전체 확률의 법칙

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1. 개요

전체 확률의 법칙은 사건 A의 확률을 계산하는 데 사용되는 정리로, 사건들이 상호 배타적이고 전체를 포괄하는 사건들의 집합(B)에 대해, A의 확률은 각 B의 조건부 A의 확률과 B의 확률의 곱의 합과 같다. 이산적인 경우, 연속적인 경우 모두 적용 가능하며, 조건부 확률과 관련된 형태로도 나타낼 수 있다. 이 정리는 가중 평균으로 해석될 수 있으며, "평균 확률", "전체 확률" 등으로 불리기도 한다.

전체 확률의 법칙

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1. 개요
2. 정리의 내용 (Statement)
3. 예시 (Example)
4. 다른 명칭 (Other names)

2. 정리의 내용 (Statement)

전체 확률의 법칙은 정리의 하나로, 특정 사건의 확률을 구하는 데 사용된다.

2.1. 이산적인 경우

$\left\{{B_n : n = 1, 2, 3, \ldots}\right\}$ 가 유한하거나 가산 무한의 상호 배타적이고 전체를 포괄하는 사건들의 집합일 때, 임의의 사건 $A$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $P(A)=\sum_n P(A\cap B_n)$

또는

: $P(A)=\sum_n P(A\mid B_n)P(B_n),$

여기서 임의의 $n$ 에 대해, 만약 $P(B_n) = 0$ 이면, $P(A\mid B_n)$ 이 유한하므로 이 항들은 합에서 제외된다.

이 합은 가중 평균으로 해석될 수 있으며, 결과적으로 주변 확률 $P(A)$ 는 때때로 "평균 확률"이라고 불리기도 하고, "전체 확률"은 덜 공식적인 글에서 사용되기도 한다.

2.2. 조건부 확률

전체 확률의 법칙은 조건부 확률에 대해서도 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $P(A|C) = \frac{P(A,C)}{P(C)} = \frac{\sum_n P(A, B_n, C)}{P(C)} = \frac{\sum_n P(A|B_n, C)P(B_n|C)P(C)}{P(C)} = \sum_n P(A|B_n, C)P(B_n|C)$

위와 같이 $B_n$ 을 취하고, $C$ 가 모든 $B_n$ 과 독립적인 사건이라고 가정하면 다음과 같다.

: $P(A|C) = \sum_n P(A|C, B_n)P(B_n)$

2.3. 연속적인 경우

확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 에서 $X$ 가 분포 함수 $F_X$ 를 갖는 확률 변수이고, $A$ 가 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 상의 사건이라고 가정할 때, 전체 확률의 법칙은 다음과 같이 표현된다.

: $P(A) = \int_{-\infty}^\infty P(A |X = x) d F_X(x).$

$X$ 가 밀도 함수 $f_X$ 를 갖는다면, 위의 식은 다음과 같이 바뀐다.

: $P(A) = \int_{-\infty}^\infty P(A |X = x) f_X(x) dx.$

$A = \{Y \in B \}$ ( $B$ 는 보렐 집합)인 경우, 식은 다음과 같다.

: $P(Y \in B) = \int_{-\infty}^\infty P(Y \in B |X = x) f_X(x) dx.$

3. 예시 (Example)

두 공장에서 시장에 전구를 공급한다고 가정할 때, 공장 X의 전구는 99%의 경우 5000시간 이상 작동하고, 공장 Y의 전구는 95%의 경우 5000시간 이상 작동한다. 공장 X는 전체 전구의 60%를 공급하고, 공장 Y는 전체 전구의 40%를 공급한다. 이때 구매한 전구가 5000시간 이상 작동할 확률은 전체 확률의 법칙을 통해 계산할 수 있다.

확률은 다음과 같이 정의된다.

* $P(B_X)={6 \over 10}$ : 구매한 전구가 공장 X에서 제조되었을 확률
* $P(B_Y)={4 \over 10}$ : 구매한 전구가 공장 Y에서 제조되었을 확률
* $P(A\mid B_X)={99 \over 100}$ : X에서 제조된 전구가 5000시간 이상 작동할 확률
* $P(A\mid B_Y)={95 \over 100}$ : Y에서 제조된 전구가 5000시간 이상 작동할 확률

전체 확률의 법칙을 적용하면 다음과 같다.

: $P(A) = P(A\mid B_X) \cdot P(B_X) + P(A\mid B_Y) \cdot P(B_Y) = {99 \over 100} \cdot {6 \over 10} + {95 \over 100} \cdot {4 \over 10} = {{594 + 380} \over 1000} = {974 \over 1000}$

따라서 구매한 전구는 97.4%의 확률로 5000시간 이상 작동한다.

4. 다른 명칭 (Other names)

전체 확률의 법칙은 이산 확률 변수에 적용되는 전체 확률의 법칙의 특수한 경우인 대안의 법칙으로 여겨지기도 한다. 한 저자는 "평균 조건부 확률 규칙"이라는 용어를 사용하고, 다른 저자는 연속적인 경우에 이를 "연속적 대안의 법칙"이라고 언급한다. 이 결과는 Grimmett와 Welsh에 의해 관련 전체 기대값의 법칙에도 부여된 이름인 분할 정리로 제시된다.