차분기관

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 대한민국에서의 차분기관 연구 및 의의
3. 계산 방법
4. 응용
- 4.1. 곡선 적합
5. 한계 및 의의
- 5.1. 현대적 의의
참조

1. 개요

차분기관은 1822년 찰스 배비지가 제안한 자동 계산 기계로, 다항식의 값을 계산하는 데 사용된다. 1786년 J.H. 뮐러가 초기 아이디어를 제시했지만, 배비지가 재발명하고 영국 정부의 지원을 받아 연구가 진행되었다. 그러나 기술적, 재정적 문제로 인해 배비지는 차분기관 연구를 중단하고 해석기관 연구에 집중했다. 이후 페르 게오르그 셰우츠가 배비지의 설계를 기반으로 차분기관을 제작하여 판매했고, 1989년부터 1991년까지 런던 과학 박물관에서 배비지의 설계를 따라 차분기관 2호가 제작되었다. 차분기관은 뉴턴의 유한 차분법을 원리로 하며, 덧셈과 뺄셈만으로 다항식의 값을 계산한다. 음수는 십의 보수로 처리하며, 곡선 적합을 통해 오차를 줄일 수 있다.

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차분기관
지도
기본 정보
종류	자동 기계식 계산기
발명가	찰스 배비지
제작 시기	1822년경
작동 원리	유한 차분법
기능	다항식 계산 테이블 계산
특징	기계식 계산 자동화 고정밀도 연산
고안 동기	천문학 및 수학 계산의 필요성
제작 배경	항해와 천문학 발달 복잡한 수학 계산의 필요성 증가
기술적 세부 사항
계산 방법	고계차분 계산 총합 계산
핵심 부품	기어 레버 축 캠
동력원	수동 (핸들 조작)
작동 방식	초기 값 설정 핸들 회전으로 계산 수행 결과 표시
역사적 의미
중요성	최초의 자동 계산 기계 중 하나 현대 컴퓨터의 선구적 기술 기계식 계산의 가능성 증명
발전	컴퓨터의 발달에 큰 영향 후속 기계식 계산기 설계에 영향 차분기관의 아이디어가 해석기관으로 발전
설계 및 제작
설계	찰스 배비지의 상세한 설계도 미완성된 설계 여러 차례의 설계 변경
제작	배비지의 기계공 설계 배비지와 조수들의 제작 시도 실용적인 제작의 어려움 기술적 문제로 미완성
후대의 복원	20세기 후반 복원 시도 현대 기술을 이용한 복제본 제작 과학 기술 박물관 전시
현대적 해석
현대적 의미	계산 자동화의 가능성 증명 소프트웨어 이전 시대의 하드웨어적 해법 컴퓨터 과학의 중요한 역사적 맥락 제공
영향	기계식 계산기 개발의 토대 마련 현대 컴퓨터 설계에 영감 제공 컴퓨터 과학 연구에 공헌
비판적 시각	시대적 기술 한계로 미완성 실제 제작의 어려움 높은 제작 비용
재평가	컴퓨터 과학의 선구적 역할 재조명 혁신적인 아이디어의 가치 인정 기계식 계산기의 역사적 중요성 재인식
추가 정보
관련 인물	에이다 러브레이스 조지 에어리
관련 기술	유한 차분법 기계 공학 수학

2. 역사

차분기관의 초기 아이디어는 1786년 J.H. 뮐러가 제안했지만 실제로 만들어지지는 않았다.^[1]^[2]^[3] 1822년 찰스 배비지는 차분기관을 재발명하고 영국 왕립 천문학회에 "매우 큰 수학적 표를 계산하는 기계적인 방법"이라는 제목으로 발표했다.^[55] 이 기계는 십진법을 사용했고 핸들을 돌려 동력을 얻도록 설계되었다.

영국 정부는 배비지의 연구를 지원했으나,^[7] 배비지가 계속 추가 지원금을 요구하고, 당시 금속 가공 기술로는 필요한 정밀도와 양으로 부품을 경제적으로 생산할 수 없어, 구현은 정부의 초기 예상보다 훨씬 비싸고 성공 가능성이 불확실 하였다. 결국 영국 정부는 지원을 철회하였다. 1830년 차분기관 1호 설계에 따르면, 약 25,000개의 부품으로 구성되고 무게가 4톤이며, 6차 차분을 사용하여 20자리 숫자를 계산하도록 되어 있었다. 1832년, 배비지와 조셉 클레멘트는 계획의 7분의 1 크기의 소형 작동 모델(6자리 숫자를 2차 차분으로 계산)을 제작했다.^[5] ^[9]^[10] 바이런 부인은 1833년 작동하는 시제품을 보고 "생각하는 기계"라고 묘사했다.^[11] 배비지는 더 발전된 해석기관 연구에 집중하면서 차분기관 연구는 중단되었다.^[7] 1847년부터 1849년 사이, 배비지는 "차분기관 2호"를 설계했다.^[9]

페르 게오르그 셰우츠는 배비지의 설계에 영향을 받아 차분기관을 제작, 1859년 영국 정부에 판매했다.^[19]^[20] 마르틴 비베르그는 셰우츠의 차분기관을 개선했지만, 로그표 계산 및 인쇄에만 사용했다.^[22]

1989년부터 1991년까지 런던 과학 박물관에서는 배비지의 설계를 따라 차분기관 2호를 제작했다.^[34] 2000년에는 배비지가 설계한 인쇄기도 제작되었다.^[35] 배비지의 설계 오류가 발견되었으나 수정 후 정상 작동, 19세기 기술로 제작 가능하다는 것이 증명되었다.

2. 1. 대한민국에서의 차분기관 연구 및 의의

3. 계산 방법

차분기관은 뉴턴의 미적분법, 특히 유한 차분법을 원리로 작동한다. 다항식의 값을 계산하기 위해 덧셈과 뺄셈만을 사용하며, 곱셈은 필요하지 않다. ''n''차 다항식을 계산하기 위해서는 ''n''개의 저장 공간이 필요하다. 배비지의 차분기관 2호는 7차 다항식을 소수점 31자리 정확도로 계산할 수 있다.

다음과 같은 이차식을 예로 들어 보자.

: $p(x)=2x^2 - 3x + 2$

''p''(0), ''p''(0.1), ''p''(0.2), ''p''(0.3), ''p''(0.4)의 값을 계산하고 싶다고 하면, 다음과 같은 표를 만들 수 있다. 첫 번째 줄은 다항식의 값을 저장하고, 두 번째 줄은 왼쪽의 두 이웃 사이의 차를 저장하고, 세 번째 줄은 두 번째 줄의 두 이웃 사이의 차를 저장한다.

p(0)=2.0
	2.0-1.72=0.28
p(0.1)=1.72		0.28-0.24=0.04
	1.72-1.48=0.24
p(0.2)=1.48		0.24-0.20=0.04
	1.48-1.28=0.20
p(0.3)=1.28		0.20-0.16=0.04
	1.28-1.12=0.16
p(0.4)=1.12

임의의 ''n''차 식에 대해 ''n''+1번째 줄은 항상 같다. 위 표에서는 셋째줄의 값이 항상 같다.

이 표를 이용해 ''p''(0.5)를 계산해 보자. 맨 오른쪽 줄은 위와 같이 항상 0.04가 된다. 따라서 0.04를 빼면 셋째줄은 0.12의 값을 얻을 수 있다. 다시 ''p''(0.4)의 값 1.12에서 0.12를 빼면 ''p''(0.5) = 1.12 - 0.12 = 1.00임을 알 수 있다. 이 방법은 0.6, 0.7, ...에 대해서도 무한히 계속될 수 있다.

다른 예시로, 다음과 같은 2차 다항식을 생각해 보자.

: $p(x) = 2x^2 - 3x + 2 \,$

목표는 ''p''(0), ''p''(1), ''p''(2), ''p''(3), ''p''(4) 등의 값을 표로 만드는 것이다. 아래 표는 다음과 같이 구성된다. 두 번째 열은 다항식의 값을, 세 번째 열은 두 번째 열의 왼쪽 이웃 두 값의 차이를, 네 번째 열은 세 번째 열의 이웃 두 값의 차이를 포함한다.

x	p(x) = 2x² − 3x + 2	diff1(x) = ( p(x + 1) − p(x) )	diff2(x) = ( diff1(x + 1) − diff1(x) )
0	2	−1	4
1	1	3	4
2	4	7	4
3	11	11
4	22

세 번째 열의 값들은 일정하다. 사실, ''n''차 다항식으로 시작하면, ''n'' + 1번째 열은 항상 일정하다.

이 표는 왼쪽에서 오른쪽으로 만들어졌지만, 대각선을 따라 오른쪽에서 왼쪽으로 계속 만들어 더 많은 값을 계산할 수 있다. ''p''(5)를 계산하려면 가장 아래 대각선의 값을 사용한다. 네 번째 열의 상수값 4로 시작하여 열 아래로 복사한다. 그런 다음 11에 4를 더하여 15를 얻어 세 번째 열을 계속한다. 다음으로 두 번째 열의 이전 값 22에 세 번째 열의 15를 더한다. 따라서 ''p''(5)는 22 + 15 = 37이다. ''p''(6)을 계산하려면 ''p''(5) 값에 대해 동일한 알고리즘을 반복한다. 이 과정은 ''무한히'' 계속될 수 있다.

이러한 방법을 이용하면 곱셈을 하지 않고도 덧셈과 뺄셈만으로 다항식의 값을 계산할 수 있다. 2차식을 계산하기 위해서는 2개의 값만 저장하고 있으면 되고, ''n''차식을 계산하기 위해서는 ''n''개의 저장공간만 갖고 있으면 된다.

캘리포니아주 마운틴 뷰에 있는 컴퓨터 역사 박물관에 있는 완전 작동 차분기관

=== 초기값 설정 ===

차분기관의 각 열에는 초기값을 설정해야 한다.^[46]^[54] 초기값은 다항식의 계수나 테일러 급수 등을 이용하여 계산할 수 있다.

계산할 함수가 다항식일 경우, 데이터 포인트를 계산하지 않고도 상수 계수 `a`₀, `a`₁, `a`₂, ..., `a`_n에서 직접 초기값을 계산할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 다항 함수의 경우,

:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,

초기값은 다음과 같이 주어진다.

열 $1_0$ = ''a''₀
열 $2_0$ = ''a''₁ + ''a''₂ + ''a''₃ + ''a''₄ + ... + ''a_n''
열 $3_0$ = 2''a''₂ + 6''a''₃ + 14''a''₄ + 30''a''₅ + ...
열 $4_0$ = 6''a''₃ + 36''a''₄ + 150''a''₅ + ...
열 $5_0$ = 24''a''₄ + 240''a''₅ + ...
열 $6_0$ = 120''a''₅ + ...
$...$

무한히 미분 가능한 함수]]는 테일러 급수와 같은 멱급수로 표현할 수 있으며, 이를 통해 초기값을 계산할 수 있다. 테일러 급수는 한 점에서의 도함수로부터 얻은 합으로 함수를 표현하며, 많은 함수의 경우 고차 도함수를 구하는 것이 간단하다. 예를 들어, 0에서의 사인 함수는 모든 도함수에 대해 0 또는 ±1의 값을 갖는다. 계산 시작점을 0으로 설정하면 단순화된 매클로린 급수를 얻을 수 있다.

:

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\ x^{n}

계수로부터 초기값을 계산하는 방법은 다항 함수의 경우와 동일하게 사용할 수 있으며, 다항식의 상수 계수는 다음과 같은 값을 갖는다.

:

a_n \equiv \frac{f^{(n)}(0)}{n!}

=== 작동 방식 ===

차분기관은 여러 개의 열로 구성되며, 각 열은 십진수 한 자리를 저장한다.^[44] n+1번째 열의 값을 n번째 열에 더하는 방식으로 계산을 진행한다.^[44] 열 ''N''은 상수만 저장할 수 있으며, 열 1은 계산 결과 값을 표시하고 인쇄한다.

차분기관은 각 열의 초기 값을 설정하여 프로그래밍된다. 열 1에는 계산 시작 시 다항식의 값이, 열 2에는 1차 미분에서 파생된 값이 설정된다. 3부터 N까지의 각 열은 다항식의 (n-1)차 및 고차 미분에서 파생된 값으로 설정된다.^[44]

베비지의 설계에서 한 번의 반복(덧셈과 자리올림 연산)은 메인 축이 한 번 회전할 때마다 발생한다. 홀수 열과 짝수 열은 한 주기에서 번갈아 덧셈을 수행한다.^[44]

원래 설계에서는 크랭크가 메인 축에 직접 장착되었지만, 나중에 기계를 돌리는 데 필요한 힘이 너무 크다는 것을 깨달았다. 따라서 제작된 두 모델에는 크랭크에 4:1 감속 기어가 통합되어 있으며, 한 사이클을 완료하려면 크랭크를 네 번 회전해야 한다.

한 번의 반복은 크랭크를 네 번 돌려 완료하며, 다음 네 단계로 이루어진다.

;1단계

: 모든 짝수 열(2, 4, 6, 8)이 모든 홀수 열(1, 3, 5, 7)에 동시에 더해진다. 짝수 열의 톱니바퀴는 0으로 감소하며, 이 값은 홀수 열로 전달되어 증가한다. 홀수 열의 값이 "9"에서 "0"으로 넘어가면 자리올림 레버가 작동한다.

;2단계

: 1단계와 유사하지만, 홀수 열(3, 5, 7)이 짝수 열(2, 4, 6)에 더해지고, 1열의 값은 엔진 왼쪽 끝의 인쇄 메커니즘으로 전달된다. 짝수 열의 값이 "9"에서 "0"으로 넘어가면 자리올림 레버가 작동한다. 다항식의 결과인 1열의 값은 연결된 프린터 메커니즘으로 전송된다.

;3단계

: 2단계와 유사하지만, 짝수 열의 자리올림을 수행하고 홀수 열을 원래 값으로 되돌리는 과정이다.

;4단계

: 3단계와 같은 단계를 짝수열에 대해서 실행하고, 홀수열은 원래대로 되돌린다.

=== 음수 처리 ===

차분기관은 음수를 십의 보수로 나타낸다. 뺄셈은 음수의 덧셈과 같은 방식으로 계산된다. 이는 현대 컴퓨터가 2의 보수를 사용하여 뺄셈을 수행하는 방식과 유사하다.

3. 1. 초기값 설정

차분기관의 각 열에는 초기값을 설정해야 한다.^[46]^[54] 초기값은 다항식의 계수나 테일러 급수 등을 이용하여 계산할 수 있다.

계산할 함수가 다항식일 경우, 데이터 포인트를 계산하지 않고도 상수 계수 `a`₀, `a`₁, `a`₂, ..., `a`_n에서 직접 초기값을 계산할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 다항 함수의 경우,

:

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,

초기값은 다음과 같이 주어진다.

열 $1_0$ = ''a''₀
열 $2_0$ = ''a''₁ + ''a''₂ + ''a''₃ + ''a''₄ + ... + ''a_n''
열 $3_0$ = 2''a''₂ + 6''a''₃ + 14''a''₄ + 30''a''₅ + ...
열 $4_0$ = 6''a''₃ + 36''a''₄ + 150''a''₅ + ...
열 $5_0$ = 24''a''₄ + 240''a''₅ + ...
열 $6_0$ = 120''a''₅ + ...
$...$

무한히 미분 가능한 함수]]는 테일러 급수와 같은 멱급수로 표현할 수 있으며, 이를 통해 초기값을 계산할 수 있다. 테일러 급수는 한 점에서의 도함수로부터 얻은 합으로 함수를 표현하며, 많은 함수의 경우 고차 도함수를 구하는 것이 간단하다. 예를 들어, 0에서의 사인 함수는 모든 도함수에 대해 0 또는 ±1의 값을 갖는다. 계산 시작점을 0으로 설정하면 단순화된 매클로린 급수를 얻을수 있다.

:

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\  x^{n}

계수로부터 초기값을 계산하는 방법은 다항 함수의 경우와 동일하게 사용할 수 있으며, 다항식의 상수 계수는 다음과 같은 값을 갖는다.

:

a_n \equiv \frac{f^{(n)}(0)}{n!}

3. 2. 작동 방식

차분기관은 여러 개의 열로 구성되며, 각 열은 십진수 한 자리를 저장한다.^[44] n+1번째 열의 값을 n번째 열에 더하는 방식으로 계산을 진행한다.^[44] 열 ''N''은 상수만 저장할 수 있으며, 열 1은 계산 결과 값을 표시하고 인쇄한다.

차분기관은 각 열의 초기 값을 설정하여 프로그래밍된다. 열 1에는 계산 시작 시 다항식의 값이, 열 2에는 1차 미분에서 파생된 값이 설정된다. 3부터 N까지의 각 열은 다항식의 (n-1)차 및 고차 미분에서 파생된 값으로 설정된다.^[44]

베비지의 설계에서 한 번의 반복(덧셈과 자리올림 연산)은 메인 축이 한 번 회전할 때마다 발생한다. 홀수 열과 짝수 열은 한 주기에서 번갈아 덧셈을 수행한다.^[44]

원래 설계에서는 크랭크가 메인 축에 직접 장착되었지만, 나중에 기계를 돌리는 데 필요한 힘이 너무 크다는 것을 깨달았다. 따라서 제작된 두 모델에는 크랭크에 4:1 감속 기어가 통합되어 있으며, 한 사이클을 완료하려면 크랭크를 네 번 회전해야 한다.

한 번의 반복은 크랭크를 네 번 돌려 완료하며, 다음 네 단계로 이루어진다.

;1단계

: 모든 짝수 열(2, 4, 6, 8)이 모든 홀수 열(1, 3, 5, 7)에 동시에 더해진다. 짝수 열의 톱니바퀴는 0으로 감소하며, 이 값은 홀수 열로 전달되어 증가한다. 홀수 열의 값이 "9"에서 "0"으로 넘어가면 자리올림 레버가 작동한다.

;2단계

: 1단계와 유사하지만, 홀수 열(3, 5, 7)이 짝수 열(2, 4, 6)에 더해지고, 1열의 값은 엔진 왼쪽 끝의 인쇄 메커니즘으로 전달된다. 짝수 열의 값이 "9"에서 "0"으로 넘어가면 자리올림 레버가 작동한다. 다항식의 결과인 1열의 값은 연결된 프린터 메커니즘으로 전송된다.

;3단계

: 2단계와 유사하지만, 짝수 열의 자리올림을 수행하고 홀수 열을 원래 값으로 되돌리는 과정이다.

;4단계

: 3단계와 같은 단계를 짝수열에 대해서 실행하고, 홀수열은 원래대로 되돌린다.

3. 3. 음수 처리

차분기관은 음수를 십의 보수로 나타낸다. 뺄셈은 음수의 덧셈과 같은 방식으로 계산된다. 이는 현대 컴퓨터가 2의 보수를 사용하여 뺄셈을 수행하는 방식과 유사하다.

4. 응용

4. 1. 곡선 적합

오차가 누적되어 계열이 실제 함수에서 벗어나는 경향을 해결하기 위해 곡선 적합을 사용할 수 있다.^[46]^[54] 원하는 계산 범위를 따라 균등하게 간격을 둔 최소 ''N''개의 값을 계산하고, 가우스 소거법과 같은 곡선 적합 기법을 사용하여 함수의 ''N''-1차 다항식 보간을 찾는다.^[46] 최적화된 다항식을 사용하여 초기 값을 계산하여 오차를 최소화할 수 있다.^[54]

5. 한계 및 의의

5. 1. 현대적 의의

참조

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_[2] 서적 Glory and Failure: The Difference Engines of Johann Müller, Charles Babbage, and Georg and Edvard Scheutz https://books.google[...] MIT Press 1990
_[3] 서적 Computers: The Life Story of a Technology https://archive.org/[...] Greenwood Press 2005
_[4] 서적 It Began with Babbage: The Genesis of Computer Science https://books.google[...] Oxford University Press 2014
_[5] 서적 The Turing Guide # URL not provided i[...] Oxford University Press 2017
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_[27] 서적 Logarithmisch-trigonometrische Tafeln, mit acht Dezimalstellen, enthaltend die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 200000 und die Logarithmen der trigonometrischen Funktionen für jede Sexagesimalsekunde des Quadranten. Neu berechnet und hrsg. von J. Bauschinger und J. Peters. Stereotypausg https://archive.org/[...] Leipzig W. Englemann 1910
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_[29] 서적 Modern instruments and methods of calculation : a handbook of the Napier Tercentenary Exhibition https://archive.org/[...] G. Bell 1914
_[30] 학술지 The Nautical Almanac Office Burroughs machine 1932-04-01
_[31] 서적 Logarithmetica Britannica: Being a Standard Table of Logarithms to Twenty Decimal Places https://books.google[...] CUP Archive 1924
_[32] 웹사이트 History of Computers and Computing, Babbage, Next differential engines, Alexander John Thompson https://history-comp[...] 2017-09-22
_[33] 웹사이트 Publikationen http://mechrech.info[...] 2017-09-22
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_[35] 웹사이트 A Modern Sequel Babbage Engine http://www.computerh[...] Computer History Museum
_[36] 뉴스 Babbage printer finally runs http://news.bbc.co.u[...] BBC news 2012-05-17
_[37] 보도자료 The Computer History Museum Debuts Charles Babbage's Difference Engine No. 2, On Display for the First Time in North America http://www.computerh[...] Computer History Museum 2008-05-05
_[37] 보도자료 The Computer History Museum Extends Its Exhibition of Babbage's Difference Engine No. 2 http://www.computerh[...] Computer History Museum 2009-03-31
_[38] 웹사이트 The Babbage Difference Engine No. 2 http://www.computerh[...] Computer History Museum 2018-10-26
_[39] 웹사이트 Charles Babbage's masterpiece difference engine comes to Silicon Valley https://www.cnet.com[...] 2008-04-10
_[40] 웹사이트 Computer Museum bids farewell to Babbage engine https://www.mv-voice[...] 2016-01-29
_[41] 웹사이트 Inside the invention factory: Get a peek at Intellectual Ventures' lab https://www.geekwire[...] 2024-04-21
_[42] 웹사이트 Intellectual Ventures on LinkedIn: #ivlab #coolscience https://www.linkedin[...] 2024-04-21
_[43] 웹사이트 IV's Favorite Inventions: The Babbage Machine https://www.intellec[...] 2024-03-24
_[44] 학술지 Babbage's Calculating Engine https://en.wikisourc[...] 2022-10-11
_[45] 서적 A Brief History of Computing https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2012
_[46] 웹사이트 Babbage Difference Engine #2 – How to Initialize the Machine – http://ed-thelen.org[...] 2008
_[47] 서적 Computers: The Life Story of a Technology https://books.google[...] Greenwood Press, Westport, CT 2007-11-17
_[48] 웹사이트 Charles Babbage http://www-gap.dcs.s[...] School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland 2006-06-14
_[49] 논문 (정보 부족) 1995
_[50] 논문 (정보 부족) 1995
_[51] 웹사이트 At the Museum http://www.computerh[...] 2009-07-28
_[52] 웹사이트 Charles Babbage's masterpiece difference engine comes to Silicon Valley http://news.cnet.com[...] 2008-04-28
_[53] 웹사이트 The Computer History Museum Extends Its Exhibition of Babbage's Difference Engine No. 2 http://www.computerh[...] Computer History Museum 2009-11-06
_[54] 웹사이트 Babbage Difference Engine #2 - How to Initialize the Machine - http://ed-thelen.org[...] 2009-11-01
_[55] 웹사이트 Charles Babbage (URL 없음) 1998-10

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