정사각형 안에 원 채우기

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

정사각형 안에 원 채우기는 주어진 정사각형 안에 겹치지 않도록 최대한 많은 원을 배치하는 문제이다. N ≤ 10,000인 경우에 대한 해가 계산되었으며, N = 20까지의 해는 표로 제시된다. 1, 4, 9, 16, 25, 36개의 원에 대해서는 정사각형 포장이 최적이지만, 49부터 더 큰 정사각형에 대해서는 최적이 아니다. 또한, 정사각형이 아닌 직사각형 안의 원의 조밀한 채움도 연구되고 있다.

정사각형 안에 원 채우기

문제

유형	이차원 패킹 문제
참고 문헌	"Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1991). Unsolved Problems in Geometry. Springer-Verlag. pp. 108–110. ISBN 0-387-97506-3." "Eckard Specht (2010년 5월 20일). The best known packings of equal circles in a square. 2010년 5월 25일에 확인."

📚 더 읽어볼만한 페이지

원 채우기 - 톰슨 문제
톰슨 문제는 단위 구면 위에 존재하는 N개의 동일한 전하를 가진 전자들이 정전기적 상호작용을 통해 총 정전기적 위치 에너지를 최소화하는 배열을 찾는 문제로, 다양한 분야에 응용되며 수치적 방법으로 해를 구한다.
원 채우기 - 데카르트 정리
데카르트 정리는 서로 접하는 네 원의 곡률 사이 관계를 나타내는 기하학적 정리로, (k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² = 2(k₁² + k₂² + k₃² + k₄²) 공식을 만족하며, 다양한 기하학 및 접촉 관계 분석에 활용된다.

1. 개요
2. 최적 해
3. 직사각형으로의 확장

2. 최적 해

≤ 10,000인 모든 경우에 대한 해(반드시 최적은 아님)가 계산되었다. ≤ 20까지의 해는 아래 표에 나와 있다. 1, 4, 9, 16, 25, 36개의 원(여섯 개의 가장 작은 제곱수)에 대해서는 정사각형 포장이 최적이지만, 49부터 더 큰 정사각형에 대해서는 최적이 아니다.

👆

좌우로 밀어서 보기

원의 수 ()	정사각형 변의 길이 ()		밀도 ()	그림
1	2	∞	0.25
2	$2+\sqrt{2}$ ≈ 3.414...	$\sqrt{2}$ ≈ 1.414...	0.172...	85x85px
3	$2+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 3.931...	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ≈ 1.035...	0.194...	85x85px
4	4	1	0.25	85x85px
5	$2+2\sqrt{2}$ ≈ 4.828...	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0.707...	0.215...	85x85px
6	$2 + \frac{12}{\sqrt{13}}$ ≈ 5.328...	$\frac{\sqrt{13}}{6}$ ≈ 0.601...	0.211...	85x85px
7	$4+ \sqrt{3}$ ≈ 5.732...	$4- 2\sqrt{3}$ ≈ 0.536...	0.213...	85x85px
8	$2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ≈ 5.863...	$\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0.518...	0.233...	85x85px
9	6	0.5	0.25	85x85px
10	6.747...	0.421...	0.220...	85x85px
11	$3 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2+4\sqrt{2}}}{2}$ ≈ 7.022...	0.398...	0.223...	85x85px
12	$2 + 15\sqrt{\frac{2}{17}}$ ≈ 7.144...	$\frac{\sqrt{34}}{15}$ ≈ 0.389...	0.235...	85x85px
13	7.463...	0.366...	0.233...	85x85px
14	$6 + \sqrt{3}$ ≈ 7.732...	$\frac{8}{13} - \frac{2\sqrt{3}}{13}$ ≈ 0.349...	0.226...	85x85px
15	$4 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ≈ 7.863...	$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0.341...	0.243...	85x85px
16	8	0.333...	0.25	85x85px
17	8.532...	0.306...	0.234...	85x85px
18	$2 + \frac{24}{\sqrt{13}}$ ≈ 8.656...	$\frac{\sqrt{13}}{12}$ ≈ 0.300...	0.240...	85x85px
19	8.907...	0.290...	0.240...	85x85px
20	$\frac{130}{17} + \frac{16}{17} \sqrt{2}$ ≈ 8.978...	$\frac{3}{8} - \frac{\sqrt{2}}{16}$ ≈ 0.287...	0.248...	85x85px

3. 직사각형으로의 확장

정사각형이 아닌 직사각형 내부에 원을 조밀하게 채우는 문제 또한 연구되어 왔다.