전집합
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1. 개요
전집합은 위상 벡터 공간 V의 부분 집합 S⊆V가 선형 생성 Span(S)가 조밀 집합인 경우를 말한다. 즉, 임의의 벡터 v∈V 및 영벡터의 근방 U∋0에 대해, 유한 개의 벡터 s₁, ..., sₙ ∈ S와 스칼라 a₁, ..., aₙ ∈ K가 존재하여 a₁s₁ + ⋯ + aₙsₙ ∈ v + U를 만족해야 한다. 모든 흡수 집합은 전집합이며, 영벡터의 근방은 항상 전집합이다. 복소수 바나흐 공간 C([0,1];C)에서 다항식 함수들의 집합, 그리고 {f ∈ C([0,1];C) : f(0) = f(1)}에서 지수 함수들의 집합은 전집합의 예시이다.
| 정의 | 수학에서, 특히 집합론, 함수형 분석, 선형 대수학에서, 총집합은 더 큰 집합의 모든 원소가 그 원소의 선형 조합으로 표현될 수 있는 집합이다. |
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| 비고 | 총집합은 때때로 완전 집합이라고도 한다. 이것은 완전 공간과 관련이 있다. |
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| 선형대수학에서의 정의 | 선형대수학에서 벡터 공간의 부분집합 S는 S에 의해 생성된 부분공간이 V와 같으면 V의 총집합이다. 다시 말해, V의 모든 벡터는 S의 원소들의 유한 선형 결합으로 표현될 수 있으면 S는 V의 총집합이다. |
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| 예시 | 실수 벡터 공간 R^3에서 다음 벡터 집합을 고려한다. |
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| 설명 | 이 집합은 R^3의 총집합이다. 왜냐하면 R^3의 모든 벡터 (x, y, z)는 이 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있기 때문이다. |
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| 함수형 해석학에서의 정의 | 함수형 해석학에서 벡터 공간 X의 부분집합 S는 X의 모든 원소 x에 대해 S의 원소들의 선형 결합의 수열이 x로 수렴하면 X의 총집합이다. 만약 X가 노름 공간이라면, 이것은 S의 선형 포락선이 X에서 조밀하다는 것과 동등하다. |
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| 예시 | 구간 [a, b]에서 정의된 제곱 적분 가능한 함수들의 공간 L^2([a, b])에서 다항식들의 집합은 L^2([a, b])의 총집합이다. 이것은 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 증명될 수 있다.
푸리에 급수의 이론은 삼각 함수들의 집합이 구간 [-π, π]에서 정의된 제곱 적분 가능한 함수들의 공간 L^2([-π, π])의 총집합임을 보여준다. |
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2. 정의
위상체 K에 대한 위상 벡터 공간 V의 부분 집합 S⊆V가 다음 조건을 만족시키면, V의 전집합이라고 한다.
* 선형 생성 Span(S)⊆V가 조밀 집합이다. 즉, 임의의 v∈V 및 영벡터의 근방 U∋0에 대하여, a₁s₁ + ⋯ + aₙsₙ ∈ v + U인 유한 개의 벡터 s₁, ..., sₙ ∈ S 및 스칼라 a₁, ..., aₙ ∈ K가 존재한다.
3. 예
모든 흡수 집합은 전집합이다. 특히, 영벡터의 근방은 항상 전집합이다.
복소수 바나흐 공간 C([0,1];C)에서, 다항식 함수들의 집합 {x ↦ xⁿ : n ∈ N}는 전집합이다 (스톤-바이어슈트라스 정리).
마찬가지로, 복소수 바나흐 공간 {f ∈ C([0,1];C) : f(0) = f(1)}에서, 지수 함수들의 집합 {x ↦ exp(2nπix) : n ∈ Z}는 전집합이다.
