측정 기하학

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 측정 형식
- 2.2. 측정 부분 다양체
3. 성질
- 3.1. 호몰로지류 최소화
4. 예시
참조

1. 개요

측정 기하학은 리만 다양체에서 정의되는 개념으로, 특정 조건을 만족하는 미분 형식인 측정 형식을 사용하여 부피를 최소화하는 부분 다양체를 연구하는 분야이다. 측정 형식은 닫혀있고, 임의의 접 공간에서 부피 형식과 비교하여 1 이하의 값을 가지며, 1이 되는 경우가 존재한다. 이러한 측정 형식을 갖춘 리만 다양체를 측정 다양체라고 하며, 측정 부분 다양체는 측정 형식과 부피 형식이 일치하는 부분 다양체를 의미한다. 측정 부분 다양체는 호몰로지류 내에서 부피를 최소화하는 성질을 가지며, 켈러 다양체의 복소 부분 다양체, 칼라비-야우 다양체의 특수 라그랑지안 부분 다양체, G₂ 다양체의 결합 및 공결합 부분 다양체, Spin(7) 다양체의 케일리 부분 다양체 등이 측정 기하학의 예시로 제시된다.

2. 정의

$(M,g)$ 가 리만 다양체라고 하자. 그 부피 형식이 $\omega=\sqrt{\det g}\epsilon^{\mu\nu\dots}/d!$ 라고 하자. $M$ 위의 '''측정 형식'''(測定形式, calibration^영어)은 다음 두 조건을 만족하는 $M$ 위의 $p$ 차 미분 형식 $\phi$ 이다.

(닫힘) $d\phi=0$
(측정성) 임의의 $x\in M$ 에 대하여, 모든 유향 $p$ 차 선형 부분 공간 $V\in T_xM$ 에 대하여 $\phi|_V=\lambda\omega|_V$ 이라고 하면 $\lambda\le1$ 이다. 또한, $\lambda=1$ 인 $V$ 가 항상 존재한다.

측정 형식을 갖춘 리만 다양체를 '''측정 다양체'''(測定多樣體, calibrated manifold^영어)라고 한다.

p

차 측정 형식을 갖춘 리만 다양체

(M,g,\phi)

의 '''측정 부분 다양체'''(測定部分多樣體, calibrated submanifold^영어)

N\subset M

는 다음을 만족하는

p

차원 부분다양체이다.

모든 $x\in N$ 에 대하여 $\phi|_{T_xN}=\omega|_{T_xN}$ 이다.

''M''의 ''p''차원 부분다양체 ''Σ''가 T''Σ''가 ''G''(''φ'')에 포함될 경우, ''φ''에 대해 (또는 간단히 ''φ''-calibrated) '''calibrated 부분다양체'''라고 한다.

유명한 한 줄 논증은 calibrated ''p''-부분다양체가 그들의 호몰로지류 내에서 부피를 최소화한다는 것을 보여준다. 실제로, ''Σ''가 calibrated이고, ''Σ'' ′가 동일한 호몰로지류에 속하는 ''p''차원 부분다양체라고 가정하자. 그러면

:

\int_\Sigma \mathrm{vol}_\Sigma = \int_\Sigma \varphi = \int_{\Sigma'} \varphi \leq \int_{\Sigma'} \mathrm{vol}_{\Sigma'}

여기서 첫 번째 등식은 ''Σ''가 calibrated이기 때문에 성립하고, 두 번째 등식은 ''φ''가 닫혀 있으므로 스토크스 정리에 의해 성립하며, 부등식은 ''φ''가 calibration이기 때문에 성립한다.

2. 1. 측정 형식

(M,g)

가 리만 다양체이고, 그 부피 형식이

\omega=\sqrt{\det g}\epsilon^{\mu\nu\dots}/d!

라고 하자.

M

위의 '''측정 형식'''(測定形式, calibration^영어)은 다음 두 조건을 만족하는

M

위의

p

차 미분 형식

\phi

이다.

(닫힘) $d\phi=0$
(측정성) 임의의 $x\in M$ 에 대하여, 모든 유향 $p$ 차 선형 부분 공간 $V\in T_xM$ 에 대하여 $\phi|_V=\lambda\omega|_V$ 이라고 하면 $\lambda\le1$ 이다. 또한, $\lambda=1$ 인 $V$ 가 항상 존재한다.

측정 형식을 갖춘 리만 다양체를 '''측정 다양체'''(測定多樣體, calibrated manifold^영어)라고 한다.

p

차 측정 형식을 갖춘 리만 다양체

(M,g,\phi)

의 '''측정 부분 다양체'''는 모든

x\in N

에 대하여

\phi|_{T_xN}=\omega|_{T_xN}

를 만족하는

p

차원 부분다양체

N\subset M

이다. ''M''의 ''p''차원 부분다양체 ''Σ''가 T''Σ''가 ''G''(''φ'')에 포함될 경우, ''φ''에 대해 (또는 간단히 ''φ''-calibrated) '''calibrated 부분다양체'''라고 한다.

calibrated ''p''-부분다양체가 그들의 호몰로지류 내에서 부피를 최소화한다는 것을 보일 수 있다. ''Σ''가 calibrated이고, ''Σ'' ′가 동일한 호몰로지류에 속하는 ''p''차원 부분다양체라고 가정하면,

:

\int_\Sigma \mathrm{vol}_\Sigma = \int_\Sigma \varphi = \int_{\Sigma'} \varphi \leq \int_{\Sigma'} \mathrm{vol}_{\Sigma'}

가 성립한다. 첫 번째 등식은 ''Σ''가 calibrated이기 때문에 성립하고, 두 번째 등식은 ''φ''가 닫혀 있으므로 스토크스 정리에 의해 성립하며, 부등식은 ''φ''가 calibration이기 때문에 성립한다.

2. 2. 측정 부분 다양체

리만 다양체

(M,g)

의 부피 형식이

\omega=\sqrt{\det g}\epsilon^{\mu\nu\dots}/d!

라고 할 때,

M

위의 '''측정 형식'''(測定形式, calibration^영어)은 다음 두 조건을 만족하는

M

위의

p

차 미분 형식

\phi

이다.

(닫힘) $d\phi=0$
(측정성) 임의의 $x\in M$ 에 대하여, 모든 유향 $p$ 차 선형 부분 공간 $V\in T_xM$ 에 대하여 $\phi|_V=\lambda\omega|_V$ 이라고 하면 $\lambda\le1$ 이다. 또한, $\lambda=1$ 인 $V$ 가 항상 존재한다.

측정 형식을 갖춘 리만 다양체를 '''측정 다양체'''(測定多樣體, calibrated manifold^영어)라고 한다.

p

차 측정 형식을 갖춘 리만 다양체

(M,g,\phi)

의 '''측정 부분 다양체'''(測定部分多樣體, calibrated submanifold^영어)

N\subset M

는 다음을 만족하는

p

차원 부분다양체이다.

모든 $x\in N$ 에 대하여 $\phi|_{T_xN}=\omega|_{T_xN}$ 이다.

''M''의 ''p''차원 부분다양체 ''Σ''가 T''Σ''가 ''G''(''φ'')에 포함될 경우, ''φ''에 대해 (또는 간단히 ''φ''-calibrated) '''calibrated 부분다양체'''라고 한다. calibrated ''p''-부분다양체가 그들의 호몰로지류 내에서 부피를 최소화한다는 것을 보일수 있다. 실제로, ''Σ''가 calibrated이고, ''Σ'' ′가 동일한 호몰로지류에 속하는 ''p''차원 부분다양체라고 가정하면 다음과 같다.

:

\int_\Sigma \mathrm{vol}_\Sigma = \int_\Sigma \varphi = \int_{\Sigma'} \varphi \leq \int_{\Sigma'} \mathrm{vol}_{\Sigma'}

여기서 첫 번째 등식은 ''Σ''가 calibrated이기 때문에, 두 번째 등식은 ''φ''가 닫혀 있으므로 스토크스 정리에 의해, 그리고 부등식은 ''φ''가 calibration이기 때문에 각각 성립한다.

3. 성질

''M''의 ''p''차원 부분다양체 ''Σ''가 T''Σ''가 ''G''(''φ'')에 포함될 경우, ''φ''에 대해 (또는 간단히 ''φ''-calibrated) '''calibrated 부분다양체'''라고 한다.

calibrated ''p''-부분다양체가 그들의 호몰로지류 내에서 부피를 최소화한다는 것을 보여주는 논증이 있다. ''Σ''가 calibrated이고, ''Σ'' ′가 동일한 호몰로지류에 속하는 ''p''차원 부분다양체라고 가정하면,

: $\int_\Sigma \mathrm{vol}_\Sigma = \int_\Sigma \varphi = \int_{\Sigma'} \varphi \leq \int_{\Sigma'} \mathrm{vol}_{\Sigma'}$

가 성립한다. 첫 번째 등식은 ''Σ''가 calibrated이기 때문에 성립하고, 두 번째 등식은 ''φ''가 닫혀 있으므로 스토크스 정리에 의해 성립하며, 부등식은 ''φ''가 calibration이기 때문에 성립한다.

3. 1. 호몰로지류 최소화

''M''의 ''p''차원 부분다양체 ''Σ''가 T''Σ''가 ''G''(''φ'')에 포함될 경우, ''φ''에 대해 (또는 간단히 ''φ''-calibrated) '''calibrated 부분다양체'''라고 한다.

calibrated ''p''-부분다양체가 그들의 호몰로지류 내에서 부피를 최소화한다는 것을 보여주는 논증이 있다. ''Σ''가 calibrated이고, ''Σ'' ′가 동일한 호몰로지류에 속하는 ''p''차원 부분다양체라고 가정하면,

:

\int_\Sigma \mathrm{vol}_\Sigma = \int_\Sigma \varphi = \int_{\Sigma'} \varphi \leq \int_{\Sigma'} \mathrm{vol}_{\Sigma'}

가 성립한다. 첫 번째 등식은 ''Σ''가 calibrated이기 때문에 성립하고, 두 번째 등식은 ''φ''가 닫혀 있으므로 스토크스 정리에 의해 성립하며, 부등식은 ''φ''가 calibration이기 때문에 성립한다.

4. 예시

켈러 다양체에서 적절히 정규화된 켈러 형식의 거듭제곱은 측정 형식이며, 측정 부분다양체는 복소 부분다양체이다. 이는 Wirtinger 부등식에서 유도된다.
칼라비-야우 다양체에서 정칙 부피 형식의 실수부(적절히 정규화됨)는 측정 형식이며, 측정 부분다양체는 특수 라그랑지안 부분다양체이다.
G2 다양체에서 3-형식과 호지 쌍대 4-형식은 모두 측정 형식을 정의한다. 이에 해당하는 측정 부분다양체를 연관 부분다양체와 공연관 부분다양체라고 부른다.
Spin(7) 다양체에서 케일리 형식이라고 알려진 정의 4-형식은 측정 형식이다. 이에 해당하는 측정 부분다양체를 케일리 부분다양체라고 부른다.

4. 1. 켈러 다양체

M

이 켈러 다양체이고,

\omega

가 그 켈러 형식이라고 하자. 이 경우

\omega^n/n!

은 측정 형식이고, 이에 대한 측정 부분다양체는 복소 부분다양체이다. 이는 Wirtinger 부등식에서 유도된다.

4. 2. 칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체는 복소

n

차원 켈러 다양체이며, 정칙

n

차 복소 미분 형식

\Omega

가 주어져 있고,

\Omega\wedge\bar\Omega

가 부피 형식과 같다고 가정한다. 이 경우

\operatorname{Re}\Omega

는 측정 형식이며, 이에 대한 측정 부분 다양체는 특수 라그랑주 부분 다양체이다.

4. 3. G₂ 다양체

G₂ 다양체에서는 3차 형식과 그 호지 쌍대 4차 형식이 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분다양체는 각각 '''결합 부분 다양체'''(結合部分多樣體, associative submanifold^영어)와 '''공결합 부분 다양체'''(共結合部分多樣體, coassociative submanifold^영어)라고 한다.

4. 4. Spin(7) 다양체

Spin(7) 홀로노미 다양체의 경우 평행 4차 형식('''케일리 형식''' Cayley form^영어)이 존재하며, 이 형식은 측정 형식이 된다. 이 경우, 측정 부분 다양체를 '''케일리 부분 다양체'''(Cayley部分多樣體, Cayley submanifold^영어)라고 한다.

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