단위벡터

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1. 개요

단위 벡터는 노름이 1인 벡터로, 벡터 공간에서 크기 1을 갖는 원소를 의미한다. 영벡터가 아닌 벡터의 정규화는 항상 단위 벡터이며, 원래 벡터와 방향이 같다. 단위 벡터는 역학, 전자기학 등 이공학 분야에서 방향을 나타내는 데 사용되며, 좌표계, 곡선, 곡면 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 3차원 데카르트 좌표계에서는 x, y, z 축 방향의 단위 벡터를 i, j, k로 표기하며, 원통 및 구면 좌표계에서도 각 축 방향을 나타내는 단위 벡터가 사용된다. 대한민국에서도 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용된다.

단위벡터

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벡터 - 영벡터
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1 - 단위
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1 - 항등 함수
항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.
초등 수학 - 거리
거리는 수학에서 두 점 사이를 측정하는 함수, 물리학에서 물체의 위치 변화량, 일상생활에서 두 지점 사이의 길이를 의미하며, 국제단위계에서는 길이로 표현된다.
초등 수학 - 제곱근
제곱근은 x² = a를 만족하는 x 값으로, a가 양수일 때 두 개의 제곱근을 가지며, 수학, 물리학, 기하학 등 다양한 분야에서 중요한 개념이고, 무리수와도 관련되어 행렬이나 연산자에도 확장된다.

1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 표기법 및 응용
5. 대한민국에서의 활용

2. 정의

노름 공간 $(V,\|\cdot\|)$ 의 단위 벡터는 노름(크기)이 $1$ 인 벡터이다. 즉, $\|v\|=1$ 인 $v\in V$ 이다.

영벡터가 아닌 벡터 $v\in V\setminus\{0\}$ 의 정규화(normalization^영어)는 $\frac{v}{\|v\|}$ 이다. 이는 항상 단위 벡터이며, 원래의 벡터와 방향이 같다.

영벡터가 아닌 벡터 p는 크기와 단위 벡터로 나타낼 수 있다.
: $\boldsymbol{p} = \|\boldsymbol{p}\| \frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$
여기서 $\frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$ 가 단위 벡터임은 노름의 선형성에서 유도된다.
: $\left\| \frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|} \right\| = \frac{1}{\|\boldsymbol{p}\|} \|\boldsymbol{p}\| =1$
따라서, 어떤 방향의 벡터는 크기와 방향(고정된 단위 벡터와 같거나 반대)으로 나타낼 수 있다.

벡터의 정사영에도 단위 벡터를 이용하면 간결하게 표현할 수 있다. 벡터 p를 (방향이 같지 않을 수도 있는) 단위 벡터 e에 정사영했을 때,
* a의 e 방향 성분은 내적 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}$
* a의 e 방향 정사영 벡터는 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}$

역학이나 전자기학 등의 이공학 분야에서는 벡터 r과 같은 방향의 단위 벡터를
: $\hat{\boldsymbol{r}}=\frac{\boldsymbol{r}}$

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=\frac{\boldsymbol{r}}{r}
와 같이 나타낸다. 여기서

r=|\boldsymbol{r}|

는 r의 길이이다.

또한, 곡선이나 곡면을 따라 움직이는 질점 등의 움직임을 벡터로 나타낼 때, 방향만 파악하기 위해 단위 벡터를 사용하는 경우가 많다. 이때 "단위-"라는 접두사를 붙여 사용한다. 예를 들어, 단위 접벡터, 단위 법벡터, 단위 종법 벡터 등이 있다.

특히

n

차원 유클리드 공간에서는 벡터가 성분으로 표시되며, 기본 벡터
:

\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\ldots, \boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}

는

n

개의 선형 독립인 단위 벡터이다.

xyz

공간에서는

x, y, z

각 축 방향의 단위 벡터를 각각

\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}

로 표기하는 것이 관례이다. 이를 사용하여 공간 벡터 r을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:

\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}

이 때 단위 벡터

\hat{\boldsymbol{r}}

의 크기는
:

|\boldsymbol{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

이므로,

\hat{\boldsymbol{r}}

의

\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}

에 대한 분해는 다음과 같다.
:

\begin{align}\hat{\boldsymbol{r}} &=\frac{1}

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(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}) \\&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{i}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{j}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{k}\end{align}

3. 역사

정규화 연산은 윌리엄 로언 해밀턴이 사원수를 연구하면서 도입하였다. 해밀턴은 3차원 단위 벡터를 "버서"(versor^영어)라고 불렀는데, 이는 [[:wiktionary:ko:vertere^라틴어에서 유래하였다. 3차원 단위 벡터의 곱은 (사원수로 간주했을 때) 사원수의 회전을 정의하기 때문이다. W. R. 해밀턴은 그의 사원수 체계를 개발하면서 단위 벡터를 '오른쪽 버서'라고 불렀다.

4. 표기법 및 응용

영벡터가 아닌 벡터 $\boldsymbol{p}$는 그 크기와 단위 벡터의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉, $\boldsymbol{p} = \|\boldsymbol{p}\| \frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$ 와 같이 표현할 수 있으며, 여기서 $\frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$는 단위 벡터이다.

벡터의 정사영을 표현할 때 단위 벡터를 사용하면 간결하다. 예를 들어 벡터 p를 단위 벡터 e에 정사영했을 때,
* a의 e 방향 성분은 내적 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}$
* a의 e 방향 정사영 벡터는 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}$
와 같이 나타낼 수 있다.

역학, 전자기학 등 이공학 분야에서는 벡터 $\boldsymbol{r}$과 같은 방향의 단위 벡터를 $\hat{\boldsymbol{r}} = \frac{\boldsymbol{r}}

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= \frac{\boldsymbol{r}}{r}$ 와 같이 표기한다. 여기서 $r = |\boldsymbol{r}|$는 $\boldsymbol{r}$의 크기이다.

곡선이나 곡면을 따라 움직이는 질점 등의 움직임을 벡터로 나타낼 때, 방향만 나타내기 위해 단위 벡터를 사용하기도 한다. 예를 들어 단위 접벡터, 단위 법벡터, 단위 종법 벡터 등이 있다.

4.1. 좌표계

단위 벡터는 데카르트 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 다양한 좌표계의 축을 나타내는 데 사용될 수 있다.

일반적으로 좌표계는 여러 개의 선형 독립인 단위 벡터를 사용하여 고유하게 지정할 수 있다. 3차원 공간의 경우, 이러한 벡터들은 $\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3$ 으로 표시될 수 있다. 좌표계를 정규 직교하며 오른손 좌표계로 정의하는 것이 편리하다.

: $\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij}$
: $\mathbf{\hat{e}}_i \cdot (\mathbf{\hat{e}}_j \times \mathbf{\hat{e}}_k) = \varepsilon_{ijk}$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타(i = j인 경우 1이고 그렇지 않으면 0)이고, $\varepsilon_{ijk}$ 는 레비-치비타 기호(ijk로 정렬된 순열의 경우 1이고, kji로 정렬된 순열의 경우 -1)이다.

영벡터가 아닌 벡터 p는 크기와 단위 벡터로 나타낼 수 있다.
: $\boldsymbol{p} = \|\boldsymbol{p}\| \frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$
여기서 $\frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|}$ 가 단위 벡터임은 노름의 선형성에서 확인할 수 있다.
: $\left\| \frac{\boldsymbol{p}}{\|\boldsymbol{p}\|} \right\| = \frac{1}{\|\boldsymbol{p}\|} \|\boldsymbol{p}\| =1$
이로 인해, 어떤 방향의 벡터는 크기와 방향(고정된 단위 벡터와 같거나 반대)으로 나타낼 수 있다.

벡터의 정사영을 나타낼 때도 단위 벡터를 사용하면 간결하다. 벡터 p를 (방향이 같지 않을 수도 있는) 단위 벡터 e에 정사영했을 때,
* a의 e 방향 성분은 내적 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}$ 이다.
* a의 e 방향 정사영 벡터는 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}$ 이다.

역학이나 전자기학 등의 이공학 분야에서는 벡터 r에 대해, r과 같은 방향의 단위 벡터를
: $\hat{\boldsymbol{r}}=\frac{\boldsymbol{r}}$

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=\frac{\boldsymbol{r}}{r}
등으로 나타낸다. 여기서,

r=|\boldsymbol{r}|

는 r의 길이이다.

또한, 곡선이나 곡면을 따라 움직이는 질점 등의 움직임을 벡터로 파악하기 위해, 방향만 나타내는 여러 단위 벡터를 사용하기도 한다. 예를 들어, 단위 접벡터, 단위 법벡터, 단위 종법 벡터 등이 있다.

특히 n차원 유클리드 공간에서는 벡터가 성분으로 표시되며, 기본 벡터
:

\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\ldots, \boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}

는 n개의 선형 독립인 단위 벡터이다.

4.1.1. 직교 좌표계 (데카르트 좌표계)

데카르트 좌표계의 축을 나타내는 데 단위 벡터를 사용할 수 있다. 3차원 데카르트 좌표계에서 x, y, z 축 방향의 표준 단위 벡터는 다음과 같다.

: $\mathbf{\hat{x}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{y}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{z}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

이들은 선형대수에서 표준 기저라고 불리는 서로 직교하는 단위 벡터 집합을 형성한다.

일반적으로 표준 단위 벡터 표기법(예: x̂)보다는 일반적인 벡터 표기법(예: x 또는 $\vec{x}$ )을 사용하여 나타낸다. 대부분의 상황에서 x, y, z(또는 $\vec{x},$ $\vec{y},$ 및 $\vec{z}$ )는 3차원 데카르트 좌표계의 방향 벡터라고 가정할 수 있다. 햇 기호를 사용하거나 사용하지 않고 (î, ĵ, k̂), (x̂₁, x̂₂, x̂₃), (ê_x, ê_y, ê_z), 또는 (ê₁, ê₂, ê₃) 표기법도 사용된다. 특히 i, j, k가 다른 양(예: 집합, 배열 또는 변수 시퀀스의 요소를 식별하는 데 사용되는 i, j, k와 같은 색인 기호)과 혼동될 수 있는 상황에서 사용된다.

공간의 단위 벡터가 x, y, z의 선형 결합으로 데카르트 표기법으로 표현될 때, 세 개의 스칼라 성분을 방향 코사인이라고 할 수 있다. 각 성분의 값은 단위 벡터가 해당 기저 벡터와 이루는 각도의 코사인과 같다. 이것은 직선, 직선의 선분, 방향 축 또는 방향 축의 선분(벡터)의 방향 (각도 위치)을 설명하는 데 사용되는 방법 중 하나이다.

xyz 공간에서는 x, y, z의 각 축 방향의 단위 벡터를 각각 i, j, k로 표기하는 것이 관례이다. 이것들을 사용하여 공간 벡터 r은
: $\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$
로 나타낼 수 있다.

이 때 단위 벡터 $\hat{\boldsymbol{r}}$ 의 크기는
: $|\boldsymbol{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
가 되므로,
$\hat{\boldsymbol{r}}$ 의 i, j, k에 대한 분해는
: $\begin{align}\hat{\boldsymbol{r}} &=\frac{1}$

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(x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}) \\&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{i}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{j}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{k}\end{align}

4.1.2. 원통 좌표계

원통형 대칭에 적합한 세 개의 직교 단위 벡터는 다음과 같다.

* ρ (ê 또는 ŝ로도 표시됨)는 대칭 축으로부터 점까지의 거리가 측정되는 방향을 나타낸다.
* φ는 점이 대칭축을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 경우 관찰될 운동의 방향을 나타낸다.
* ẑ는 대칭 축의 방향을 나타낸다.

이들은 다음과 같이 데카르트 기저 x^영어, y^영어, z^영어와 관련이 있다.

:ρ = cos(φ)x^영어 + sin(φ)y^영어
:φ = -sin(φ)x^영어 + cos(φ)y^영어
:ẑ = z^영어

벡터 ρ와 φ는 φ의 함수이며 방향이 일정하지 않다. 원통 좌표에서 미분하거나 적분할 때, 이러한 단위 벡터 자체도 연산되어야 한다. φ에 대한 도함수는 다음과 같다.

: $\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\rho}}} {\partial \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi}$
: $\frac{\partial \boldsymbol{\hat \varphi}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\boldsymbol{\hat{\rho}}$
: $\frac{\partial \mathbf{\hat{z}}} {\partial \varphi} = \mathbf{0}.$

4.1.3. 구면 좌표계

구면 대칭에 적합한 단위 벡터는 다음과 같다. $\mathbf{\hat{r}}$ 는 원점에서부터의 반경 거리가 증가하는 방향이다. $\boldsymbol{\hat{\varphi}}$ 는 양의 x 축으로부터 반시계 방향으로 x-y 평면에서의 각도가 증가하는 방향이다. 그리고 $\boldsymbol{\hat \theta}$ 는 양의 z 축으로부터의 각도가 증가하는 방향이다. 표현의 중복을 최소화하기 위해, 극각 $\theta$ 는 일반적으로 0도에서 180도 사이로 취한다. 구면 좌표계로 쓰여진 순서쌍의 문맥에 유의하는 것이 특히 중요한데, $\boldsymbol{\hat \varphi}$ 와 $\boldsymbol{\hat \theta}$ 의 역할이 종종 바뀌기 때문이다. 여기서는 미국의 "물리" 규칙이 사용된다. 이것은 방위각 $\varphi$ 를 원통 좌표계와 동일하게 정의한다. 데카르트 관계는 다음과 같다.

: $\mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}}$

: $\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}$

: $\boldsymbol{\hat \varphi} = - \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}}$

구면 단위 벡터는 $\varphi$ 와 $\theta$ 모두에 의존하며, 따라서 5개의 가능한 0이 아닌 도함수가 있다. 더 자세한 설명은 야코비 행렬과 행렬식을 참조하라. 0이 아닌 도함수는 다음과 같다.

: $\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \varphi}$

: $\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}= \boldsymbol{\hat \theta}$

: $\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \varphi} =-\cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \varphi}$

: $\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \cos \theta\mathbf{\hat{z}} = -\mathbf{\hat{r}}$

: $\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\varphi}}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\sin \theta\mathbf{\hat{r}} -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}}$

4.2. 곡선 좌표계

일반적으로 좌표계는 여러 개의 선형 독립 단위 벡터 $\mathbf{\hat{e}}_n$ (실제 개수는 공간의 자유도와 동일)를 사용하여 고유하게 지정할 수 있다. 일반적인 3차원 공간의 경우 이러한 벡터는 $\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3$ 으로 표시될 수 있다. 시스템을 정규 직교 및 오른손 좌표계로 정의하는 것이 거의 항상 편리하다.

: $\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij}$
: $\mathbf{\hat{e}}_i \cdot (\mathbf{\hat{e}}_j \times \mathbf{\hat{e}}_k) = \varepsilon_{ijk}$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타 (i = j인 경우 1이고 그렇지 않으면 0)이고, $\varepsilon_{ijk}$ 는 레비-치비타 기호 (ijk로 정렬된 순열의 경우 1이고, kji로 정렬된 순열의 경우 −1)이다.

4.3. 기타 단위 벡터

단위 벡터는 물리학과 기하학 전반에 걸쳐 나타난다.

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좌우로 밀어서 보기

단위 벡터	표기법	도해
곡선/플럭스 선에 대한 접선 벡터	$\mathbf{\hat{t}}$
표면 접선 평면에 대한 법선/반경 위치 성분과 각도 접선 성분을 포함하는 평면	$\mathbf{\hat{n}}$
접선 및 법선에 대한 이중 법선 벡터	$\mathbf{\hat{b}} = \mathbf{\hat{t}} \times \mathbf{\hat{n}}$
어떤 축/선에 평행	$\mathbf{\hat{e}}_{\parallel}$
어떤 반경 방향으로 어떤 축/선에 수직	$\mathbf{\hat{e}}_{\bot}$
어떤 축/선에 상대적인 가능한 각도 편차	$\mathbf{\hat{e}}_{\angle}$

5. 대한민국에서의 활용

대한민국에서는 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 단위 벡터가 활용된다. 예를 들어, 3D 게임 개발에서 캐릭터의 이동 방향을 나타내거나, 로봇 공학에서 로봇 팔의 움직임을 제어하는 데 단위 벡터가 사용될 수 있다. 특히, 전자기학에서 전하의 움직임이나 전자기장의 방향과 크기를 나타낼 때 단위 벡터는 필수적이다.