절단오차

1. 개요

절단 오차는 수학적 계산에서 무한한 과정을 유한하게 제한하거나, 컴퓨터의 유한한 정밀도로 인해 발생하는 오차를 의미한다. 무한 급수의 경우, 무한히 많은 항을 모두 계산할 수 없으므로 유한한 개수의 항만 사용하여 근사값을 구하면서 절단 오차가 발생한다. 미분에서는 극한을 사용하여 도함수를 정의하지만, 수치적으로 계산할 때는 유한한 h 값을 사용해야 하므로 절단 오차가 발생한다. 적분 역시 무한 개의 직사각형을 사용하여 면적을 구하는 것을 유한 개수로 제한하면서 절단 오차가 발생하며, 컴퓨터에서 매우 큰 수와 작은 수를 더할 때 유한 정밀도로 인해 절단 오차가 발생할 수 있다.

2. 무한 급수

무한 급수는 무한히 많은 항을 더하는 수식이다. 실제 계산에서는 무한 번 더할 수 없으므로, 유한한 개수의 항만 사용하여 근사값을 구한다.

예를 들어, $e^x$에 대한 무한 급수는 다음과 같다.

:$$e^x=1+\; x+\; \backslash frac\{x^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{x^3\}\{3!\}+\; \backslash frac\{x^4\}\{4!\}+\; \backslash cdots$$

이 급수의 모든 항을 계산하는 것은 불가능하므로, 유한한 수의 항만 사용하여 $e^x$의 근사값을 구한다. 예를 들어, 처음 세 개의 항만 사용하면 다음과 같은 근사식을 얻을 수 있다.

:$$e^x\backslash approx\; 1+x+\; \backslash frac\{x^2\}\{2!\}$$

이 경우, 절단 오차는 $\backslash frac\{x^3\}\{3!\}+\backslash frac\{x^4\}\{4!\}+\; \backslash cdots$이다.

또 다른 예로, 다음 무한 등비수열을 생각해 보자.

:

이 수열의 처음 세 항만 사용하여 x = 0.75일 때 절단 오차를 구하면 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
S_3 &= \left(1+x+x^2\right)_{x=0.75} \\
& = 1+0.75+\left(0.75\right)^2 \\
&= 2.3125
\end{align}

무한 등비수열의 합은 다음과 같이 주어진다.

:$$S\; =\; \backslash frac\{a\}\{1-r\}$$

위 수열에서 a = 1, r = 0.75이므로,

:$$S=\backslash frac\{1\}\{1-0.75\}=4$$

따라서 절단 오차는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{TE\}\; =\; 4\; -\; 2.3125\; =\; 1.6875$$

2.1. 예시: 지수 함수

2.2. 예시: 등비 급수

3. 미분

함수의 정확한 1차 도함수는 다음과 같이 극한을 사용하여 정의된다.

:$$f\text{'}(x)\; =\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x+h)-f(x)\}\{h\}$$

그러나 수치적으로 도함수를 계산하는 경우, $h$는 유한해야 한다. $h$를 유한하게 선택함으로써 발생하는 오차는 미분이라는 수학적 과정에서 절단 오차이다.

예를 들어 $f(x)=5x^3$의 1차 도함수를 $x=7$에서 단계 크기 $h=0.25$를 사용하여 계산할 때, 정확한 도함수는 $f\text{'}(x)\; =\; 15x^2$에 따라 $f\text{'}(7)\; =\; 735$이다.

근사값은 다음과 같이 계산된다.

:$$f\text{'}(7)\; =\; \backslash frac\{f(7+0.25)-f(7)\}\{0.25\}\; =\; 761.5625$$

따라서 절단 오차는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{TE\}\; =\; 735\; -\; 761.5625\; =\; -26.5625$$

3.1. 예시: 다항 함수

4. 적분

정적분은 함수의 그래프와 x축 사이의 면적을 나타내며, 리만 합의 극한으로 정의된다. 수치 적분에서는 무한 개의 직사각형 대신 유한 개의 직사각형을 사용하여 면적의 근사값을 계산한다. 이 과정에서 절단 오차가 발생한다.

실수 $\backslash Reals$의 닫힌 구간 $[a,b]$에서 정의된 함수 $f:\; [a,b]\; \backslash to\; \backslash Reals$에 대해,

$$P\; =\; \backslash left\; \backslash \{[x\_0,x\_1],\; [x\_1,x\_2],\; \backslash dots,[x\_\{n-1\},x\_n]\; \backslash right\; \backslash \},$$
를 I의 분할이라고 하면,



$$\backslash int\_\{a\}^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; f(x\_i^*)\backslash ,\; \backslash Delta\; x\_i$$
여기서 $\backslash Delta\; x\_i\; =\; x\_i\; -\; x\_\{i-1\}$이고 $x\_i^*\; \backslash in\; [x\_\{i-1\},\; x\_i]$이다.

이는 무한 개의 직사각형을 사용하여 곡선 아래의 면적을 구하는 것을 의미한다. 그러나 수치적으로 적분을 계산하는 경우, 유한 개의 직사각형만 사용할 수 있다. 무한 개의 직사각형 대신 유한 개의 직사각형을 선택하여 발생하는 오차가 적분 과정에서 절단 오차이다.

예를 들어
$$\backslash int\_\{3\}^\{9\}x^\{2\}\{dx\}$$
에서 두 개의 구간을 가진 왼쪽 리만 합을 동일한 구간 너비로 사용할 경우, 정확한 값은 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\int_{3}^{9}{x^{2}{dx}} &= \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{3}^{9} \\
& = \left[ \frac{9^{3} - 3^{3}}{3} \right] \\
& = 234
\end{align}

두 개의 직사각형을 사용하여 근사값을 계산하면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\int_3^9 x^2 \, dx &\approx \left. \left(x^2\right) \right|_{x = 3}(6 - 3) + \left. \left(x^2\right) \right|_{x = 6}(9 - 6) \\
& = (3^2)3 + (6^2)3 \\
&= 27 + 108 \\
&= 135
\end{align}

따라서 절단 오차는 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\text{절단 오차} &= \text{정확한 값} - \text{근사 값} \\
&= 234 - 135 \\
&= 99.
\end{align}

4.1. 예시: 다항 함수

5. 덧셈

컴퓨터는 유한한 정밀도로 숫자를 표현하기 때문에, 매우 큰 수와 매우 작은 수를 더할 때 절단 오차가 발생할 수 있다. 예를 들어, $A\; =\; -10^\{25\},\; B\; =\; 10^\{25\},\; C\; =\; 1$일 때, $(A+B)+C$와 $A+(B+C)$의 계산 결과가 다를 수 있다. 이는 컴퓨터가 매우 큰 정수의 낮은 자릿수를 저장하지 못하기 때문이다. 이러한 문제는 정보 불균형 및 데이터 손실에 대한 사회적 논의와 연결될 수 있다.

6. 추가 정보 (한국의 관점)