천각형

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1. 개요
2. 정천각형
- 2.1. 기하학적 성질
- 2.2. 작도 불가능성
3. 철학적 적용
4. 대칭성
5. 천각성 (Chiliagram)
6. 한국 사회에서의 상징적 의미 (추가)
참조

1. 개요

천각형은 1,000개의 변을 가진 다각형을 의미하며, 정천각형은 슐래플리 기호 {1,000}으로 표시된다. 정천각형은 작도가 불가능하며, 각의 크기, 면적 계산 공식 등이 존재한다. 또한, 철학적 논의에서 지성과 상상의 관계를 설명하는 예시로 사용되었으며, 데카르트, 가상디, 흄, 라이프니츠, 칸트, 푸앵카레 등 여러 철학자들이 이 개념을 언급했다. 천각형은 칠리아그램이라는 별 다각형 형태로도 존재하며, Dih₁₀₀₀ 이면체 대칭을 가진다.

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천각형
다각형 정보
종류	정다각형
변의 수	1000
슈플리 기호	{1000}
꼭짓점	1000
면	1000
대칭군	D1000
각도
내각	179.64°
속성
성질	볼록, 주기적

2. 정천각형

'''정 천각형'''은 슐래플리 기호 {1,000}으로 표시되며, 절단된 500각형 t{500}, 두 번 절단된 250각형 tt{250}, 세 번 절단된 125각형 ttt{125}으로 구성할 수 있다.

한 변의 길이가 a인 정천각형의 면적 S는 다음과 같다.^[1]

: $S = 250a^2 \cot \frac{\pi}{1000}$

2. 1. 기하학적 성질

정천각형의 각 내각의 크기는 179°38'24" 또는 radian|라디안^영어으로 표현하면

\frac{499\pi}{500}

이다. 변의 길이가 ''a''인 정 천각형의 면적은 다음과 같이 주어진다.

:

A = 250a^2 \cot \frac{\pi}{1000} \simeq 79577.2\,a^2

이 결과는 외접원의 면적과 비교했을 때 100만 분의 4 미만의 오차를 보인다.

1,000 = 2³ × 5³이므로, 변의 수는 서로 다른 페르마 소수의 곱도 아니고 2의 거듭제곱도 아니다. 따라서 정천각형은 작도 가능 다각형이 아니다. 실제로, 변의 수가 서로 다른 피어폰트 소수의 곱도 아니고, 2와 3의 거듭제곱의 곱도 아니므로, 각 삼등분기를 사용하여도 작도할 수 없다. 따라서 천각형을 작도하려면 히피아스의 구적법, 아르키메데스 나선 또는 다른 보조 곡선과 같은 다른 기술이 필요하다. 예를 들어, 먼저 컴퍼스와 자를 사용하여 9° 각도를 작도한 다음, 보조 곡선을 사용하여 두 번 오등분(5개의 동일한 부분으로 나눔)하여 필요한 21'36" 내각을 생성할 수 있다.

정천각형에서 중심각과 외각은 0.36°이며, 내각은 179.64°이다.

2. 2. 작도 불가능성

1,000 = 2³ × 5³이므로, 변의 수는 서로 다른 페르마 소수의 곱도 아니고 2의 거듭제곱도 아니다. 따라서 정천각형은 작도 가능 다각형이 아니다. 실제로, 변의 수가 서로 다른 피어폰트 소수의 곱도 아니고, 2와 3의 거듭제곱의 곱도 아니므로, 각 삼등분기를 사용하여도 작도할 수 없다. 따라서 천각형을 작도하려면 히피아스의 구적법, 아르키메데스 나선 또는 다른 보조 곡선과 같은 다른 기술이 필요하다. 예를 들어, 먼저 컴퍼스와 자를 사용하여 9° 각도를 작도한 다음, 보조 곡선을 사용하여 두 번 오등분(5개의 동일한 부분으로 나눔)하여 필요한 21'36" 내각을 생성할 수 있다.^[1] 정천각형은 자와 컴퍼스를 이용한 작도가 불가능한 도형이다.^[1]

정천각형은 종이 접기에 의해 작도가 불가능한 도형이다.^[1]

3. 철학적 적용

르네 데카르트는 제6 성찰에서 천각형을 순수한 지성과 상상을 구분하는 예로 사용했다. 그는 천각형에 대해 생각할 때, 삼각형을 상상할 때처럼 "천 개의 변을 상상하거나 눈앞에 있는 것처럼 보지 않는다"고 말했다. 상상은 만각형(1만 개의 변을 가진 다각형)을 상상하는 것과 다르지 않은 "혼란스러운 표상"을 구성한다. 그러나 그는 삼각형을 이해하는 것처럼 천각형이 무엇인지 분명히 이해하고 있으며, 만각형과 구별할 수 있다. 데카르트는 지성이 상상력이 불가능할 때 명확하고 뚜렷한 아이디어를 품을 수 있기 때문에 지성이 상상력에 의존하지 않는다고 주장한다.^[1] 데카르트의 동시대 철학자 피에르 가상디는 이러한 해석에 비판적이었는데, 데카르트가 천각형을 상상할 수 있지만 이해할 수 없다고 믿었다. 즉, "천각형'이라는 단어가 천 개의 각을 가진 도형을 의미한다는 것을 인식할 수 있지만, 그것은 단어의 의미일 뿐이며, 도형의 천 개 각을 상상하는 것보다 더 잘 이해하는 것은 아니다."^[2]

천각형의 예는 다른 철학자들에게도 언급된다. 데이비드 흄은 "눈이 천각형의 각이 1.996 직각과 같다고 결정하거나, 이러한 비율에 근접한 추측을 하는 것은 불가능하다"고 지적했다.^[3] 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 존 로크가 천각형을 사용한 것에 대해 논평하면서, 천각형의 이미지를 갖지 않고도 그에 대한 아이디어를 가질 수 있으며, 따라서 아이디어와 이미지를 구별한다고 언급했다.^[4] 이마누엘 칸트는 대신 구십육각형(96각형)을 언급했지만 데카르트가 제기한 것과 동일한 질문에 답한다.^[5]

앙리 푸앵카레는 천각형을 "직관이 반드시 감각의 증거에 기초하는 것은 아니다"는 증거로 사용하는데, 그 이유는 "우리는 천각형을 우리 자신에게 표상할 수 없지만, 천각형을 특수한 경우로 포함하는 일반적인 다각형에 대해 직관적으로 추론할 수 있기" 때문이다.^[6]

데카르트의 천각형 예에서 영감을 받아 로데릭 치섬과 다른 20세기 철학자들은 비슷한 요점을 제시하기 위해 유사한 예를 사용했다. 치섬의 "얼룩 암탉"은 성공적으로 상상하기 위해 결정적인 얼룩 개수를 가질 필요가 없는데, 아마도 이들 중 가장 유명한 예일 것이다.^[7]

4. 대칭성

정규 천각형은 Dih₁₀₀₀ 이면 대칭, 차수 2000을 가지며, 1,000개의 반사선으로 표현된다. Dih₁₀₀₀은 Dih₅₀₀, Dih₂₅₀, Dih₁₂₅, Dih₂₀₀, Dih₁₀₀, Dih₅₀, Dih₂₅, Dih₄₀, Dih₂₀, Dih₁₀, Dih₅, Dih₈, Dih₄, Dih₂ 및 Dih₁와 같이 15개의 이면체 부분군을 가진다. 또한 Z₁₀₀₀, Z₅₀₀, Z₂₅₀, Z₁₂₅, Z₂₀₀, Z₁₀₀, Z₅₀, Z₂₅, Z₄₀, Z₂₀, Z₁₀, Z₅, Z₈, Z₄, Z₂ 및 Z₁와 같이 16개의 더 많은 순환 대칭을 부분군으로 가지며, Z_n은 π/''n'' 라디안 회전 대칭을 나타낸다.

존 호턴 콘웨이는 이러한 하위 대칭에 문자를 사용하여 이름을 붙이고, 그 뒤에 대칭의 차수를 표기한다.^[8] 그는 꼭짓점을 통과하는 거울 선은 '''d''' (대각선), 변을 통과하는 거울 선은 '''p''' (수직선), 꼭짓점과 변을 모두 통과하는 거울 선은 '''i''', 회전 대칭은 '''g'''로 표기한다. '''a1'''은 대칭이 없음을 나타낸다.

이러한 하위 대칭은 불규칙 천각형을 정의할 때 자유도를 허용한다. '''g1000''' 부분군만 자유도가 없지만 방향 모서리로 볼 수 있다.

정규 천각형의 대칭성. 밝은 파란색 선은 지수 2의 부분군을 나타냅니다. 4개의 상자 안의 부분 그래프는 지수 5 부분군에 의해 위치적으로 관련되어 있습니다.

5. 천각성 (Chiliagram)

천각성은 1,000개의 변을 가진 별 다각형이다. 슐래플리 기호 {1000/''n''}의 형태로 주어지는 199개의 정규 형태가 있으며, 여기서 ''n''은 2에서 500 사이의 정수이며 1,000과 상호 소수이다. 나머지 경우에는 300개의 정규 별 모양이 있다.

예를 들어, 정규 {1000/499} 별 다각형은 1000개의 거의 방사형 모서리로 구성된다. 각 별 꼭지점은 0.36도의 내각을 갖는다.

{1000/499}
	중심 영역은 무아레 패턴을 가짐

6. 한국 사회에서의 상징적 의미 (추가)

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참조

_[1] 위키문헌 Meditation VI
_[2] 간행물 Nominalism and constructivism in seventeenth-century mathematical philosophy
_[3] 서적 The Philosophical Works of David Hume https://books.google[...] Black and Tait
_[4] 서적 Learning from Six Philosophers: Descartes, Spinoza, Leibniz, Locke, Berkeley, Hume https://books.google[...] Oxford University Press
_[5] 논문 "On a Discovery," trans. Henry Allison, in ''Theoretical Philosophy After 1791'' Cambridge UP
_[6] 서적 "Intuition and Logic in Mathematics" in William Bragg Ewald (ed) ''From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics'' https://books.google[...] Oxford University Press
_[7] 논문 The Problem of the Speckled Hen
_[8] 문서 The Symmetries of Things

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