카르탕 정리

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1. 개요

카르탕 정리는 슈타인 다양체 위의 연접층과 아핀 스킴 위의 준연접층에 대한 두 가지 정리로 구성된다. 카르탕 A정리는 가군층이 대역적 단면들로부터 생성된다는 것을, 카르탕 B정리는 층 코호몰로지가 자명군이라는 것을 의미한다. 이 정리는 앙리 카르탕에 의해 1953년에 증명되었고, 아핀 스킴에 대한 카르탕 정리는 장피에르 세르에 의해 1955년에 증명되었다.

카르탕 정리

개요

종류	정리
분야	다변수 복소해석학
발견자	앙리 카르탕

정리 내용

정리 A	스탕 다양체 위의 코히어런트 시프는 단면들에 의해 생성된다.
정리 B	스탕 다양체 위의 코히어런트 시프는 더 높은 코호몰로지가 없다. 즉, 모든 p > 0에 대해 H^p(X, F) = 0이다.

관련 개념

관련 정리	오카의 결합성 정리

참고 문헌

참고 문헌	https://www.ams.org/journals/bull/1957-63-03/S0002-9904-1957-10134-8/S0002-9904-1957-10134-8.pdf https://projecteuclid.org/journals/michigan-mathematical-journal/volume-3/issue-1/Cohomologie-des-faisceaux-alg%C3%A9briques-coh%C3%A9rents/10.1307/mmj/1028989852.full https://books.google.co.kr/books/about/Algebraic_Geometry.html?id=n9dgAAAAcAAJ&redir_esc=y

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 슈타인 다양체 위의 카르탕 정리
- 2.2. 아핀 스킴 위의 카르탕 정리
3. 역사

2. 정의

카르탕 정리는 슈타인 다양체와 아핀 스킴에 대해 성립한다. 카르탕 정리는 카르탕 A정리와 카르탕 B정리로 구성된다. 카르탕 A정리는 연접층이 대역적 단면들로부터 생성됨을 의미하고, 카르탕 B정리는 특정 층 코호몰로지가 자명군임을 의미한다.

2.1. 슈타인 다양체 위의 카르탕 정리

슈타인 다양체 $X$ 위의 연접층 $\mathcal F$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

* (카르탕 A정리 Cartan’s theorem A^영어) $\mathcal F$ 는 $\mathcal O_X$ -가군층으로서, $\mathcal F$ 의 대역적 단면들로부터 생성된다.
* (카르탕 B정리 Cartan’s theorem B^영어) 임의의 $p>0$ 에 대하여, 층 코호몰로지 $H^p(X;\mathcal F)$ 는 자명군이다.

아핀 스킴에 대해서도 유사한 정리가 성립한다. 임의의 아핀 스킴 $X$ 및 그 위의 준연접층 $\mathcal F$ 에 대하여,

* (아핀 스킴에 대한 카르탕 A정리) $\mathcal F$ 는 $\mathcal O_X$ -가군층으로서, $\mathcal F$ 의 대역적 단면들로부터 생성된다.
* (아핀 스킴에 대한 카르탕 B정리) 임의의 $p>0$ 에 대하여, 층 코호몰로지 $H^p(X;\mathcal F)$ 는 자명군이다.

2.2. 아핀 스킴 위의 카르탕 정리

아핀 스킴에 대해서도 유사한 정리가 성립한다. 임의의 아핀 스킴 $X$ 및 그 위의 준연접층 $\mathcal{F}$ 에 대하여,

* (아핀 스킴에 대한 카르탕 A정리) $\mathcal{F}$ 는 $\mathcal{O}_X$ -가군층으로서, $\mathcal{F}$ 의 대역적 단면들로부터 생성된다.
* (아핀 스킴에 대한 카르탕 B정리) 임의의 $p>0$ 에 대하여, 층 코호몰로지 $H^p(X;\mathcal{F})$ 는 자명군이다.

3. 역사

앙리 카르탕이 1953년에 증명하였다. 아핀 스킴에 대한 카르탕 정리는 장피에르 세르가 1955년에 증명하였다.