톰슨 문제

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1. 개요

톰슨 문제는 구 표면에 동일한 전하를 가진 N개의 점이 정전기적 반발력을 최소화하도록 배치되는 문제입니다. 이 문제는 수학적으로 정식화되어 있으며, 쿨롱의 법칙을 사용하여 전하 간의 상호 작용 에너지를 계산합니다. 톰슨 문제는 스티븐 스메일이 제안한 18개의 미해결 수학 문제 중 하나인 "2-구면 위의 점의 분포"와 관련이 있습니다. 알려진 해는 N=1, 2, 3, 4, 5, 6, 12에 대해 존재하며, 이러한 경우 전자는 정다면체의 꼭짓점에 위치합니다. 톰슨 문제는 일반화될 수 있으며, 리스 커널을 사용하여 다른 상호 작용 포텐셜을 고려할 수 있습니다. 또한, 톰슨 문제는 원자 모형, 전자 껍질 채움, 바이러스 껍질, 콜로이드 입자 배열 등 다양한 과학적 문제와 연관되어 있습니다. 톰슨 문제의 해법을 찾기 위해 다양한 최적화 알고리즘이 사용되며, 전자의 배치를 꼭짓점으로 하는 다면체를 통해 해를 분석할 수 있습니다.

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톰슨 문제
개요
이름	톰슨 문제
영어 이름	Thomson problem
설명	정전기적 반발력만 작용하는 구 표면 위에 분포된 전자의 안정적인 평형 상태를 찾는 문제
관련 분야	수학, 물리학
역사적 배경
제안자	조지프 존 톰슨
제안 시기	1904년
제안 이유	원자 구조 연구
문제 정의
목표	구 표면에 분포된 N개의 점전하의 위치를 결정하여 정전기적 포텐셜 에너지를 최소화
가정	점전하들은 서로 반발하며, 구 표면에만 존재
제약 조건	점전하들은 구 표면 위에만 존재하며, 움직일 수 있음
해결 방법
분석적 해	특정 N 값 (예: 1, 2, 3)에 대해서만 존재
수치적 해	경사 하강법 담금질 기법 진화 알고리즘
최적화 기준	정전기적 포텐셜 에너지 최소화
응용 분야
물리학	원자 클러스터 모델링 콜로이드 결정 연구 액체 표면 연구
수학	구면 코드 연구
생물학	바이러스 구조 연구
추가 정보
관련 용어	쿨롱의 법칙 정전기 최적화
미해결 문제	일반적인 N 값에 대한 해의 존재성 및 유일성 증명

2. 수학적 정식화

각 쌍의 동일한 전하( $e_i = e_j = e$ , $e$ 는 기본 전하를 가짐)를 가진 전자 간에 발생하는 정전기적 상호 작용 에너지는 쿨롱의 법칙에 의해 주어진다.

: $U_{ij}(N)={e_i e_j \over 4\pi\epsilon_0 r_{ij}},$

여기서 $\epsilon_0$ 는 진공 유전율이고 $r_{ij}=|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|$ 는 각각 벡터 $\mathbf{r}_i$ 와 $\mathbf{r}_j$ 에 의해 정의된 구 위의 점에 위치한 각 전자 쌍 사이의 거리이다.

일반성을 잃지 않고 $e=1$ 및 $k_e=1/4\pi\epsilon_0=1$ (쿨롱 상수 )의 단순화된 단위를 사용한다. 그러면,

: $U_{ij}(N) = {1 \over r_{ij}}.$

각 ''N''-전자 구성의 총 정전기적 위치 에너지는 모든 쌍별 상호 작용 에너지의 합으로 표현될 수 있다.

: $U(N) = \sum_{i j} \frac{1}{r_{ij}}.$

''N''개의 서로 다른 점의 모든 가능한 구성에 대한 $U(N)$ 의 전역 최소화는 일반적으로 수치적 최소화 알고리즘에 의해 발견된다.

톰슨 문제는 수학자 스티븐 스메일이 제안한 18개의 미해결 수학 문제 중 7번째인 "2-구면 위의 점의 분포"와 관련이 있다.^[2]

주요 차이점은 스메일의 문제에서 최소화할 함수가 정전기적 위치 $1 \over r_{ij}$ 가 아니라 $-\log r_{ij}.$ 로 주어진 로그 위치라는 것이다. 두 번째 차이점은 스메일의 질문이 점의 수 ''N''이 무한대로 갈 때의 총 위치의 점근적 거동에 관한 것이고, 구체적인 ''N'' 값에 관한 것이 아니라는 점이다.

두 전자 사이의 정전기적 위치 에너지는 쿨롱의 법칙에 따라 거리의 역수에 비례한다. 전체 시스템의 에너지는 모든 전자 쌍 사이의 상호작용 에너지의 합으로 주어진다. 두 전자의 톰슨 문제 해는 두 전자가 원점에서 가능한 멀리 떨어진 반대편에 위치할 때 얻어진다.

2. 1. 쿨롱의 법칙과 에너지

두 전자 사이의 정전기적 위치 에너지는 쿨롱의 법칙에 따라 거리의 역수에 비례한다. 전체 시스템의 에너지는 모든 전자 쌍 사이의 상호작용 에너지의 합으로 주어진다. 두 전자의 톰슨 문제 해는 두 전자가 원점에서 가능한 멀리 떨어진 반대편에 위치할 때 얻어진다.

2. 2. 최소화 문제

3. 알려진 해

수학적으로 정확한 최소 에너지 구성은 극소수의 경우에서만 엄밀하게 확인되었다.^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

''N'' = 1의 경우, 해는 자명하다. 단일 전자는 단위 구의 표면상의 어느 지점에나 위치할 수 있다. 전자의 전하는 다른 전하원에 의한 전기장의 영향을 받지 않으므로 구성의 총 에너지는 0으로 정의된다.

''N'' = 2의 경우, 최적의 구성은 대척점에 있는 전자로 구성된다.

''N'' = 3의 경우, 전자는 임의의 대원 주위에 있는 정삼각형의 꼭짓점에 위치한다.^[3]

''N'' = 4의 경우, 전자는 정사면체의 꼭짓점에 위치한다.

''N'' = 5의 경우, 전자는 삼각 이중뿔의 꼭짓점에 위치한다.^[4]

''N'' = 6의 경우, 전자는 정팔면체의 꼭짓점에 위치한다.^[5]

''N'' = 12의 경우, 전자는 정이십면체의 꼭짓점에 위치한다.^[6]

''N'' = 4, 6, 12개의 전자에 대한 톰슨 문제의 기하학적 해는 플라톤 다면체이다. ''N'' = 8 및 20의 수치해는 정육면체와 십이면체의 정규 볼록 다면체 구성이 아니다.^[7]

3. 1. 기타 해

N = 8, 20인 경우, 톰슨 문제의 해는 정다면체가 아니다.^[7] N = 8의 경우 정육면체 형태가 아니며, N = 20의 경우 십이면체 형태가 아니다.^[7]

N이 커질수록 해는 더 복잡해지며, 일반적으로 수치해석을 통해 구한다.

4. 일반화

입자 간의 임의의 포텐셜에 의해 상호작용하는 입자의 바닥 상태에 대해서도 질문할 수 있다.

수학적으로 엄밀하게 말하면, ''f''를 감소하는 실수 값 함수라고 하고, 에너지 작용소를 다음과 같이 정의한다.

: $\sum_{i < j} f(|x_i-x_j|).$

전통적으로 $f(x)=x^{-\alpha}$ 를 고려하며, 이는 리즈(Riesz) $\alpha$ -커널이라고도 알려져 있다. 적분 가능한 리즈 커널에 대해서는 1972년 Landkof의 연구를 참조하라.^[8] 적분 불가능한 리즈 커널에 대해서는 양귀비 씨앗 베이글 정리가 성립하며, 2004년 Hardin과 Saff의 연구를 참조하라.^[9] 주목할 만한 경우로는 다음이 있다.^[10]

''α'' = ∞, Tammes 문제 (패킹);
''α'' = 1, 톰슨 문제;
''α'' = 0, 거리의 곱을 최대화하는 문제로, 최근에는 Whyte의 문제로 알려져 있다;
''α'' = −1: 최대 평균 거리 문제.

또한, 더 높은 차원의 구면 상의 ''N''개의 점의 구성을 고려할 수도 있다. 구면 디자인을 참조하라.

입자 간의 포텐셜이 임의의 형태로 주어질 때 기저 상태를 고려할 수도 있다. 수학적으로 공식적으로 말하면, ''f''를 실숫값 감소 함수로 하고, 전체 에너지를

\sum_{i < j} f(|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|)

로 한다.

전통적으로

f(x)=x^{-\alpha}

(리스의

\alpha

-커널)를 생각하는 경우가 많다. 적분 가능한 리스 커널에 대해서는 문헌^[23]을 참조할 것. 또한 적분 불가능한 리스 커널에 대해서는 양귀비 씨앗 베이글 정리/Poppy-seed bagel theorem^영어이 성립한다^[24].

유명한 경우는

''α'' → ∞로 할 때: "구면 상의 두 점 간의 거리의 최댓값이 최소가 되는 배치를 구하는 문제"로 해석한다. Tammes 문제/Tammes problem^영어으로 알려져 있다.
''α'' = 1일 때: 톰슨 문제.

''α'' = 0일 때:

f(x)= \ln \left( \frac{1}

\right)로 해석한다. Whyte's problem으로 알려져 있다.

고차원 공간에서의 ''N''개의 점 배치를 생각할 수도 있다. 구 디자인/구 디자인^영어을 참조.

4. 1. 리스 커널

일반화된 톰슨 문제에서는 쿨롱 포텐셜 대신 리스 커널을 사용한다.^[23] 리스 커널은

f(x)=x^{-\alpha}

형태로 정의되며,

\alpha

값에 따라 다양한 문제가 정의된다.^[24]

''α'' → ∞: 구면 상의 두 점 간의 거리의 최댓값이 최소가 되는 배치를 찾는 문제로, Tammes 문제/Tammes problem^영어로 알려져 있다.
''α'' = 1: 톰슨 문제.
''α'' = 0: $f(x)= \ln \left( \frac{1}$

\right)로 해석되며, Whyte 문제/Whyte's problem^영어로 알려져 있다.

고차원 공간에서의 ''N''개의 점 배치 문제는 구 디자인/spherical design^영어을 참고하라.

4. 2. 고차원 공간

톰슨 문제는 3차원 구면뿐 아니라 고차원 공간으로 확장될 수 있다.^[23] spherical design과 관련이 있다.^[23]

5. 해법 알고리즘

톰슨 문제에는 여러 알고리즘이 적용되었다. 2000년 이후에는 에너지 함수에 적용되는 지역 최적화 방식이 주를 이루었으며, 랜덤 워크 방식도 등장했다.^[10] 제한된 전역 최적화, 최급 강하법, 랜덤 워크, 유전자 알고리즘 등이 사용되었다.^[10] 각 ''N''개의 전자 사례에 대한 전역적인 정전기적 위치 에너지를 최소화하는 것이 목표이지만, 몇몇 알고리즘 시작 사례가 흥미롭다.

5. 1. 최적화 알고리즘

톰슨 문제에는 여러 알고리즘이 적용되었다. 2000년 이후에는 에너지 함수에 적용되는 지역 최적화 방식이 주를 이루었으며, 랜덤 워크 방식도 등장했다.^[10] 제한된 전역 최적화, 최급 강하법, 랜덤 워크, 유전자 알고리즘 등이 사용되었다.^[10] 각 ''N''개의 전자 사례에 대한 전역적인 정전기적 위치 에너지를 최소화하는 것이 목표이지만, 몇몇 알고리즘 시작 사례가 흥미롭다.

5. 2. 초기 배치

구 표면에 전자를 무작위로 배치하면 예상되는 전역 에너지는

U_{\text{rand}}(N)=\frac{N(N-1)}{2}

로 주어지며, 이는 톰슨 문제 해의 에너지보다 크다.^[11] 여기서 ''N''은 전자의 개수를 나타내는 변수이다.

U_{\text{rand}}(N) < U_{\text{shell}}(N)

관계가 성립한다.^[11]

''N''번째 톰슨 문제 해의 에너지에 ''N''을 더하면, 구의 원점에 전자를 포함하는

(N+1)

번째 배치의 에너지를 얻을 수 있다. 즉,

U_0(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N

이다.^[11] 따라서

U_{\text{Thom}}(N)

을 알면

U_0(N+1)

도 정확히 알 수 있다.^[11]

일반적으로

U_0(N+1)

은

U_{\text{Thom}}(N+1)

보다 크지만,

U_{\text{shell}}(N+1)

및

U_{\text{rand}}(N+1)

보다는 톰슨 해에 더 가깝다.^[11] 전하 중심 배치는 다른 두 전하 구성보다 톰슨 문제 해에 도달하기 위한 에너지 격차가 더 작다.^[11]

6. 다른 과학 문제와의 관계

톰슨 문제는 J. J. 톰슨의 건포도 푸딩 모형에서 양전하 배경이 없을 때 발생하는 문제이다.^[12]^[25] 실험적 증거에 의해 건포도 푸딩 모형은 완전한 원자 모형으로 받아들여지지 않게 되었지만, 톰슨 문제의 수치적 해에서 발견된 불규칙성은 주기율표 전체에서 나타나는 원자의 전자 껍질 채움과 관련이 있는 것으로 밝혀졌다.^[14]^[27]

톰슨 문제는 전자 방울과 폴 트랩(사중극 이온 트랩)에 갇힌 액체 금속 방울의 표면 정렬 등 다른 물리적 모델 연구에도 영향을 미쳤다. 일반화된 톰슨 문제는 구형 바이러스 껍질을 구성하는 단백질 서브유닛 배열, ''콜로이도솜''의 콜로이드 입자 배열, 탄소 원자의 풀러렌 패턴, 원자가 껍질 전자쌍 반발 이론(VSEPR 이론) 등 다양한 분야에서 응용된다. 중심에 큰 단극자가 있는 초전도 금속 껍질에서 저온에서 형성되는 아브리코소프 와동(양자 와류)은 장거리 로그 상호 작용의 한 예이다.

J. J. 톰슨 경은 "원자에 대해 발견된 어떤 사실도 사소할 수 없으며, 물리 과학의 발전을 가속화하는 데 실패할 수 없습니다. 자연 철학의 대부분은 원자의 구조와 메커니즘의 결과이기 때문입니다."라고 말했다.^[13]^[26]

6. 1. 원자 모형

톰슨 문제는 J. J. 톰슨의 건포도 푸딩 모형에서 양전하 배경이 없을 때 발생하는 문제이다.^[12]^[25] 실험적 증거에 의해 건포도 푸딩 모형은 완전한 원자 모형으로 받아들여지지 않게 되었지만, 톰슨 문제의 수치적 해에서 발견된 불규칙성은 주기율표 전체에서 나타나는 원자의 전자 껍질 채움과 관련이 있는 것으로 밝혀졌다.^[14]^[27]

톰슨 문제는 전자 방울과 폴 트랩에 갇힌 액체 금속 방울의 표면 정렬 등 다른 물리적 모델 연구에도 영향을 미쳤다. 일반화된 톰슨 문제는 구형 바이러스 껍질을 구성하는 단백질 서브유닛 배열, ''콜로이도솜''의 콜로이드 입자 배열, 탄소 원자의 풀러렌 패턴, VSEPR 이론 등 다양한 분야에서 응용된다. 중심에 큰 단극자가 있는 초전도 금속 껍질에서 저온에서 형성되는 아브리코소프 와동은 장거리 로그 상호 작용의 한 예이다.

J. J. 톰슨 경은 "원자에 대해 발견된 어떤 사실도 사소할 수 없으며, 물리 과학의 발전을 가속화하는 데 실패할 수 없습니다. 자연 철학의 대부분은 원자의 구조와 메커니즘의 결과이기 때문입니다."라고 말했다.^[13]^[26]

6. 2. 전자 껍질 채움

실험적 증거로 인해 톰슨의 건포도 푸딩 모형은 완전한 원자 모형으로 받아들여지지 않았지만, 톰슨 문제의 수치적 에너지 해에서 관찰된 불규칙성은 주기율표 전체에서 자연적으로 발생하는 원자의 전자 껍질 채움에 해당한다.^[14]^[27] 톰슨 문제는 균일한 양전하 배경이 없는 J. J. 톰슨의 건포도 푸딩 모형의 자연스러운 결과이다.^[12]^[25]

6. 3. 응용 분야

톰슨 문제는 전자 방울^[14]^[27], 폴 트랩(사중극 이온 트랩)^[27] 내 액체 금속 방울의 표면 정렬 등^[14] 다양한 물리적 모델 연구에 응용된다. 또한, 구형 바이러스 껍질을 구성하는 단백질 서브유닛의 배열을 결정하는 데에도 일반화된 톰슨 문제가 발생한다.^[14]^[27] 이 경우 "입자"는 껍질에 배열된 단백질 서브유닛의 클러스터를 의미한다.^[14]^[27]

다른 응용 사례로는 약물, 영양소 또는 살아있는 세포와 같은 활성 성분을 캡슐화하기 위해 제안된 ''콜로이도솜''의 콜로이드 입자의 규칙적인 배열,^[14] 탄소 원자의 풀러렌 패턴,^[14]^[27] 원자가 껍질 전자쌍 반발 이론(VSEPR 이론)^[14]^[27] 등이 있다. 중심에 큰 단극자가 있는 초전도 금속 껍질에서 저온에서 형성되는 아브리코소프 와동은 장거리 로그 상호 작용의 예시로 볼 수 있다.^[14]^[27]

7. 최적 에너지 구성

wikitable

N	$U_{\textrm{Thom}}$	대칭	\left>\sum \mathbf{r}_i \right\|	$v_3$	$v_4$	$v_5$	$v_6$	$v_7$	$v_8$	$e$	$f_3$	$f_4$	$\theta_1$	동등 다면체
2	0.500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	이각형
3	1.732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	삼각형
4	3.674234614	$T_d$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	사면체
5	6.474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	삼각 이중뿔
6	9.985281374	$O_h$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	팔면체
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	오각 이중뿔
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	정사각 반각기둥
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	삼각증대 삼각기둥
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	자이로연장 정사각 이중뿔
11	40.596450510	$C_{2v}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	변축소 이코사헤드론
12	49.165253058	$I_h$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	이코사헤드론 (측지 구 {3,5+}_1,0)
13	58.853230612	$C_{2v}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	자이로연장 육각 이중뿔
15	80.670244114	$D_3$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°	사면체 감소 십이면체
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	이중자이로연장 오각 이중뿔
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	$T_d$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	$D_3$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	스너브 큐브
25	243.812760299	$C_s$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	$C_2$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	$D_3$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	$D_2$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	$I_h$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	오각십이면체 (측지 구 {3,5+}_1,1)
33	440.204057448	$C_s$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_2$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	$C_2$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_2$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
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38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	$T_d$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	$O_h$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	$D_3$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	$C_s$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_3$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	$D_3$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	$C_3$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°

7. 1. 대칭성

톰슨 문제에서 최소 에너지 구성은 특정한 대칭성을 갖는 경우가 많다. 다음 표는 전하 개수(

N

), 에너지(

U_{\textrm{Thom}}

또는

E_1

), 쇤플리스 표기법으로 표시되는 대칭 유형(3차원 점군 참조), 전하 위치 벡터 합(

\left| \sum \mathbf{r}_i \right|

), 꼭짓점, 모서리, 면의 수, 최소 각도, 동등 다면체 정보를 담고 있다.^[15]^[28]

N	$U_{\textrm{Thom}}$	대칭	\left>\sum \mathbf{r}_i \right\|	$v_3$	$v_4$	$v_5$	$v_6$	$v_7$	$v_8$	$e$	$f_3$	$f_4$	$\theta_1$	동등 다면체
2	0.500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	이각형
3	1.732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	삼각형
4	3.674234614	$T_d$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	사면체
5	6.474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	삼각 이중뿔
6	9.985281374	$O_h$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	팔면체
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	오각 이중뿔
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	정사각 반각기둥
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	삼각증대 삼각기둥
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	자이로연장 정사각 이중뿔
11	40.596450510	$C_{2v}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	변축소 이코사헤드론
12	49.165253058	$I_h$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	이코사헤드론 (측지 구 {3,5+}_1,0)
13	58.853230612	$C_{2v}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	자이로연장 육각 이중뿔
15	80.670244114	$D_3$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°	사면체 감소 십이면체
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	이중자이로연장 오각 이중뿔
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	$T_d$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	$D_3$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	스너브 큐브
25	243.812760299	$C_s$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	$C_2$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	$D_3$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	$D_2$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	$I_h$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	오각십이면체 (측지 구 {3,5+}_1,1)
33	440.204057448	$C_s$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_2$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	$C_2$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_2$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	$T_d$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	$O_h$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	$D_3$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	$C_s$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_3$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	$D_3$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	$C_3$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	$C_{2v}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	1	27.836°

대부분의 경우, 전하 위치 벡터의 합, 즉 전기 쌍극자 모멘트는 0이다. 점 집합의 볼록 껍질로 형성된 다면체는 ''N'' = 4

7. 2. 다면체 표현

톰슨 문제에서 전자의 배치를 꼭짓점으로 하는 다면체를 통해 해를 분석할 수 있다. 다음 표는 구성 점(전하)의 개수(

N

), 에너지(

U_{\textrm{Thom}}

또는

E_1

), 대칭 유형, 전하 위치 벡터 합, 꼭짓점, 모서리, 면의 수, 최소 각도, 동등 다면체 정보를 나타낸다.^[15]^[28]

대칭 유형은 쇤플리스 표기법으로 표시되며, 대부분의 경우 위치 벡터 합은 0이 되어 전기 쌍극자 모멘트가 0이 된다. 또한, 점의 볼록 껍질로 형성된 다면체를 고려하며, 이 경우 모서리 길이는 일반적으로 같지 않다.

N

= 2, 3, 4, 6, 12를 제외하면, 볼록 껍질은 표에 나열된 다면체와 위상수학적으로 동등하다.

N	$U_{\textrm{Thom}}$	대칭	\left>\sum \mathbf{r}_i \right\|	$v_3$	$v_4$	$v_5$	$v_6$	$v_7$	$v_8$	$e$	$f_3$	$f_4$	$\theta_1$	동등 다면체
2	0.500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	이각형
3	1.732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	삼각형
4	3.674234614	$T_d$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	사면체
5	6.474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	삼각 이중뿔
6	9.985281374	$O_h$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	팔면체
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	오각 이중뿔
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	정사각 반각기둥
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	삼각증대 삼각기둥
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	자이로연장 정사각 이중뿔
11	40.596450510	$C_{2v}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	변축소 이코사헤드론
12	49.165253058	$I_h$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	이코사헤드론 (측지 구 {3,5+}_1,0)
13	58.853230612	$C_{2v}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	자이로연장 육각 이중뿔
15	80.670244114	$D_3$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°	사면체 감소 십이면체
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	이중자이로연장 오각 이중뿔
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	$T_d$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	$D_3$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	스너브 큐브
25	243.812760299	$C_s$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	$C_2$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	$D_3$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	$D_2$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	$I_h$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	오각십이면체 (측지 구 {3,5+}_1,1)
33	440.204057448	$C_s$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_2$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	$C_2$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_2$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	$T_d$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	$O_h$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	$D_3$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	$C_s$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_3$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	$D_3$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	$C_3$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°

참조

_[1] 논문 On the Structure of the Atom: an Investigation of the Stability and Periods of Oscillation of a number of Corpuscles arranged at equal intervals around the Circumference of a Circle; with Application of the Results to the Theory of Atomic Structure http://www.cond-mat.[...] 1904-03
_[2] 논문 Mathematical Problems for the Next Century 1998
_[3] 논문 Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom http://eudml.org/doc[...]
_[4] arXiv The 5 electron case of Thomson's Problem
_[5] 논문 The minimum of potential energy of a system of point charges
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