슈타인 다양체

3. 성질

모든 슈타인 다양체는 콤팩트 공간이 아니다. 슈타인 다양체 위의 연접층에 대하여 카르탕 정리가 성립하며, 이에 따라 슈타인 다양체 위의 쿠쟁 문제를 쉽게 풀 수 있다. 카르탕 정리 및 GAGA 정리에 따라, 슈타인 다양체는 아핀 스킴에 대응하는 개념이다.

슈타인 다양체의 임베딩 정리에 따르면, 복소 차원 $n$인 모든 슈타인 다양체 $X$는 쌍정칙 고유 사상에 의해 $\backslash Complex^\{2n+1\}$에 임베딩될 수 있다. 이는 슈타인 다양체가 복소 공간의 닫힌 복소 부분 다양체이며, 그 복소 구조는 주변 공간의 구조와 같다는 것을 의미한다.

복소 차원 $n$인 모든 슈타인 다양체는 $n$차원 CW-복합체의 호모토피 유형을 가진다. 또한, 모든 슈타인 다양체 $X$는 정칙적으로 전개 가능하다. 즉, 모든 점 $x\; \backslash in\; X$에 대해, $X$ 전체에 정의된 $n$개의 정칙 함수가 존재하여 $x$의 열린 이웃으로 제한될 때 국소 좌표계를 형성한다.

3. 1. 1차원 복소 다양체

3. 2. 강한 유사 볼록 다양체와의 관계

4. 예시

• 유한 차원 복소 벡터 공간 $\backslash mathbb\; C^n$은 슈타인 다양체이다.
• $\backslash mathbb\; C^n$의 부분 공간인 모든 정칙영역은 슈타인 다양체이다.
• 슈타인 다양체의 닫힌 부분 복소 다양체 또한 슈타인 다양체이다.^[1]
• 복소 1차원에서, 연결된 리만 곡면이 콤팩트하지 않을 때, 그리고 그때에만 슈타인 다양체이다. complex vector space^영어는 삭제함.

5. 역사

카를 슈타인(Karl Stein^de)이 도입하였다.^[9]

6. 매끄러운 다양체와의 관계

2n차원 콤팩트 매끄러운 다양체는 지표가 n 이하인 손잡이만 가지고 있으면 n > 2일 때 슈타인 구조를 가지며, n = 2일 때는 틀(Thurston–Bennequin 틀보다 작은 틀)로 2-손잡이가 붙어 있으면 슈타인 구조를 가진다.^[2][3] 모든 닫힌 매끄러운 4-다양체는 공통 경계를 따라 붙여진 두 개의 슈타인 4-다양체의 합집합이다.^[4]

참조

_[1] Eom Levi problem
_[2] 논문 Topological characterization of Stein manifolds of dimension > 2 1990
_[3] 논문 Handlebody construction of Stein surfaces 1998
_[4] 논문 A convex decomposition for four-manifolds 1998
_[5] 웹사이트 PlanetMath: solution of the Levi problem http://planetmath.or[...]
_[6] 논문 Topological characterization of Stein manifolds of dimension > 2 1990
_[7] 논문 Handlebody construction of Stein surfaces 1998
_[8] 논문 A convex decomposition for four-manifolds 1998
_[9] 저널 Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem 1951