수학적 최적화
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1. 개요
수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수로의 함수를 최소화하거나 최대화하는 문제로, 다양한 분야에서 활용되는 중요한 수학 분야이다. 페르마, 라그랑주, 뉴턴, 가우스 등 많은 수학자들이 이 분야의 발전에 기여했으며, 선형 계획법이 최초로 이름 붙여진 용어이다. 최적화 문제는 목적 함수와 제약 조건으로 표현되며, 선형 계획법, 정수 계획법, 비선형 계획법 등 다양한 하위 분야로 분류된다. 문제를 해결하기 위해 알고리즘, 반복법, 휴리스틱 등이 사용되며, 역학, 설계 최적화, 경제학, 전기 공학, 토목 공학, 운영 연구, 제어 공학, 지구 물리학, 분자 모델링, 기계 학습 등 광범위한 응용 분야에서 활용된다.
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| 수학적 최적화 | |
|---|---|
| 구글 지도 | |
| 기본 정보 | |
| 분야 | 응용수학, 컴퓨터 과학 |
| 하위 분야 | 선형 계획법 비선형 계획법 정수 계획법 조합 최적화 볼록 최적화 확률 최적화 분산 최적화 |
| 설명 | |
| 목표 | 함수를 최적화하는 최적의 입력값을 찾는 것 |
| 목적 함수 | 최적화하려는 함수 |
| 제약 조건 | 입력값에 적용되는 제약 조건 |
| 응용 분야 | 공학 경제학 물리학 화학 생물학 기계 학습 인공지능 |
| 알고리즘 | 경사 하강법 뉴턴법 유전 알고리즘 입자 군집 최적화 모의 담금질 |
| 역사 | |
| 초기 | 조지 단치히의 선형 계획법 (1947년) 해롤드 쿤과 앨버트 터커의 비선형 계획법 |
| 발전 | 컴퓨터 기술의 발전으로 알고리즘 개발 가속화 최적화 기법 다양한 분야에 적용 |
| 현대 | 빅데이터, 기계 학습 분야에서 최적화의 중요성 증가 다양한 알고리즘 및 접근 방식 연구 |
| 관련 학문 분야 | |
| 관련 분야 | 응용수학 컴퓨터 과학 운영 연구 산업 공학 |
| 추가 정보 | |
| 관련 개념 | 최대화 최소화 수리 모형 최적화 문제 해 근사 알고리즘 휴리스틱 메타 휴리스틱 |
| 참고 자료 | |
| 참고 자료 | 수리 계획법 개요 공학 설계 최적화 수학적 최적화 수학적 최적화 오픈 저널 |
2. 역사
페르마와 라그랑주는 최적값을 찾기 위해 미적분 기반 공식을 사용했고, 뉴턴과 가우스는 최적값으로 수렴하는 반복적인 방법을 제안했다.[9] 선형 계획법이라는 용어는 조지 단치그가 처음 사용했지만, 1939년 레오니트 칸토로비치가 이미 이론의 상당 부분을 도입했다.[9] 여기서 '계획법(programming)'은 컴퓨터 프로그래밍을 의미하는 것이 아니라, 미군이 훈련 및 물류 일정을 지칭하는 'program'이라는 용어에서 유래했다.[9] 조지 단치그는 1947년 단체법(심플렉스 알고리즘)을 발표했고, 존 폰 노이만은 같은 시기에 쌍대성 이론을 연구했다.[9]
수학적 최적화 분야의 주요 연구자들은 다음과 같다.
| 연구자 |
|---|
| 리처드 벨만 |
| 디미트리 베르체카스 |
| 미셸 비에를레르 |
| 스티븐 P. 보이드 |
| 로저 플레처 |
| 마틴 그뢰첼 |
| 로널드 A. 하워드 |
| 프리츠 존 |
| 나렌드라 카르마카르 |
| 윌리엄 카루시 |
| 레오니드 카치얀 |
| 버나드 쿱만 |
| 해럴드 쿤 |
| 라슬로 로바스 |
| 데이비드 루엔버거 |
| 아르카디 네미로브스키 |
| 유리 네스테로프 |
| 레프 폰트랴긴 |
| R. 타이렐 로카펠라 |
| 나움 Z. 쇼어 |
| 앨버트 튜커 |
최적화 문제는 어떤 목적 함수의 값을 최소화하거나 최대화하는 해를 찾는 문제이다. 이 해는 주어진 제약 조건을 만족해야 한다.[40] 최적화 문제는 목적 함수와 제약 조건의 형태에 따라 다양하게 분류되며, 변수가 연속적인지 이산적인지에 따라 이산 최적화와 연속 최적화로 나뉜다.[40]
3. 최적화 문제
최적화 문제의 종류는 다음과 같다.
최적화는 물리학, 머신 러닝 등 다양한 분야에서 활용된다. 물리학에서는 시스템의 에너지를 최소화하는 문제를 다루며,[7] 머신 러닝에서는 손실 함수를 최소화하여 모델의 성능을 높인다.
다목적 최적화는 여러 개의 목적 함수를 동시에 고려해야 하는 경우를 다룬다. 이 경우, 각 목적 함수에 대해 최적의 해를 찾는 것은 불가능할 수 있으며, 대신 여러 목적 함수 간의 절충점을 찾아야 한다. 이러한 절충점들의 집합을 파레토 집합이라고 하며, 파레토 집합에 속하는 해를 파레토 최적해라고 한다.
3. 1. 최적화 문제의 표현
주어진 집합 ''A''에서 실수로 가는 함수 ''f'' : ''A'' → 에 대해, 모든 '''x''' ∈ ''A''에 대해 ''f''('''x'''0) ≤ ''f''('''x''') 인 경우(최솟값), 또는 ''f''('''x'''0) ≥ ''f''('''x''')인 경우(최댓값)를 만족하는 원소 '''x'''0 ∈ ''A''를 찾는 것이다.[40]
이러한 공식을 '''최적화 문제''' 또는 '''수학적 프로그래밍 문제'''라고 한다. 많은 실제 문제와 이론적 문제를 이 일반적인 틀로 모델링할 수 있다.
목적 함수를 최소화(또는 최대화)하는 실행 가능한 해를 ''최적해''라고 한다.[39]
3. 2. 최적화 문제의 종류
최적화 문제는 변수가 연속적인지 이산적인지에 따라 두 가지로 나눌 수 있다.
일반적으로 최적화 문제는 목적 함수를 최소화하는 방식으로 표현되지만, 최대화 문제를 고려해야 하는 경우도 있다.[7]
4. 주요 하위 분야
- 볼록 계획법: 목적 함수가 볼록 함수(최소화) 또는 오목 함수(최대화)이고 제약 조건 집합이 볼록 집합인 경우를 연구한다. 이는 비선형 계획법의 특수한 경우로 보거나 선형 또는 볼록 이차 계획법의 일반화로 볼 수 있다.[7]
- 선형 계획법(LP): 목적 함수 ''f''가 선형이고 제약 조건이 선형 등식과 부등식만으로 지정되는 볼록 계획법의 한 유형이다. 제약 조건 집합은 다면체 또는 다면체이며, 유계인 경우는 다면체이다.
- 2차 원뿔 계획법(SOCP): 볼록 계획법이며 특정 유형의 이차 계획법을 포함한다.
- 반정부호 계획법(SDP): 기저 변수가 반정부호 행렬인 볼록 최적화의 하위 분야이다. 선형 및 볼록 이차 계획법의 일반화이다.
- 원뿔 계획법: 볼록 계획법의 일반적인 형태이다. LP, SOCP, SDP는 모두 적절한 유형의 원뿔을 사용하는 원뿔 계획법으로 볼 수 있다.
- 기하 계획법: 목적 함수와 부등식 제약 조건이 다항식으로, 등식 제약 조건이 단항식으로 표현되는 것을 볼록 계획법으로 변환하는 기법이다.
- 정수 계획법: 일부 또는 모든 변수가 정수 값을 갖도록 제약되는 선형 계획법을 연구한다. 이것은 볼록하지 않으며 일반적으로 일반적인 선형 계획법보다 훨씬 어렵다.
- 이차 계획법: 목적 함수에 이차 항이 있지만 실행 가능한 집합은 선형 등식과 부등식으로 지정해야 한다. 이차 항의 특정 형태에 대해서는 볼록 계획법의 한 유형이다.
- 분수 계획법: 두 비선형 함수의 비율 최적화를 연구한다. 오목 분수 계획법의 특별한 클래스는 볼록 최적화 문제로 변환될 수 있다.
- 비선형 계획법: 목적 함수 또는 제약 조건, 또는 둘 다에 비선형 부분이 포함되는 일반적인 경우를 연구한다. 볼록 계획법일 수도 있고 아닐 수도 있다. 일반적으로 프로그램이 볼록인지 여부는 해결의 어려움에 영향을 미친다.
- 확률적 계획법: 일부 제약 조건 또는 매개변수가 확률 변수에 따라 달라지는 경우를 연구한다.
- 강건 최적화: 확률적 계획법과 마찬가지로 최적화 문제의 기본 데이터의 불확실성을 포착하려는 시도이다. 불확실성 집합에 의해 정의된 불확실성의 모든 가능한 실현에서 유효한 해를 찾는 것을 목표로 한다.
- 조합 최적화: 실행 가능한 해의 집합이 이산적이거나 이산적인 것으로 축소될 수 있는 문제와 관련이 있다.
- 확률적 최적화: 검색 과정에서 무작위(잡음이 있는) 함수 측정 또는 무작위 입력과 함께 사용된다.
- 무한 차원 최적화: 실행 가능한 해의 집합이 함수 공간과 같은 무한 차원 공간의 부분 집합인 경우를 연구한다.
- 휴리스틱 및 메타휴리스틱: 최적화되는 문제에 대해 거의 또는 전혀 가정을 하지 않는다. 일반적으로 휴리스틱은 최적 해가 발견될 필요가 있음을 보장하지 않는다. 반면에 휴리스틱은 많은 복잡한 최적화 문제에 대한 근사 해를 찾는 데 사용된다.
- 제약 만족: 목적 함수 ''f''가 상수인 경우를 연구한다(이는 인공 지능, 특히 자동 추론에서 사용됨).
- 제약 프로그래밍: 변수 간의 관계가 제약 조건의 형태로 명시되는 프로그래밍 패러다임이다.
- 분리 프로그래밍은 적어도 하나의 제약 조건이 충족되어야 하지만 모두 충족될 필요는 없는 경우에 사용된다. 이것은 특히 스케줄링에 유용하다.
- 공간 매핑: 적절한 물리적으로 의미 있는 조잡하거나 대리 모델을 활용하여 고충실도(미세) 모델 정확도로 엔지니어링 시스템의 모델링 및 최적화를 위한 개념이다.
5. 컴퓨터를 통한 최적화 기술
문제를 해결하기 위해 연구자들은 유한한 단계에서 종료되는 알고리즘이나, 특정 문제의 종류에 대해 해에 수렴하는 반복법, 또는 특정 문제에 대한 근사해를 제공할 수 있는 휴리스틱을 사용할 수 있다.[1]
최적화 알고리즘에는 조지 댄치그가 고안한 선형 계획법용 단체법과 그 확장, 조합 알고리즘, 양자 최적화 알고리즘 등이 있다. 반복법은 헤세 행렬, 기울기 또는 함수값만 평가하는지에 따라 비선형 계획법 문제를 푸는 데 사용된다. 함수 평가 횟수는 최적화 방법에서 중요한 기준 중 하나인데, 도함수를 사용하면 최적화에 대한 더 자세한 정보를 얻을 수 있지만 계산 비용이 더 크다. 어떤 방법이 더 효율적인지는 문제에 따라 다르다.
휴리스틱은 해결책을 찾을 수 있다는 보장이 없는 알고리즘이지만, 특정 실용적인 상황에서는 유용하다. 잘 알려진 휴리스틱에는 다음 표와 같은 종류가 있다.
| 휴리스틱 알고리즘 종류 |
|---|
5. 1. 최적화 알고리즘
- 단체법 (조지 댄치그 고안, 선형 계획법용)
- 이차 계획법 및 선형 분수 계획법을 위해 고안된 단체법의 확장
- 특히 네트워크 최적화에 적합한 단체법의 변형
- 조합 알고리즘
- 양자 최적화 알고리즘
5. 2. 반복 방법론
반복법은 헤세 행렬(Hessian), 기울기 또는 함수값만 평가하는지에 따라 비선형 계획법 문제를 푸는 데 사용된다. 헤세 행렬과 기울기를 평가하면 수렴 속도가 향상되지만, 계산 복잡도(또는 계산 비용)가 증가할 수 있다. 특히 변수의 수가 많을 경우 계산 복잡도가 매우 높아질 수 있다.최적화 방법에서 중요한 기준 중 하나는 함수 평가 횟수이다. 도함수를 사용하면 최적화에 대한 더 자세한 정보를 얻을 수 있지만, 계산 비용이 더 크다. 예를 들어, 기울기를 근사하는 데 최소 N+1개의 함수 평가가 필요하고, 2차 도함수(헤세 행렬)를 근사하는 데는 N²개의 함수 평가가 필요하다. 뉴턴 방법은 2차 도함수를 사용하므로 반복당 함수 호출 수가 N² 정도이지만, 기울기만 사용하는 최적화 방법은 N에 불과하다. 그러나 기울기 최적화는 일반적으로 뉴턴 방법보다 더 많은 반복이 필요하며, 어떤 방법이 더 효율적인지는 문제에 따라 다르다.
- 헤세 행렬을 평가하는 방법:
- * 뉴턴 방법
- * 순차 이차 계획법: 뉴턴 기반 방법으로, 일부 버전은 고차원 문제를 처리할 수 있다.
- * 내점 방법: 제약 최적화에 사용되는 방법으로, 일부는 기울기 정보만 사용하고 다른 일부는 헤세 행렬 평가가 필요하다.
- 기울기를 이용하거나 근사하는 방법:
- * 좌표 하강 방법: 각 반복에서 단일 좌표를 업데이트한다.
- * 켤레 기울기 방법: 대규모 문제에 사용되는 반복법이다.
- * 경사 하강법(가장 가파른 하강): 매우 큰 문제의 근사해를 찾는 데 사용된다.
- * 부기울기 방법: 국소적으로 립시츠 함수에 대한 일반화된 기울기를 사용하는 반복적인 방법이다.
- * 하강의 번들 방법: 볼록 최소화 문제에 사용되는 반복적 방법이다.
- * 타원체 방법: 준볼록 목적 함수를 갖는 문제에 사용되며, 조합 최적화 문제의 다항 시간 복잡도를 확립하는 데 중요한 역할을 한다.
- * 조건부 기울기 방법(프랭크-울프): 특별히 구조화된 문제의 근사 최소화에 사용된다.
- * 준뉴턴 방법: 중대규모 문제에 사용되는 반복적 방법이다.
- * 동시 섭동 확률적 근사(SPSA) 방법: 확률적 최적화에 사용되며, 무작위 기울기 근사를 사용한다.
- 함수값만 평가하는 방법: 문제가 연속적으로 미분 가능하다면, 유한 차분을 사용하여 기울기를 근사하고 기울기 기반 방법을 사용할 수 있다.
- * 보간 방법
- * 패턴 탐색 방법
- * 거울 하강법
5. 3. 휴리스틱
(유한 종료) 알고리즘과 (수렴하는) 반복법 외에도 휴리스틱이 있다. 휴리스틱은 (수학적으로) 해결책을 찾을 수 있다는 보장이 없는 알고리즘이지만, 특정 실용적인 상황에서는 유용하다. 몇 가지 잘 알려진 휴리스틱은 다음과 같다.| 휴리스틱 알고리즘 종류 |
|---|
6. 응용 분야
최적화는 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다. 특히 한국의 산업 현장에서는 생산성 향상, 비용 절감, 품질 개선 등을 위해 최적화 기법이 활발하게 적용되고 있다.
- 경제학: 경제 주체의 행동을 모델링하고 예측하는 데 최적화가 사용된다. 예를 들어, 소비자의 효용 극대화 문제나 기업의 이윤 극대화 문제를 해결하는 데 활용된다. 경제학은 주체의 최적화와 밀접하게 관련되어 있으며, "대안적 용도를 가진 제한된 수단과 목표 사이의 관계로서의 인간 행동에 대한 연구"로 묘사되기도 한다.[13] 현대 최적화 이론은 게임 이론 및 경제 균형 연구와도 겹친다.
- 전기 공학: 능동 필터 설계, 초전도 자기 에너지 저장 시스템의 누설 자기장 감소, 공간 매핑을 이용한 마이크로웨이브 구조 설계, 휴대폰 안테나 설계[22][23][24], 전자기 기반 설계 등에서 활용된다.
- 토목 공학: 도로의 굴착과 성토, 구조물 및 인프라의 수명주기 분석,[28] 자원 평준화,[29][30] 수자원 배분, 교통 관리,[31] 일정 최적화 등에 사용된다.
- 운영 연구: 확률적 계획법을 통해 사건에 적응하는 동적 의사 결정을 모델링하는 등 의사 결정 개선을 지원한다.[32]
- 제어 공학: 모델 예측 제어(MPC) 또는 실시간 최적화(RTO)와 같은 고급 제어기는 수학적 최적화를 사용하여 공정 설비의 결정 변수 값을 반복적으로 결정한다.
- 지구 물리학: 지진파 기록을 바탕으로 기저암석과 유체의 물리적 특성 및 기하학적 형태를 구하는 데 사용된다.
- 구조 분석: 비선형 최적화 방법이 널리 사용된다.
- 계산 시스템 생물학: 모델 구축, 최적 실험 설계, 대사 공학, 합성 생물학[33] 등에서 활용된다.
- 생물 정보학: 선형 계획법은 발효 생성물의 최대 수율 계산,[33] 유전자 조절 네트워크 추론,[34] 전사 조절 네트워크 추론[35]에 적용되며, 비선형 계획법은 에너지 대사 분석,[36] 생화학 경로의 대사 공학 및 매개변수 추정[37]에 사용된다.
6. 1. 구체적인 응용 분야
기계 학습 모델의 학습 과정에서 최적화는 핵심적인 역할을 수행한다.[39]강체 역학(특히 관절형 강체 역학) 문제는 종종 수학적 프로그래밍 기법을 필요로 한다. 강체 역학을 구속 다양체 상에서 상미분 방정식을 푸는 것으로 볼 수 있기 때문이다.[11] 구속 조건은 "이 두 점은 항상 일치해야 한다", "이 표면은 다른 표면을 관통해서는 안 된다", "이 점은 항상 이 곡선상에 있어야 한다"와 같은 다양한 비선형 기하학적 구속 조건이다. 접촉력을 계산하는 문제는 선형 상보성 문제를 풀어 해결할 수 있으며, 이는 QP(2차 계획법) 문제로도 볼 수 있다.
많은 설계 문제는 최적화 프로그램으로 표현할 수 있는데, 이러한 응용 프로그램을 설계 최적화라고 한다. 설계 최적화의 한 하위 집합은 공학 최적화이며, 이 분야에서 최근 성장하는 또 다른 하위 집합은 다분야 설계 최적화이다. 다분야 설계 최적화는 많은 문제에 유용하지만, 특히 항공 우주 공학 문제에 적용되어 왔다.
최적화 기법은 우주론과 천체 물리학에도 적용될 수 있다.[12]
경제학은 주체의 최적화와 밀접하게 관련되어 있다. 경제학을 "대안적 용도를 가진 제한된 수단과 목표 사이의 관계로서의 인간 행동에 대한 연구"로 묘사하는 정의도 있다.[13] 현대 최적화 이론은 전통적인 최적화 이론뿐만 아니라, 게임 이론과 경제 균형 연구와도 겹친다. ''경제 문헌지''의 코드는 수리 계획법, 최적화 기법 및 관련 주제를 JEL:C61-C63 아래에 분류한다.
미시경제학에서 효용 극대화 문제와 그 이중 문제인 지출 최소화 문제는 경제 최적화 문제이다. 소비자는 자신의 효용을 극대화하고, 기업은 일반적으로 자신의 이윤을 극대화하는 것으로 가정된다. 또한, 경제 주체들은 종종 위험 회피적으로 모델링되어 위험을 피하는 것을 선호한다. 자산 가격 역시 최적화 이론을 사용하여 모델링되지만, 기본적인 수학은 정적 최적화가 아닌 확률 과정 최적화에 의존한다. 국제 무역 이론은 국가 간 무역 패턴을 설명하기 위해 최적화를 사용하기도 한다. 포트폴리오의 최적화는 경제학에서 다목적 최적화의 한 예이다.
1970년대 이후, 경제학자들은 제어 이론을 사용하여 시간에 따른 동적 의사결정을 모델링해왔다.[14] 예를 들어, 동적 탐색 모델은 노동 시장 행동을 연구하는 데 사용된다.[15] 결정론적 모델과 확률론적 모델 간에는 중요한 차이점이 있다.[16] 거시경제학자들은 근로자, 소비자, 투자자 및 정부의 상호 의존적인 최적화 결정의 결과로서 전체 경제의 역학을 설명하는 동적 확률적 일반 균형(DSGE) 모델을 구축한다.[17][18][19]
전기 공학에서 최적화 기법의 일반적인 응용 분야는 다음과 같다:
1993년 공간 매핑이 발견된 이후로 마이크로웨이브 부품 및 안테나의 전자기적으로 검증된 설계 최적화는 적절한 물리 기반 또는 경험적 대체 모델과 공간 매핑 방법론을 광범위하게 사용해 왔다.[25][26] 최적화 기법은 전력 흐름 분석에도 사용된다.[27]
토목 공학에서 최적화는 광범위하게 사용되어 왔다. 건설 관리와 교통 공학은 최적화에 크게 의존하는 토목공학의 주요 분야이다. 최적화를 통해 해결되는 가장 일반적인 토목공학 문제는 다음과 같다:
- 도로의 굴착과 성토
- 구조물 및 인프라의 수명주기 분석[28]
- 자원 평준화[29][30]
- 수자원 배분
- 교통 관리[31]
- 일정 최적화
운영 연구는 최적화 기법을 광범위하게 사용하는 또 다른 분야이다.[32] 운영 연구는 확률적 모델링과 시뮬레이션을 사용하여 의사 결정 개선을 지원한다. 점차 운영 연구는 사건에 적응하는 동적 의사 결정을 모델링하기 위해 확률적 계획법을 사용하고 있으며, 이러한 문제는 대규모 최적화 및 확률적 최적화 방법으로 해결할 수 있다.
수학적 최적화는 현대 제어기 설계에 많이 사용된다. 모델 예측 제어(MPC) 또는 실시간 최적화(RTO)와 같은 고급 제어기는 수학적 최적화를 사용한다. 이러한 알고리즘은 온라인으로 실행되며, 제약 조건과 제어할 시스템의 모델을 포함하는 수학적 최적화 문제를 반복적으로 풀어 공정 설비의 조절밸브 개방도와 같은 결정 변수의 값을 반복적으로 결정한다.
최적화 기법은 지구물리학적 매개변수 추정 문제에 자주 사용된다. 예를 들어 지진파 기록과 같은 지구물리학적 측정값 집합이 주어지면, 기저암석과 유체의 물리적 특성과 기하학적 형태를 구하는 것이 일반적이다. 지구물리학의 대부분의 문제는 비선형이며, 결정론적 방법과 확률론적 방법 모두 널리 사용된다.
비선형 최적화 방법은 구조 분석에 널리 사용된다.
최적화 기법은 계산 시스템 생물학의 여러 측면에 사용된다. 예를 들면 다음과 같다.
선형 계획법은 발효 생성물의 최대 수율을 계산하고,[33] 다중 마이크로어레이 데이터셋으로부터 유전자 조절 네트워크를 추론하며,[34] 고처리량 데이터로부터 전사 조절 네트워크를 추론하는 데 적용되었다.[35] 비선형 계획법은 에너지 대사 분석에 사용되었으며,[36] 생화학 경로의 대사 공학 및 매개변수 추정에도 적용되었다.[37]
7. 관련 학술지
- 계산 최적화 및 응용(Computational Optimization and Applications)
- 경제 및 금융에서의 계산 최적화 저널(Journal of Computational Optimization in Economics and Finance)
- 경제 역학 및 통제 저널(Journal of Economic Dynamics and Control)
- SIAM 최적화 저널(SIAM Journal on Optimization) (SIOPT) 및 편집 정책
- SIAM 제어 및 최적화 저널(SIAM Journal on Control and Optimization) (SICON) 및 편집 정책
참조
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Modelling and control of motion of manipulation robots
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A cosmological inflationary model using optimal control
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