가우스의 빼어난 정리
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1. 개요
가우스의 빼어난 정리는 3차원 유클리드 공간 내 곡면의 가우스 곡률이 곡면의 거리 구조만으로 계산될 수 있다는 정리이다. 가우스 곡률은 곡면의 굽은 정도를 나타내며, 이 정리에 따라 외부 공간의 형태와 무관하게 곡면 자체의 내재적인 정보만으로 결정된다. 이 정리는 지도 제작에서 지구 표면을 평면에 정확히 나타낼 수 없다는 것을 보여주는 데 활용되며, 카테노이드와 헬리코이드와 같은 곡면의 변형에도 적용된다. 또한, 고차원 리만 다양체로 확장되어 단면 곡률과 주곡률 간의 관계를 설명하며, 짝수 차원에서는 가우스 곡률이 내재적인 양임을, 홀수 차원에서는 가우스 곡률의 제곱이 내재적인 양임을 보여준다.
가우스 곡률은 제1 기본 형식의 계수와 그 도함수를 이용하여 표현할 수 있으며, 크리스토펠 기호를 사용하여 나타낼 수 있다. 가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 제1 기본 형식(그리고 그 2계 이하의 편미분)만을 사용하여 기술할 수 있다는 것을 의미한다. 제1 기본 형식은 현대적인 표현으로 "리만 계량"이라고 불린다.
가우스의 빼어난 정리를 증명하는 과정은 간단하지만, 크리스토펠 기호를 많이 써야 해서 실제로 모든 단계를 적는 것은 복잡하다. 곡면 위의 좌표조각사상 '''x'''(u, v)에서 벡터 '''x'''u, '''x'''v의 1계 편도함수와, '''N'''의 1계 편도함수를 각각 가우스의 공식과 바인가르텐 공식에 따라 적은 뒤,
2. 표현
2. 1. 가우스 곡률 공식
가우스 곡률 ''K''는 제1 기본 형식의 계수와 도함수를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.
:
여기서 는 크리스토펠 기호(제2종 크리스토펠 기호)이다.
제1 기본 형식을 다음과 같이 표현할 때,
:
가우스 곡률 ''K''는 브리오스키의 공식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:
여기서 는 의 -편미분을 나타낸다.
3. 증명의 개략
: '''x'''uuv = '''x'''uvu
의 관계를 이용하여 얻은 식에서 좌변과 우변에 대한 '''x'''v의 계수를 같다고 놓으면 가우스 곡률 표현식을 얻을 수 있다.
가우스의 빼어난 정리는 다음과 같이 표현할 수 있다.
: 내의 곡면 에 대해, 의 가우스 곡률은 의 제1 기본 형식(그리고 그 2계 이하의 편미분)만을 사용하여 기술할 수 있다.
여기서 제1 기본 형식은 현대적인 용어로 "리만 계량"이라고 불린다.
구체적으로 제1 기본 형식을
:
라고 할 때, 가우스 곡률 K는 en에 의해 다음과 같이 표현된다.
:
여기서 Eu는 E의 u-편미분을 나타낸다.
4. Theorema Egregium (가우스의 뛰어난 정리)
반지름이 ''R''인 구는 1/''R''2과 같은 일정한 가우스 곡률을 갖는다. 평면은 가우스 곡률이 0이다. 놀라운 정리의 결과로, 종이 조각은 구겨지지 않고 구 위에 구부릴 수 없다. 반대로, 구의 표면은 거리를 왜곡하지 않고 평평한 평면에 펼칠 수 없다. 빈 계란 껍데기를 밟으면, 납작하게 되기 전에 가장자리가 팽창하면서 갈라져야 한다.[1] 수학적으로 구와 평면은 국소적으로도 등거리 사상이 아니다. 이는 지도 제작에서 중요하며, 지구 표면의 일부분이라도 완벽한 평면 지도는 존재할 수 없다는 것을 의미한다. 따라서 모든 지도 투영법은 적어도 일부 거리를 왜곡할 수밖에 없다.[1]
카테노이드와 헬리코이드는 매우 다르게 보이지만, 각각은 다른 하나로 연속적으로 구부릴 수 있다. 즉, 국소적으로 등거리이다. 놀라운 정리에 따르면, 이러한 구부림에서 카테노이드와 헬리코이드의 임의의 두 대응점에서의 가우스 곡률은 항상 같다. 등거리 사상은 내부 구김이나 찢김 없이, 다시 말해 추가적인 장력, 압축 또는 전단 없이 표면을 구부리고 비트는 것이다.
이 정리의 응용은 평평한 물체가 선을 따라 약간 접히거나 구부러져 수직 방향으로 강성이 생길 때 볼 수 있다. 이는 건축에서 실용적으로 사용될 뿐만 아니라 피자를 먹을 때도 사용된다. 평평한 피자 조각은 가우스 곡률이 0인 표면으로 볼 수 있다. 피자 조각을 부드럽게 구부리면 이 곡률이 거의 유지되어야 한다(구부림이 거의 국소 등거리 사상이라고 가정). 반지름을 따라 수평으로 피자 조각을 구부리면, 구부림을 따라 0이 아닌 주곡률이 생성되며, 이는 다른 주곡률이 0이어야 함을 의미한다. 이는 접힘에 수직인 방향으로 강성을 만들어내는데, 피자를 깔끔하게 먹을 수 있을 만큼 모양을 유지하는 데 필요하다. 이와 같은 원리는 골판지 재료, 골판지와 골판 강판,[2] 그리고 일부 감자칩에서도 강화에 사용된다.
3차원 유클리드 공간 내의 곡면 위의 점 에서 “가장 굽어 있는 방향”의 굽은 정도와 “가장 굽어 있지 않은 방향”의 굽은 정도의 곱을 에서 의 '''가우스 곡률'''이라 한다. (가 안장점인 경우 반대 방향 굽힘을 음의 굽은 정도로 해석한다. “가장 굽어 있지 않은 방향”은 “반대 방향으로 가장 굽어 있는 방향”이다.)
가우스 곡률은 정의에서 알 수 있듯 에서 의 굽은 정도를 이용해 정의되므로, 에서 의 모양이 중요해 보인다.
하지만 '''가우스 곡률은 의 “외부 공간”인 과 무관하게 계산할 수 있다는 것이 Theorema Egregium(괄목할 만한 정리)의 요지'''이다. 가우스 곡률은 의 거리 공간으로서의 구조(리만 계량)만으로 계산할 수 있다.
내에서 을 변형시켜도, 그 변형이 의 거리 구조를 변화시키지 않는 한 가우스 곡률은 변하지 않는다. 카테노이드(현수면)와 헬리코이드(나선면)는 외형이 크게 다르지만, 두 곡면의 거리 구조는 같으므로 가우스 곡률은 변하지 않는다.
이처럼 “외부 공간”과 무관하게 의 정보만으로 계산 가능한 양을 에 '''내재적인'''(intrinsic) 양이라 한다. Theorema Egregium은 가우스 곡률이 의 내재적인 양임을 의미한다.
thumb를 그리는 것은 불가능하다.]]
Theorema Egregium을 사용하면, 지구의 지도를 그릴 때 '''거리를 왜곡하지 않는 정확한 지도는 그릴 수 없다'''는 것을 보일 수 있다.[11][12] 만약 정확한 지도를 그릴 수 있다면, 지구와 지도(구면과 평면)의 거리 구조는 동일하므로, Theorema Egregium에 의해 두 곡면의 가우스 곡률은 같아야 한다. 하지만 구면의 가우스 곡률은 반지름을 이라 하면 이고, 평면의 가우스 곡률은 이므로, 이는 모순이다.
가우스가 Theorema Egregium 등의 곡면론(가우스의 곡면론)을 연구하게 된 계기는 국가 측량을 의뢰받았기 때문이었다.
4. 1. 어원
"Theorema Egregium"이라는 용어는 이 정리를 증명한 가우스의 원 논문에서 유래한다.[1]
Formula itaque art. praec, sponte perducit ad '''egregium''' : '''T
따라서 전항의 공식 자체가 '''뛰어난''' : '''정리'''. 만약 곡면이 어떤 다른 곡면으로 전개되더라도, 각 점에서의 곡률의 크기는 변하지 않는다.|따라서 전항의 공식 자체가 '''뛰어난''' : '''정리'''. 만약 곡면이 어떤 다른 곡면으로 전개되더라도, 각 점에서의 곡률의 크기는 변하지 않는다.la
4. 2. 현대적 공식화
리만 다양체의 언어를 사용하면, 가우스의 빼어난 정리를 다음과 같이 다시 공식화할 수 있다.
$\mathbb{R}^3$의 $C^\infty$급 부분다양체 $M \subset \mathbb{R}^3$을 생각하고, $M$에 $\mathbb{R}^3$의 내적에서 유도되는 리만 계량 $g$를 넣는다. $g$가 정하는 레비-치비타 연결(공변미분)을 $\nabla$라 하고, 리만 곡률 텐서 $R$을 다음과 같이 정의한다.
: $R(X,Y)Z := \nabla_X\nabla_YZ - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z$
각 점 $P \in M$에 대해, $T_PM$의 $g$에 관한 정규직교기저 $e_1, e_2$를 선택하고, $P$에서 $M$의 단면곡률을 다음과 같이 정의한다.
: $\mathrm{Sec}_P := g(e_1, R(e_1, e_2)e_2)$
단면곡률은 $e_1, e_2$의 선택 방법에 관계없이 well-defined임이 알려져 있다.
이때 가우스의 빼어난 정리는 다음과 같이 다시 공식화할 수 있다. $\mathbb{R}^3$의 2차원 부분다양체 $M \subset \mathbb{R}^3$에 대해, 점 $P$에서의 가우스 곡률은 점 $P$에서의 단면곡률과 일치한다.[13]
단면곡률은 $M$에 내재적인 양(리만 계량)만으로 정의되었으므로, 단면곡률은 $M$에 내재적인 양이다. 따라서 위의 정리는 가우스 곡률이 $M$에 내재적임을 보여주고 있다.
5. 응용
가우스의 빼어난 정리는 다양한 분야에 응용된다.
반지름이 ''R''인 구는 1/''R''2과 같은 일정한 가우스 곡률을 갖는다. 평면은 가우스 곡률이 0이다. 카테노이드와 헬리코이드는 겉보기에는 매우 다르지만, 서로 연속적으로 구부릴 수 있어 국소적으로 등거리이다. 가우스의 빼어난 정리에 따르면, 이렇게 구부리는 과정에서 카테노이드와 헬리코이드의 임의의 두 대응점에서의 가우스 곡률은 항상 같다. 즉, 등거리 사상은 추가적인 장력, 압축, 전단 없이 표면을 구부리고 비트는 것이다.[1]
이러한 원리는 건축, 피자 조각을 다루는 방법, 골판지 재료 등에서 그 응용 사례를 찾아볼 수 있다.[2]
5. 1. 지도 제작
놀라운 정리에 따르면, 구의 표면은 거리를 왜곡하지 않고 평평한 평면에 펼칠 수 없고, 종이 조각은 구겨지지 않고 구 위에 구부릴 수 없다. 이는 구와 평면이 수학적으로 국소적 등거리 사상이 아니기 때문이다. 이 사실은 지도 제작에서 중요하며, 지구 표면의 일부분이라도 완벽한 평면 지도는 존재할 수 없음을 의미한다. 따라서 모든 지도 투영법은 적어도 일부 거리를 왜곡할 수밖에 없다.[1]5. 2. 재료의 강성
평평한 물체가 선을 따라 약간 접히거나 구부러져 수직 방향으로 강성이 생기는 현상은 이 정리의 응용 사례이다. 이는 건축에서 실용적으로 사용될 뿐만 아니라 일반적인 피자 먹는 전략에도 사용된다.[2] 평평한 피자 조각은 가우스 곡률이 0인 표면으로 볼 수 있다. 피자 조각을 부드럽게 구부리면 이 곡률이 거의 유지되어야 한다(구부림이 거의 국소 등거리 사상이라고 가정). 만약 반지름을 따라 수평으로 피자 조각을 구부리면, 구부림을 따라 0이 아닌 주곡률이 생성되며, 이는 이러한 지점에서 다른 주곡률이 0이어야 함을 의미한다. 이는 접힘에 수직인 방향으로 강성을 만들어내는데, 이는 피자를 먹을 때 깔끔하게 먹을 수 있을 만큼 모양을 유지하는 데 바람직한 속성이다. 이와 같은 원리는 골판지 재료, 가장 익숙한 것은 골판지와 골판 강판,[2] 그리고 일부 감자칩에서도 강화에 사용된다.5. 3. 곡면의 변형
카테노이드와 헬리코이드는 매우 다르게 보이는 두 곡면이다. 그럼에도 불구하고, 각각은 다른 하나로 연속적으로 구부릴 수 있다. 즉, 국소적으로 등거리 사상이다. 가우스의 빼어난 정리에 따르면, 이러한 구부림에서 카테노이드와 헬리코이드의 임의의 두 대응점에서의 가우스 곡률은 항상 같다. 따라서 등거리 사상은 내부 구김이나 찢김 없이, 다시 말해 추가적인 장력, 압축 또는 전단 없이 표면을 구부리고 비트는 것이다.[1]내에서 곡면을 변형시키더라도, 그 변형이 곡면의 거리 구조를 변화시키지 않는 한 가우스 곡률은 변하지 않는다. 예를 들어 카테노이드(현수면)와 헬리코이드(나선면)는 외형이 크게 다르지만, 두 곡면의 거리 구조는 같으므로 가우스 곡률은 변하지 않는다.
6. 고차원의 경우
가우스의 빼어난 정리는 고차원 리만 다양체의 부분 다양체로 확장될 수 있다.
을 리만 다양체의 부분 다양체라 하자. 이 에서 여차원 1이라면, 제2 기본 형식이 실수값의 이중선형 사상이 되고, 주곡률 및 그에 대응하는 주방향을 정의할 수 있다. 더 나아가 모든 주곡률의 곱으로 가우스 곡률을 정의할 수 있다.
이 짝수인 경우에는 에서 의 가우스 곡률을 리만 곡률로 나타낼 수 있다. 가 곡률 0인 경우에는, 리만 곡률에서 정해지는 오일러 형식이 가우스 곡률과 일치한다. 이 오일러 형식은 가우스-보네 정리의 고차원화에도 도움이 되며, 오일러 형식을 적분한 것이 오일러 수와 일치한다.
자세한 내용은 부분 리만 다양체의 접속과 곡률 항목을 참조하면 된다.
6. 1. 단면곡률과 주곡률의 관계
을 리만 다양체의 부분 다양체라 하자. 이 에서 여차원 1이라면, 제2 기본 형식이 실수값의 이중선형 사상이 되고, 제2 기본 형식의 고유값·고유벡터로서 주곡률 및 그에 대응하는 주방향을 정의할 수 있다.이때 다음이 성립한다.[14]
:
여기서 ，는 각각 ''''，의 단면 곡률이다.
이 곡률 의 정곡률 공간이라면, 다음이 성립한다.
:
6. 2. Theorema Egregium의 일반화
리만 다양체 $M$이 $ \overline{M}$의 부분 다양체이고, $M$의 여차원이 1이라면, 제2 기본 형식의 고윳값과 고유벡터로 주곡률 $\kappa_1,\ldots,\kappa_m$ 및 주방향 $e_1,\ldots,e_m$을 정의할 수 있다. $M$이 $\overline{M}$에서 여차원 1이라면, 모든 주곡률의 곱으로 가우스 곡률 $K=\kappa_1\cdots\kappa_m$을 정의할 수 있다.$i \neq j$인 $i, j \in \{1,\ldots,m\}$에 대해 다음이 성립한다.[14]
: $\mathrm{Sec}(e_i,e_j)=\overline{\mathrm{Sec}}(e_i,e_j)+\kappa_i\kappa_j$
여기서 $\mathrm{Sec}_P(\cdot,\cdot)$, $\overline{\mathrm{Sec}}_P(\cdot,\cdot)$는 각각 $M$, $\overline{M}$의 단면 곡률이다.
$\overline{M}$이 곡률 $c$인 정곡률 공간이라면,
: $\mathrm{Sec}(e_i,e_j)=c+\kappa_i\kappa_j$
이며, $\mathrm{Sec}_P(e_i,e_j)$는 $M$에 내재적인 양이다.
$\bar{M}_c$를 곡률 $c$의 정곡률 공간이라 하고, $M \subset \bar{M}_c$를 여차원 $1$의 부분 다양체, $P$를 $M$의 점이라 하자. 선형 사상 $\rho~:~\wedge^2TM_P \to \wedge^2TM_P$를
: $g(\rho(X \wedge Y),Z\wedge W)=g(R(X,Y)W,Z)$
로 정의하면, $\rho$의 고윳값 집합은
: $\{\kappa_i\kappa_j+c \mid i,j \in 1,\ldots,m , \text{ s.t. }i\neq j\}$
와 일치한다. 여기서 $m$은 $M$의 차원이며, $\kappa_1,\ldots,\kappa_m$은 점 $P$에서의 주곡률이다.
$\kappa_1,\ldots,\kappa_m$에 대응하는 주방향을 $e_1,\ldots,e_m$이라 하면, $\kappa_i\kappa_j+c$에 대응하는 고유벡터는 $e_i\wedge e_j$이다.
따라서, $\bar{M}_c$에서 $M$의 가우스 곡률 $K$는 $M$의 차원 $m$이 짝수라면 $M$에 내재적인 양이다.
6. 3. 짝수/홀수 차원 가우스 곡률의 내재성
리만 다양체 가 곡률 인 정곡률 공간 의 부분 다양체이고, 의 차원이 짝수일 때, 의 가우스 곡률 는 내재적인 양이다. 이는 가우스-보네 정리의 고차원 확장에 활용될 수 있는데, 오일러 형식을 적분한 것이 오일러 수와 일치한다는 형태로 나타낼 수 있다.의 차원이 홀수일 때는 가우스 곡률이 내재적인 양은 아니지만, 부호를 제외하고는 내재적인 양이다. 즉, 가우스 곡률의 제곱은 내재적이다.
참조
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Geodesy
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Lectures 16-17: Gauss's Remarkable Theorem
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문서
정구방위도법, 리만다양체, normal coordinates
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문서
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문서
Carmo
[14]
문서
Carmo
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서적
미분기하학개론
경문사
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