분포 (해석학)
"오늘의AI위키" 는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다."오늘의AI위키" 의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차 보기/숨기기
2. 정의
유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subset\mathbb R^n 이 주어졌을 때, U 위의 시험 함수 공간 \mathcal D(U) 는 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수 들의 벡터 공간 이다. 이 공간에 특정한 위상을 부여하여 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간 을 이룬다.\mathcal D(U) 의 연속 쌍대 공간 \mathcal D'(U) 를 '''분포 공간'''이라 하고, 그 원소를 '''분포'''라고 한다. 분포는 시험 함수에 작용하는 연속 선형 범함수로 정의된다.F 와 시험 함수 f\in\mathcal D(U) 에 대하여, F(f) 는 보통 다음과 같이 표기한다.F(f)=\int_UF(x)f(x)\,d^nx x\in U 에 대하여 F(x) 라는 대상이 엄밀히 정의되지 않으므로, 우변은 실제 적분을 의미하는 것이 아니라 단순한 표기법일 뿐이다.C_c^\infty(U) 에 대한 선형 범함수 T가 연속, 즉 '''분포'''가 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
모든 컴팩트 부분 집합 K\subseteq U 에 대해, 지지 집합이 K 에 포함된 모든 f \in C_c^\infty(U) 에 대해 다음을 만족하는 C>0 및 N\in \N 가 존재한다. |T(f)| \leq C \sup \2. 1. 시험 함수
유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subset\mathbb R^n 위의 실수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수 들의 실수 벡터 공간 을 \mathcal C^\infty_0(U) 또는 \mathcal D(U) 라고 쓰고, 그 원소를 U 위의 '''시험 함수'''(test function영어 )라고 한다.범프 함수 (x,y) \in \R^2 \mapsto \Psi(r), 의 그래프. 여기서 r = \left(x^2 + y^2\right)^\frac{1}{2} 이고 \Psi(r) = e^{-\frac{1}{1 - r^2}}\cdot\mathbf{1}_{\2. 2. 분포 공간
유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subset\mathbb R^n 위의 콤팩트 지지를 가지는 매끄러운 함수 들의 벡터 공간 \mathcal D(U) ('''시험 함수'''(試驗函數, test function영어 ) 공간)의 연속 쌍대 공간 \mathcal D'(U) 를 '''분포 공간'''(分布空間, space of distributions영어 )이라고 하고, 그 원소를 '''분포'''(分布, distribution영어 )라고 한다.F 와 시험 함수 f\in\mathcal D(U) 에 대하여, F(f) 는 보통 다음과 같이 표기한다.F(f)=\int_UF(x)f(x)\,d^nx x\in U 에 대하여 F(x) 라는 대상이 엄밀히 정의되지 않으므로, 실제 적분을 의미하는 것이 아니라 단순한 표기법이다.U 에 대한 분포 T 와 테스트 함수 f \in C_c^\infty(U) 사이에는 표준적인 쌍대 쌍이 존재하며, 이는 꺾쇠 괄호를 사용하여 다음과 같이 표시된다.\begin{cases} U 상의 분포 집합은 C_c^\infty(U) 의 연속 쌍대 공간 이며, 이 공간에 강한 쌍대 위상을 부여하면 \mathcal{D}'(U) 로 표기된다.
3. 연산
분포는 미분, 곱셈, 합성, 컨볼루션, 푸리에 변환 등 다양한 연산이 가능하다.
미분: 분포의 미분은 부분 적분 공식을 일반화하여 정의된다. 모든 분포는 무한히 미분 가능하며, 미분 연산은 분포 공간에서 선형 연산자이다.\left\langle \frac{\partial T}{\partial x_k}, \phi \right\rangle = - \left\langle T, \frac{\partial \phi}{\partial x_k} \right\rangle \qquad \text{ for all } \phi \in \mathcal{D}(U). 곱셈: 분포와 매끄러운 함수의 곱셈은 가환환 위의 가군 구조를 이루며, 곱 규칙 이 성립한다.m\delta' = m(0) \delta' - m' \delta = m(0) \delta' - m'(0) \delta (여기서 \delta 는 디랙 델타 분포)컨볼루션: 특정 조건을 만족하는 경우(두 분포 중 하나가 컴팩트한 지지 집합을 갖는 경우), 분포 간의 컨볼루션이 정의된다.\langle S \ast T, \phi \rangle = \langle S, \psi \rangle 푸리에 변환: 조절 분포 공간에서 정의되며, 분포의 특성을 분석하는 데 중요한 도구이다.F \dfrac{dT}{dx} = ixFT 3. 1. 지지 집합
분포 $F\in\mathcal D'(U)$의 '''지지 집합'''(支持集合, support영어 ) $\operatorname{supp}F$는 다음 조건을 만족하는 점 $x$를 포함하지 않는다.$x$의 어떤 열린 근방 $V\ni x$에 대하여, 모든 $f\in\mathcal D(V)$에 대해 $F(f)=0$이다. 영어 ) $\operatorname{sing\,supp}F$는 다음 조건과 동치인 점 $x$를 포함하지 않는다.$x$의 어떤 열린 근방 $V\ni x$에 대하여, $F|_V$는 매끄러운 함수 이다. 즉, $T_f=F|_V$가 되는 $f\in\mathcal C^\infty(V)$가 존재한다. 파면 집합 '''이 있다. 이는 특이 지지 집합과 달리, 특이성이 발생하는 방향에 대한 정보를 담고 있다.영어 )는 것은, $S$가 제한 사상 $\rho_{VU}$의 핵에 속하는 것을 의미한다. 즉, $S$가 $V$ 위에서 사라진다는 것은 $V$ 내부에 지지체를 갖는 임의의 테스트 함수 $\varphi \in C^\infty(U)$에 대해 $\langle S,\varphi\rangle = 0$이 성립하는 것을 말한다. $V$를 $S$가 사라지는 최대의 열린 집합, 즉 $S$가 사라지는 열린 집합들의 합집합이라고 하면, 초함수 $S$의 '''지지체''' supp $S$는 $U$에서의 $V$의 여집합을 의미한다. 따라서 다음이 성립한다.\operatorname{supp}\,S = U - \bigcup\left\{V \mid \rho_{VU}S = 0\right\} 3. 2. 국소화
열린집합 $U$ 위에 정의된 분포 $F\in\mathcal D'(U)$와 열린 부분 집합 $V\subseteq U$가 주어졌을 때, 시험 함수에 대한 다음과 같은 자연스러운 포함 관계가 존재한다.\iota_{VU}\colon\mathcal D(V)\hookrightarrow\mathcal D(U) \iota_{VU}\colon f\mapsto\left(x\mapsto\begin{cases}f(x)&x\in V\\0&x\in U\setminus V\end{cases}\right) 영어 )은 다음과 같다.F|_V\in \mathcal D'(V) F|_V\colon f\mapsto F(\iota_{VU}f) 층 을 이룬다.매끄러운 함수 의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 층 과 마찬가지로, $F$의 $x$에서의 싹을 정의할 수 있다.층 이라고 한다.여집합 $U \setminus V$에서 $0$으로 설정하여 확장할 수 있다. 이 확장은 $f$의 $U$로의 자명한 확장이라고 하며, $E_{VU} (f)$로 표시된다. 이 할당 $f \mapsto E_{VU} (f)$는 자명한 확장 연산자 $E_{VU} : \mathcal{D}(V) \to \mathcal{D}(U)$를 정의하며, 이는 연속적인 단사 선형 사상이다. 이는 $\mathcal{D}(V)$를 $\mathcal{D}(U)$의 벡터 부분 공간으로 (위상 부분 공간으로는 아니게) 표준적으로 식별하는 데 사용된다.\rho_{VU} := {}^{t}E_{VU} : \mathcal{D}'(U) \to \mathcal{D}'(V) \langle \rho_{VU} T, \phi \rangle = \langle T, E_{VU} \phi \rangle \quad \text{ for all } \phi \in \mathcal{D}(V) T(x) = \sum_{n=1}^\infty n \, \delta\left(x-\frac{1}{n}\right) \langle \rho_{VU}S,\varphi\rangle = \langle S, E_{VU}\varphi\rangle S(x) = \sum_{n=1}^\infty n\,\delta\!\left(x-\frac{1}{n}\right) 3. 3. 미분
부분 적분 공식에 따라, 분포의 '''미분 '''은 다음과 같이 정의된다.\frac\partial{\partial x^i}F\colon f\mapsto -F\left(\frac\partial{\partial x^i}f\right) 다중지표 \alpha\in\mathbb N^n 에 대하여 분포 F 의 미분 \partial^\alpha F 를 정의할 수 있다.\partial^\alpha F\colon f\mapsto(-1)^F(\partial^\alpha f)A : \mathcal{D}(U) \to \mathcal{D}(U) 를 편미분 연산자 \tfrac{\partial}{\partial x_k} 라고 할 때, A 를 확장하기 위해 전치 연산자를 계산하면 다음과 같다.\begin{align} {}^{t}A = -A 이다. 좌표 x_k 에 대한 T 의 편미분은 다음 공식으로 정의된다.\left\langle \frac{\partial T}{\partial x_k}, \phi \right\rangle = - \left\langle T, \frac{\partial \phi}{\partial x_k} \right\rangle \qquad \text{ for all } \phi \in \mathcal{D}(U). x_k 방향의 도함수는 \mathcal{D}'(U) 에 대한 선형 연산자이다.\alpha 가 임의의 다중 지수인 경우, 분포 T \in \mathcal{D}'(U) 의 편도함수 \partial^\alpha T 는 다음과 같이 정의된다.\langle \partial^\alpha T, \phi \rangle = (-1)^ \langle T, \partial^\alpha \phi \rangle \qquad \text{ for all } \phi \in \mathcal{D}(U).\mathcal{D}'(U) 에서 연속 연산자이다. 이는 다른 대부분의 미분 개념에는 없는 중요하고 바람직한 속성이다.T 가 \R 의 분포인 경우\lim_{x \to 0} \frac{T - \tau_x T}{x} = T'\in \mathcal{D}'(\R), T' 는 T 의 도함수이고 \tau_x 는 x 만큼의 평행 이동이다. 따라서 T 의 도함수는 몫의 극한으로 볼 수 있다.(T_i)_{i=1}^\infty 가 T \in \mathcal{D}'(U) 로 수렴하면 모든 다중 지수 \alpha 에 대해 (\partial^\alpha T_i)_{i=1}^\infty 는 \partial^\alpha T \in \mathcal{D}'(U). 로 수렴한다.T\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x_k} \langle T\varphi,\psi \rangle = \left\langle \frac{\partial\varphi}{\partial x_k},\, \psi \right\rangle = -\left\langle \varphi,\, \frac{\partial\psi}{\partial x_k} \right\rangle ∗ = −''T''를 얻는다. 이것은 ''D''(''U'')에서 ''D''(''U'')로의 연속 선형 변환이다. 따라서, 초함수 ''S'' ∈ ''D''′(''U'')의 좌표계 ''x''''k'' 에 관한 편도함수는 임의의 테스트 함수 φ에 대해\left\langle \frac{\partial S}{\partial x_{k}},\, \varphi \right\rangle = - \left\langle S,\, \frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}} \right\rangle ''k'' 방향으로의 미분은 ''D''′(''U'') 위의 선형 작용소가 된다. 일반적으로, α = (α1 , ..., α''n'' )을 임의의 다중 지수로 하고, 대응하는 혼합 편미분 작용소를 ∂α 로 나타내면, 초함수 ''S'' ∈ ''D''′(''U'')의 혼합 편도함수 ∂α ''S''는\langle \partial^{\alpha} S, \varphi \rangle = (-1)^ \langle S,\, \partial^{\alpha} \varphi \rangle \mbox{ for all } \varphi \in D(U)3. 4. 곱셈
일반적으로 두 분포의 곱은 정의되지 않는다.쌍선형이다. 곱 규칙 이 성립한다.두 국소 적분 가능 함수의 (함수로서의) 곱셈은 분포로서의 곱셈과 일치한다. 단위 계단 함수 \theta(x)=\begin{cases}0&x<0\\1&x>1\end{cases} n 에 대하여\theta=\theta^n 곱 규칙 을 적용하고, n>1 이라면\delta=n\theta^{n-1}\delta=n\theta\delta \delta 는 디랙 델타 분포). 이는 임의의 n>1 에 대하여 성립하므로, \delta=n\theta\delta=0 이 되어 모순이다.파면 집합 이 적절한 조건을 만족시킨다면 그 곱셈을 정의할 수 있다.매끄러운 함수 라면, 분포와 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 F\in\mathcal D'(U) 및 f\in \mathcal C^\infty(U) 에 대하여,fF\colon g\mapsto F(fg) \mathcal D'(U) 는 가환환 \mathcal C^\infty(U) 위의 가군 을 이루며, 나아가 가환환층 \mathcal C^\infty(U) 위의 가군층 을 이룬다.\mathcal{D}'(U) 는 모듈이며 환 C^\infty(U) 이다. 매끄러운 함수와의 곱셈에 대한 이 정의를 사용하면, 미적분학의 일반적인 곱 규칙 이 유효하게 유지된다. 그러나 몇 가지 특이한 항등식도 발생한다. 예를 들어, \delta 가 \R 에서의 디락 델타 분포이면, m \delta = m(0) \delta 이고, \delta^' 가 델타 분포의 도함수이면,m\delta' = m(0) \delta' - m' \delta = m(0) \delta' - m'(0) \delta (f,T) \mapsto fT 로 주어지는 쌍선형 곱셈 사상 C^\infty(\R^n) \times \mathcal{D}'(\R^n) \to \mathcal{D}'\left(\R^n\right) 는 연속이 아니지만, 준연속이다.T 와 U 에서 항등적으로 1인 함수의 곱은 T 와 같다.(f_i)_{i=1}^\infty 가 U 에서 상수 함수 1 \in C^\infty(U) 로 수렴하는 테스트 함수의 시퀀스라고 가정한다. U 에서의 모든 분포 T 에 대해, 시퀀스 (f_i T)_{i=1}^\infty 는 T \in \mathcal{D}'(U) 로 수렴한다.(T_i)_{i=1}^\infty 가 T \in \mathcal{D}'(U) 로 수렴하고 (f_i)_{i=1}^\infty 가 f \in C^\infty(U) 로 수렴하면, (f_i T_i)_{i=1}^\infty 는 fT \in \mathcal{D}'(U) 로 수렴한다.로랑 슈바르츠 가 만들어낸 슈바르츠 초함수론은 순수하게 선형적인 이론이므로 일반적으로 두 초함수의 곱에 대해 일관된 정의를 내릴 수 없다. 예를 들어 p.v. 1/''x''는 코시 주치에 의해 주어지는 초함수이며, 임의의 φ ∈ ''S''('''R''')에 대해\left(p.v.\frac{1}{x}\right)[\phi] = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_3. 5. 푸리에 변환
슈바르츠 함수를 사용하면, 푸리에 변환 에 대하여 닫혀 있는 분포 공간의 부분 공간인 조절 분포 를 얻는다.F : \mathcal{S}(\R^n) \to \mathcal{S}(\R^n) 는 슈바르츠 공간 의 자기동형사상이며, 푸리에 변환은 그 전치 {}^{t}F : \mathcal{S}'(\R^n) \to \mathcal{S}'(\R^n) 로 정의되는데, 다시 F 로 표시된다. 따라서 완화 분포 T 의 푸리에 변환은 모든 슈바르츠 함수 \psi 에 대해 (FT)(\psi) = T(F \psi) 로 정의된다. FT 는 다시 완화 분포이다. 푸리에 변환은 완화 분포 공간에서 그 자신으로의 동형사상이다. 이 연산은 미분과 호환되는데, 즉F \dfrac{dT}{dx} = ixFT T 가 완화 분포이고 \psi 가 \R^n 에서 매끄러운 함수이면 \psi T 는 다시 완화 분포이고,F(\psi T) = F \psi * FT FT 와 F \psi 의 컨볼루션이다.F\dfrac{dS}{dx}=ixFS ''n'' 위의 완증가한 무한번 미분 가능한 함수로 하면, ''S''ψ는 다시 완증가 초함수이며, 그 푸리에 변환F(S\psi)=FS*F\psi
4. 성질
분포는 다양한 성질을 가지며, 함수 및 측도와 밀접하게 관련되어 있다.유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 열린집합 U\subset\mathbb R^n 위의 실수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수 들의 실수 벡터 공간 을 \mathcal C^\infty_0(U) 또는 \mathcal D(U) 라고 하고, 그 원소를 U 위의 '''시험 함수'''(test function영어 )라고 한다.\mathcal D(U) 의 연속 쌍대 공간 \mathcal D'(U) 를 '''분포 공간'''(space of distributions영어 )이라고 하고, 그 원소를 '''분포'''(distribution영어 )라고 한다.T 가 C_c^\infty(U) 상의 선형 범함수이면 다음 명제들은 동치이다.연속 이다.연속 이다.유계 이다.C_c^\infty(U) 에서 어떤 f \in C_c^\infty(U) 로 수렴하는 모든 수열 \left(f_i\right)_{i=1}^\infty 에 대해, \lim_{i \to \infty} T\left(f_i\right) = T(f) 이다.C_c^\infty(U) 에서 원점으로 수렴하는(그러한 수열을 영수열이라고 한다) 모든 수열 \left(f_i\right)_{i=1}^\infty 에 대해, \lim_{i \to \infty} T\left(f_i\right) = 0 이다.C_c^\infty(U) 에서 원점으로 수렴하는 모든 수열 \left(f_i\right)_{i=1}^\infty 에 대해, 수열 \left(T\left(f_i\right)\right)_{i=1}^\infty 는 유계이다.C_c^\infty(U) 에서 모든 Mackey 수렴하는 영수열 \left(f_i\right)_{i=1}^\infty 에 대해, 수열 \left(T\left(f_i\right)\right)_{i=1}^\infty 는 유계이다.f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i=1}^\infty 는 만약 발산하는 수열 r_{\bull} = \left(r_i\right)_{i=1}^\infty \to \infty 양의 실수들의 수열이 존재하여 수열 \left(r_i f_i\right)_{i=1}^\infty 가 유계이면 Mackey 수렴하는 영으로라고 한다; 원점으로 Mackey 수렴하는 모든 수열은 반드시 (일반적인 의미에서) 원점으로 수렴한다.T 의 커널은 C_c^\infty(U) 의 닫힌 부분 공간이다.T 의 그래프는 닫혀 있다.|T| \leq g 를 만족하는 C_c^\infty(U) 상의 연속 반노름 g 가 존재한다.|T| \leq C(g_1 + \cdots + g_m) 을 만족하는 상수 C > 0 와 유한 부분 집합 \{g_1, \ldots, g_m\} \subseteq \mathcal{P} (여기서 \mathcal{P} 는 C_c^\infty(U) 상에서 정준 LF 위상을 정의하는 모든 연속 반노름들의 모임이다)가 존재한다.K\subseteq U 에 대해, 모든 f \in C^\infty(K) 에 대하여 |T(f)| \leq C \sup \{|\partial^\alpha f(x)| : x \in U, |\alpha|\leq N\}; 를 만족하는 상수 C>0 와 N\in \N 가 존재한다.K\subseteq U 에 대해, 지지 집합이 K 에 포함되는 모든 f \in C_c^\infty(U) 에 대해, |T(f)| \leq C_K \sup \
모든 컴팩트 부분 집합 K\subseteq U 와 C^\infty(K) 에 있는 모든 수열 \{f_i\}_{i=1}^\infty 에 대해, 모든 다중 지수 p 에 대하여 \{\partial^p f_i\}_{i=1}^\infty 가 균등하게 0으로 수렴하면, T(f_i) \to 0 이다.
4. 1. 분포 공간의 위상
분포 공간 $\mathcal{D}'(U)$는 연속 쌍대 공간 이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.약한-* 위상: 이 경우 $\mathcal{D}'(U)$는 국소 볼록 공간 이지만, 거리화 가능 공간 이 아니다. 콤팩트 집합 위에서의 균등 수렴 위상: 이 경우, $\mathcal{D}'(U)$는 국소 볼록 공간 이며, 추가로 핵공간(nuclear space영어 )이자 몽텔 공간(Montel space영어 )이다. 그러나 이는 거리화 가능 공간 이 아니다. 연속 쌍대 공간 이며, 이 공간에 강한 쌍대 위상을 부여하면 $\mathcal{D}'(U)$로 표기된다. 특히, 별도로 표시하지 않는 한, $\mathcal{D}'(U)$상의 위상은 강한 쌍대 위상이다. 위상이 대신 약-* 위상인 경우 이를 표시한다. 두 위상 모두 거리화 가능 공간 은 아니지만, 약-* 위상과는 달리, 강한 쌍대 위상은 $\mathcal{D}'(U)$를 몇 가지 바람직한 속성을 가진 완비 위상 벡터 공간인 핵 공간으로 만든다.''k'' )가 초함수 ''S''로 수렴하는 것은 임의의 테스트 함수 φ에 대해\langle S_k, \varphi\rangle \to \langle S, \varphi\rangle 균등 수렴 하는 것과도 동치이다.4. 2. 함수 공간의 매장
locally integrable function|국소 적분 가능 함수영어 f\colon U\to\mathbb R 는 임의의 콤팩트 집합 K\subset U 에 대하여 (|f|)|_K 가 르베그 적분 가능한 함수인 함수이다. 모든 연속 함수 와 임의의 p 에 대하여 Lp 함수는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간은 \mathcal L^1_{\text{loc}}(U) 로 표기한다. Lp 공간과 마찬가지로, 임의의 f,g\in\mathcal L^1_{\text{loc}}(U) 에 대하여 f-g 가 거의 어디서나 0인 경우 f\sim g 로 정의하고, 다음과 같이 정의한다.L^1_{\text{loc}}(U)=\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)/{\sim} f 에 대하여, 대응하는 분포 T_f\in\mathcal D'(U) 는 다음과 같이 정의된다.T_f\colon\mathcal D(U)\to\mathbb R T_f\colon g\mapsto\int_Ufg 연속 함수 이며, 실수 벡터 공간의 단사 선형 변환 T\colon L^1_{\text{loc}}(U)\hookrightarrow\mathcal D'(U) f : U \to \R 가 U의 모든 컴팩트 부분 집합 K에 대해 르베그 적분 가능 하면 국소 적분 가능 함수이다. 이는 모든 연속 함수와 모든 Lp 공간 L^p 함수를 포함하는 광범위한 함수 부류이다. \mathcal{D}(U) 상의 위상은 모든 국소적 적분 가능 함수 f 가 \mathcal{D}(U) 상의 연속 선형 범함수, 즉 \mathcal{D}'(U) 의 원소로 이어지도록 정의되며, T_f 로 표기하고 테스트 함수 \phi 에서의 값은 르베그 적분으로 주어진다.\langle T_f, \phi \rangle = \int_U f \phi\,dx T_f 를 f 로 식별하여 표기법 남용을 하며, 따라서 T_f 와 \phi 사이의 쌍은 종종 다음과 같이 작성된다.\langle f, \phi \rangle = \langle T_f,\phi\rangle f 와 g 가 두 개의 국소적 적분 가능 함수라면, 관련 분포 T_f 와 T_g 는 f 와 g 가 거의 어디에서나 같을 때와 같은 \mathcal{D}'(U) 의 원소와 같다.4. 3. 측도 공간의 매장
라돈 측도 $\mu$에 대하여, 대응하는 분포 $T_\mu \in \mathcal{D}'(U)$는 다음과 같이 정의된다.라돈 측도 $\mu$가 존재한다. 이는 리스 표현 정리와 유사하다.단사 사상이며, 그 상은 공역에서 조밀 하다. 따라서 전치 사상 ${}^{t}\operatorname{In} \colon (C_c^0(U))'_b \to \mathcal{D}'(U) = (C_c^\infty(U))'_b$도 연속적인 단사 사상이다.라돈 측도 의 공간으로 식별될 수 있으며, 여기서 연속 선형 범함수 $T \in (C_c^0(U))'_b$와 라돈 측도에 대한 적분 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 즉,$T \in (C_c^0(U))'_b$이면 모든 $f \in C_c^0(U)$에 대해 $T(f) = \int_U f \, d\mu$를 만족하는 라돈 측도 $\mu$가 $U$에 존재한다. $\mu$가 $U$에 대한 라돈 측도이면, $f \in C_c^0(U)$를 $\int_U f \, d\mu$로 보내는 방식으로 정의된 $C_c^0(U)$상의 선형 범함수는 연속이다. 4. 4. 연속 함수로의 표현
열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 위의 임의의 분포 F\in\mathcal D'(U) 는 유한 개의 다중지표 와 연속 함수 들 (\alpha_1,f_1),\dots,(\alpha_k,f_k) 로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.F=\sum_{i=1}^k\partial^{\alpha_k}f_k 연속 함수 들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 벡터 공간 이다.분포 에서 각 분포를 U상에서 연속 함수의 분포 미분의 유한 합으로 쓸 수 있는 압축된 지지 집합을 가진 일련의 분포의 합으로 표현할 수 있다. 즉, 임의의 T \in \mathcal{D}'(U) 에 대해 다음을 쓸 수 있다.T = \sum_{i=1}^\infty \sum_{p \in P_i} \partial^p f_{ip}, P_1, P_2, \ldots 는 다중 지수의 유한 집합이고 함수 f_{ip} 는 연속이다.
5. 예
국소 적분 가능 함수와 라돈 측도 는 분포의 예이다. 모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이루며, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 디랙 델타 함수 와 그 도함수는 분포의 예이며, 이는 더 이상 함수가 아니지만 라돈 측도 이다. 코시 주요값 은 함수는 아니지만 분포이며, 아다마르 유한 부분은 분포의 예이다.
5. 1. 함수와 측도
모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차 \mu_+-\mu_- 역시 분포를 이룬다.{}^{t}\operatorname{In} : (C_c^0(U))'_b \to \mathcal{D}'(U) 를 통해, 모든 라돈 측도는 U에 대한 분포가 된다. 만약 f 가 U에 대한 국소 가적분 함수이면, 분포 \phi \mapsto \int_U f(x) \phi(x) \, dx 는 라돈 측도이며, 따라서 라돈 측도는 크고 중요한 분포의 공간을 형성한다.f : U \to \R 이 국소적 적분 가능 함수라는 것은 U의 모든 콤팩트 부분 집합 K에 대해 르베그 적분 가능 하면 정의된다. 이는 모든 연속 함수와 모든 Lp 공간 L^p 함수를 포함하는 광범위한 함수 부류이다. \mathcal{D}(U) 상의 위상은 모든 국소적 적분 가능 함수 f 가 \mathcal{D}(U) 상의 연속 선형 범함수, 즉 \mathcal{D}'(U) 의 원소로 이어지도록 정의되며, 여기서는 T_f 로 표기하고 테스트 함수 \phi 에서의 값은 르베그 적분으로 주어진다.\langle T_f, \phi \rangle = \int_U f \phi\,dx. f 와 g 가 두 개의 국소적 적분 가능 함수라면, 관련 분포 T_f 와 T_g 는 f 와 g 가 거의 어디에서나 같을 때와 같은 \mathcal{D}'(U) 의 원소와 같다.\mu 는 테스트 함수 \phi 에서의 값이 \int\phi \,d\mu 인 \mathcal{D}'(U) 의 원소를 정의한다.5. 2. 디랙 델타 함수와 그 도함수
실수선 위에 다음과 같은 연속 함수 를 생각하자.f(x)=\max\{x,0\} f'(x) 는 단위 계단 함수 이다. 이는 국소 적분 가능 함수로 나타낼 수 있지만, 연속 함수가 아니다.f''(x)=\delta(x) 는 디랙 델타 분포이다. 이는 더 이상 함수가 아니지만, 라돈 측도 이며, 다음과 같다.\int\delta(x)g(x)=g(0) f''(x)=\delta'(x) 는 디랙 델타의 도함수이다. 이는 더 이상 라돈 측도 조차 아니며, 다음과 같다.\int\delta'(x)g(x)=-\int g'(x)\delta(0)=-g'(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R) \int\delta^{(n)}(x)g(x)=(-1)^ng^{(n)}(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R) x \in U 에 대해, \delta_x \in \mathcal{D}'(U) 를 점 x 에서의 디랙 측도에 의해 유도된 분포로 나타낸다. 임의의 x_0 \in U 와 분포 T \in \mathcal{D}'(U) 에 대해, T 의 지지 집합이 \{x_0\} 에 포함되는 것은 T 가 x_0 에서의 디랙 측도의 도함수의 유한 선형 결합인 것과 필요충분 조건이다.T 의 차수가 \leq k 이면, 다음과 같은 상수 \alpha_p 가 존재한다.T = \sum_{|p| \leq k} \alpha_p \partial^p \delta_{x_0}. T 가 단일 점 \{P\} 에서 지지 집합을 가지면, T 는 사실 P 에서의 \delta 함수의 분포 도함수의 유한 선형 결합이다. 즉, 정수 m 과 복소 상수 a_\alpha 가 존재하여T = \sum_5. 3. 코시 주요값
실수선 위에서 함수 f(x)=x(\ln|x|-1) 는 연속 함수 이다. 이 함수의 도함수는 다음과 같다.f'(x)=\ln|x| 는 연속 함수가 아니지만, 국소 적분 가능 함수이다.f''(x)=\operatorname{pv}1/x 는 코시 주요값 (\operatorname{pv} )을 사용하여 다음과 같이 정의된다.\begin{align}\left(g'(\epsilon)+g'(-\epsilon)\right)\epsilon(\ln|\epsilon|-1) f'''(x)=-\operatorname{fp}1/x^2 는 아다마르 유한 성분(partie finie프랑스어 ) (\operatorname{fp} )을 사용하여 다음과 같이 정의된다.[f'(x)g'(x)]_{-\epsilon}^\epsilon \int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g'''(x) \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\ \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\ \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\ f^{(n)}=(-1)^n\operatorname{pf}x^{1-n} 는 다음과 같이 정의된다.
6. 관련 개념
'''콜롱보 대수'''(Colombeau algebra)는 분포 와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.분포 의 개념을 미분 형식 으로 일반화한 것이며, 조르주 드 람 이 도입하였다. n차원 유클리드 공간 에서 n차 흐름과 분포는 일치하지만, 임의의 매끄러운 다양체 에서는 이는 성립하지 않는다.
6. 1. 사토 초함수
사토 간오 의 대수적 해석학에서 발전된 사토 초함수는 정칙 함수 를 시험 함수로 사용하는 초함수 이론이다. 층 이론과 다변수 복소 해석을 사용하여, 파인만의 경로 적분과 같은 형식적인 방법들을 엄밀한 수학으로 다룰 수 있게 해준다.
7. 응용
분포는 편미분 방정식 의 해를 구하는 데 사용될 수 있다. 물리학 , 공학 등에서 나타나는 비연속적인 문제를 미분 방정식으로 나타낼 때 분포가 해로 나타나는 경우가 많다. 신호 처리 , 확률론 등 다양한 분야에서 응용된다.
7. 1. 편미분 방정식
모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분 을 가지며, 이를 이용해 편미분 방정식 의 해를 구할 수 있다. 물리학 이나 공학 에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타내면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 분포가 있다.A : \mathcal{D}(U) \to \mathcal{D}(U) 를 편미분 연산자 \tfrac{\partial}{\partial x_k} 라고 하자. A 를 확장하기 위해 전치 연산자를 계산하면 다음과 같다.\begin{align} {}^{t}A = -A 이다. 좌표 x_k 에 대한 T 의 편미분은 다음 공식으로 정의된다.\left\langle \frac{\partial T}{\partial x_k}, \phi \right\rangle = - \left\langle T, \frac{\partial \phi}{\partial x_k} \right\rangle \qquad \text{ for all } \phi \in \mathcal{D}(U). x_k 방향의 도함수는 \mathcal{D}'(U) 에 대한 선형 연산자이다.\alpha 에 대해, 분포 T \in \mathcal{D}'(U) 의 편도함수 \partial^\alpha T 는 다음과 같이 정의된다.\langle \partial^\alpha T, \phi \rangle = (-1)^ \langle T, \partial^\alpha \phi \rangle \qquad \text{ for all } \phi \in \mathcal{D}(U).\mathcal{D}'(U) 에서 연속 연산자이다.T 가 \R 의 분포인 경우\lim_{x \to 0} \frac{T - \tau_x T}{x} = T'\in \mathcal{D}'(\R), T' 는 T 의 도함수이고 \tau_x 는 x 만큼 평행 이동한 것이다. 따라서 T 의 도함수는 몫의 극한으로 볼 수 있다.7. 2. 물리학 및 공학
디랙 델타 분포는 물리학 이나 공학 에서 점전하, 점질량 등 이상적인 물리적 대상을 모델링하는 데 사용되는 분포의 대표적인 예시이다.편미분 방정식 의 해를 구할 때, 적분 가능한 함수는 분포 공간에서 미분 을 가지며, 이를 통해 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타낼 수 있다. 이때 해는 분포가 되는 경우가 많다.
8. 역사
편미분 방정식 이론이 발달하면서, 1830년대에 발명된 그린 함수 와 같은 개념을 엄밀히 정의할 필요성이 대두되었다. 분포의 실질적인 사용은 1830년대에 그린 함수 를 사용하여 상미분 방정식을 푸는 것으로 거슬러 올라갈 수 있지만, 훨씬 나중에 정형화되었다. 1954년에 로랑 슈바르츠 는 일반적으로 두 분포의 곱을 정의할 수 없음을 증명하였다.
8. 1. 주요 인물
세르게이 리보비치 소볼레프 는 1936년에 2차 쌍곡 편미분 방정식 을 다루는 데 분포의 개념을 사용하였다.로랑 슈바르츠 는 1950년에 분포 이론을 체계적으로 엄밀히 개발하였고, "분포"(distribution|디스트리뷔시옹프랑스어 )라는 용어를 고안하였다.
참조
[1]
서적
[2]
문서
[3]
문서
[4]
문서
[5]
문서
[6]
문서
[7]
문서
[8]
서적
[9]
문서
[10]
서적
A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms
[11]
서적
[12]
문서
[13]
웹사이트
Multiplication of two distributions whose singular supports are disjoint
https://math.stackex[...]
Stack Exchange Network
2017-06-27
[14]
저널
Differential equations driven by rough signals
[15]
저널
A theory of regularity structures
2014
[16]
서적
[17]
서적
[18]
서적
[19]
서적
[20]
서적
[21]
서적
Harmonic Analysis in Phase Space
Princeton University Press
[22]
서적
Topological Vector Spaces and Distributions
Addison-Wesley Publishing Company
[23]
서적
An Introduction to the Theory of Distributions
Dekker
[24]
서적
Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators
Pitman Publishing
[25]
서적
Probability and Information Theory with Applications to Radar
Pergamon Press
[26]
서적
Introduction to the Theory of Distributions
Cambridge University Press
[27]
웹인용
초함수 (distribution, generalized function )
http://www.nktech.ne[...]
북한과학기술네트워크
[28]
저널
A smooth introduction to the wavefront set
2014-11-07
[29]
인용
Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales
http://mi.mathnet.ru[...]
1936
[30]
서적
Théorie des distributions. Tome 1
Hermann et Compagnie
1950
[31]
서적
Théorie des distributions. Tome 2
Hermann et Compagnie
1951
[32]
저널
Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions
CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.help@durumis.com