나비에-스토크스 방정식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

나비에-스토크스 방정식은 유체 흐름을 설명하는 데 사용되는 편미분 방정식으로, 날씨, 해류, 항공기 설계 등 다양한 분야에서 활용된다. 이 방정식은 유체가 연속체이고 상대론적 속도로 움직이지 않는다고 가정하며, 비디오 게임에서도 자연 현상을 모델링하는 데 사용된다. 나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 표현되며, 속도, 밀도, 압력, 점성 계수 등의 변수를 포함한다. 이 방정식은 뉴턴의 운동 방정식에 기반하며, 가속도와 유체에 작용하는 힘 사이의 관계를 나타낸다. 비선형성을 가지며, 난류의 주요 원인이 되기도 한다. 방정식을 단순화하기 위해 비압축성 유동, 점성률 일정 등의 가정을 사용하며, 수치 시뮬레이션을 통해 근사 해를 구한다. 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성과 매끄러움은 아직 증명되지 않은 밀레니엄 문제 중 하나이다.

더 읽어볼만한 페이지

난류 - 난류 (역학)
난류는 유체의 불규칙하고 무작위적인 운동 상태로, 일상생활과 공학 등 다양한 분야에서 관찰되며 여러 특징을 설명하기 위한 연구가 진행 중이다.
난류 - 청천난류
청천난류는 맑은 날씨에 발생하는 난류 현상으로, 예측이 어렵고 항공기 안전을 위협하며, 고도 6,000m에서 12,000m 사이 상층 대기에서 주로 발생하고, 탐지 기술 개발과 조종사의 대비가 중요하며, 항공 사고의 원인이 되기도 하여 대한민국에서도 관련 연구와 투자가 진행 중이다.
유체역학 방정식 - 베르누이 방정식
베르누이 방정식은 유체역학에서 유체의 속도, 압력, 높이 사이의 관계를 나타내며, 비압축성, 비점성, 정상류 조건에서 유선상 에너지 보존을 설명하고 항공기 양력 발생 등 다양한 분야에 응용되지만 실제 유체의 점성 등의 영향으로 적용에 한계가 있다.
유체역학 방정식 - 크리핑 유동
크리핑 유동은 낮은 레이놀즈 수에서 점성력이 관성력보다 우세하여 끈적한 저항에 의해 유체의 움직임이 지배되는 흐름으로, 스토크스 방정식으로 기술되며 순간성, 시간 가역성과 같은 특징을 갖는다.
전산유체역학 - 전산 유체 역학
전산 유체 역학(CFD)은 컴퓨터를 사용하여 유체 흐름을 해석하는 학문으로, 나비에-스토크스 방정식과 같은 편미분 방정식을 이산화하여 수치적으로 풀이하며, 다양한 이산화 기법과 난류 모델링을 통해 여러 산업 분야에서 활용된다.
전산유체역학 - 경계요소법
경계요소법은 편미분 방정식을 경계 적분 방정식으로 변환하여 문제를 해결하는 수치 해석 기법이며, 경계면만 이산화하여 계산 자원이 효율적이고 무한 영역 문제를 다룰 수 있으며, 파동 전파 문제 등 다양한 공학 분야에 응용된다.

나비에-스토크스 방정식
개요
명칭	나비에-스토크스 방정식
영어 명칭	Navier–Stokes equations
설명	점성을 가진 유체 물질의 운동을 설명하는 방정식
관련 분야	유체 역학
구성 관계	질량 보존 법칙, 운동량 보존 법칙, 에너지 보존 법칙, 상태 방정식
역사
개발자	클로드루이 나비에 조지 가브리엘 스토크스
수학적 특징
형식	비선형 편미분 방정식
해의 존재	일반적인 해의 존재 및 유일성 증명은 아직 미해결 문제
밀레니엄 문제	'나비에-스토크스 방정식의 존재성과 매끄러움' 문제는 밀레니엄 문제 중 하나
응용
적용 분야	항공 우주 공학, 기상학, 해양학, 산업 등 다양한 분야의 유체 흐름 해석
관련 과학자
과학자	아이작 뉴턴 조지 가브리엘 스토크스 앙리 나비에 오귀스탱 루이 코시 로버트 훅 다니엘 베르누이

2. 활용

나비에-스토크스 방정식은 날씨 모델, 해류, 관에서 유체흐름, 날개 주변의 유체흐름, 은하 안에서 별들의 움직임 등을 설명하는 데 사용될 수 있다. 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관 내의 혈류, 오염물질의 확산 등을 연구하는 데 사용되고 있다.

나비에-스토크스 방정식은 연구 대상 유체가 연속체이며 상대론적 속도로 움직이지 않는다고 가정한다. 만약, 문제의 크누센 수가 큰 경우 볼츠만 방정식이 적합한 대체 방정식이 될 수 있다.^[28] 그렇지 않으면 분자 동역학 또는 다양한 하이브리드 방법을 사용해야 할 수 있다.^[29]

나비에-스토크스 방정식은 비디오 게임에서 다양한 자연 현상을 모델링하기 위해 광범위하게 사용된다. 1999년, Stam은 1968년의 나비어-스토크스 해법과 1992년에 처음 제안된 무조건 안정적인 반라그랑주 이류 기법을 결합하여 안정적인 유체 시뮬레이션을 제안했다.^[46]

3. 공식

나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 쓰이지만, 아인슈타인 표기법을 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.^[7]

: $\rho \left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_k \frac{\partial u_i}{\partial x_k}\right) = - \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial }{\partial x_k}\left[\mu \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+ \frac{\partial u_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ik} \frac{\partial u_l}{\partial x_l}\right)\right] + \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\zeta \frac{\partial u_l}{\partial x_l}\right)+\rho a_i.$

위 식에서 각 기호는 다음을 의미한다.

'''u''': 속도
'''f''': 단위체적당 걸리는 외력
''ρ'': 밀도
''p'': 압력
''ν'': 점성 계수

위 식을 벡터를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\frac{ \partial \boldsymbol{u} }{ \partial t } + ( \boldsymbol{u} \cdot \nabla )\boldsymbol{u} =  \boldsymbol{f - } \frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \triangle \boldsymbol{u}

여기서

\nabla

는 델 (연산자)이고,

\Delta

는 라플라스 연산자이다.

이 방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)에 기반하고 있으며, 좌변은 가속도, 우변은 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타낸다. 방정식의 해는 유속이며, 이는 벡터장으로 표현된다.

코시 운동량 방정식과 다른 모든 연속체 방정식(오일러 방정식과 나비어-스토크스 방정식 포함)의 중요한 특징은 대류 가속도의 존재이며, 이는 공간에 대한 흐름의 가속 효과이다.^[14]

압축성 나비어-스토크스 운동량 방정식은 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor)에 대한 가정에서 유도된다.^[14]

응력은 '''갈릴레이 불변'''이다.
편차 응력(deviatoric stress)은 이 변수에 대해 '''선형'''이다.
유체는 등방성이라고 가정한다.

이러한 가정을 통해 유체에 사용되는 선형 응력 구성 방정식을 얻을 수 있다.^[14]

:

\boldsymbol \sigma = -[ p - \zeta (\nabla\cdot\mathbf{u})] \mathbf I + \mu \left[\nabla\mathbf{u} + ( \nabla\mathbf{u} )^\mathrm{T} - \tfrac23 (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf I\right]

여기서,

$\mathbf{I}$ 는 단위 텐서
$\operatorname{tr} (\boldsymbol \varepsilon)$ 는 변형률 속도 텐서의 트레이스
$\zeta$ 는 체적 점성 계수
$\mu$ 는 동적 점성 계수

가장 일반적인 나비어-스토크스 방정식은 다음과 같다.^[7]

:

\rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla p  + \nabla \cdot \left\{ \mu \left[\nabla\mathbf{u} + ( \nabla\mathbf{u} )^\mathrm{T} - \tfrac23 (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf I\right] \right\} + \nabla[\zeta (\nabla\cdot\mathbf{u})] + \rho\mathbf{a} .

제2 점성 계수

\zeta

를 상수로 가정하고, '''스토크스 가정'''을 사용하면 나비어-스토크스 방정식은 다음과 같이 단순화된다.^[10]^[11]

:

\rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla  p + \nabla \cdot \left\{ \mu \left[\nabla\mathbf{u} + ( \nabla\mathbf{u} )^\mathrm{T} - \tfrac23 (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf I\right] \right\} + \rho\mathbf{a} .

비압축성 유동의 경우, 압력은 유동을 제한하여 유체 요소의 부피가 일정하게 유지되도록 한다. 등적 유동은

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0

인 솔레노이드 속도장을 생성한다.^[13]

비압축성 운동량 나비어-스톡스 방정식은 코시 응력 텐서에 대한 다음 가정에서 유도된다.^[14]

응력은 '''갈릴레이 불변'''이다.
유체는 등방성이라고 가정한다.

이러한 가정을 통해 비압축성 점성 유체에 대한 스톡스 응력 구성 방정식을 얻을 수 있다.^[14]

:

\boldsymbol \tau = \mu \left[\nabla\mathbf{u} +  (\nabla\mathbf{u}) ^\mathrm{T}\right]

이 구성 방정식은 '''뉴턴 점성 법칙'''이라고도 한다.

일정한 점성도를 가진 비압축성 나비어-스톡스 방정식은 다음과 같다.^[17]

:

\frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = \nu \,\nabla^2 \mathbf{u} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{1}{\rho} \mathbf{f}

여기서

\nu = \frac{\mu}{\rho}

는 동점성계수이다.

4. 유도

나비에-스토크스 운동량 방정식은 코시 운동량 방정식의 특수한 형태로 유도될 수 있다. 코시 운동량 방정식은 일반적인 대류 형태에서 다음과 같이 표현된다.^[4]

: $\rho\frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = - \nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol \tau + \rho\,\mathbf{a}$

여기서

$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}$ 는 물질 도함수이며, $\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla$ 로 정의된다.
$\rho$ 는 (질량)밀도이다.
$\mathbf{u}$ 는 유체 속도이다.
$\nabla \cdot \,$ 는 발산이다.
$p$ 는 압력이다.
$t$ 는 시간이다.
$\boldsymbol{\tau}$ 는 2차의 변형률 응력 텐서이다.
$\mathbf{a}$ 는 연속체에 작용하는 체적 가속도를 나타낸다. 예를 들어 중력, 관성 가속도, 정전기적 가속도 등이 있다.

코시 응력 텐서

\boldsymbol{\sigma}

를 점성 항

\boldsymbol{\tau}

(변형률 응력)과 압력 항

-p \mathbf{I}

(체적 응력)의 합으로 설정하면 위의 코시 운동량 방정식을 얻을수 있다.

이 방정식은 질량 보존 법칙을 가정하고, 발산과 기울기의 성질을 사용하여 유도될수 있다. 공간과 시간에 대해 균질 유체의 단위 부피당 질량을 나타내는 질량 연속 방정식(즉, 임의의 유한 부피 ('''V''')에 대한 물질 도함수

\frac{\mathbf{D}}{\mathbf{Dt}}

)을 사용하여 유체 매질에서 속도 변화를 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\frac{\mathbf{D}m}}&={\iiint\limits_V} \left({\frac{\mathbf{D}\rho}} + \rho (\nabla \cdot \mathbf{u})}\right)dV \\\frac{\mathbf{D}\rho}} + \rho (\nabla \cdot{\mathbf{u}})&=\frac{\partial\rho}{\partial t} + ({\nabla \rho}) \cdot{\mathbf{u}} + {\rho}(\nabla \cdot \mathbf{u})= \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot({\rho \mathbf{u}})= 0\end{align}

여기서

$\frac{\mathrm{D}m}{\mathrm{D}t}$ 는 단위 부피당 질량의 물질 도함수(밀도, $\rho$ )이다.
${\iiint \limits_V}(F(x_1, x_2, x_3 ,t))dV$ 는 부피 전체에 대한 적분 (''V'')에 대한 수학적 연산이다.
$\frac{\partial }{\partial t}$ 는 편미분 수학 연산자이다.
$\nabla \cdot \mathbf{u}\,$ 는 유체 속도( $\mathbf{u}$ )의 발산이며, 스칼라장이다.
${\nabla \rho} \,$ 는 밀도( $\rho$ )의 기울기이며, 스칼라장의 벡터 미분이다.

이것은 종종 다음과 같은 보존 형태로 쓰인다.^[4]

:

\frac {\partial}{\partial t} (\rho\,\mathbf{u})+ \nabla \cdot (\rho\,\mathbf{u} \otimes \mathbf{u})= - \nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol \tau + \rho\,\mathbf{a}

여기서

\otimes

는 유체 속도(

\mathbf{u}

)의 외적이다:

\mathbf u \otimes \mathbf u = \mathbf u \mathbf u^{\mathrm T}

나비에-스토크스 방정식과 같은 모든 비상대론적 균형 방정식은 코시 방정식으로 시작하여 구성 방정식을 통해 응력 텐서를 지정하여 유도될 수 있다. 점성과 유체 속도 기울기의 관점에서 변형률(전단) 응력 텐서를 표현하고 일정한 점성을 가정하면 위의 코시 방정식은 아래의 나비어-스토크스 방정식으로 이어진다.

압축성 나비에-스토크스 운동량 방정식은 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor)에 대한 다음 가정에서 유도된다.^[14]

응력은 '''갈릴레이 불변'''이다.
편차 응력(deviatoric stress)은 이 변수에 대해 '''선형'''이다.
유체는 등방성이라고 가정하며, 헬름홀츠 분해에 의해 두 개의 스칼라 라메 파라미터, 제2 점성 계수 $\lambda$ 와 동적 점성 계수 $\mu$ 로 표현될 수 있다.

체적 점성 계수

\zeta

를 도입하면, 열유체공학에서 일반적으로 사용되는 형태의 선형 구성 방정식을 얻는다.^[14]

:

\boldsymbol \sigma = -[ p - \zeta (\nabla\cdot\mathbf{u})] \mathbf I + \mu \left[\nabla\mathbf{u} + ( \nabla\mathbf{u} )^\mathrm{T} - \tfrac23 (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf I\right]

가장 일반적인 나비어-스토크스 방정식은 다음과 같다.

:

\rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla p  + \nabla \cdot \left\{ \mu \left[\nabla\mathbf{u} + ( \nabla\mathbf{u} )^\mathrm{T} - \tfrac23 (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf I\right] \right\} + \nabla[\zeta (\nabla\cdot\mathbf{u})] + \rho\mathbf{a} .

\zeta = 0

으로 설정하는 가정을 '''스토크스 가정'''이라고 한다.^[10] 스토크스 가정을 사용하면 나비어-스토크스 방정식은 다음과 같다.

:

\rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla  p + \nabla \cdot \left\{ \mu \left[\nabla\mathbf{u} + ( \nabla\mathbf{u} )^\mathrm{T} - \tfrac23 (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf I\right] \right\} + \rho\mathbf{a} .

비압축성 유동의 경우, 압력이 유동을 제한하여 유체 요소의 부피가 일정하게 유지되며, 등적 유동은

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0

인 솔레노이드 속도장을 생성한다.^[13]

비압축성 운동량 나비어-스톡스 방정식은 코시 응력 텐서에 대한 다음 가정에서 유도된다.^[14]

응력은 '''갈릴레이 불변'''이다.
유체는 기체와 단순 액체와 마찬가지로 등방성이라고 가정하며, 동점성계수 $\mu$ 로 표현될 수 있다.

:

\boldsymbol \tau = 2 \mu \boldsymbol \varepsilon

여기서

\boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{2} \left( \mathbf{\nabla u} + \mathbf{\nabla u}^\mathrm{T} \right)

는 변형률 텐서의 변화율이다.

이 구성 방정식은 '''뉴턴 점성 법칙'''이라고도 한다.

비압축성 나비어-스톡스 방정식은 다음과 같다.^[17]

:

\frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = \nu \,\nabla^2 \mathbf{u} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{1}{\rho} \mathbf{f}

여기서

\nu = \frac{\mu}{\rho}

는 동점성계수라고 한다.

유체의 질량보존 법칙과 운동량 보존 법칙을 나타내는 연속 방정식^[50]^[51]^[55]^[56]

{{Indent|

\frac{\partial\rho}{\partial t} +\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v}) =0

}}

{{Indent|

\frac{\partial(\rho\boldsymbol{v})}{\partial t} +\operatorname{div}(\rho\boldsymbol{v}\boldsymbol{v})=\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma} +\rho\boldsymbol{g}

}}

을 이용하면, 흐름의 속도장

\boldsymbol{v}

의 물질 미분은

{{Indent|

\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v}=\frac{1}{\rho} \operatorname{div}\boldsymbol{\sigma} +\boldsymbol{g}

}}

으로 유도된다. 여기서,

\rho

는 밀도장,

\boldsymbol{\sigma}

는 응력장,

\boldsymbol{g}

는 유체의 단위 질량당 작용하는 외력장(가속도장)이다.

뉴턴 유체를 가정하면, 응력장이

{{Indent|

\boldsymbol{\sigma} =\left(-p +\chi\Theta \right) \mathbf{1}+\mu\left(\boldsymbol{e} -\frac{2}{3}\, \Theta\, \mathbf{1} \right)= (-p +(\chi -\frac{2}{3}\, \mu)\Theta) \mathbf{1} + \mu\boldsymbol{e}

}}

로 주어진다.

이 형태의 응력장

\boldsymbol{\sigma}

를 이용하면, 속도장

\boldsymbol{v}

의 물질 미분이

{{Indent|

\begin{align}\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v} = &-\frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p+\frac{\mu}{\rho}\Delta\boldsymbol{v}+\frac{\chi +\frac{1}{3}\, \mu}{\rho} \operatorname{grad} \Theta+\frac{\Theta}{\rho} \operatorname{grad}(\chi +\frac{1}{3}\, \mu) \\&+\frac{1}{\rho} \operatorname{grad}(\boldsymbol{v}\cdot \operatorname{grad} \mu)+\frac{1}{\rho} \operatorname{rot}(\boldsymbol{v}\times \operatorname{grad} \mu)

\frac{1}{\rho}\, \boldsymbol{v} \Delta\mu +\boldsymbol{g} \\

\end{align}

}}

로 주어진다. 이 방정식이 '''나비에-스토크스 방정식'''이다. 이 3개^[57]의 연립 편미분 방정식을 풀어 3차원 벡터

\boldsymbol{v}

와 스칼라

p

의 총 4개의 미지 함수의 일반해가 항상 존재하는지(혹은 존재하지 않는 경우가 있는지)를 증명하라는 문제가 「나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움」(밀레니엄 현상 문제 중 하나)이다.

5. 단순화된 방정식

나비에-스토크스 방정식은 비선형성이 강하고 복잡하여 해석적으로 풀기 어려운 경우가 많다.^[50]^[51]^[55] 따라서, 몇 가지 가정을 통해 문제를 단순화하여 해석적 해를 구하거나 수치해석을 용이하게 할 수 있다.^[59] 하지만 단순화된 방정식조차 해석적인 방법으로는 해를 얻을 수 없는 경우가 일반적이며, 해의 존재성과 같은 정성적인 논의^[60]를 넘어서 구체적인 해의 모습을 알기 위해서는 거의 대부분의 경우 수치적인 근사 해법이 필요하다.^[61]^[62]

나비어-스토크스 방정식에 대한 몇몇 해석적 해가 존재한다. 나비어-스토크스 방정식의 비선형 항이 0이 되는 축퇴된 경우의 예로는 푸아죄유 흐름, 쿠에트 흐름, 그리고 진동하는 스토크스 경계층이 있다. 하지만 제퍼리-하멜 흐름, 폰 카르만 와류 흐름, 정체점 흐름, 란다우-스퀘어 제트, 테일러-그린 와동과 같이 완전한 비선형 방정식에 대한 더욱 흥미로운 예시들도 존재한다.^[32]^[33]^[34] 3차원 비압축성 나비어-스토크스 방정식의 시간에 따른 자기유사해는 데카르트 좌표계에서 이차 인수를 갖는 쿠머 함수를 이용하여 나타낼 수 있다.^[35] 압축성 나비어-스토크스 방정식의 경우, 시간에 따른 자기유사해는 폴리트로픽 상태 방정식을 폐쇄 조건으로 사용할 때 이차 인수를 갖는 휘태커 함수가 된다.^[36] 이러한 해석적 해의 존재는 그것들이 안정적임을 의미하지 않는다는 점에 유의해야 한다. 높은 레이놀즈 수에서는 난류가 발생할 수 있다.

추가적인 가정 하에, 구성 요소들을 분리할 수 있다.^[37]

5. 1. 비압축성 유동

밀도가 일정한 비압축성 유동의 경우, 속도장의 발산은 0이 된다.^[63] 즉,

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0

이다. 이는 연속 방정식

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot({\rho \mathbf{u}})= 0

에서 밀도(ρ)가 상수이고 0이 아니라고 가정(

(\rho \neq 0)

)하면,

\rho(\nabla{\cdot}{\mathbf{u}}) = 0

으로 축소되고, 양변을 밀도로 나누면 유도된다. 이러한 속도장의 발산이 0 이라는 조건은, 비압축성 유체의 경우 유속장은 솔레노이드 벡터장 또는 발산이 없는 벡터장이라는 것을 나타낸다.^[14]

비압축성 유동에서는 소리 또는 충격파와 같은 밀도파와 압력파를 배제하므로, 이러한 현상이 중요한 경우에는 이 단순화가 유용하지 않다. 비압축성 유동 가정은 일반적으로 낮은 마하수(약 마하 0.3까지)에서 잘 성립하며, 이는 일반적인 온도에서 공기의 바람을 모델링하는 데 사용된다.^[16]

일정한 점성도를 가진 비압축성 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[17]

\frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = \nu \,\nabla^2 \mathbf{u} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{1}{\rho} \mathbf{f}

여기서

\nu = \frac{\mu}{\rho}

는 동점성계수이다.

각 항의 의미는 다음과 같이 해석될 수 있다(코시 운동량 방정식과 비교).

\overbrace{\vphantom{\frac{}{}}\underbrace{\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}}_{\text{변화}}+\underbrace{\vphantom{\frac{}{}}(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}}_{\begin{smallmatrix}\text{대류}\\\text{가속도}\end{smallmatrix}}}^{\text{관성 (단위 부피)}}=\overbrace{\vphantom{\frac{\partial}{\partial}}\underbrace{\vphantom{\frac{}{}}

\nabla w

}_{\begin{smallmatrix}\text{내부}\\\text{원천}\end{smallmatrix}}+\underbrace{\vphantom{\frac{}{}}\nu \nabla^2 \mathbf{u}}_{\text{확산}}}^{\text{응력의 발산}}+\underbrace{\vphantom{\frac{}{}}\mathbf{g}}_{\begin{smallmatrix}\text{외부}\\\text{원천}\end{smallmatrix}}.

전단응력 발산

\nabla \cdot \boldsymbol{\tau}

는 벡터 라플라시안 항

\mu \nabla^2 \mathbf{u}

로 축소되었다.^[18] 이 라플라시안 항은 한 점에서의 속도와 작은 주변 부피의 평균 속도의 차이로 해석될 수 있다. 이는 뉴턴 유체의 경우 점성이 열전도와 같은 방식으로 ''운동량의 확산''으로 작용한다는 것을 의미한다.

비압축성 나비에-스토크스 방정식은 두 개의 직교 방정식의 합성으로도 표현할 수 있다.

\begin{align}\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} &= \Pi^S\left(-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} + \nu\,\nabla^2\mathbf{u}\right) + \mathbf{f}^S \\\rho^{-1}\,\nabla p &= \Pi^I\left(-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} + \nu\,\nabla^2\mathbf{u}\right) + \mathbf{f}^I\end{align}

여기서

\Pi^S

와

\Pi^I

는 솔레노이드 및 비회전 투영 연산자이고,

\mathbf{f}^S

와

\mathbf{f}^I

는 체적력의 비보존적 및 보존적 부분이다.

5. 2. 점성률이 일정한 유동

점도 μ 와 χ 는 온도와 압력의 함수이며 일정하지 않지만, 점도를 상수로 가정하는 경우에는 점도 기울기를 포함하는 항을 생략할 수 있다. 이 경우, 체적 점도 χ 는 매우 작으므로, χ = 0 이라고 가정하면, 아래와 같은 식이 된다 ('''스토크스 가설''').

:

\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v} =-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p+\nu \Delta\boldsymbol{v} +\frac{\nu}{3} \operatorname{grad} \Theta+\boldsymbol{g}

여기서 ν = μ/ρ 는 동점도이다.

5. 3. 점성률이 일정한 비압축성 유동

점성률이 일정하고 밀도 변화가 없는 유동을 가정하면, 나비에-스토크스 방정식은 가장 단순한 형태가 된다.^[64]^[65] 이 경우의 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v}=-\frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p +\nu \Delta\boldsymbol{v} +\boldsymbol{g}

여기서 는 동점성 계수이다. 각 항은 각각 다음과 같다.

좌변 - 제1항: 시간미분항, 제2항: 이류항(대류항)
우변 - 제1항: 압력항, 제2항: 점성항(확산항), 제3항: 외력항

외력항은 상황에 따라 중력을 비롯한 부력, 표면장력, 전자기력 등이 해당한다.

비압축성 나비어-스토크스 방정식은 미분 대수 방정식이며, 시간에 따라 압력을 명시적으로 진전시키는 메커니즘이 없다는 불편한 특징이 있다.

점성률이 일정한 비압축성 유동에서 레이놀즈 수가 매우 작은 경우, 관성력을 무시하여 방정식을 선형화할 수 있는데, 이를 스토크스 유동 또는 크리프 유동이라고 한다. 이때 비선형인 대류항

( \boldsymbol{v} \cdot \nabla ) \boldsymbol{v}

은 무시할수 있으며, 이때의 방정식을 스토크스 방정식이라고 부른다.^[64]^[65]

점성이 없는 완전 유체의 경우, 나비에-스토크스 방정식은 오일러 방정식으로 단순화된다.^[66]^[67]

비회전성 유동의 경우, 속도 포텐셜을 도입하여 방정식을 단순화할 수 있다.

6. 근사

열전달을 수반하는 흐름에서 온도에 의한 밀도 변화가 크지 않다고 간주하는 근사법을 부시네스크 근사(Boussinesq approximation^영어)라고 한다.^[68] 나비에-스토크스 방정식으로 설명할 수 있는 자연 대류의 한 유형은 레이리-베나르 대류이며, 이는 분석적 및 실험적 접근성 때문에 가장 흔히 연구되는 대류 현상 중 하나이다.

흐름이 주 흐름 방향을 가지며(역류, 재순환 및 박리 현상이 없고), 기하학적 변형이 완만할 때 적용하는 근사법을 경계층 근사라고 한다.

6. 1. 부시네스크 근사

열전달을 수반하는 흐름에서 온도에 의한 밀도 변화가 크지 않다고 간주하는 근사법을 부시네스크 근사(Boussinesq approximation)라고 한다.^[68] 나비에-스토크스 방정식으로 설명할 수 있는 자연 대류의 한 유형은 레이리-베나르 대류이며, 이는 분석적 및 실험적 접근성 때문에 가장 흔히 연구되는 대류 현상 중 하나이다.

6. 2. 경계층 근사

흐름이 주 흐름 방향을 가지며(역류, 재순환 및 박리 현상이 없고), 기하학적 변형이 완만할 때 적용하는 근사법을 경계층 근사라고 한다.

7. 수치 시뮬레이션

나비에-스토크스 방정식의 일반해는 아직까지 알려져 있지 않으며, 해의 존재성과 유일성도 증명되지 않았다.^[50]^[51] 따라서 대부분의 경우 수치해석을 통해 근사적인 해를 구한다.^[69]^[70] 전산유체역학(CFD)에서는 나비에-스토크스 방정식과 연속 방정식, 필요에 따라 에너지 보존 법칙(열대류)이나 맥스웰 방정식(자기유체역학), 상태 방정식 등을 연립하여 수치적으로 풀어 유체의 거동을 예측한다.^[62]^[71]^[72]^[73]

문제 영역을 분할하고 분할된 영역에서 기저 함수를 정의함으로써 지배 방정식의 이산 형태를 유도할 수 있다. 비압축성 흐름의 특징을 반영하여 요소들이 발산이 없어야 한다는 조건을 만족하는 기저 함수를 선택하는 것이 바람직하다. 속도가 주요 관심 변수이지만, 헬름홀츠 정리에 의해 스트림 함수 또는 벡터 퍼텐셜의 존재가 필요하다. 2차원 채널을 가로지르는 스트림 함수 값의 차이, 또는 3차원 채널 주변의 벡터 퍼텐셜의 접선 성분의 선적분을 지정하여 흐름을 결정할 수 있으며, 이는 스토크스 정리에 의해 주어진다.

연속적인 Hermite 유한 요소를 사용하면 판의 처짐 문제에서 사용되는 다양한 삼각형 및 직사각형 요소를 도출할 수 있다. 이러한 요소들은 기울기의 성분으로 도함수를 가지며, 2차원에서 스칼라의 기울기와 회전은 서로 직교한다. 연속적인 판 처짐 요소를 채택하고 도함수 자유도를 바꾸고 부호를 변경하여 다양한 스트림 함수 요소를 생성할 수 있다. 스칼라 스트림 함수 요소의 회전을 취하면 발산이 없는 속도 요소가 생성되며,^[21]^[22] 스트림 함수 요소의 연속성은 속도의 법선 성분이 요소 계면을 가로질러 연속적임을 보장한다.

경계 조건은 무류 표면에서 스트림 함수가 일정하고, 표면에서 미끄럼 없는 속도 조건을 갖도록 적용한다. 열린 채널을 가로지르는 스트림 함수 차이는 흐름을 결정하며, 열린 경계에서는 경계 조건이 필요하지 않지만 일관된 값을 사용할 수 있다. 풀어야 할 대수 방정식은 설정하기 간단하지만 비선형이므로 선형화된 방정식의 반복이 필요하다. 3차원에서도 유사한 고려 사항이 적용되지만, 퍼텐셜의 벡터 특성으로 인해 2차원에서처럼 간단한 관계가 존재하지 않아 확장이 즉각적이지 않다.

유체 흐름을 완전히 설명하기 위해서는 경계 조건(미끄럼 방지, 모세관 표면 등), 질량 보존, 에너지 보존, 상태 방정식 등이 추가로 필요할 수 있다. 이류와 확산 모두에 관련된 현상이므로 쿠랑 수, 확산 수를 모두 만족하도록 시뮬레이션을 수행해야 한다.

8. 성질

8. 1. 비선형성

나비에-스토크스 방정식은 일반적인 경우 비선형 편미분 방정식이며, 거의 모든 실제 상황에서도 비선형으로 남아 있다.^[23]^[24] 비선형성으로 인해 대부분의 문제를 해결하기 어렵거나 불가능하며, 이 방정식이 모델링하는 난류의 주요 원인이 된다.

코시 방정식 및 다른 모든 연속체 방정식(오일러 방정식과 나비어-스토크스 방정식 포함)의 중요한 특징은 대류 가속도의 존재이다. 이는 공간에 대한 흐름의 가속 효과를 의미한다. 개별 유체 입자는 시간 의존적인 가속도를 경험하지만, 흐름장의 대류 가속도는 공간적 효과이며, 노즐에서 속도가 빨라지는 유체가 한 가지 예이다.

비선형성은 대류 가속도 때문인데, 이는 위치에 따른 속도 변화와 관련된 가속도이다. 따라서 난류이든 아니든 모든 대류 흐름에는 비선형성이 포함된다. 대류적이지만 층류(비난류) 흐름의 예로는 점성 유체(예: 기름)가 작은 수렴 노즐을 통과하는 경우를 들 수 있다. 이러한 흐름은 정확하게 풀 수 있는지 여부에 관계없이 종종 철저히 연구하고 이해할 수 있다.^[25] 일차원 흐름이나 스토크스 흐름(또는 크리핑 흐름)과 같은 경우에는 방정식을 선형 방정식으로 단순화할 수 있다.

8. 2. 난류

난류는 많은 유체 흐름에서 볼 수 있는 시간 의존적인 카오스적 거동이다.^[26] 일반적으로 이는 유체 전체의 관성 때문이라고 여겨지며, 레이놀즈 수가 특정 임계값을 넘으면 미세한 섭동이 증폭되어 흐름장은 비정상적인 난류가 된다.^[79]

나비에-스토크스 방정식이 난류를 정확하게 기술하는지는 확실하게 알려진 것은 아니지만,^[26] 난류의 특성을 정확하게 기술한다고 믿어진다.^[80]^[81] 난류에 대한 나비에-스토크스 방정식의 수치 해는 매우 어렵고, 난류 흐름에 포함된 혼합 길이 스케일의 차이가 매우 크기 때문에, 이를 안정적으로 해결하려면 매우 미세한 메시 해상도가 필요하다.^[82]^[83]^[84]^[85]

층류 해석기를 사용하여 난류 흐름을 해결하려는 시도는 일반적으로 시간에 따라 불안정한 해를 초래한다. 이를 해결하기 위해 전산유체역학(CFD) 응용 프로그램에서는 레이놀즈 평균 나비어-스톡스 방정식(RANS)과 같은 시간 평균 방정식을 난류 모델과 함께 사용한다.^[26] 스팔라트-알마라, k–ω, k–ε, SST 모델 등이 RANS 방정식을 닫기 위해 사용되며, 큰 와홀 시뮬레이션(LES)을 사용하여 이러한 방정식을 수치적으로 풀 수도 있다.^[26] LES는 RANS보다 계산 비용이 더 많이 들지만, 더 큰 난류 스케일을 명시적으로 해결하기 때문에 더 나은 결과를 생성한다.

9. 나비에-스토크스 문제

나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성과 매끄러움 문제는 클레이 수학연구소에서 2000년에 발표한 7개의 밀레니엄 문제 중 하나이다. 3차원 나비에-스토크스 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지, 아니면 유한 시간 안에 특이점이 발생하는 해가 존재하는지 증명하는 문제이다. 1934년에 장 르레가 약해의 존재성을 증명했으나, 제한된 조건이 아닌 상황에서 강해의 존재성을 증명하지 못했다. 2차원의 경우 올가 라젠스카야가 완벽히 해결했고, 많은 수학자들이 적절한 조건 하에서 강해의 존재성을 증명했으나, 아직까지 완전한 강해의 존재성은 증명되지 않았다. 2014년 테렌스 타오는 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 경우 유한 시간 안에 폭발하는 해가 존재한다는 것을 보였다.

10. 3차원 표현

이 절의 수식은 편미분에 대한 단일 행 표기법을 사용한다. 예를 들어, ∂_xu는 x에 대한 u의 편미분을, ∂_y²f_θ는 y에 대한 f_θ의 2계 편미분을 의미한다.

2022년 논문에서는 3차원 난류 유체 흐름에 대한 나비에-스토크스 방정식의 비용이 적고, 동적이며, 순환적인 해법을 제시한다. 적절히 짧은 시간 척도에서 난류의 역학은 결정론적이다.^[42]

=== 직교 좌표계 ===

속도 벡터를 u = (u_x, u_y, u_z) (각각 u, v, w로도 표기됨)로 전개하면, 나비에-스토크스 방정식은 세 개의 스칼라 방정식으로 나타낼 수 있다.

x 방향 :

:ρ (∂_tu_x + u_x∂_xu_x + u_y∂_yu_x + u_z∂_zu_x) = -∂_xp + μ (∂_x²u_x + ∂_y²u_x + ∂_z²u_x) + ⅓ μ ∂_x (∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z) + ρg_x

y 방향 :

:ρ (∂_tu_y + u_x∂_xu_y + u_y∂_yu_y + u_z∂_zu_y) = -∂_yp + μ (∂_x²u_y + ∂_y²u_y + ∂_z²u_y) + ⅓ μ ∂_y (∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z) + ρg_y

z 방향 :

:ρ (∂_tu_z + u_x∂_xu_z + u_y∂_yu_z + u_z∂_zu_z) = -∂_zp + μ (∂_x²u_z + ∂_y²u_z + ∂_z²u_z) + ⅓ μ ∂_z (∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z) + ρg_z

여기서 g_x, g_y, g_z는 선택된 좌표계에 대한 중력의 방향에 따라 달라지는 값이며, 체적력으로 고려되었다.

연속 방정식은 다음과 같다.

:∂_tρ + ∂_x(ρu_x) + ∂_y(ρu_y) + ∂_z(ρu_z) = 0

유동이 비압축성일 경우, ρ는 임의의 유체 입자에 대해 변하지 않으며, 그 물질 도함수는 0이 된다. (Dρ/Dt = 0)

연속 방정식은 다음으로 축소된다.

:∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z = 0

따라서, 나비에-스톡스 방정식의 비압축성 버전에서는 점성 항의 두 번째 부분이 사라진다.

이 방정식 시스템은 가장 일반적으로 사용되는 형태로, 비선형 편미분 방정식 시스템이기에 해를 구하기 어렵다.

=== 원통 좌표계 ===

데카르트 좌표계 방정식의 변수 변환을 통해 r, φ, z에 대한 운동량 방정식을 얻을 수 있다.^[16]^[43] 원통 좌표계는 대칭성을 이용하여 속도 성분이 사라지도록 선택된다. 축대칭 흐름(u_φ = 0)의 경우 접선 속도가 없고, 나머지 양은 φ와 무관하다고 가정한다.

비압축성 나비어-스토크스 방정식의 원통형 표현은 일반적으로 사용되는 표현 중 하나이다.

=== 구면 좌표계 ===

구면 좌표계에서 r, φ, θ 운동량 방정식은 다음과 같다.^[16] (사용된 규칙에 유의: θ는 극각 또는 공극각^[44], 0 ≤ θ ≤ π)

r 방향:

:ρ (∂_tu_r + u_r∂_ru_r + (u_φ / (r sinθ))∂_φu_r + (u_θ / r)∂_θu_r - (u_φ² + u_θ²) / r) = -∂_rp + μ( (1 / r²)∂_r(r²∂_ru_r) + (1 / (r²sin²θ))∂_φ²u_r + (1 / (r²sinθ))∂_θ(sinθ∂_θu_r) - 2(u_r + ∂_θu_θ + u_θcotθ) / r² - (2 / (r²sinθ))∂_φu_φ) + (1/3)μ∂_r((1 / r²)∂_r(r²u_r) + (1 / (r sinθ))∂_θ(u_θsinθ) + (1 / (r sinθ))∂_φu_φ) + ρg_r

φ 방향:

:ρ (∂_tu_φ + u_r∂_ru_φ + (u_φ / (r sinθ))∂_φu_φ + (u_θ / r)∂_θu_φ + (u_ru_φ + u_φu_θcotθ) / r) = -(1 / (r sinθ))∂_φp + μ((1 / r²)∂_r(r²∂_ru_φ) + (1 / (r²sin²θ))∂_φ²u_φ + (1 / (r²sinθ))∂_θ(sinθ∂_θu_φ) + (2sinθ∂_φu_r + 2cosθ∂_φu_θ - u_φ) / (r²sin²θ)) + (1/3)μ(1 / (r sinθ))∂_φ((1 / r²)∂_r(r²u_r) + (1 / (r sinθ))∂_θ(u_θsinθ) + (1 / (r sinθ))∂_φu_φ) + ρg_φ

θ 방향:

: ρ (∂_tu_θ + u_r∂_ru_θ + (u_φ / (r sinθ))∂_φu_θ + (u_θ / r)∂_θu_θ + (u_ru_θ - u_φ²cotθ) / r) = -(1 / r)∂_θp + μ( (1 / r²)∂_r(r²∂_ru_θ) + (1 / (r²sin²θ))∂_φ²u_θ + (1 / (r²sinθ))∂_θ(sinθ∂_θu_θ) + (2 / r²)∂_θu_r - (u_θ + 2cosθ∂_φu_φ) / (r²sin²θ) ) + (1/3)μ(1 / r)∂_θ((1 / r²)∂_r(r²u_r) + (1 / (r sinθ))∂_θ(u_θsinθ) + (1 / (r sinθ))∂_φu_φ) + ρg_θ

질량 연속 방정식은 다음과 같다.

:(∂_tρ) + (1 / r²)∂_r(ρr²u_r) + (1 / (r sinθ))∂_φ(ρu_φ) + (1 / (r sinθ))∂_θ(sinθρu_θ) = 0

점성 항에서 1/r²를 인수분해하여 이 방정식들을 (약간) 간결하게 만들 수 있다. 그러나 그렇게 하면 라플라시안과 다른 양의 구조가 바뀌어 바람직하지 않다.

10. 1. 직교 좌표계

속도 벡터를 u = (u_x, u_y, u_z) (각각 u, v, w로도 표기됨)로 전개하면, 나비에-스토크스 방정식은 세 개의 스칼라 방정식으로 나타낼 수 있다.

x 방향 :

:ρ (∂_tu_x + u_x∂_xu_x + u_y∂_yu_x + u_z∂_zu_x) = -∂_xp + μ (∂_x²u_x + ∂_y²u_x + ∂_z²u_x) + ⅓ μ ∂_x (∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z) + ρg_x

y 방향 :

:ρ (∂_tu_y + u_x∂_xu_y + u_y∂_yu_y + u_z∂_zu_y) = -∂_yp + μ (∂_x²u_y + ∂_y²u_y + ∂_z²u_y) + ⅓ μ ∂_y (∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z) + ρg_y

z 방향 :

:ρ (∂_tu_z + u_x∂_xu_z + u_y∂_yu_z + u_z∂_zu_z) = -∂_zp + μ (∂_x²u_z + ∂_y²u_z + ∂_z²u_z) + ⅓ μ ∂_z (∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z) + ρg_z

여기서 g_x, g_y, g_z는 선택된 좌표계에 대한 중력의 방향에 따라 달라지는 값이며, 체적력으로 고려되었다.

연속 방정식은 다음과 같다.

:∂_tρ + ∂_x(ρu_x) + ∂_y(ρu_y) + ∂_z(ρu_z) = 0

유동이 비압축성일 경우, ρ는 임의의 유체 입자에 대해 변하지 않으며, 그 물질 도함수는 0이 된다. (Dρ/Dt = 0)

연속 방정식은 다음으로 축소된다.

:∂_xu_x + ∂_yu_y + ∂_zu_z = 0

따라서, 나비에-스톡스 방정식의 비압축성 버전에서는 점성 항의 두 번째 부분이 사라진다.

이 방정식 시스템은 가장 일반적으로 사용되는 형태로, 비선형 편미분 방정식 시스템이기에 해를 구하기 어렵다.

10. 2. 원통 좌표계

데카르트 좌표계 방정식의 변수 변환을 통해 r, φ, z에 대한 운동량 방정식을 얻을 수 있다.^[16]^[43] 원통 좌표계는 대칭성을 이용하여 속도 성분이 사라지도록 선택된다. 축대칭 흐름(

u_\phi = 0

)의 경우 접선 속도가 없고, 나머지 양은

\phi

와 무관하다고 가정한다.

비압축성 나비어-스토크스 방정식의 원통형 표현은 일반적으로 사용되는 표현 중 하나이다.

10. 3. 구면 좌표계

구면 좌표계에서 r, φ, θ 운동량 방정식은 다음과 같다.^[16] (사용된 규칙에 유의: θ는 극각 또는 공극각^[44], 0 ≤ θ ≤ π)

:

\begin{align}: r:\ &\rho \left({\partial_t u_r} + u_r {\partial_r u_r} + \frac{u_\varphi}{r \sin\theta} {\partial_\varphi u_r} +: \frac{u_\theta}{r} {\partial_\theta u_r} - \frac{u_\varphi^2 + u_\theta^2}{r}\right) \\: &\quad = -{\partial_r p} \\: &\qquad  + \mu \left(\frac{1}{r^2} \partial_r \left(r^2 {\partial_r u_r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} {\partial_\varphi^2 u_r} + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \partial_\theta \left(\sin\theta {\partial_\theta u_r}\right) - 2\frac{u_r + {\partial_\theta u_\theta} + u_\theta \cot\theta}{r^2} - \frac{2}{r^2 \sin\theta} {\partial_\varphi u_\varphi} \right) \\: &\qquad  + \frac{1}{3}\mu \partial_r \left( \frac{1}{r^2} \partial_r\left(r^2 u_r\right) + \frac{1}{r \sin\theta} \partial_\theta \left( u_\theta\sin\theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} {\partial_\varphi u_\varphi} \right) \\: &\qquad  + \rho g_r \\[8px]: \end{align}

:

\begin{align}: \varphi:\ &\rho \left({\partial_t u_\varphi} + u_r {\partial_r u_\varphi} +: \frac{u_\varphi}{r \sin\theta} {\partial_\varphi u_\varphi} + \frac{u_\theta}{r} {\partial_\theta u_\varphi} +: \frac{u_r u_\varphi + u_\varphi u_\theta \cot\theta}{r}\right) \\: &\quad = -\frac{1}{r \sin\theta} {\partial_\varphi p} \\: &\qquad  + \mu \left(\frac{1}{r^2} \partial_r \left(r^2 {\partial_r u_\varphi}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} {\partial_\varphi^2 u_\varphi} + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \partial_\theta \left(\sin\theta {\partial_\theta u_\varphi}\right) + \frac{2 \sin\theta {\partial_\varphi u_r} + 2 \cos\theta {\partial_\varphi u_\theta} - u_\varphi}{r^2 \sin^2\theta} \right) \\: &\qquad  + \frac{1}{3}\mu\frac{1}{r \sin\theta} \partial_\varphi \left( \frac{1}{r^2} \partial_r \left(r^2 u_r\right) + \frac{1}{r \sin\theta} \partial_\theta \left( u_\theta\sin\theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} {\partial_\varphi u_\varphi} \right) \\: &\qquad  + \rho g_\varphi \\[8px]: \end{align}

:

\begin{align}: \theta:\ &\rho \left({\partial_t u_\theta} + u_r {\partial_r u_\theta} +: \frac{u_\varphi}{r \sin\theta} {\partial_\varphi u_\theta} +: \frac{u_\theta}{r} {\partial_\theta u_\theta} + \frac{u_r u_\theta - u_\varphi^2 \cot\theta}{r}\right) \\: &\quad = -\frac{1}{r} {\partial_\theta p} \\: &\qquad  + \mu \left(\frac{1}{r^2} \partial_r \left(r^2 {\partial_r u_\theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} {\partial_\varphi^2 u_\theta} + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \partial_\theta \left(\sin\theta {\partial_\theta u_\theta}\right) + \frac{2}{r^2} {\partial_\theta u_r} - \frac{u_\theta + 2 \cos\theta {\partial_\varphi u_\varphi}}{r^2 \sin^2\theta} \right) \\: &\qquad  + \frac{1}{3}\mu\frac{1}{r} \partial_\theta \left( \frac{1}{r^2} \partial_r \left(r^2 u_r\right) + \frac{1}{r \sin\theta} \partial_\theta  \left( u_\theta\sin\theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} {\partial_\varphi u_\varphi} \right) \\: &\qquad  + \rho g_\theta.: \end{align}

질량 연속 방정식은 다음과 같다.

:

{\partial_t \rho} + \frac{1}{r^2} \partial_r \left(\rho r^2 u_r\right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial_\varphi (\rho u_\varphi)} + \frac{1}{r \sin\theta} \partial_\theta \left(\sin\theta \rho u_\theta\right) = 0.

점성 항에서

\frac{1}{r^2}

를 인수분해하여 이 방정식들을 (약간) 간결하게 만들 수 있다. 그러나 그렇게 하면 라플라시안과 다른 양의 구조가 바뀌어 바람직하지 않다.

참조

_[1] 서적 Understanding Aerodynamics: Arguing from the Real Physics John Wiley & Sons
_[2] 웹사이트 Millennium Prize Problems—Navier–Stokes Equation http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute 2017-03-27
_[3] 웹사이트 Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute
_[4] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[5] 서적 A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics 1993
_[6] 서적 Transport Phenomena
_[7] 서적 Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 Elsevier
_[8] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[9] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[10] 논문 On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids
_[11] 서적 Introduction to physical gas dynamic
_[12] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[13] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[14] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[15] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[16] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[17] 학술지 Estimates of Mild Solutions of Navier–Stokes Equations in Weak Herz-Type Besov–Morrey Spaces 2022-02-22
_[18] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[19] 서적 Navier–Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis AMS Chelsea
_[20] 서적 Numerical models for differential problems Springer 2014-04-25
_[21] 학술지 A Hermite finite element method for incompressible fluid flow
_[22] 학술지 Computation of incompressible thermal flows using Hermite finite elements
_[23] 서적 Fluid Mechanics McGraw-Hill
_[24] 서적 Vectors, Tensors, and the basic Equations of Fluid Mechanics Dover Publications
_[25] 서적 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics McGraw-Hill
_[26] 서적 Encyclopaedia of Physics (2nd Edition) VHC publishers
_[27] 리뷰논문 Beyond Navier–Stokes equations: capillarity of ideal gas https://www.research[...]
_[28] 서적 Handbook of mathematical fluid dynamics North-Holland
_[29] 연구논문 A continuum and molecular dynamics hybrid method for micro-and nano-fluid flow https://www.cambridg[...]
_[30] 서적 Stochastic processes in polymeric fluids Springer Science & Business Media
_[31] 학술지 Analysis of the multigrid method
_[32] 학술지 Exact solutions of the steady-state Navier–Stokes equations
_[33] 서적 (정보 부족) (정보 부족)
_[34] 학술지 Exact fully 3D Navier–Stokes solutions for benchmarking
_[35] 학술지 Self-Similar Solutions of Three-Dimensional Navier–Stokes Equation https://iopscience.i[...] 2011
_[36] 논문 Analytic solutions for the three-dimensional compressible Navier-Stokes equation https://iopscience.i[...] 2014
_[37] 웹사이트 Navier Stokes Equations http://www.claudino.[...] 2023-03-11
_[38] 서적 The Mathematical Theory of viscous Incompressible Flow
_[39] 웹사이트 Topological solitons in magnetohydrodynamics http://www.jetp.ac.r[...]
_[40] 논문 Tri-periodic fully three-dimensional analytic solutions for the Navier–Stokes equations
_[41] 서적 Renormalization methods: A guide for beginners Oxford University Press
_[42] 뉴스 Physicists uncover new dynamical framework for turbulence https://phys.org/new[...] Phys.org 2022-08-29
_[43] 웹사이트 Navier–Stokes equations in cylindrical coordinates https://demichie.git[...] 2016-12-26
_[44] 웹사이트 Spherical Coordinates http://mathworld.wol[...] MathWorld 2005-10-26
_[45] 웹사이트 Real-Time Fluid Dynamics for Games https://pdfs.semanti[...]
_[46] 웹사이트 Stable Fluids https://pages.cs.wis[...]
_[47] 서적 GPUGems - Fast Fluid Dynamics Simulation on the GPU
_[48] 서적 ShaderX5 - Explicit Early-Z Culling for Efficient Fluid Flow Simulation
_[49] 웹사이트 Fluid Simulation for Computer Animation http://www.cs.ubc.ca[...]
_[50] 서적 Navier-stokes equations University of Chicago Press
_[51] 논문 Navier-Stokes 方程式
_[52] 논문 Mémoire sur les lois du mouvement des fluides
_[53] 논문 On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids https://archive.org/[...]
_[54] 논문 CFD 入門 (その 1)− NS 方程式の様々な形とモデル方程式一
_[55] 논문 Navier-Stokes 方程式の数学的プロフイル
_[56] 설명
_[57] 설명
_[58] 웹사이트 渦度
_[59] 서적 自然科学者のための数学概論応用編岩波書店
_[60] 서적 非線形偏微分方程式朝倉書店
_[61] 설명
_[62] 서적 コンピュータによる流体力学シュプリンガー・フェアラーク東京
_[63] 서적 Incompressible flow John Wiley & Sons
_[64] 논문 On optimum profiles in Stokes flow
_[65] 논문 Interfacial dynamics for Stokes flow
_[66] 논문 The Euler Equations of Compressible Fluid Flow http://www.ams.org/b[...] 2007-10
_[67] 논문 Principes généraux du mouvement des fluides https://scholarlycom[...] 1757
_[68] 서적 Joseph Boussinesq and his approximation: a contemporary view
_[69] 서적 Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis American Mathematical Society
_[70] 서적 Finite element methods for Navier-Stokes equations: theory and algorithms Springer Science & Business Media
_[71] 서적 Computational Fluid Dynamics: The Basics With Applications McGraw-Hill Science
_[72] 서적 Computational fluid dynamics Cambridge University Press
_[73] 서적 Principles of computational fluid dynamics Springer Science & Business Media
_[74] 웹사이트 Kotobank|乱流
_[75] 서적 乱流入門東海大学出版会
_[76] 서적 Turbulence in fluids Springer Science & Business Media
_[77] 서적 Turbulence: an introduction for scientists and engineers Oxford University Press
_[78] 웹사이트 Kotobank|層流
_[79] 웹사이트 Kotobank|レイノルズ数
_[80] 서적 Navier-Stokes equations and turbulence Cambridge University Press
_[81] 서적 Encyclopaedia of Physics VHC publishers
_[82] 서적 乱流の数値流体力学東京大学出版会
_[83] 서적 乱流の数値シミュレーション養賢堂
_[84] 서적 Turbulence modeling for CFD DCW industries
_[85] 서적 Fundamentals of turbulence modelling CRC Press
_[86] 논문 A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows AIAA
_[87] 논문 Formulation of the k–ω Turbulence Model Revisited AIAA Journal
_[88] 논문 Large-eddy simulation: achievements and challenges
_[89] 논문 Large‐eddy simulation: A critical review of the technique
_[90] 논문 Large-eddy simulation: Past, present and the future
_[91] 서적 Large eddy simulation for incompressible flows: an introduction Springer Science & Business Media

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com