확률 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 확률 공간의 성질
3. 예
4. 관련 개념
- 4.1. 조건부 확률
5. 콜모고로프 공리
참조

1. 개요

확률 공간은 전체 공간의 측도가 1인 측도 공간으로, 확률론의 기본 개념이다. 확률 공간은 표본 공간, 사건, 확률 측도로 구성된 삼중항으로 정의된다. 표본 공간은 확률 공간의 점들의 집합, 사건은 가측 집합, 확률 측도는 사건의 확률을 의미한다. 확률 공간은 유한, 유클리드 공간의 부분 공간, 이산 확률 공간 등 다양한 예시를 가지며, 확률 변수, 조건부 확률 등의 개념을 정의하는 데 사용된다. 콜모고로프 공리는 확률 측도의 정의를 공리 형태로 정리한 것으로, 확률은 0 이상 1 이하, 전체 사건의 확률은 1, 상호 배타적인 사건들의 합집합의 확률은 각 사건 확률의 합과 같다는 세 가지 공리로 구성된다.

더 읽어볼만한 페이지

공간 (수학) - 사영 공간
사영 공간은 공면선 교차점 공식화, 원근법 연구, 벡터 공간의 벡터 선 집합 등으로 정의되며, 대수기하학, 위상수학 등 다양한 분야에서 중요한 대수적 개념이다.
공간 (수학) - 아핀 공간
아핀 공간은 벡터 공간에서 원점 개념을 제외한 기하학적 구조로, 벡터 공간이 정추이적으로 작용하는 집합이며, 유클리드 공간의 일반화된 형태이고 사영 공간과 밀접한 관계를 가진다.
확률론 - 확률 밀도 함수
확률 밀도 함수는 연속 확률 변수의 확률 분포를 나타내는 함수로, 특정 구간에서 확률 변수가 값을 가질 확률은 해당 구간에 대한 함수의 적분으로 계산되며, 통계적 특성 계산 및 변수 변환 등에 활용되어 불확실성 모델링 및 분석에 중요한 역할을 한다.
확률론 - 체비쇼프 부등식
체비쇼프 부등식은 확률 변수가 평균에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 대한 확률의 상한을 제공하는 부등식으로, 이레네-쥘 비네메가 처음 공식화하고 체비쇼프와 안드레이 마르코프에 의해 일반화 및 증명되었으며, 확률론적 표현 외에도 측도 공간에 대한 명제로 확장될 수 있다.

확률 공간
확률론 기본
분야	통계학
확률론
주제	확률 결정론 비결정론 무작위성
핵심 개념
기본 요소	표본 공간 사건 확률 변수 확률 측정
사건 유형	근원사건 배반사건
확률 유형	동시 확률 주변 확률 조건부 확률
기타 개념	독립 조건부 독립 전체 확률의 법칙 큰 수의 법칙 베이즈 정리 부울 부등식
도구
시각화	벤 다이어그램 수형도

2. 정의

확률 공간은 표본 공간, 사건, 확률이라는 세 가지 요소로 구성된 삼중항 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 으로 정의된다. 이 세 가지 요소는 다음과 같다.

'''표본 공간'''( $\Omega$ ): 일어날 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합이다. 표본 공간은 공집합이 아닌 집합으로, 모델의 단일 실행 결과인 결과들로 구성된다.
'''사건'''( $\mathcal{F}$ ): 표본 공간의 부분 집합들의 집합으로, 확률을 부여할 수 있는 대상이다. 시그마 대수라고도 불리는 사건은 여집합과 가산 합집합에 대해 닫혀 있다.
'''확률'''( $P$ ): 각 사건에 대해 0과 1 사이의 값을 할당하는 함수로, 사건이 일어날 가능성을 나타낸다. 확률은 가산 가법성을 가지며, 전체 표본 공간의 확률은 1이다.

확률 공간은 전체 측도가 1인 측도 공간이다. 즉,

\Pr(\Omega)=1

이다.

예를 들어, 동전을 던지는 실험에서 표본 공간은 {앞면, 뒷면}이 될 수 있다. 이 경우, 사건은 {앞면}, {뒷면}, {앞면, 뒷면}, {} (공집합) 등이 될 수 있다. 각 사건에 대해 확률을 할당할 수 있는데, 예를 들어 P({앞면}) = 0.5, P({뒷면}) = 0.5 와 같이 정의할 수 있다.

만약

\Omega

가 가산 집합이라면,

\mathcal{F}

를

\Omega

의 멱집합으로 정의할 수 있다. 즉,

\mathcal{F} = 2^\Omega

인데, 이는 자명하게 σ-대수이며

\Omega

를 사용하여 만들 수 있는 가장 큰 σ-대수이다. 따라서

\mathcal{F}

를 생략하고 단순히 (

\Omega

, P)로 확률 공간을 정의할 수 있다.

반면에,

\Omega

가 비가산 집합이고

\mathcal{F} = 2^\Omega

를 사용한다면, 확률 측도

P

를 정의하는 데 어려움을 겪게 된다. 왜냐하면

\mathcal{F}

가 너무 "크기" 때문이다. 즉, 고유한 측도를 할당하는 것이 불가능한 집합이 자주 발생할 것이다. 이 경우, 더 작은 σ-대수

\mathcal{F}

를 사용해야 한다. 예를 들어, 모든 열린 집합을 가측 집합으로 만드는 가장 작은 σ-대수인

\Omega

의 보렐 대수를 사용할 수 있다.

2. 1. 확률 공간의 성질

어떤 사건

S

에 대하여, 그 여집합

\Omega\setminus S

역시 사건이다. 즉, 어떤 사건이 일어나지 않는 경우도 사건이다. 가산 개의 사건들이 주어졌을 때, 그 합집합과 교집합 역시 사건이다. 다시 말해, 사건들의 열에서 적어도 하나가 일어나는 경우(합집합)도 사건이고, 사건들이 모두 일어나는 경우(교집합)도 사건이다. 공집합과 전체집합은 사건이다. 즉, 불가능한 사건(공집합)과 필연적인 사건(전체집합)이 존재한다.

3. 예

확률 공간의 기초적인 예로는 근원 사건이 무수히 많은 경우가 있다. 근원 사건이 무수히 많은 경우에는 라플라스의 고전적 확률로 정의할 수 없다.

예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나오면 10엔을 받고, 뒷면이 나오면 10엔을 잃는 내기를 계속하는 경우를 생각해 보자. 이 경우 모든 동전의 출현 패턴을 모아야 한다.

앞앞앞앞…
뒤앞앞앞…
앞뒤앞앞…
…

이러한 근원 사건 전체는 비가산 무한 개가 있다. 전사건의 확률은 1이며, 근원 사건은 비가산 무한 개가 있고, 근원 사건의 확률은 모두 같으므로 (등확률 공간) 근원 사건의 확률은 0이 된다. 따라서, 근원 사건의 비가산 합에 확률을 할당하는 것은 고전적 확률로는 할 수 없다. 이러한 이유로, 측도론의 지식이 필요하게 되었고, 현대적인 확률론의 성립에는 측도론과 르베그 적분이 나올 때까지 기다려야 했다.

직관적으로 확률 공간이란, 일어날 수 있는 사건을 모두 모아, 그것들의 빈도를 나타내는 확률 함수가 있는 공간이다.

주사위 던지기 확률 공간은 다음과 같다: ^[1]

와 같은 수식에서 와 템플릿은 제거했다.

3. 1. 유한 확률 공간

유한 집합 Ω와 음이 아닌 실수 값의 함수 p:Ω → [0,1]을 생각해보자. 이 함수는 다음 조건을 만족해야 한다.

:

\sum_{x\in\Omega}p(x)=1

이 조건을 만족하면, 다음과 같은 확률 공간 (Ω, 𝒫(Ω), Pr)을 정의할 수 있다.

표본 공간은 유한 집합 Ω이다.
사건 시그마 대수는 이산 시그마 대수 𝒫(Ω)이다. 즉, 표본 공간의 모든 부분 집합이 사건이 된다.
사건 S ⊂ Ω의 확률은 다음과 같다.

:

\Pr(S)=\sum_{x\in S}p(x)

예를 들어, 단 한 번의 공정한 동전 던지기 실험을 한다면, 결과는 앞면(H) 또는 뒷면(T)이다. 즉, Ω = {H, T}이다. 시그마 대수 𝒫(Ω)는 다음의 4가지 사건을 포함한다.

{H} ("앞면")
{T} ("뒷면")
{} ("앞면도 뒷면도 아님")
{H, T} ("앞면 또는 뒷면")

즉, 𝒫(Ω) = { {}, {H}, {T}, {H, T} } 이다. 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 50%이므로, 이 예시에서의 확률 측도는 P({}) = 0, P({H}) = 0.5, P({T}) = 0.5, P({H, T}) = 1이다.

3. 2. 유클리드 공간의 부분 공간

측도 공간에서 측도가 양의 실수인 가측 집합이 주어지면, 확률공간을 정의할 수 있다. 예를 들어, 유클리드 공간의 유한 측도 부분 집합을 확률 공간으로 삼을 수 있다.

0과 1 사이의 숫자가 균일하게 무작위로 선택되는 경우, 표본 공간 Ω = [0,1]이고, 사건은 Ω에 대한 보렐 집합의 σ-대수이며, 확률 ''P''는 [0,1]에 대한 르베그 측도이다. 이 경우

0 < a < b < 1

형태의 열린 구간

(a,b)

를 생성 집합으로 사용할 수 있다. 각 집합에는

P((a,b)) = (b - a)

의 확률을 할당할 수 있으며, 이는 [0,1]에 대한 르베그 측도와 Ω에 대한 보렐 시그마 대수를 생성한다.

실수로 이루어진 구간

[0, 1]

과 그 보렐 집합족

\mathbf{B}

로 이루어진 가측 공간

([0, 1], \mathbf{B})

위에서 르베그 측도

\mu

를 생각하면,

\mu([0, 1])

의 값은 구간의 길이

[0, 1]

과 같으므로,

\mu

는

([0, 1], \mathbf{B})

위의 확률 측도이며, 세 쌍

([0, 1], \mathbf{B}, \mu)

는 확률 공간이 된다.

3. 3. 이산 확률 공간

이산 확률론은 가산 집합 이하의 표본 공간

\Omega

만을 필요로 한다. 확률은

\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)=1

가 되도록 하는 확률 질량 함수

p:\Omega\to[0,1]

에 의해

\Omega

의 점들에 할당될 수 있다.

\Omega

의 모든 부분 집합은 사건으로 취급될 수 있다(따라서,

\mathcal{F}=2^\Omega

는 멱집합이다). 확률 측도는 다음과 같은 간단한 형태를 가진다.

:

P(A) = \sum_{\omega\in A} p(\omega) \quad \text{for all } A \subseteq \Omega.

가장 큰 시그마-대수

\mathcal{F}=2^\Omega

는 완전한 정보를 나타낸다. 일반적으로 시그마-대수

\mathcal{F}\subseteq2^\Omega

는 유한 또는 가산 집합 분할

\Omega=B_1\cup B_2\cup\dots

에 해당하며, 사건

A\in\mathcal{F}

의 일반적인 형태는

A=B_{k_1}\cup B_{k_2}\cup\dots

이다.

p(\omega)=0

인 경우는 정의에 의해 허용되지만, 그러한

\omega

는 표본 공간에서 안전하게 제외될 수 있으므로 거의 사용되지 않는다.

3. 4. 일반적인 경우와 비원자적 경우

Ω^영어가 비가산 집합이라면, 어떤 ω에 대해 P(ω) ≠ 0이 될 수도 있는데, 이러한 ω를 원자라고 부른다. 원자는 많아야 가산(혹은 공집합) 집합이며, 그 확률은 모든 원자의 확률의 합이다. 이 합이 1과 같으면 다른 모든 점들은 표본 공간에서 안전하게 제외될 수 있으며, 이산적인 경우로 되돌아간다. 그렇지 않고, 모든 원자의 확률의 합이 0과 1 사이라면, 확률 공간은 이산적(원자적) 부분(비어있을 수도 있음)과 비원자적 부분으로 분해된다.

모든 ω ∈ Ω에 대해 P(ω) = 0인 경우(이 경우 Ω는 셀 수 없어야 한다. 그렇지 않으면 P(Ω) = 1을 만족할 수 없기 때문), 집합의 확률은 반드시 원소의 확률의 합은 아니다. 왜냐하면 합은 셀 수 있는 수의 원소에 대해서만 정의되기 때문이다. 이것은 확률 공간 이론을 훨씬 더 기술적으로 만든다. 합보다 강한 공식인 측도론이 적용 가능하다. 처음에는 확률이 일부 "생성자" 집합에 할당된다. 그런 다음 제한 절차를 통해 일련의 생성자 집합의 극한 또는 극한의 극한인 집합에 확률을 할당할 수 있다. 이러한 모든 집합은 σ-대수

\mathcal{F}

이다. 기술적인 세부 사항은 카라테오도리 확장 정리를 참조하십시오.

\mathcal{F}

에 속하는 집합을 가측 집합이라고 한다.

4. 관련 개념

확률 공간은 확률 분포, 확률 변수 등의 개념을 정의하는 데 기반이 된다.

확률 변수 ''X''는 표본 공간 Ω에서 *상태 공간*이라고 하는 다른 가측 공간 ''S''로의 가측 함수 ''X'': Ω → ''S''이다. ''A'' ⊂ ''S''이면, Pr(''X'' ∈ ''A'') 표기는 $P(\{\omega \in \Omega: X(\omega) \in A\})$ 에 대한 일반적인 약어이다.^[1]

근원 사건이 무수히 많은 경우에는 확률을 라플라스의 고전적 확률로 정의할 수 없다. 예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나오면 10엔을 받고, 뒷면이 나오면 10엔을 잃는 내기를 계속하는 경우를 생각해 보자. 현실적으로는 지치면 그만두겠지만, 이를 반영구적으로 매일 계속한다면, 모든 동전의 출현 패턴을 모아야 한다.

앞앞앞앞…
뒤앞앞앞…
앞뒤앞앞…
…

이러한 근원 사건 전체는 비가산 무한 개가 있다. 전사건의 확률은 1이며, 근원 사건은 비가산 무한 개가 있고, 근원 사건의 확률은 모두 같으므로 (등확률 공간) 근원 사건의 확률은 0이 된다. 따라서 근원 사건의 비가산 합에 확률을 할당하는 것은 고전적 확률로는 할 수 없다. 이러한 이유로, 측도론의 지식이 필요하게 되었고, 현대적인 확률론은 측도론과 르베그 적분이 나오고 나서야 성립되었다.

4. 1. 조건부 확률

어떤 사건 $A$가 일어났을 때, 다른 사건 $B$가 일어날 확률을 조건부 확률이라 한다. $P(A) > 0$이면, $P(B \mid A) = {P(B \cap A) \over P(A)}$로 정의한다. 이는 일반적으로 "A가 주어졌을 때 B의 확률"이라고 발음한다.

$P(A) > 0$인 임의의 사건 $A$에 대해, 모든 사건 $B$에 대해 $Q(B) = P(B \mid A)$로 정의된 함수 $Q$는 그 자체로 확률 측도이다.^[1]

5. 콜모고로프 공리

확률 측도의 정의는 콜모고로프가 제시한 다음 세 가지 공리로 요약된다.

제1 공리: 모든 사건의 확률은 0 이상 1 이하이다.
제2 공리: 전체 사건의 확률은 1이다.
제3 공리: 서로 배타적인 사건들의 확률은 각 사건의 확률을 더한 값과 같다.

5. 1. 제1 공리

확률은 0 이상 1 이하이다. 모든 사건 $E$에 대해, $ 0 \le P(E) \le 1$이다.^[1]

5. 2. 제2 공리

확률 공간의 전체 사건의 확률은 1이다.

5. 3. 제3 공리

상호 배타적인 가측 집합열

E_k

(

k \in \mathbb{N}

)에 대해,

:

P \Bigl( \bigcup_{k\in \mathbb{N}} E_k \Bigr) =\sum_{k \in \mathbb{N}} P( E_k )

즉, 서로 배타적인 가측 집합들의 합집합의 확률은 각 집합의 확률의 합과 같다.

참조

_[1] 서적 Probability Theory, Vol 1 D. Van Nostrand Company 1955
_[2] 서적 Probability theory: an analytic view Cambridge University Press 1999

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com