
_[10] 서적 新物理学シリーズ21 流体力学培風館 1995-09
_[11] 서적 理論電磁気学紀伊國屋書店 1999-09
_[12] 서적 量子力学１東京図書 1971-06-15
_[13] 서적 岩波講座現代物理学の基礎統計物理学岩波書店 2011-11-26
_[14] 서적 파인만의 물리학 강의 volume3 승산 2009

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