전집합
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1. 개요
전집합은 위상 벡터 공간 V의 부분 집합 S⊆V가 선형 생성 Span(S)가 조밀 집합인 경우를 말한다. 즉, 임의의 벡터 v∈V 및 영벡터의 근방 U∋0에 대해, 유한 개의 벡터 s₁, ..., sₙ ∈ S와 스칼라 a₁, ..., aₙ ∈ K가 존재하여 a₁s₁ + ⋯ + aₙsₙ ∈ v + U를 만족해야 한다. 모든 흡수 집합은 전집합이며, 영벡터의 근방은 항상 전집합이다. 복소수 바나흐 공간 C([0,1];C)에서 다항식 함수들의 집합, 그리고 {f ∈ C([0,1];C) : f(0) = f(1)}에서 지수 함수들의 집합은 전집합의 예시이다.
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2. 정의
위상체 K에 대한 위상 벡터 공간 V의 부분 집합 S⊆V가 다음 조건을 만족시키면, V의 전집합이라고 한다.
- 선형 생성 Span(S)⊆V가 조밀 집합이다. 즉, 임의의 v∈V 및 영벡터의 근방 U∋0에 대하여, a₁s₁ + ⋯ + aₙsₙ ∈ v + U인 유한 개의 벡터 s₁, ..., sₙ ∈ S 및 스칼라 a₁, ..., aₙ ∈ K가 존재한다.
3. 예
모든 흡수 집합은 전집합이다. 특히, 영벡터의 근방은 항상 전집합이다.[3]
복소수 바나흐 공간 C([0,1];C)에서, 다항식 함수들의 집합 {x ↦ xⁿ : n ∈ N}는 전집합이다 (스톤-바이어슈트라스 정리).[3]
마찬가지로, 복소수 바나흐 공간 {f ∈ C([0,1];C) : f(0) = f(1)}에서, 지수 함수들의 집합 {x ↦ exp(2nπix) : n ∈ Z}는 전집합이다.[3]
참조
[1]
서적
A Modern Approach to Functional Integration
https://archive.org/[...]
Springer Science & Business Media
2010
[2]
웹사이트
Total set
http://www.encyclope[...]
Springer
2014-09-14
[3]
서적
Elements of mathematics. Topological vector spaces. Chapters 1–5
Springer
2003
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