조머펠트 복사 조건

2. 정의

헬름홀츠 방정식을 생각해보자.

:$(\backslash nabla^2+k^2)u(\backslash mathbf\; x)+f(\backslash mathbf\; x)=0$, $\backslash mathbf\; x\backslash in\backslash mathbb\; R^n$.

여기서 $f(\backslash mathbf\; x)$는 콤팩트 지지 함수이고, $u(\backslash mathbf\; x)$는 미지의 함수다. $\backslash nabla^2$는 라플라스 연산자이다. 이 방정식은 방사원 $f(\backslash mathbf\; x)$가 파동수 $k$로 에너지를 복사하는 현상을 나타낸다.

헬름홀츠 방정식은 다음을 만족하는 그린 함수 $G(\backslash mathbf\; x)$를 통해 풀 수 있다.

:$(\backslash nabla^2+k^2)G(\backslash mathbf\; x)+\backslash delta(\backslash mathbf\; x)=0$.

(여기서 $\backslash delta(\backslash mathbf\; x)$는 디랙 델타 함수이다.) 그러나 이러한 그린 함수는 유일하지 않고, 일반적으로 $G\_+$와 $G\_-$ 두 개가 있다. (즉, 일반적으로 두 함수의 선형결합이다.) 3차원 공간에서 이들은 다음과 같다.

:$G\_\{\backslash pm\}(\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash exp(\backslash pm\; ik\backslash Vert\backslash mathbf\; x\backslash Vert)\}\{4\backslash pi\backslash Vert\backslash mathbf\; x\backslash Vert\}$.

이에 따라, 헬름홀츠 방정식의 일반적인 해는 $G\_+$를 사용한 해와 $G\_-$를 사용한 해의 선형결합이다. 여기서 $G\_+$는 에너지를 발산하는 점입자로, $G\_-$는 에너지를 흡수하는 점입자로 해석할 수 있다. 즉, $G\_+$를 사용한 해만이 물리적인 의미를 가진다.

'''조머펠트 경계 조건'''은 $G\_+$는 만족하지만 $G\_-$는 만족하지 않는 조건으로, 다음과 같다.

:$\backslash lim\_\{s\backslash to\backslash infty\}\; s^\{(n-1)/2\}\backslash left(\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; s\}-ik\backslash right)u(s\backslash hat\{\backslash mathbf\; x\})=0$ (임의의 단위벡터 $\backslash hat\{\backslash mathbf\; x\}$에 대하여)

이 조건을 만족하는 헬름홀츠 방정식의 해는 유일하며, 물리적으로 에너지를 복사하지만 흡수하지 않는 해에 해당한다.

아르놀트 조머펠트는 헬름홀츠 방정식을 만족하는 스칼라장의 복사 조건을 다음과 같이 정의했다.

: "에너지가 소모되는 곳이 아니라, 에너지를 공급하는 곳이어야 한다. 에너지원은 무한대로 흩어져야 하며, 무한대에서 ... 장으로 에너지가 들어올 수 없다."

수학적으로, 비동차 헬름홀츠 방정식을 고려해 보자.

:$$

(\nabla^2 + k^2) u = -f \text{ in } \mathbb R^n



여기서 $n=2,\; 3$은 공간의 차원이고, $f$는 에너지의 유계된 원천을 나타내는 컴팩트 지지를 가진 주어진 함수이며, $k>0$는 ''파수''라고 하는 상수이다. 이 방정식의 해 $u$가 '''조머펠트 복사 조건'''을 만족하면 ''복사''라고 한다.

: $\backslash lim\_$