흡수 집합

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1. 개요

흡수 집합은 주어진 벡터 공간의 부분 집합으로, 모든 벡터를 "흡수"하는 특성을 가진다. 벡터 공간 V의 부분 집합 S가 흡수 집합이라는 것은, 모든 벡터 v에 대해, 충분히 큰 스칼라 a를 곱하면 aS가 v를 포함한다는 의미이다. 흡수 집합은 위상 벡터 공간에서 0의 근방과 밀접한 관련이 있으며, 유계 집합과 보르노보러스 집합을 정의하는 데 사용된다. 반노름 공간의 열린 공과 닫힌 공, 그리고 위상 벡터 공간의 0의 근방이 흡수 집합의 예시이며, 선형 사상, 균형 집합, 볼록 집합 등과 연관되어 다양한 성질을 가진다.

흡수 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 한 집합이 다른 집합을 흡수하는 예시
- 4.2. 흡수 집합의 예시
5. 응용

2. 정의

wikitext
$K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 라고 하자. $K$ -벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $S\subseteq V$ 가 주어졌을 때, 임의의 $v\in V$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $t(v)>0$ 이 존재한다면, $S$ 는 흡수 집합이다.

* 임의의 스칼라 $a\in K$ 에 대하여, $|a|\ge t(v)$ 라면 $v\in aS$ 이다.

여기서
: $aS=\{as\colon s\in S\}$
이다.

벡터 공간 $X$ 의 부분 집합 $A$ 는 체 $\mathbb{K}$ 에 대한 흡수 집합 (또는 흡수적인 집합)이라고 하며, 다음의 동등한 조건을 만족하는 경우 $X$ 에서 흡수한다라고 한다.

# $A$ 는 $X$ 의 모든 점을 흡수한다. 즉, 모든 $x \in X$ 에 대해, $A$ 는 $\{x\}$ 를 흡수한다.
#* $0 \not\in A$ 이면 $A$ 는 흡수할 수 없다. 모든 흡수 집합은 원점을 포함해야 한다.
# $A$ 는 $X$ 의 모든 유한 부분 집합을 흡수한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $|c| \geq r$ 을 만족하는 스칼라 $c \in \mathbb{K}$ 에 대해 $x \in c A$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $|c| \leq r$ 을 만족하는 스칼라 $c \in \mathbb{K}$ 에 대해 $c x \in A$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $B_r x \subseteq A$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
#* 여기서 $B_r = \{c \in \mathbb{K} : |c| < r\}$ 은 스칼라 필드에서 원점을 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 열린 공이고 $B_r x = \left\{c x : c \in B_r\right\} = \{c x : c \in \mathbb{K} \text{ and } |c| < r\}.$
#* 닫힌 공을 열린 공 대신 사용할 수 있다.
#* $B_r x \subseteq \mathbb{K} x = \operatorname{span} \{x\}$ 이기 때문에, 포함 관계 $B_r x \subseteq A$ 는 $B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x$ 일 때만 성립한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재하며, 여기서 $\mathbb{K} x = \operatorname{span} \{x\}.$

위상과의 관계: 만약 $\mathbb{K} x$ 에 일반적인 하우스도르프 유클리드 위상이 주어진다면 집합 $B_r x$ 는 $\mathbb{K} x$ 에서 원점의 근방이다. 따라서, $B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다는 것은 $A \cap \mathbb{K} x$ 가 $\mathbb{K} x$ 에서 원점의 근방임을 의미한다. 결과적으로, 모든 $x \in X$ 에 대해 $A \cap \operatorname{span} \{x\}$ 가 $\operatorname{span} \{x\} = \mathbb{K} x$ 에서 0의 근방일 때, $A$ 는 이 조건을 만족한다 (여기서 $\operatorname{span} \{x\}$ 에는 유클리드 위상이 주어진다).

1차원 벡터 공간에 대한 유일한 TVS 위상은 (비-하우스도르프) 자명 위상과 하우스도르프 유클리드 위상이다. $X$ 의 모든 1차원 벡터 부분 공간은 어떤 $x \in X$ 에 대해 $\mathbb{K} x = \operatorname{span} \{x\}$ 의 형태를 가지며, 이 1차원 공간 $\mathbb{K} x$ 에 하우스도르프 벡터 위상이 부여되면, $c \mapsto c x$ 로 정의된 사상 $\mathbb{K} \to \mathbb{K} x$ 는 필연적으로 TVS-동형 사상이다(여기서 일반적으로 $\mathbb{K}$ 에는 표준 유클리드 위상이 부여되며, 이는 유클리드 거리에 의해 유도된다).

$A$ 는 원점을 포함하고, $X$ 의 모든 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해, $Y$ 에 고유한 하우스도르프 벡터 위상 (즉, 유클리드 위상)이 부여될 때 $A \cap Y$ 는 $Y$ 에서 원점의 근방이다.

* 유클리드 위상이 이 특징에서 구별되는 이유는 궁극적으로 스칼라 필드 $\mathbb{K}$ 에 이 (유클리드) 위상이 부여될 때 스칼라 곱 $\mathbb{K} \times X \to X$ 가 연속적이어야 한다는 TVS 위상의 정의 요구 사항에서 비롯된다.
* $0$ -근방은 흡수한다: 이 조건은 모든 위상 벡터 공간 (TVS)에서 원점의 모든 근방이 필연적으로 흡수적인 이유에 대한 통찰력을 제공한다: $U$ 가 TVS $X$ 에서 원점의 근방이면, 모든 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해, $Y$ 에 $X$ 에 의해 유도된 부분 공간 위상이 부여될 때 $U \cap Y$ 는 $Y$ 에서 원점의 근방이다. 이 부분 공간 위상은 항상 벡터 위상이며 $Y$ 는 1차원이므로, $Y$ 에 대한 유일한 벡터 위상은 하우스도르프 유클리드 위상과 자명 위상이며, 이는 유클리드 위상의 부분 집합이다.
따라서 어떤 벡터 위상이 $Y$ 에 있든, 집합 $U \cap Y$ 는 고유한 하우스도르프 벡터 위상 (유클리드 위상)에 대해 $Y$ 에서 원점의 근방이 될 것이다.
따라서 $U$ 는 흡수적이다.

$A$ 는 원점을 포함하고 $X$ 의 모든 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해, $A \cap Y$ 는 $Y$ 에서 흡수적이다(이 조건 외에 "흡수적"의 다른 정의 조건을 따른다).

$\mathbb{K} = \Reals$ 인 경우, 다음을 추가할 수 있다.

# $A$ 의 대수적 내부는 원점을 포함한다(즉, $0 \in {}^{i}A$ ).

$A$ 가 평형이면, 다음을 추가할 수 있다.

# 모든 $x \in X$ 에 대해, $x \in c A$ 가 되도록 하는 스칼라 $c \neq 0$ 이 존재한다 (또는 동등하게, $c x \in A$ 가 되도록 한다).
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $x \in c A$ 가 되도록 하는 스칼라 $c$ 가 존재한다.

$A$ 가 볼록 또는 평형이면, 다음을 추가할 수 있다.

# 모든 $x \in X$ 에 대해, $r x \in A$ 가 되도록 하는 양의 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
#* 이 조건을 만족하는 평형 집합 $A$ 가 필연적으로 $X$ 에서 흡수적이라는 증명은 위 조건 (10)과 모든 스칼라 $c \neq 0$ 에 대해 $c A = |c| A$ 라는 사실로부터 즉시 따른다(여기서 $r := |c| > 0$ 은 실수이다).
#* 이 조건을 만족하는 볼록 집합 $A$ 가 필연적으로 $X$ 에서 흡수적이라는 증명은 덜 자명하다 (하지만 어렵지는 않다).
#** 증명 요약: 가정에 따라, 영이 아닌 $0 \neq y \in X$ 에 대해, $R y \in A$ 및 $r (- y) \in A$ 가 되도록 양의 실수 $r > 0$ 과 $R > 0$ 을 선택할 수 있으므로, 볼록 집합 $A \cap \Reals y$ 는 열린 부분 구간 $(-r, R) y$ 를 포함하고, 이는 원점을 포함한다( $A \cap \Reals y$ 는 $\Reals y$ 를 $\Reals$ 로 식별하고 $\Reals$ 의 모든 비어 있지 않은 볼록 부분 집합은 구간이므로 구간이라고 한다). $\mathbb{K} y$ 에 하우스도르프 벡터 위상을 부여하여, $A \cap \mathbb{K} y$ 가 $\mathbb{K} y$ 에서 원점의 근방임을 보여주는 것이 남았다. 만약 $\mathbb{K} = \Reals$ 이면 완료된 것이므로, $\mathbb{K} = \Complex$ 라고 가정하자. 집합 $S$ 는 두 구간의 합집합이며, 각 구간은 원점을 포함하는 열린 부분 구간을 포함한다; 또한, 이 두 구간의 교집합은 정확하게 원점이다. 따라서 볼록 집합 $A \cap \Complex y$ 에 포함된 $S$ 의 사변형 모양 볼록 폐포는 명확하게 원점을 중심으로 하는 열린 공을 포함한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $x \in r A$ 가 되도록 하는 양의 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
#* 이 조건은 다음과 동등하다: 모든 $x \in X$ 는 집합 ${\textstyle\bigcup\limits_{0 < r < \infty}} r A = \{r a : 0 < r < \infty, a \in A\} = (0, \infty) A$ 에 속한다. 이는 $X = (0, \infty) A$ 일 때만 발생하며, 이는 다음 특징을 제공한다.
# $(0, \infty) A = X.$
#*임의의 $X$ 의 부분 집합 $T$ 에 대해, $(0, \infty) T = X$ 는 모든 $x \in X$ 에 대해 $T \cap (0, \infty) x \neq \varnothing$ 일 때만 성립하는 것으로 나타낼 수 있으며, 여기서 $(0, \infty) x$ 이다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $A \cap (0, \infty) x \neq \varnothing.$

$0 \in A$ 인 경우( $A$ 가 흡수적이기 위해 필요하다)에는 모든 $x \in X$ 가 아니라 모든 영이 아닌 $x \in X$ 에 대해 위의 조건 중 하나를 확인하는 것으로 충분하다.

2.1. 스칼라 표기법

$X$ 가 체 $\mathbb{K}$ 위의 실수 $\R$ 또는 복소수 $\Complex$ 의 벡터 공간이라고 가정하고, $-\infty \leq r \leq \infty$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

$B_r = \{a \in \mathbb{K} : |a| < r\} \quad \text{ 및 } \quad B_{\leq r} = \{a \in \mathbb{K} : |a| \leq r\}$

이는 $\mathbb{K}$ 에서 중심이 $0$ 이고 반지름이 $r$ 인 열린 공 (각각 닫힌 공)을 나타낸다.

스칼라 집합 $K \subseteq \mathbb{K}$ 과 벡터 집합 $A$ 의 곱을 $K A = \{k a : k \in K, a \in A\}$ 로 정의하고, $K \subseteq \mathbb{K}$ 과 단일 벡터 $x$ 의 곱을 $K x = \{k x : k \in K\}$ 로 정의한다.

$X$ 의 부분 집합 $S$ 는 모든 $s \in S$ 와 $|a| \leq 1$ 을 만족하는 모든 스칼라 $a$ 에 대해 $a s \in S$ 이면 균형이라고 한다. 이 조건은 $B_{\leq 1} S \subseteq S,$ 로 더 간결하게 쓸 수 있으며, 이 조건은 $B_{\leq 1} S = S$ 일 때와 그 때만 성립한다.

집합 $T$ 가 주어졌을 때, $T$ 를 포함하는 가장 작은 균형 집합인 $\operatorname{bal} T$ 는 $T$ 의 균형 껍질이라고 하고, $T$ 내에 포함된 가장 큰 균형 집합인 $\operatorname{balcore} T$ 는 $T$ 의 균형 코어라고 한다. 이러한 집합들은 다음 공식으로 주어진다.

$\operatorname{bal} T ~=~ {\textstyle\bigcup\limits_{|c| \leq 1}} c \, T = B_{\leq 1} T$

그리고

$\operatorname{balcore} T ~=~ \begin{cases}{\textstyle\bigcap\limits_{|c| \geq 1}} c \, T & \text{ 만약 } 0 \in T \\\varnothing & \text{ 만약 } 0 \not\in T, \\\end{cases}$

집합 $T$ 는 균형 껍질( $T = \operatorname{bal} T$ ) 또는 균형 코어( $T = \operatorname{balcore} T$ )와 같을 때, 다시 말해 이 세 집합이 모두 같을 때( $T = \operatorname{bal} T = \operatorname{balcore} T$ )와 같을 때 균형 집합이다.

만약 $c$ 가 임의의 스칼라라면

$\operatorname{bal} (c \, T) = c \, \operatorname{bal} T = |c| \, \operatorname{bal} T$

그리고 만약 $c \neq 0$ 이 0이 아니거나 $0 \in T$ 라면 또한

$\operatorname{balcore} (c \, T) = c \, \operatorname{balcore} T = |c| \, \operatorname{balcore} T.$

2.2. 한 집합이 다른 집합을 흡수하는 경우

$K$ 를 실수, 복소수의 체라고 하고, $K$ -벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $S, T \subseteq V$ 가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 $t>0$ 이 존재하면, $S$ 가 $T$ 를 흡수한다고 한다.

* 임의의 스칼라 $a\in K$ 에 대하여, 만약 $|a|\ge t$ 라면 $T\subseteq aS$ 이다.

여기서 $aS=\{as\colon s\in S\}$ 이다.

이는 다음과 같은 동치 조건들을 갖는다.

# 실수 $r > 0$ 이 존재하여 모든 스칼라 $c$ 에 대해 $|c| \geq r$ 을 만족하면 $S \subseteq cA$ 이다.
# 실수 $r > 0$ 이 존재하여 모든 0이 아닌 스칼라 $c \neq 0$ 에 대해 $|c| \leq r$ 을 만족하면 $cS \subseteq A$ 이다.
# 실수 $r > 0$ 이 존재하여 모든 0이 아닌 스칼라 $c \neq 0$ 에 대해 $|c| < r$ 을 만족하면 $cS \subseteq A$ 이다.

$A$ 가 균형 집합인 경우, 다음 조건이 추가로 동치가 된다.

* 0이 아닌 스칼라 $c \neq 0$ 이 존재하여 $S \subseteq cA$ 이다. ( $0 \in A$ 이면, $c \neq 0$ 조건은 생략 가능)
* 0이 아닌 스칼라 $c \neq 0$ 이 존재하여 $cS \subseteq A$ 이다.

$0 \in A$ 인 경우 (즉, $A$ 가 흡수 집합이거나 위상에서 원점의 근방이기 위한 필요 조건), 다음 조건들이 추가로 동치가 된다.

* 어떤 $r > 0$ 이 존재하여 모든 스칼라 $c$ 에 대해 $|c| < r$ 을 만족하면 $cS \subseteq A$ 이다.
* 어떤 $r > 0$ 이 존재하여 모든 스칼라 $c$ 에 대해 $|c| \leq r$ 을 만족하면 $cS \subseteq A$ 이다.
* 어떤 $r > 0$ 이 존재하여 $\operatorname{bal}S \subseteq rA$ 이다.
* 어떤 $r > 0$ 이 존재하여 $\operatorname{bal}S \subseteq \operatorname{balcore}(rA)$ 이다.
* 어떤 $r > 0$ 이 존재하여 $S \subseteq \operatorname{balcore}(rA)$ 이다.
* 어떤 $r > 0$ 이 존재하여 $S \subseteq r\operatorname{balcore}A$ 이다.
* 어떤 $r > 0$ 이 존재하여 $rS \subseteq \operatorname{balcore}A$ 이다.
* 0이 아닌 스칼라 $c \neq 0$ 이 존재하여 $cS \subseteq \operatorname{balcore}A$ 이다.
* 스칼라 $c$ 가 존재하여 $\operatorname{bal}S \subseteq cA$ 이다.
* 스칼라 $c$ 가 존재하여 $\operatorname{bal}S \subseteq \operatorname{balcore}(cA)$ 이다.
* 스칼라 $c$ 가 존재하여 $S \subseteq \operatorname{balcore}(cA)$ 이다.
* 스칼라 $c$ 가 존재하여 $S \subseteq c\operatorname{balcore}A$ 이다.
* 스칼라 $c$ 가 존재하여 $\operatorname{bal}S \subseteq c\operatorname{balcore}(A)$ 이다.
* $A$ 의 균형핵은 $S$ 의 균형 폐포를 흡수한다.

만약 $0 \not\in S$ 또는 $0 \in A$ 이면, 다음 조건이 추가로 동치가 된다.

* $A \cup \{0\}$ 는 $S$ 를 흡수한다.

집합이 단일 집합 $\{x\}$ 를 흡수하면 고 한다. 집합 $A$ 는 원점을 포함하면, 즉 $0 \in A$ 인 경우에만 원점을 흡수한다.

흡수 집합은 모든 벡터를 흡수하는 집합이며, 유계 집합은 모든 영벡터의 근방에 의하여 흡수되는 집합이다.

위상 벡터 공간의 부분 집합은 원점의 모든 근방에 의해 흡수되면 유계이다.
집합은 모든 유계 부분 집합을 흡수하면 보르노보러스이다.

2.3. 흡수 집합

$K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 라고 하자. $K$ -벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $S\subseteq V$ 가 주어졌을 때, 임의의 $v\in V$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $t(v)>0$ 이 존재한다면, $S$ 는 흡수 집합이다.

* 임의의 스칼라 $a\in K$ 에 대하여, $|a|\ge t(v)$ 라면 $v\in aS$ 이다.

여기서
: $aS=\{as\colon s\in S\}$
이다.

보다 일반적으로, $S,T\subseteq V$ 가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 $t>0$ 이 존재한다면, $S$ 가 $T$ 를 흡수한다고 한다.

* 임의의 스칼라 $a\in K$ 에 대하여, 만약 $|a|\ge t$ 라면 $T\subseteq aS$

이 경우,

* 흡수 집합은 모든 벡터를 흡수하는 집합이다.
* 유계 집합은 모든 영벡터의 근방에 의하여 흡수되는 집합이다.

벡터 공간 $X$ 의 부분 집합 $A$ 는 체 $\mathbb{K}$ 에 대한 흡수 집합 (또는 흡수적인 집합)이라고 하며, 다음의 동등한 조건을 만족하는 경우 $X$ 에서 흡수한다라고 한다.

# $A$ 는 $X$ 의 모든 점을 흡수한다. 즉, 모든 $x \in X$ 에 대해, $A$ 는 $\{x\}$ 를 흡수한다.
#* $0 \not\in A$ 이면 $A$ 는 흡수할 수 없다. 모든 흡수 집합은 원점을 포함해야 한다.
# $A$ 는 $X$ 의 모든 유한 부분 집합을 흡수한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $|c| \geq r$ 을 만족하는 스칼라 $c \in \mathbb{K}$ 에 대해 $x \in c A$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $|c| \leq r$ 을 만족하는 스칼라 $c \in \mathbb{K}$ 에 대해 $c x \in A$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $B_r x \subseteq A$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
#* 여기서 $B_r = \{c \in \mathbb{K} : |c| < r\}$ 은 스칼라 필드에서 원점을 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 열린 공이고 $B_r x = \left\{c x : c \in B_r\right\} = \{c x : c \in \mathbb{K} \text{ and } |c| < r\}.$
#* 닫힌 공을 열린 공 대신 사용할 수 있다.
#* $B_r x \subseteq \mathbb{K} x = \operatorname{span} \{x\}$ 이기 때문에, 포함 관계 $B_r x \subseteq A$ 는 $B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x$ 일 때만 성립한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재하며, 여기서 $\mathbb{K} x = \operatorname{span} \{x\}.$

위상과의 관계: 만약 $\mathbb{K} x$ 에 일반적인 하우스도르프 유클리드 위상이 주어진다면 집합 $B_r x$ 는 $\mathbb{K} x$ 에서 원점의 근방이다. 따라서, $B_r x \subseteq A \cap \mathbb{K} x$ 가 되도록 하는 실수 $r > 0$ 이 존재한다는 것은 $A \cap \mathbb{K} x$ 가 $\mathbb{K} x$ 에서 원점의 근방임을 의미한다. 결과적으로, 모든 $x \in X$ 에 대해 $A \cap \operatorname{span} \{x\}$ 가 $\operatorname{span} \{x\} = \mathbb{K} x$ 에서 0의 근방일 때, $A$ 는 이 조건을 만족한다 (여기서 $\operatorname{span} \{x\}$ 에는 유클리드 위상이 주어진다).

1차원 벡터 공간에 대한 유일한 TVS 위상은 (비-하우스도르프) 자명 위상과 하우스도르프 유클리드 위상이다. $X$ 의 모든 1차원 벡터 부분 공간은 어떤 $x \in X$ 에 대해 $\mathbb{K} x = \operatorname{span} \{x\}$ 의 형태를 가지며, 이 1차원 공간 $\mathbb{K} x$ 에 하우스도르프 벡터 위상이 부여되면, $c \mapsto c x$ 로 정의된 사상 $\mathbb{K} \to \mathbb{K} x$ 는 필연적으로 TVS-동형 사상이다(여기서 일반적으로 $\mathbb{K}$ 에는 표준 유클리드 위상이 부여되며, 이는 유클리드 거리에 의해 유도된다).

$A$ 는 원점을 포함하고, $X$ 의 모든 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해, $Y$ 에 고유한 하우스도르프 벡터 위상 (즉, 유클리드 위상)이 부여될 때 $A \cap Y$ 는 $Y$ 에서 원점의 근방이다.

* 유클리드 위상이 이 특징에서 구별되는 이유는 궁극적으로 스칼라 필드 $\mathbb{K}$ 에 이 (유클리드) 위상이 부여될 때 스칼라 곱 $\mathbb{K} \times X \to X$ 가 연속적이어야 한다는 TVS 위상의 정의 요구 사항에서 비롯된다.
* $0$ -근방은 흡수한다: 이 조건은 모든 위상 벡터 공간 (TVS)에서 원점의 모든 근방이 필연적으로 흡수적인 이유에 대한 통찰력을 제공한다: $U$ 가 TVS $X$ 에서 원점의 근방이면, 모든 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해, $Y$ 에 $X$ 에 의해 유도된 부분 공간 위상이 부여될 때 $U \cap Y$ 는 $Y$ 에서 원점의 근방이다. 이 부분 공간 위상은 항상 벡터 위상이며 $Y$ 는 1차원이므로, $Y$ 에 대한 유일한 벡터 위상은 하우스도르프 유클리드 위상과 자명 위상이며, 이는 유클리드 위상의 부분 집합이다.
따라서 어떤 벡터 위상이 $Y$ 에 있든, 집합 $U \cap Y$ 는 고유한 하우스도르프 벡터 위상 (유클리드 위상)에 대해 $Y$ 에서 원점의 근방이 될 것이다.
따라서 $U$ 는 흡수적이다.

$A$ 는 원점을 포함하고 $X$ 의 모든 1차원 벡터 부분 공간 $Y$ 에 대해, $A \cap Y$ 는 $Y$ 에서 흡수적이다(이 조건 외에 "흡수적"의 다른 정의 조건을 따른다).

$\mathbb{K} = \Reals$ 인 경우, 다음을 추가할 수 있다.

# $A$ 의 대수적 내부는 원점을 포함한다(즉, $0 \in {}^{i}A$ ).

$A$ 가 평형이면, 다음을 추가할 수 있다.

# 모든 $x \in X$ 에 대해, $x \in c A$ 가 되도록 하는 스칼라 $c \neq 0$ 이 존재한다 (또는 동등하게, $c x \in A$ 가 되도록 한다).
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $x \in c A$ 가 되도록 하는 스칼라 $c$ 가 존재한다.

$A$ 가 볼록 또는 평형이면, 다음을 추가할 수 있다.

# 모든 $x \in X$ 에 대해, $r x \in A$ 가 되도록 하는 양의 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
#* 이 조건을 만족하는 평형 집합 $A$ 가 필연적으로 $X$ 에서 흡수적이라는 증명은 위 조건 (10)과 모든 스칼라 $c \neq 0$ 에 대해 $c A = |c| A$ 라는 사실로부터 즉시 따른다(여기서 $r := |c| > 0$ 은 실수이다).
#* 이 조건을 만족하는 볼록 집합 $A$ 가 필연적으로 $X$ 에서 흡수적이라는 증명은 덜 자명하다 (하지만 어렵지는 않다).
#** 증명 요약: 가정에 따라, 영이 아닌 $0 \neq y \in X$ 에 대해, $R y \in A$ 및 $r (- y) \in A$ 가 되도록 양의 실수 $r > 0$ 과 $R > 0$ 을 선택할 수 있으므로, 볼록 집합 $A \cap \Reals y$ 는 열린 부분 구간 $(-r, R) y$ 를 포함하고, 이는 원점을 포함한다( $A \cap \Reals y$ 는 $\Reals y$ 를 $\Reals$ 로 식별하고 $\Reals$ 의 모든 비어 있지 않은 볼록 부분 집합은 구간이므로 구간이라고 한다). $\mathbb{K} y$ 에 하우스도르프 벡터 위상을 부여하여, $A \cap \mathbb{K} y$ 가 $\mathbb{K} y$ 에서 원점의 근방임을 보여주는 것이 남았다. 만약 $\mathbb{K} = \Reals$ 이면 완료된 것이므로, $\mathbb{K} = \Complex$ 라고 가정하자. 집합 $S$ 는 두 구간의 합집합이며, 각 구간은 원점을 포함하는 열린 부분 구간을 포함한다; 또한, 이 두 구간의 교집합은 정확하게 원점이다. 따라서 볼록 집합 $A \cap \Complex y$ 에 포함된 $S$ 의 사변형 모양 볼록 폐포는 명확하게 원점을 중심으로 하는 열린 공을 포함한다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $x \in r A$ 가 되도록 하는 양의 실수 $r > 0$ 이 존재한다.
#* 이 조건은 다음과 동등하다: 모든 $x \in X$ 는 집합 ${\textstyle\bigcup\limits_{0 < r < \infty}} r A = \{r a : 0 < r < \infty, a \in A\} = (0, \infty) A$ 에 속한다. 이는 $X = (0, \infty) A$ 일 때만 발생하며, 이는 다음 특징을 제공한다.
# $(0, \infty) A = X.$
#*임의의 $X$ 의 부분 집합 $T$ 에 대해, $(0, \infty) T = X$ 는 모든 $x \in X$ 에 대해 $T \cap (0, \infty) x \neq \varnothing$ 일 때만 성립하는 것으로 나타낼 수 있으며, 여기서 $(0, \infty) x$ 이다.
# 모든 $x \in X$ 에 대해, $A \cap (0, \infty) x \neq \varnothing.$

$0 \in A$ 인 경우( $A$ 가 흡수적이기 위해 필요하다)에는 모든 $x \in X$ 가 아니라 모든 영이 아닌 $x \in X$ 에 대해 위의 조건 중 하나를 확인하는 것으로 충분하다.
실수 또는 복소수체 F 위의 벡터 공간 X를 고려한다.

X의 부분 집합 A, B에 대해, 적당한 양수 α가 존재하여, |λ| ≥ α인 임의의 스칼라 λ에 대해 λA ⊃ B가 성립할 때, A는 B를 병탄한다고 한다. 단, λA := {λa : a ∈ A}}}이다. X의 부분 집합 A가 X의 임의의 점을 병탄할 때, A는 X의 병탄 집합이라고 한다.

3. 성질

$K$ -벡터 공간 $V$ 의 균형 집합 $S\subseteq V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 흡수 집합이다.
* 임의의 $v\in V$ 에 대하여, $v\in aS$ 인 $a\in K^{\times}$ 가 존재한다.
이는 균형 집합의 경우, $|a|\le|b|$ 일 때 $aS\subseteq bS$ 이기 때문이다.

모든 흡수 집합은 0을 원소로 포함하며, 특히 공집합이 아니다. 모든 흡수 집합은 전집합이다 (즉, 흡수 집합을 포함하는 부분 공간은 조밀 집합이다).

흡수 집합의 유한한 교집합은 흡수 집합이다. 흡수 집합을 부분 집합으로 포함하는 집합은 흡수 집합이다.

만약 $A$ 가 $X$ 의 흡수 부분 집합이면, $X = {\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty} n A$ 이고, 더 일반적으로는 $\left|s_n\right| \to \infty$ 인 스칼라 수열 $s_1, s_2, \ldots$ 에 대해 $X = {\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty} s_n A$ 이다.

4. 예

반노름 공간의 열린 공·닫힌 공은 흡수 집합이다. 보다 일반적으로, K-위상 벡터 공간에서, 0의 근방은 흡수 집합이다.
: $K$ -위상 벡터 공간 $V$ 에서, 임의의 영벡터의 근방 $U\ni0$ 및 임의의 벡터 $v\in V$ 가 주어졌다고 하자. 함수
: $K\to V$
: $a\to av$
가 연속 함수이며 $0v=0$ 이므로, $|a|$ 가 충분히 작을 때 $av\in U$ 이며, 따라서 $|a'|$ 가 충분히 클 때 $v\in a'U$ 이다. 즉, $U$ 는 흡수 집합이다.
임의의 위상 선형 공간에서 영벡터 0의 근방은 흡수 집합이다. 특히 반노름 선형 공간에서 단위 구는 흡수 집합이다.
국소 볼록 공간에서 타르는 정의에 의해 흡수 집합이다. 타르는 임의의 유계 완비 볼록 부분 집합을 흡수한다. 또한 공간이 준 완비이면 타르는 임의의 유계 부분 집합을 흡수한다.

4.1. 한 집합이 다른 집합을 흡수하는 예시

반노름 공간의 열린 공·닫힌 공은 흡수 집합이다. 보다 일반적으로, $K$ -위상 벡터 공간에서, 0의 근방은 흡수 집합이다.
: $K$ -위상 벡터 공간 $V$ 에서, 임의의 영벡터의 근방 $U\ni0$ 및 임의의 벡터 $v\in V$ 가 주어졌다고 하자. 함수
: $K\to V$
: $a\to av$
가 연속 함수이며 $0v=0$ 이므로, $|a|$ 가 충분히 작을 때 $av\in U$ 이며, 따라서 $|a'|$ 가 충분히 클 때 $v\in a'U$ 이다. 즉, $U$ 는 흡수 집합이다.
벡터 공간 사이의 선형 사상 $F : X \to Y$ 가 주어지고, $B \subseteq X$ 와 $C \subseteq Y$ 가 균형 집합이라고 하자. 그러면 $C$ 가 $F(B)$ 를 흡수하는 것은 $F^{-1}(C)$ 가 $B$ 를 흡수하는 것과 같다.

집합 $A$ 가 다른 집합 $B$ 를 흡수하면, $A$ 의 임의의 상위 집합 또한 $B$ 를 흡수한다.
집합 $A$ 가 원점을 흡수하는 것은 원점이 $A$ 의 원소인 것과 같다.

집합 $A$ 가 집합들의 유한 합집합 $B_1 \cup \cdots \cup B_n$ 을 흡수하는 것은 각 집합을 개별적으로 흡수하는 것과 같다(즉, 모든 $i = 1, \ldots, n$ 에 대해 $A$ 가 $B_i$ 를 흡수하는 것과 같다). 특히, 집합 $A$ 가 $X$ 의 흡수 부분 집합인 것은 $X$ 의 모든 유한 부분 집합을 흡수하는 것과 같다.
* 임의의 위상 선형 공간에서 영벡터 0의 근방은 흡수 집합이다. 특히 반노름 선형 공간에서 단위 구는 흡수 집합이다.
* 국소 볼록 공간에서 타르는 정의에 의해 흡수 집합이다. 타르는 임의의 유계 완비 볼록 부분 집합을 흡수한다. 또한 공간이 준 완비이면 타르는 임의의 유계 부분 집합을 흡수한다.

4.2. 흡수 집합의 예시

반노름 공간의 열린 공·닫힌 공은 흡수 집합이다. 보다 일반적으로, $K$ -위상 벡터 공간에서, 0의 근방은 흡수 집합이다. 모든 노름 벡터 공간 (또는 세미노름 벡터 공간)의 단위 구는 흡수 집합이다.

흡수 집합의 모든 상위 집합은 흡수 집합이다. 결과적으로, 하나 이상의 흡수 집합의 임의의 가족의 합집합은 흡수 집합이다. 유한 개의 흡수 부분 집합의 교집합은 다시 흡수 부분 집합이다. 그러나 반지름 $r_n = 1, 1/2, 1/3, \ldots$ 의 열린 공 $(-r_n, -r_n)$ 은 모두 $X := \Reals$ 에서 흡수 집합이지만, 이들의 교집합 $\bigcap_{n \in \N} (-1/n, 1/n) = \{0\}$ 는 흡수 집합이 아니다.

만약 $D \neq \varnothing$ 가 디스크 (볼록하고 균형 잡힌 부분 집합)이라면 $\operatorname{span} D = {\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty} n D;$ 이므로, 특히 디스크 $D \neq \varnothing$ 는 항상 $\operatorname{span} D.$ 의 흡수 부분 집합이다. 따라서 만약 $D$ 가 $X$ 의 디스크라면, $D$ 는 $\operatorname{span} D = X$ 일 경우에만 $X$ 에서 흡수 집합이다.
$X = \Reals^2$ 에서 $x$ 축과 $y$ 축의 합집합 $D$ 는 $\operatorname{span} D = \Reals^2.$ 에서 흡수 집합이 아닌 비볼록 균형 집합의 예시이다.

전사 선형 연산자에 의해 흡수 집합의 이미지는 다시 흡수 집합이다. 선형 연산자에 의해 흡수 부분 집합 (공역의)의 역 이미지는 다시 (영역에서) 흡수 집합이다.
만약 $A$ 가 흡수 집합이면, 대칭 집합 ${\textstyle\bigcap\limits_{|u|=1}} u A \subseteq A.$ 도 마찬가지다.

국소 볼록 공간에서 타르는 정의에 의해 흡수 집합이다. 타르는 임의의 유계 완비 볼록 부분 집합을 흡수한다. 또한 공간이 준 완비이면 타르는 임의의 유계 부분 집합을 흡수한다.

흡수 집합

1. 개요

2. 정의

2.1. 스칼라 표기법

2.2. 한 집합이 다른 집합을 흡수하는 경우

2.3. 흡수 집합

3. 성질

4. 예

4.1. 한 집합이 다른 집합을 흡수하는 예시

4.2. 흡수 집합의 예시

5. 응용