선형대수학

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1. 개요
2. 역사
3. 기본 개념
4. 주요 정리 및 기법
5. 고급 주제
6. 응용
참조

1. 개요

선형대수학은 고대 바빌로니아 시대부터 연구된 수학 분야로, 연립 일차 방정식과 행렬을 연구하는 데서 시작되었다. 행렬식은 17세기, 행렬의 개념은 19세기에 도입되었으며, 20세기 초에 현대적인 형태를 갖추었다. 선형대수학은 벡터 공간, 행렬, 선형 변환, 고유값, 고유벡터 등 다양한 개념을 다루며, 가우스 소거법, LU 분해, 그람-슈미트 직교화 등의 기법을 활용한다. 컴퓨터 그래픽스, 양자역학, 데이터 분석, 기계 학습, 경제학, 유체역학, 과학 계산 등 다양한 분야에서 응용되며, 복잡한 문제를 해결하기 위한 핵심적인 도구로 사용된다.

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선형대수학
선형대수학
선형대수학의 다양한 표현 방법
개요
분야	수학
연구 대상	벡터 공간 선형 변환 행렬 선형 연립 방정식
응용 분야	물리학 공학 컴퓨터 과학 경제학
주요 개념
기본 개념	벡터 스칼라 행렬 선형 변환 선형 결합 선형 독립 기저 차원
벡터 공간	부분 공간 생성 직합 쌍대 공간 내적 공간
선형 변환과 행렬	핵 상 고유값 고유 벡터 대각화 행렬식
행렬 분해	LU 분해 QR 분해 특이값 분해
관련 주제
관련 분야	미분 방정식 해석학 추상대수학 수치해석 최적화 확률론 통계학
주요 정리	차원 정리 스펙트럼 정리 케일리-해밀턴 정리
역사
기원	선형 연립 방정식의 해법 연구에서 시작
발전	행렬식 및 행렬 개념 도입 벡터 공간의 추상적인 개념 정의
한국어, 일본어, 영어 명칭
한국어	선형대수학
일본어	線型代数学 (센케이 다이스가쿠)
영어	linear algebra

2. 역사

선형대수학의 역사는 행렬식을 이용하여 선형 연립 방정식을 푸는 연구에서 시작되었으며, 역사적으로 행렬식은 행렬보다 먼저 등장하였다.

고대에는 바빌로니아인들이 기원전 4세기경에 선형연립방정식으로 이어지는 문제들을 연구한 기록이 있다. 현존하는 문헌 중 가장 오래된 것은 기원전 200년에서 100년 사이에 쓰여진 구장산술(九章算術) 제8장「방정(方程)」장으로, 여기에 행렬에 관한 문제를 다루는 해법인 방정술(方程術)이 소개되어 있다.

근대에는 1683년 라이프니츠와 세키 다카카즈가 독자적으로 행렬식을 발견했다. 1750년 가브리엘 크라메르는 크라메르 공식을 발표했고, 이후 가우스가 가우스 소거법을 개발했다.

1844년 헤르만 그라스만은 "확장 이론"을 발표, 1848년 제임스 조셉 실베스터는 "matrix"(행렬)라는 용어를 도입했다. 아서 케일리는 1856년 행렬 곱셈과 역행렬을 도입하여 일반 선형군을 가능하게 했다. 1888년 주세페 페아노는 벡터 공간에 대한 현대적 정의를 제시했고, 20세기 전반에 선형대수학은 현대적인 형태를 갖추게 된다.

뫼비우스는 1827년 자신의 책 ‘Barycentric Calculus’에서 기하학적 대상(점)들을 가지고 직접 연산을 하는 최초의 대수적 체계를 소개하였고 동일 직선상의 선분을 어떻게 더하는지 보였다. 헤르만 그라스만은 1844년 자신의 첫 번째 책 ‘lineale Ausdehnungslehre (Extension)’에서 ‘n차원 공간’과 ‘교환법칙이 성립하지 않는 곱셈’이라는 새로운 수학적인 아이디어를 제공했다. 1862년 ‘The second Ausdehnungslehre’에서 그가 다룬 선형대수학의 내용은 다음과 같다.

‘일차독립, 차원, 부분공간, 정사영, 좌표변환, 내적과 외적, 선형연립방정식의 해법, 직교, 선형변환, 선형변환의 행렬표현, rank-nullity 정리, 고유값, 고유공간, 특성방정식, 행렬의 대각화, 행렬분해, law of inertia, 미분방정식에의 응용, … ’

이후 1888년 주세페 페아노가 그라스만의 업적을 소개하고, 1918년 헤르만 바일이 이를 한번 더 인용하면서 선형대수학에 대한 본격적인 연구가 시작되었다. 제임스 조셉 실베스터, 아서 케일리 등 저명한 여러 수학자들의 연구를 거치면서 현대 선형대수학의 형태에 이르게 되었다.

복소평면에서 주목받은 아이디어들과 함께 발전했다. 예를 들어, 사원수의 4차원 시스템은 1843년 윌리엄 로완 해밀턴에 의해 발견되었다.^[6] 벤자민 피어스는 그의 ''선형 결합 대수''(1872)를 출판했고, 그의 아들 찰스 샌더스 피어스는 나중에 이 작업을 확장했다.^[7]

1873년 제임스 클러크 맥스웰이 출판한 ''전기와 자기에 대한 논문''은 힘의 장 이론을 제정했고, 표현을 위해 미분기하학을 필요로 했다. 선형대수학은 평평한 미분기하학이며, 다양체의 접선 공간에서 사용된다. 시공간의 전자기적 대칭은 로렌츠 변환으로 표현되며, 선형대수학 역사의 많은 부분은 로렌츠 변환의 역사이다.

컴퓨터의 발전은 가우스 소거법과 행렬 분해에 대한 효율적인 알고리즘에 대한 연구를 증가시켰고, 선형대수학은 모델링과 시뮬레이션에 필수적인 도구가 되었다.

2. 1. 고대와 중세

선형대수학의 기원은 고대 바빌로니아와 중국에서 찾아볼 수 있다. 고대 바빌로니아인들은 기원전 4세기경에 선형 연립 방정식 문제를 연구했다.^[4] 기원전 200년에서 100년 사이에 쓰여진 중국 한나라 시대의 수학책 구장산술 제8장 '방정'에는 행렬에 관한 문제와 해법인 방정술이 소개되어 있다. 구장산술의 방정술은 현대 선형대수학의 행렬식 계산과 유사한 방법을 포함하고 있으며, 이는 세계에서 가장 오래된 행렬식 계산 기록으로 여겨진다.^[4]

2. 2. 근대

17세기에 르네 데카르트가 좌표 개념을 도입하면서 연립 일차 방정식이 유럽에서 등장했다.^[5] 1683년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 행렬식을 사용하여 연립 일차 방정식을 푸는 체계적인 방법을 처음으로 고안했다.^[5] 같은 해, 일본의 수학자 세키 다카카즈는 라이프니츠보다 먼저 독자적으로 행렬식에 대한 연구를 수행했다.^[4] 1750년, 가브리엘 크라메르는 크라메르 공식을 발표하여 연립 일차 방정식의 해를 구하는 방법을 제시했다.^[5] 19세기 초, 카를 프리드리히 가우스는 가우스 소거법을 개발하여 연립 일차 방정식의 해를 구하는 효율적인 방법을 제시했다.^[5]

2. 3. 현대

1844년 헤르만 그라스만은 "확장 이론"을 발표하여 오늘날 선형대수학의 기초가 되는 새로운 주제들을 포함시켰다.^[5] 1848년 제임스 조셉 실베스터는 라틴어로 "자궁"을 의미하는 "matrix"(행렬)라는 용어를 도입했다.^[5]

아서 케일리는 1856년 행렬 곱셈과 역행렬을 도입하여 일반 선형군을 가능하게 했다. 그는 행렬을 하나의 객체로 취급하여 단일 문자로 표기했으며, 행렬과 행렬식 사이의 관계를 인식하고 "행렬의 이론은 여러 가지가 있지만, 내게 있어서는 행렬식의 이론보다 중요하다"라고 말했다.^[5]

1888년 주세페 페아노는 벡터 공간에 대한 최초의 현대적이고 더 정확한 정의를 제시했다.^[5] 1900년까지 유한 차원 벡터 공간의 선형 변환 이론이 등장했다. 선형대수학은 20세기 전반에 현대적인 형태를 갖추었는데, 이때 이전 세기의 많은 아이디어와 방법들이 추상 대수학으로 일반화되었다. 컴퓨터의 발전은 가우스 소거법과 행렬 분해에 대한 효율적인 알고리즘 연구를 촉진시켰고, 선형대수학은 모델링과 시뮬레이션의 필수적인 도구가 되었다.^[5]

3. 기본 개념

데카르트 좌표계에 대한 연구로부터 시작된 선형대수학의 기본 정의는 다음과 같다.

벡터: 벡터 공간의 원소이다.
'''벡터 연산''': 두 벡터끼리의 합, 혹은 벡터와 스칼라(크기만 있고 방향성은 없는 성분) 사이의 곱이 기본 연산이다.
'''벡터 공간''': 벡터의 기본 연산을 만족하는 모든 벡터의 모음이다.
'''차원''': 평면을 2차원, 공간을 3차원이라고 부르는 것처럼, 차원을 구성하는 요소(3차원의 경우 x, y, z)는 서로 독립적이다.
'''행렬''': 숫자들을 직사각형 모양으로 묶어 나타낸 것이다. 벡터를 하나의 행 혹은 열로 구성된 행렬로 볼 수도 있지만, 이것이 행렬의 엄밀한 정의는 아니다.

3차원까지의 벡터는 그림 등으로 시각적 표현이 가능하지만, 그 이상의 벡터는 각 구성 요소를 괄호 안에 나열하여 표기한다.

선형대수학은 복잡한 비선형 방정식 문제를 간단한 선형 방정식 문제로 변환하는 선형화 또는 선형 근사를 통해 여러 문제를 수학적으로 해결하는 데 매우 중요한 개념이다.

3. 1. 벡터와 벡터 공간

벡터 공간(선형 공간)은 덧셈과 스칼라 곱 연산이 정의된 집합이며, 이 공간의 원소를 벡터라고 한다. 벡터는 크기와 방향을 가지는 양으로, 스칼라는 크기만 있고 방향성은 없는 성분이다. 벡터와 스칼라의 곱은 벡터의 기본 연산 중 하나이다.^[8]

벡터 연산에는 두 벡터끼리의 합과 벡터와 스칼라 사이의 곱이 있다. 벡터 공간은 이러한 벡터의 기본 연산을 만족하는 모든 벡터의 모음이다.

차원은 벡터 공간의 기저를 구성하는 벡터의 개수를 의미한다. 흔히 평면을 2차원, 공간을 3차원이라고 하는데, 이때 차원을 구성하는 각 요소(3차원의 경우 x, y, z)는 서로 독립적이다.

기저는 벡터 공간을 생성하는 일차 독립인 벡터들의 집합이다. 기저는 어떤 벡터 공간을 이루는 벡터들로, 이 벡터들은 일차 독립이어야 하며, 이 벡터들의 선형 조합으로 그 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있어야 한다. 예를 들어 x축, y축, z축은 3차원 공간의 기저이다.

부분 벡터 공간은 어떤 벡터 공간에 포함되는 벡터 공간을 의미한다. 유클리드 공간은 내적이 정의된 실수 벡터 공간이며, 아핀 공간은 벡터 공간에서 평행 이동을 통해 얻어지는 공간이다.

19세기까지 선형대수학은 연립 일차 방정식과 행렬을 통해 소개되었다. 현대 수학에서는 벡터 공간을 통한 제시가 일반적으로 선호되는데, 이는 더 합성적이고, 더 일반적이며(유한 차원의 경우에만 국한되지 않음), 개념적으로 더 간단하기 때문이다.^[9]

체 (종종 실수 체) 위의 벡터 공간은 두 가지 이항 연산을 갖춘 집합이다. 의 원소를 ''벡터'', ''F''의 원소를 ''스칼라''라 한다.

''벡터 덧셈''은 임의의 두 벡터 와 를 취하여 세 번째 벡터 를 출력한다.
''스칼라 곱''은 임의의 스칼라 와 임의의 벡터 를 취하여 새로운 벡터 를 출력한다.

덧셈과 스칼라 곱이 만족해야 하는 공리는 다음과 같다.^[8]

공리	의미
결합 법칙 (덧셈)
교환 법칙 (덧셈)
항등원 (덧셈)	에 영벡터(또는 단순히 영)이라고 하는 원소 가 존재하여 모든 ∈ 에 대해 이다.
역원 (덧셈)	의 모든 에 대해 의 덧셈에 대한 역원이라고 하는 원소 가 존재하여 이다.
분배 법칙 (스칼라 곱과 벡터 덧셈에 대한)
분배 법칙 (스칼라 곱과 체의 덧셈에 대한)
스칼라 곱과 체의 곱셈의 호환성
스칼라 곱의 항등원	, 여기서 은 의 곱셈 항등원을 나타낸다.

처음 네 가지 공리는 가 덧셈에 대해 아벨 군임을 의미한다.

특정 벡터 공간의 원소는 다양한 성질을 가질 수 있다. 예를 들어, 수열, 함수, 다항식 또는 행렬일 수 있다. 선형대수학은 모든 벡터 공간에 공통적인 그러한 객체의 성질에 관심을 갖는다.

3. 2. 선형성

선형대수학의 '''선형성'''(linearity^영어)은 변수의 지수승이 아닌 일차 함수 형태로 표현되는 성질을 의미한다. 직관적으로는 일차함수와 동일하게 생각할 수 있지만, 엄밀한 의미는 더 확장된다.

(정의) 정의역

X

에서 임의의 원소

u, v

를 치역

Y

에 대응시키는 연산

T

는 다음 성질을 만족할 때 '선형'이라고 한다. (c는 임의의 상수)

:(1)

T(cu) = cT(u)

:(2)

T(u+v) = T(u) + T(v)

예를 들어 일차함수

y(x)=x

는 (1)번 조건과 (2)번 조건을 모두 만족시키므로 선형이다. 하지만 이차함수

y(x)=x^2

의 경우에는 조건을 만족시키지 않으므로 선형이 아니다. 다른 선형 연산의 예로는 회전변환, 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환, 어떤 벡터 공간에 대한 수직입사 등이 있다.

어떤 연산이 선형이라면 행렬로 표현 가능하며, 반대로 어떤 행렬은 선형 연산으로 해석될 수 있다. 이러한 행렬 이론은 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에 활용된다.

선형 사상(선형 변환)은 벡터 공간의 구조를 보존하는 함수로, 덧셈과 스칼라 곱을 보존한다.

3. 3. 행렬

행렬은 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열한 것이다.^[9] 실수 행렬, 복소수 행렬 등이 있다.

행렬의 종류는 다음과 같다.

정방 행렬
정칙 행렬
역행렬
단위 행렬(스칼라 행렬)
영행렬
멱영 행렬
대각 행렬
삼각 행렬(상삼각 행렬, 하삼각 행렬)
전치 행렬
수반 행렬
직교 행렬
특수 직교 행렬
유니터리 행렬
특수 유니터리 행렬
심플렉틱 행렬
행렬 지수 함수
대칭 행렬
반대칭 행렬(비대칭 행렬)
에르미트 행렬
반에르미트 행렬(비에르미트 행렬)
정규 행렬
치환 행렬
인접 행렬

행렬은 유한 차원 벡터 공간과 선형 사상을 명시적으로 조작할 수 있게 해준다.^[9] 따라서 행렬 이론은 선형대수학의 필수적인 부분이다.

행렬은 다변수의 일차 관계식으로 표현되는 관계를 간결하게 기술하기 위해 사용되며, 연립 일차 방정식의 해법 연구 과정에서 발견되었다. 행렬의 표기법은 케일리, 실베스터, 프로베니우스, 아이젠슈타인, 에르미트가 각각 비슷한 시기에 제창하였다. 가장 먼저 이 이론을 제창한 것은 아이젠슈타인이지만, 학계에서는 별로 주목받지 못했고, 케일리가 연구했던 것이 30년 후 실베스터에 의해 재발견되면서 평가받기 시작했다.^[36]

1848년, 실베스터가 라틴어로 자궁을 의미하는 matrix(행렬)라는 용어를 도입하였다. 선형 변환의 구성에 대한 연구 전체에서 케일리는 행렬의 곱과 역행렬의 개념을 정의하였다.^[36]

3. 4. 행렬식과 연립 일차 방정식

유한한 변수 집합, 예를 들어 또는 에 대한 유한한 선형 방정식 집합을 '''연립일차방정식''' 또는 '''선형 시스템'''이라고 한다.^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

연립일차방정식은 선형대수학의 기본적인 부분을 형성한다. 역사적으로 선형대수학과 행렬 이론은 이러한 시스템을 해결하기 위해 개발되었다. 벡터 공간과 행렬을 통해 선형대수학을 현대적으로 제시하면 많은 문제를 선형 시스템의 관점에서 해석할 수 있다.

예를 들어, 다음과 같은 연립일차방정식이 있다고 하자.

이러한 시스템에는 다음과 같은 행렬을 연결할 수 있다.

:

M = \left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & -1\\

3 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 2

\end{array}\right].

그리고 그 우변 벡터는 다음과 같다.

:

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix}.

행렬과 연관된 선형 변환을 라고 하자. 시스템 ()의 해는 다음과 같은 벡터이다.

:

\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}

다음을 만족한다.

:

T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},

즉, 에 의한 의 역상의 원소이다.

()를 방정식의 우변이 0으로 설정된 관련 동차 시스템이라고 하자.

()의 해는 또는 동등하게 의 핵의 원소이다.

가우스 소거법은 증강 행렬에 대해 기본 행 연산을 수행하는 것으로 구성된다.

:

\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}2 & 1 & -1&8\\

3 & -1 & 2&-11 \\
2 & 1 & 2&-3

\end{array}\right]

이를 기약 행 사다리꼴 형태로 만든다. 이러한 행 연산은 방정식 시스템의 해 집합을 변경하지 않는다. 예에서 기약 사다리꼴 형태는 다음과 같다.

:

\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 0&2\\0 & 1 & 0&3  \\0 & 0 & 1&-1\end{array}\right],

이는 시스템 ()이 유일한 해를 가짐을 보여준다.

:

\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}

선형 시스템의 이러한 행렬 해석으로부터 동일한 방법을 선형 시스템을 풀고 행렬과 선형 변환에 대한 많은 연산에 적용할 수 있는데, 여기에는 계수, 핵, 역행렬 계산이 포함된다.

정방 행렬 의 ''행렬식''은 다음과 같이 정의된다.^[16]

:

\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)},

여기서 은 개 원소의 모든 순열의 군이고, 는 순열이며, 는 순열의 파티티이다. 스칼라가 체에 속하는 경우 행렬은 행렬식이 가역적일(즉, 영이 아닐) 경우에만 가역적이다.

크라메르 공식은 개의 미지수에 대한 개의 선형 방정식의 계의 해에 대한 행렬식으로 표현된 닫힌 형식 표현식이다. 크라메르 공식은 해에 대한 추론에 유용하지만, 또는 을 제외하고는 가우스 소거법이 더 빠른 알고리즘이기 때문에 해를 계산하는 데는 거의 사용되지 않는다.

''선형 변환의 행렬식''은 어떤 순서 기저에 대한 선형 변환을 나타내는 행렬의 행렬식이다. 이 행렬식은 기저의 선택과 무관하므로 이 정의는 타당하다.

선형대수학에서는 연립 일차방정식의 각 식은 공간 내에 펼쳐진 평면을 나타내고, 그 평면들이 서로 교차하는 영역이 연립방정식의 해라고 설명된다. 각 평면의 교차 영역이 1점이 되는 경우에만 해가 유일하게 정해지고, 교차 영역이 직선인 경우 해는 무수히 많이 존재하며, 교차 영역이 없는 경우(예: 모든 평면이 평행인 경우)에는 해가 존재하지 않는다. 해가 어떻게 존재하는지는 일차 독립인 생성 원소의 수를 나타내는 확대 계수 행렬의 계수로 판정할 수 있다.

3. 5. 선형 변환

'''선형 사상'''(linear map)은 벡터 공간의 사상으로서 벡터 공간의 구조를 보존한다. 체

F

위의 두 벡터 공간

V

와

W

가 주어졌을 때, 선형 사상(어떤 문맥에서는 선형 변환 또는 선형 사상이라고도 함)은 다음과 같은 사상이다.

:

T:V\to W

이는 덧셈과 스칼라 곱셈과 호환된다. 즉,

:

T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v)

V

의 임의의 벡터

\mathbf u

,

\mathbf v

와

F

의 스칼라

a

에 대해 성립한다.^[9]

이는

V

의 임의의 벡터

\mathbf u

,

\mathbf v

와

F

의 스칼라

a

,

b

에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

:

T(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v)

V = W

가 같은 벡터 공간일 때, 선형 사상

T : V \to V

는

V

의 ''선형 작용소''(linear operator)라고도 한다.

두 벡터 공간 사이의 전단사(bijective) 선형 사상(즉, 두 번째 공간의 모든 벡터는 첫 번째 공간의 정확히 하나의 벡터와 연관됨)은 동형 사상(isomorphism)이다. 동형 사상은 선형 구조를 보존하므로, 선형 대수의 관점에서 두 동형 벡터 공간은 벡터 공간의 성질을 사용하여 구별할 수 없다는 의미에서 "본질적으로 같다".^[9] 선형 대수에서 중요한 질문 중 하나는 선형 사상이 동형 사상인지 여부를 검정하는 것이며, 동형 사상이 아닌 경우에는 그 치역(또는 영상)과 영벡터로 사상되는 원소들의 집합(사상의 핵이라고 함)을 찾는 것이다. 이러한 모든 질문은 가우스 소거법 또는 이 알고리즘의 변형을 사용하여 해결할 수 있다.^[9]

이하는 선형 변환(일차 변환)과 관련된 내용이다.

선형 사상(선형 변환)
닮음
성분 행렬
계수
상
핵(핵 공간)

3. 6. 고유값과 고유벡터

고유 공간은 주어진 선형 변환에 대해 크기만 변하고 방향은 변하지 않는 벡터들의 집합이다. 행렬의 고윳값과 고유벡터를 공부하며, 행렬식을 통해 고윳값을 찾고, 고윳값과 가우스-요르단 소거법을 통해 고유벡터를 찾는 과정을 익힌다.

고유값, 고유 벡터, 프로베니우스 정리, 고유 다항식(고유 방정식), 극소 다항식, 케일리-해밀턴 정리, 축퇴, 대각화, 스펙트럼 분해, 조르당 표준형, 특이값 분해 등이 고윳값, 고유벡터와 관련된 중요한 개념들이다.

4. 주요 정리 및 기법

가우스-요르단 소거법: 행렬의 행 간 연산을 통해 행렬로 구성된 방정식의 해를 구하는 방법이다. 행렬 방정식의 해를 보존하는 세 가지 연산은 다음과 같다.
* 행렬의 행을 그 행의 상수배만큼으로 대체한다.
* 행렬의 한 행의 상수배를 다른 행에 더한다.
* 행렬의 한 행과 다른 행을 교환한다.
LU 분해: 행렬을 하부삼각행렬과 상부삼각행렬을 이용하여 표현하는 방법이다.
직교화: 어떤 벡터 공간을 이루는 벡터들을 서로 직교하도록 변환하는 과정이다. 직교하는 벡터들이란 다른 벡터와의 내적값이 0인 벡터들을 의미한다.
그람-슈미트 직교정규화: 주어진 벡터의 집합을 직교화된 벡터의 집합으로 변환하는 방법이다.
행렬의 닮음(상사성): 두 행렬이 동일한 연산을 의미한다. 대각화: 상사성을 계산 측면에서 응용한 것으로 특정 행렬을 대각행렬로 표현하는 과정이다.

5. 고급 주제

텐서는 다차원 배열로 표현되는 양으로, 벡터와 행렬을 일반화한 개념이다. 쌍대 공간은 벡터 공간의 선형 범함수(벡터 공간에서 스칼라 체로의 선형 사상)들의 집합으로 이루어진 벡터 공간이다.^[17] 이중 선형 형식, 대칭 형식, 에르미트 형식, 텐서 대수, 그래스만 대수 등은 다중 선형 대수학의 주요 개념이며, 다중 선형 사상은 (쌍대 공간) 원소들의 텐서곱을 통해 나타낼 수 있다.

모듈은 스칼라의 체 대신 환 위에서 정의되는 벡터 공간의 일반화된 개념이다. 일차 독립, 생성, 기저, 선형 사상(모듈 준동형사상) 개념은 벡터 공간과 유사하게 모듈에서도 정의되지만, 기저를 갖지 않는 모듈이 존재할 수 있다는 차이점이 있다. 기저를 갖는 모듈은 자유 모듈이며, 유한 집합으로 생성되는 모듈은 유한 생성 모듈이다.

위상 벡터 공간, 노름 벡터 공간, 힐베르트 공간은 유한 차원이 아닌 벡터 공간을 다루기 위해 추가적인 구조를 도입한 개념이다. 노름 벡터 공간은 원소의 "크기"를 측정하는 노름을 가지며, 이는 거리와 위상을 유도한다. 완비성을 갖는 노름 벡터 공간은 바나흐 공간이다. 내적 구조를 갖는 완비 거리 공간은 힐베르트 공간으로, 특별히 잘 정의된 바나흐 공간의 일종이다. 함수 해석학은 선형대수학과 수리 해석의 방법을 결합하여 이러한 공간들을 연구한다.

6. 응용

선형대수학은 다양한 분야에 응용된다.

'''컴퓨터 그래픽스''': 3차원 물체를 2차원 화면에 투영하고 변환하는 데 사용된다.^[29]
'''양자역학''': 물리량을 행렬로 표현하고, 상태 벡터의 변화를 선형 변환으로 나타낸다.
'''데이터 분석''': 주성분 분석(PCA), 특이값 분해(SVD) 등 관련 기법을 사용하여 데이터의 차원을 축소하고 패턴을 찾는다.
'''기계 학습''': 선형 회귀, 로지스틱 회귀, 서포트 벡터 머신 등 다양한 알고리즘에서 핵심적인 역할을 한다.
'''경제학''': 산업 연관표 등 경제 모델을 분석하고 예측하는 데 사용된다.
'''유체역학, 유체 동역학, 열에너지 시스템''': 유체의 흐름과 열에너지 시스템을 모델링하고 분석하는 데 사용된다.
'''과학 계산''': 복잡한 시스템을 모델링하고 시뮬레이션하는 데 필수적이며, 특히 편미분 방정식을 풀 때 널리 사용된다.^[30]
'''복잡계 연구''': 복잡한 시스템의 매개변수화를 관리하고 선형 모델 또는 1차 근사를 통해 시스템을 분석한다.^[30]

참조

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_[33] 웹사이트 University of Colorado Denver. Energy and Power Systems https://eng.famu.fsu[...]
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_[36] 웹사이트 A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory http://macs.citadel.[...] 2015-07-29
_[37] 웹사이트 https://archive.org/[...]

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