정체점 흐름

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1. 개요
2. 고체 표면이 없는 정체점 흐름
- 2.1. 일반적인 3차원 속도장
  - 2.1.1. 평면 정체점 흐름
  - 2.1.2. 축대칭 정체점 흐름
- 2.2. 반경 방향 정체 흐름
3. 하이멘츠 흐름 (Hiemenz flow)
- 3.1. 이동하는 벽면을 가진 정체점 흐름
- 3.2. 경사진 정체점 흐름 (Oblique stagnation point flow)
4. 호만 흐름 (Homann flow)
- 4.1. 흡입/주입이 있는 호만 흐름
5. 평면 역류 (Plane counterflows)
참조

1. 개요

정체점 흐름은 두 흐름이 충돌하여 정체면을 형성하는 현상을 설명하며, 고체 표면이 없는 경우와 하이멘츠 흐름, 호만 흐름, 평면 역류 등 다양한 형태로 나타난다. 하이멘츠 흐름은 고체 표면이 존재할 때 발생하는 평면 정체점 흐름을, 호만 흐름은 축대칭 정체점 흐름을 나타내며, 평면 역류는 분사 제트의 충돌과 같이 정체점을 중심으로 흐름이 형성되는 경우를 다룬다. 이러한 흐름들은 유체 역학 연구 및 다양한 공학 분야에서 중요한 개념으로 활용된다.

2. 고체 표면이 없는 정체점 흐름

두 개의 흐름(2차원 또는 축대칭)이 서로 충돌하면 정체면이 형성되고, 유입되는 흐름은 접선 방향으로 바깥쪽으로 전환된다. 따라서 정체면에서 이 면에 수직인 속도 성분은 0이지만, 접선 성분은 0이 아니다. 정체점 근처에서는 속도장에 대한 국소적 설명을 할 수 있다.^[1]

2. 1. 일반적인 3차원 속도장

정체점 근처의 속도장은 좌표에 대한 선형 의존성을 가지며, 이는 데카르트 좌표계

(x, y, z)

에서 속도 성분

(v_x, v_y, v_z)

를 사용하여 다음과 같이 설명할 수 있다.^[1]

:

v_x = \alpha x, \quad v_y = \beta y, \quad v_z = \gamma z

여기서

(\alpha, \beta, \gamma)

는 변형률(Strain rate)이라고 하는 상수(또는 시간에 따라 변하는 함수)이다. 세 변형률은 연속 방정식에 의해

\alpha + \beta + \gamma = 0

을 만족해야 하므로, 세 상수 중 두 개만 독립적이다.

\gamma < 0 \leq \alpha

라고 가정하면, 흐름은

z

방향의 정체점을 향하고

x

방향의 정체점에서 멀어진다. 일반성을 잃지 않고

\beta \geq \alpha

라고 가정할 수 있다. 유동장은 다음의 단일 매개변수를 기반으로 여러 유형으로 분류될 수 있다.^[1]

:

\lambda = \frac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta}

2. 1. 1. 평면 정체점 흐름

두 하천이 서로 충돌하면 정체 평면이 생성되어, 들어오는 하천이 접선 방향으로 바깥쪽으로 향하게 된다. 정체 평면에서 이 평면에 수직인 속도 성분은 0이지만, 접선 성분은 0이 아니다. 정체점 근처에서는 속도장에 대한 국소적 설명을 할 수 있다.

2차원 정체점 흐름은

\beta=0\, (\lambda=1)

인 경우에 해당한다. 유동장은 다음과 같이 표현된다.

:

v_x=kx, \quad v_z=-kz

여기서

k=\alpha=-\gamma>0

이다. 이 유동장은 1934년 G. I. 테일러가 처음 연구했다.^[2] 실험실에서는 네 개의 밀 장치를 사용하여 이러한 유동장을 생성하지만, 난류에서도 흔히 관찰된다.

2. 1. 2. 축대칭 정체점 흐름

두 하천이 서로 충돌하면 정체 평면이 생성되어 들어오는 하천이 접선 방향으로 바깥쪽으로 방향이 전환된다. 따라서 정체 평면에서 해당 평면에 수직인 속도 성분은 0인 반면 접선 성분은 0이 아니다. 정체점 근처에서는 속도 장에 대한 지역적 설명이 설명될 수 있다.^[1]

축대칭 정체점 흐름은 유동장을 원통 좌표계

(r,\theta,z)

에서 속도 성분

(v_r,0,v_z)

를 사용하여 다음과 같이 간단하게 설명할 수 있다.^[1]

:

v_r=kr, \quad v_z=-2kz

여기서

k=\alpha=\beta=-\gamma/2>0

로 둔다.^[1]

2. 2. 반경 방향 정체 흐름

반경 방향 정체 흐름에서는 정체점 대신 정체 원이 있으며, 정체 평면은 정체 원통으로 대체된다.^[3]^[4]^[5] 반경 방향 정체 흐름은 다음과 같이 원통 좌표계

(r,z)

와 속도 성분

(v_r,v_z)

를 사용하여 설명된다.

:

v_r = -k\left(r - \frac{r_s^2}{ r}\right), \quad v_z = 2kz

여기서

r_s

는 정체 원통의 위치이다.

3. 하이멘츠 흐름 (Hiemenz flow)

하이멘츠 흐름은 고체 표면(

z=0

)에서 발생하는 평면 정체점 흐름으로, 1911년 카를 하이멘츠(Karl Hiemenz)가 처음 기술했다.^[6] 레슬리 하워스(Leslie Howarth)는 이 흐름의 해를 수치적으로 개선했다.^[7] 하이멘츠 흐름은 원통형 물체 주위 흐름의 전방 정체선에서 찾아볼 수 있다.^[8]^[9]

고체 표면은

xy

평면에 있고, 포텐셜 흐름 이론에 따른 유체 운동은 유선 함수

\psi

와 속도 성분

(v_x,0,v_z)

으로 표현된다.

:

\psi = kxz,\quad v_x = kx, \quad v_z = -kz.

정체선은

(x,y,z)=(0,y,0)

이다. 고체 표면에서

v_x

가 0이 아니므로, 이 속도장은 벽면 점착 조건을 만족하지 않는다. 점착 조건을 만족시키기 위해 다음과 같은 형태를 가정한다.

:

\psi = \sqrt{\nu k}x F(\eta), \quad \eta = \frac{z}{\sqrt{\nu/k}}

여기서

\nu

는 동점성 계수이고,

\sqrt{\nu/k}

는 점성 효과가 중요한 특징적인 두께이다. 점성 효과 두께의 일정함은 유체 대류와 점성 확산의 균형 때문이며, 생성된 와도는

\sqrt{\nu/k}

거리까지만 확산된다. 이는 점근 흡입 프로파일 및 폰 카르만 와류와 유사하다.

속도 성분, 압력, 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같다.

:

v_x = kx F', \quad v_z = -\sqrt{\nu k} F, \quad \frac{p_o-p}{\rho} = \frac{1}{2} k^2x^2 + k\nu F' + \frac{1}{2} k\nu F^2

:

F''' + FF'' -F'^2 + 1 =0

경계 조건은

z=0

에서

(v_x,v_z)=(0,0)

,

z\rightarrow \infty

에서

v_x\rightarrow kx

이며, 다음으로 변환된다.

:

F(0)=0, \ F'(0)=0, F'(\infty)=1.

z\rightarrow \infty

에서

v_z

조건은 해의 일부로 얻어진다. 이 문제는 팔크너-스칸 경계층의 특수한 경우이며, 해는 수치 적분으로 얻어진다. 큰

\eta\rightarrow\infty

에 대한 점근적 거동은 다음과 같다.

:

F\sim\eta -0.6479, \quad v_x\sim kx, \quad v_z\sim-k(z-\delta^*), \quad \delta^* = 0.6479 \delta

여기서

\delta^*

는 변위 두께이다.

3. 1. 이동하는 벽면을 가진 정체점 흐름

Rott(1956)는 고체 벽이

x

를 따라 일정한 속도

U

로 이동할 때의 하이멘츠 흐름을 해결했다.^[10] 이 문제는 회전하는 원통 위를 흐르는 유동에서 발생하는 전방 정체점 선 근처의 유동을 설명한다.^[11] 필요한 유선 함수는 다음과 같다.

:

\psi = \sqrt{\nu k}x F(\eta) + U \delta \int_0^\eta G(\eta) d\eta

여기서 함수

G(\eta)

는 다음을 만족한다.

:

G'' + FG' - F'G =0, \quad G(0)=1, \quad G(\infty)=0

위 방정식의 해는

G(\eta) = F''(\eta)/F''(0).

로 주어진다.

3. 2. 경사진 정체점 흐름 (Oblique stagnation point flow)

입사류가 정체선에 수직이지만 비스듬히 접근하는 경우, 외부 흐름은 포텐셜이 아니라 상수 와도

-\zeta_o

를 갖는다. 비스듬한 정체점 흐름에 대한 적절한 유선 함수는 다음과 같다.

:

\psi = kxz + \frac{1}{2}\zeta_o z^2

고체 벽의 존재로 인한 점성 효과는 Stuart (1959),^[12] Tamada (1979)^[13] 및 Dorrepaal (1986)에 의해 연구되었다.^[14] 그들의 접근 방식에서 유선 함수는 다음 형식을 취한다.

:

\psi = \sqrt{\nu k}x F(\eta) + \zeta_o \delta^2 \int_0^\eta H(\eta) d\eta

여기서 함수

H(\eta)

는 다음과 같다.

:

H'' + FH' - F'H =0, \quad H(0)=0, \quad H'(\infty)=1

.

4. 호만 흐름 (Homann flow)

고체 벽이 존재할 때 발생하는 축대칭 정체점 흐름은 호만(1936)에 의해 처음 연구되었다.^[15] 이 흐름의 대표적인 예시는 구를 지나는 유동에서 나타나는 전방 정체점이다.

4. 1. 흡입/주입이 있는 호만 흐름

축대칭 정체점 유동에 대한 해는 폴 A. 리비(1974)^[16](1976)^[17]가 고체 벽이 있는 상황에서 호만(1936)의 연구^[15]를 확장하여, 고체 벽이 자체 평면을 따라 일정한 속도로 이동하고 고체 표면에서 일정한 흡입 또는 주입을 허용하는 경우를 다루었다.

이 문제에 대한 해는 원통 좌표계

(r,\theta ,z)

에서 다음을 도입하여 얻는다.

:

\eta = \frac{z}{\sqrt{\nu/k}}, \quad \gamma = -\frac{V}{2\sqrt{k\nu}}, \quad v_r = kr F'(\eta) + U\cos\theta G(\eta), \quad v_\theta= - U\sin\theta G(\eta), \quad v_z = - 2\sqrt{k\nu} F(\eta)

여기서

U

는 벽의 병진 속도이고

V

는 벽에서의 주입(또는 흡입) 속도이다.

U=0

일 때만 축대칭이다. 압력은 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{p-p_o}{\rho} = - \frac{1}{2} k^2 r^2 - 2k\nu (F^2+F')

나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 축소된다.

:

\begin{align}F'''+ 2FF'' - F'^2 + 1 &=0,\\G'' + 2 F G' - F' G &=0\end{align}

경계 조건은 다음과 같다.

:

F(0)=\gamma, \quad F'(0)=0, \quad F'(\infty)=1, \quad G(0)=1, \quad G(\infty) = 0.

U=V=0

일 때, 고전적인 호만 문제가 복구된다.

5. 평면 역류 (Plane counterflows)

분사 제트에서 나오는 제트류는 포텐셜 이론에 따라 그 사이에 정체점을 생성한다. 정체점 근처의 흐름은 자기 유사 해를 사용하여 연구할 수 있다. 이 설정은 연소 실험에 널리 사용된다.^[18]^[19] 이러한 충돌하는 정체 흐름에 대한 초기 연구는 C.Y. 왕(C.Y. Wang)이 수행하였다.^[18]^[19]

상수 특성을 가진 두 유체가 반대 방향에서 흘러 충돌한다고 가정한다. 두 유체는 섞이지 않고, 경계면( $y=0$ )은 평면이라고 가정한다. 위쪽 유체(접미사 1)와 아래쪽 유체(접미사 2)의 속도는 다음과 같다.

: $u_1 = k_1 x, \quad v_1 = -k_1y, \quad u_2 = k_2 x, \quad v_2 =-k_2y$

여기서 $k_1, \ k_2$ 는 각 유체의 변형률이다. 경계면에서 속도, 접선 응력, 압력은 연속적이어야 한다.

자기 유사 변환을 도입하면,

: $\eta_1 = \sqrt{\frac{\nu_1}{k_1}} y, \quad u_1 = k_1x F_1', \quad v_1 = -\sqrt{\nu_1 k_1} F_1$

: $\eta_2 = \sqrt{\frac{\nu_2}{k_2}} y, \quad u_2 = k_2x F_2', \quad v_2 = -\sqrt{\nu_2 k_2} F_2$

결과 방정식은 다음과 같다.

: $F_1''' + F_1F_1'' -F_1'^2 + 1 =0, \quad \frac{p_{o1}-p_1}{\rho_1} = \frac{1}{2} k_1^2x^2 + k_1\nu_1 F_1' + \frac{1}{2} k_1\nu_1 F_1^2$

: $F_2''' + F_2F_2'' -F_2'^2 + 1 =0, \quad \frac{p_{o2}-p_2}{\rho_2} = \frac{1}{2} k_2^2x^2 + k_2\nu_2 F_2' + \frac{1}{2} k_2\nu_2 F_2^2.$

정체 평면에서 멀리 떨어진 곳의 경계 조건은 다음과 같다.

: $F_1(0)=0, \quad F_1'(\infty)=1, \quad F_2(0)=0, \quad F_2'(-\infty)=1.$

$\eta=0$ 에서 접선 속도( $u_1=u_2$ ), 접선 응력( $\rho_1\nu_1 \partial u_1/\partial y=\rho_2\nu_2 \partial u_2/\partial y$ ), 압력( $p_1=p_2$ )은 연속적이다. 따라서,

: $\begin{align}k_1 F_1'(0)&=k_2 F_2'(0),\\\rho_1 \sqrt{\nu_1 k_1^3} F_1''(0)&= \rho_2 \sqrt{\nu_2 k_2^3} F_2''(0),\\p_{o1}-\rho_1\nu_1 k_1 F_1'(0)&= p_{o2}-\rho_2\nu_2 k_2 F_2'(0).\end{align}$

여기서 $\rho_1 k_1^2 = \rho_2 k_2^2$ 가 사용된다. 흐름을 지배하는 두 개의 매개변수는 다음과 같다.

: $\Lambda = \frac{k_1}{k_2} = \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{1/2}, \quad \Gamma = \frac{\nu_2}{\nu_1}$

경계 조건은 다음과 같이 주어진다.

: $F_1'(0)=\Lambda F_2'(0), \quad F_1''(0)= \sqrt{\frac{\Gamma}{\Lambda}}F_2''(0)$ .

참조

_[1] 논문 Stretched vortices–the sinews of turbulence; large-Reynolds-number asymptotics 1994
_[2] 논문 The formation of emulsions in definable fields of flow 1934
_[3] 논문 Axisymmetric stagnation flow on a cylinder 1974
_[4] 논문 Exact vortex solutions of the Navier–Stokes equations with axisymmetric strain and suction or injection 2009
_[5] 논문 Steady axisymmetric vortices in radial stagnation flows 2021
_[6] 간행물 Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder 1911
_[7] 간행물 On the calculation of steady flow in the boundary layer near the surface of a cylinder in a stream AERONAUTICAL RESEARCH COUNCIL LONDON (UNITED KINGDOM) 1934
_[8] 서적 Laminar boundary layers Clarendon Press 1963
_[9] 서적 An introduction to fluid dynamics Cambridge University Press 2000
_[10] 논문 Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point 1956
_[11] 서적 The Navier–Stokes equations: a classification of flows and exact solutions Cambridge University Press 2006
_[12] 논문 The viscous flow near a stagnation point when the external flow has uniform vorticity 2012
_[13] 논문 Two-dimensional stagnation-point flow impinging obliquely on a plane wall 1979
_[14] 논문 An exact solution of the Navier–Stokes equation which describes non-orthogonal stagnation-point flow in two dimensions 1986
_[15] 논문 Der Einfluss grosser Zähigkeit bei der Strömung um den Zylinder und um die Kugel 1936
_[16] 논문 Wall shear at a three-dimensional stagnation point with a moving wall 1974
_[17] 논문 Laminar flow at a three-dimensional stagnation point with large rates of injection 1976
_[18] 논문 Stagnation flow on the surface of a quiescent fluid—an exact solution of the Navier–Stokes equations 1985
_[19] 논문 Impinging stagnation flows 1987

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