가군층

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 전역 단면으로 생성됨
4. 연산
- 4.1. 텐서 대수, 외대수, 대칭 대수
5. 예
- 5.1. 구체적인 예
- 5.2. 일반적인 예
6. 가군에 부수하는 층
7. 차수 붙은 가군에 부수하는 층
8. 층 코호몰로지 계산
- 8.1. 체흐 코호몰로지
- 8.2. 세르 소멸 정리
9. 층의 확대
- 9.1. 국소 자유 분해
  - 9.1.1. 초곡면
  - 9.1.2. 매끄러운 완전 교차의 합집합
참조

1. 개요

가군층은 환 달린 공간 위의 아벨 군의 층으로, 각 열린 집합에 가군 구조를 부여하여 정의된다. 가군층의 범주는 아벨 범주를 이루며, 층 코호몰로지를 정의할 수 있다. 가군층은 전역 단면으로 생성될 수 있으며, 텐서 대수, 외대수, 대칭 대수 등의 연산을 통해 새로운 가군층을 만들 수 있다. 가군층은 대수기하학에서 중요한 역할을 하며, 층 코호몰로지 계산과 층의 확장에 대한 연구가 이루어진다.

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층론 - 토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.
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층은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시켜 국소적 데이터를 전역적으로 다루는 구조로, 준층, 분리 준층, 층의 세 단계로 정의되며, 대역적 데이터가 국소적 데이터로부터 결정되고 국소적 데이터를 이어붙이는 조건까지 갖춘 수학적 도구이다.

가군층
정의
대상	(X, O) 환을 갖춘 공간
설명	O-가군의 층
추가 정보
참고	O가 가환일 때, O-가군층은 quasi-coherent sheaf이다.
구성
조건	층 F는 각 열린 집합 U ⊆ X에 대해, F(U)는 O(U)-가군이다.
조건	각 열린 집합 V ⊆ U에 대해, 제한 사상 F(U) → F(V)는 O(U) → O(V)와 호환되는 가군 준동형사상이다. 즉, 임의의 O(U)의 원소 f와 F(U)의 원소 s에 대해, 제한 사상은 fs를 (f의 제한)(s의 제한)으로 보낸다.
예시
예시	벡터 다발은 O가 X 위의 함수의 층일 때 O-가군층의 한 예이다.
참고	특히, O가 정수인 경우, O-가군층은 아벨 군의 층이다.

2. 정의

환 달린 공간 $(X, \mathcal O_X)$ 위의 '''가군층'''은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$X$ 위의 아벨 군의 층 $\mathcal F$
각 열린 집합 $U \subseteq X$ 에 대하여, $\Gamma(U; \mathcal F)$ 위의 $\Gamma(U; \mathcal O_X)$ -가군의 구조

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\mathcal F$ 의 제약 사상은 $\mathcal O_X$ 의 제약 사상과 호환된다. 즉, 임의의 열린 집합 $V \subseteq U \subseteq X$ 에 대하여, 제약 사상 $\operatorname{res}_{UV}^{\mathcal O_X} \colon \Gamma(U; \mathcal O_X) \to \Gamma(V; \mathcal O_X)$ , $\operatorname{res}_{UV}^{\mathcal F} \colon \Gamma(U; \mathcal F) \to \Gamma(V; \mathcal F)$ 이 주어졌을 때, 임의의 $f \in \Gamma(U, \mathcal O_X)$ , $s \in \Gamma(U, \mathcal F)$ 에 대하여, $\operatorname{res}^{\mathcal F}_{UV}(fs) = \operatorname{res}^{\mathcal O_X}_{UV}(f) \operatorname{res}^{\mathcal F}_{UV}(s)$ 이다.

3. 성질

환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 가군층의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 또한, 이 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 층 코호몰로지 $H^\bullet(X;-)$ 를 정의할 수 있다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주가 아니다.)

3. 1. 전역 단면으로 생성됨

(''X'', ''O'')를 환 달린 공간이라고 하자. ''O''-가군 ''F''가 다음 ''O''-가군 전사 사상이 존재하면 '''전역 단면으로 생성된다'''고 한다.

:

\bigoplus_{i \in I} O \to F \to 0.

구체적으로, 이것은 각 줄기 ''F''_''x''에서 ''s''_''i''의 이미지가 ''O''_''x''-가군으로서 ''F''_''x''를 생성하는 ''F''의 전역 단면 ''s''_''i''가 존재함을 의미한다.

이러한 묶음의 예는 대수기하학에서 가환환인 ''R''-가군 ''M''에, ''R''의 스펙트럼 ''Spec''(''R'')과 연관된 것이다. 또 다른 예로는, 카르탕 정리 A에 따르면 슈타인 다양체 위의 모든 가결련층은 전역 단면에 의해 생성된다. 스킴 이론에서 이와 관련된 개념은 충분한 선다발이다.

4. 연산

$(X, O)$ 를 환 달린 공간이라고 하자. $F$ 와 $G$ 가 $O$ -가군이면, 이들의 텐서곱은 $F \otimes_O G$ 또는 $F \otimes G$ 로 표시되며, 이는 전층 $U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)$ 에 수반하는 층인 $O$ -가군이다.

마찬가지로, $F$ 와 $G$ 가 $O$ -가군이면, $\mathcal{H}om_O(F, G)$ 는 층 $U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)$ 인 $O$ -가군을 나타낸다.^[4] 특히, $O$ -가군 $\mathcal{H}om_O(F, O)$ 은 $F$ 의 '''쌍대 가군'''이라고 불리며, $\check F$ 로 표기된다.

$f: (X, O) \rightarrow (X', O')$ 를 환 달린 공간의 사상이라고 하자. $F$ 가 $O$ -가군일 때, 순상층 $f_* F$ 는 자연스러운 사상 $O' \rightarrow f_* O$ 에 의해 $O'$ -가군이다.

$G$ 가 $O'$ -가군일 때, $G$ 의 역상 $f^* G$ 인 가군은 가군의 텐서곱으로 주어지는 $O$ -가군이다.

: $f^{-1} G \otimes_{f^{-1} O'} O$

여기서 $f^{-1} G$ 는 $G$ 의 역상 선층이고, $f^{-1} O' \to O$ 는 $O' \to f_* O$ 로부터 수반에 의해 얻어진다.

$f_*$ 와 $f^*$ 사이에는 수반 관계가 존재한다. 즉, 임의의 $O$ -가군 $F$ 와 $O'$ -가군 $G$ 에 대해, 아벨 군으로서

: $\operatorname{Hom}_{O}(f^* G, F) \simeq \operatorname{Hom}_{O'}(G, f_*F)$

이 성립한다. 사영 공식 또한 존재하는데, $O$ -가군 $F$ 와 유한 계수의 국소 자유 $O'$ -가군 $E$ 에 대해,

: $f_*(F \otimes f^*E) \simeq f_* F \otimes E$

이 성립한다.

4. 1. 텐서 대수, 외대수, 대칭 대수

(X, O)를 환 달린 공간이라 하고, F와 G를 O-가군이라고 하자. 그러면 F와 G의 텐서 곱은 $F \otimes_O G$ 또는 $F \otimes G$로 나타내며, 이는 선층 $U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)$에 연관된 O-가군이다.^[4] 여기서 $O(1)$은 투영 공간에서 세르의 비틀린 선층이다.

마찬가지로, F와 G가 O-가군이면, $\mathcal{H}om_O(F, G)$는 선층 $U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)$인 O-가군을 나타낸다.^[4] 특히, O-가군 $\mathcal{H}om_O(F, O)$는 F의 '''쌍대 가군'''이라고 불리며 $\check F$로 표시된다. 임의의 O-가군 E, F에 대해, 다음과 같은 자연스러운 준동형이 존재한다.

:$\check{E} \otimes F \to \mathcal{H}om_O(E, F)$

이는 E가 유한 계수의 국소 자유 선층이면 동형사상이다. 특히, L이 계수 1의 국소 자유이면 (이러한 L은 가역 선층 또는 선 다발이라고 불린다),^[5] 다음과 같이 표현된다.

:$\check{L} \otimes L \simeq O$

이것은 가역 선층의 동형사상 클래스가 군을 형성함을 의미한다. 이 군은 X의 피카르 군이라고 불리며, $\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^*)$ (체흐 코호몰로지를 이용한 표준 논증에 의해)과 자연스럽게 동일시된다.

E가 유한 계수의 국소 자유 선층이면, 페어링에 의해 주어지는 O-선형 사상 $\check{E} \otimes E \simeq \operatorname{End}_O(E) \to O$가 존재한다. 이것은 E의 추적 사상이라고 불린다.

임의의 O-가군 F에 대해, F의 텐서 대수, 외대수 및 대칭 대수는 동일한 방식으로 정의된다. 예를 들어, k-번째 외적

:$\bigwedge^k F$

는 선층 $U \mapsto \bigwedge^k_{O(U)} F(U)$에 연관된 선층이다. F가 계수 n의 국소 자유이면, $\bigwedge^n F$는 F의 행렬식 선 다발 (하지만 기술적으로 가역 선층)이라고 불리며, det(F)로 표시된다. 다음과 같은 자연스러운 완전 페어링이 있다.

:$\bigwedge^r F \otimes \bigwedge^{n-r} F \to \det(F)$

5. 예

다음은 가군층의 예시이다.

환 달린 공간(''X'', ''O'')에서, ''F''가 ''O''의 ''O''-부분 가군인 경우.
''X''가 차원이 ''n''인 매끄러운 다양체인 경우, ''X''의 접다발과 표준 층.
대수 층은 링의 층이기도 한 모듈의 층인 경우.

5. 1. 구체적인 예

환 달린 공간 (''X'', ''O'')가 주어졌을 때, ''F''가 ''O''의 ''O''-부분 가군이면, 각 열린 부분 집합 ''U''에 대해 ''F''(''U'')가 링 ''O''(''U'')의 아이디얼이므로, 이를 아이디얼 층이라고 부른다.
''X''를 차원이 ''n''인 매끄러운 다양체라고 하자. 그러면 ''X''의 접다발은 코탄젠트 다발 $\Omega_X$ 의 쌍대이며, 표준 층 $\omega_X$ 는 $\Omega_X$ 의 ''n''번째 외대수 (행렬식)이다.
대수 층은 링의 층이기도 한 모듈의 층이다.
''X''를 ''n''차원의 매끄러운 대수다양체라고 하면, ''X''의 접층은 여접층 $\Omega_X$ 의 쌍대이며, 표준층 $\omega_X$ 는 $\Omega_X$ 의 ''n''차 외적(행렬식 다발)이다.

5. 2. 일반적인 예

위상 공간

X

위에, 정수환의 상수층

\underline{\mathbb Z}

을 주었을 때,

(X,\underline{\mathbb Z})

위의 가군층은

X

위의 아벨 군의 층과 같다.

6. 가군에 부수하는 층

환 $A$ 위의 가군 $M$ 이 주어졌을 때, $X = \operatorname{Spec}(A)$ 에 대응하는 가군층 $\widetilde{M}$ 을 구성할 수 있다. 여기서 $D(f) = \{ f \ne 0 \} = \operatorname{Spec}(A[f^{-1}])$ 는 $f$ 가 0이 아닌 점들의 집합을 나타낸다.

각 쌍 $D(f) \subseteq D(g)$ 에 대해, 국소화의 보편 성질에 의해 자연스러운 사상 $\rho_{g, f}: M[g^{-1}] \to M[f^{-1}]$ 이 존재하고, $\rho_{g, f} = \rho_{g, h} \circ \rho_{h, f}$ 를 만족한다. 이때, $D(f) \mapsto M[f^{-1}]$ 는 집합 $D(f)$ 를 대상으로 하고, 집합의 포함 관계를 사상으로 하는 범주에서 아벨 군의 범주로 가는 반변 함자이다. 이는 B-층의 조건을 만족하며, 따라서 $M$ 에 연관된 층 $\widetilde{M}$ 을 정의한다.^[26]

가장 기본적인 예시는 $X$ 위의 구조 층 $\mathcal{O}_X = \widetilde{A}$ 이다. $\widetilde{M}$ 은 $\mathcal{O}_X = \widetilde{A}$ -가군의 구조를 가지며, $M \mapsto \widetilde{M}$ 은 $A$ 위의 가군의 범주 Mod_''A''에서 $\mathcal{O}_X$ 위의 가군의 범주로 가는 정확 함자가 된다. 이는 Mod_''A''에서 $X$ 위의 준-가환 층의 범주로 가는 동치를 정의하며, 역은 전역 단면 함자 $\Gamma(X, -)$ 이다. $X$ 가 뇌터 스킴이면, 이 함자는 유한 생성 $A$ -가군의 범주에서 $X$ 위의 가환 층의 범주로 가는 동치이다.

이 구성은 다음과 같은 성질을 가진다.^[27],^[28],^[29]

모든 $A$ -가군 $M, N$ 과 모든 사상 $\varphi:M\to N$ 에 대해, $M[f^{-1}]^{\sim} = \widetilde{M}|_{D(f)}$ .
$A$ 의 소 아이디얼 $p$ 에 대해, $\widetilde{M}_p \simeq M_p$ 는 ''O''_''p'' = ''A''_''p''-가군이다.
$(M \otimes_A N)^{\sim} \simeq \widetilde{M} \otimes_{\widetilde{A}} \widetilde{N}$ .
$M$ 이 유한 표현이면, $\operatorname{Hom}_A(M, N)^{\sim} \simeq \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N})$ .
Mod_''A''와 $X$ 위의 준-가환 층의 범주 사이의 동치에 의해, $\operatorname{Hom}_A(M, N) \simeq \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N}))$ .
$(\varinjlim M_i)^{\sim} \simeq \varinjlim \widetilde{M_i}$ ; 특히, 직합을 취하는 것과 $\sim$ 는 교환한다.
''A''-가군의 시퀀스가 정확할 필요충분조건은 $\sim$ 에 의해 유도된 시퀀스가 정확한 것이다. 특히, $(\ker(\varphi))^{\sim}=\ker(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{coker}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{coker}(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{im}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{im}(\widetilde{\varphi})$ .

7. 차수 붙은 가군에 부수하는 층

''R''을 ''R''₀-대수(''R''₀는 차수 0을 의미)로 차수 1 원소에 의해 생성되는 등급환으로 하고, ''M''을 등급 ''R''-가군으로 한다. ''X''를 ''R''의 Proj 구성으로 하면(''R''이 뇌터 가환환이면 ''X''는 사영 스킴이다), 임의의 양의 차수를 갖는 ''R''의 균질 원소 ''f''에 대해 자연 동형 사상이 있는 ''O''-가군 $\widetilde{M}$ 이 존재한다.^[12]

: $\widetilde{M}|_{\{f \ne 0\}} \simeq (M[f^{-1}]_0)^{\sim}$

이는 아핀 스킴 $\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}(R[f^{-1}]_0)$ 위의 가군의 층으로, 풀잉을 통해 $\widetilde{M}$ 을 정의한다.^[12]

'''예시''': ''R''(1)_''n'' = ''R''_''n''+1으로 주어지는 등급 ''R''-가군을 ''R''(1)이라고 한다. 그러면 $O(1) = \widetilde{R(1)}$ 은 세르 꼬임층이라고 불리며, ''R''이 차수 1에서 유한하게 생성되면 자명한 선형 다발의 쌍대이다.

만약 ''F''가 ''X'' 위의 ''O''-가군이라면, $F(n) = F \otimes O(n)$ 로 표기할 때, 다음과 같은 자연 사상이 존재한다.

: $\left(\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, F(n))\right)^{\sim} \to F,$

이는 ''F''가 준연접일 때에만 동형 사상이다.

8. 층 코호몰로지 계산

환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 가군층의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 층 코호몰로지 $H^\bullet(X;-)$ 를 정의할 수 있다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주는 아니다.)

층 코호몰로지는 계산하기 어렵기로 정평이 나 있다. 따라서 층 코호몰로지의 실제 계산에는 체흐 코호몰로지와 세르 소멸 정리가 기본이 된다.

8. 1. 체흐 코호몰로지

층 코호몰로지는 계산하기 어렵다는 평판을 가지고 있다. 이 때문에 다음의 일반적인 사실은 모든 실질적인 계산에 기본이 된다.

: ''X''를 위상 공간, ''F''를 위상 공간 ''X'' 위의 가군층,

\mathfrak{U}

를

\operatorname{H}^i(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}, F) = 0

인 ''X''의 열린 덮개라고 하자. 여기서 모든 ''i'', ''p''에 대해, 그리고

U_{i_j}

는

\mathfrak{U}

에 속한다. 그러면 모든 ''i''에 대해,

:

\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{H}^{i}(C^{\bullet}(\mathfrak{U}, F))

: 여기서 우변은 ''i''번째 체흐 코호몰로지이다.

8. 2. 세르 소멸 정리

세르 소멸 정리^[13]는 ''X''가 사영 대수다양체이고 ''F''가 ''X'' 위의 연접층일 때, 충분히 큰 ''n''에 대해 세르 꼬임 ''F''(''n'')은 유한 개의 전역 단면으로 생성된다고 말한다. 게다가 다음과 같은 성질을 갖는다.

(a) 각 ''i''에 대해, H^''i''(''X'', ''F'')는 ''R''₀ 위에서 유한하게 생성된다.

(b) ''F''에 따라 달라지는 정수 ''n''₀가 존재하여

::

\operatorname{H}^i(X, F(n)) = 0, \, i \ge 1, n \ge n_0.

이다.^[14]^[15]^[16]

9. 층의 확대

(''X'', ''O'')^영어가 환 달린 공간이고, ''F''^영어, ''H''^영어가 ''X''^영어 위의 ''O''^영어-가군 층이라고 하자. ''H''^영어의 ''F''^영어에 의한 '''확장'''은 ''O''^영어-가군의 짧은 완전열

: $0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0$

이다.

군 확장과 마찬가지로, ''F''^영어와 ''H''^영어를 고정하면, ''H''^영어의 ''F''^영어에 의한 모든 확장의 동치류는 아벨 군을 형성하며 (바이어 합 참조), 이는 Ext 군 $\operatorname{Ext}_O^1(H,F)$ 와 동형이다. $\operatorname{Ext}_O^1(H,F)$ 의 항등원은 자명한 확장에 해당한다.^[17]

''H''^영어가 ''O''^영어인 경우, 임의의 ''i''^영어 ≥ 0에 대해 다음이 성립한다.

: $\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{Ext}_O^i(O,F)$

이는 양변 모두 동일한 함자 $\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)$ 의 오른쪽 유도 함자이기 때문이다.^[17]

'''참고''': 일부 저자는 아래첨자 ''O''를 생략한다.

''X''가 뇌터 환 위의 사영 스킴이고, ''F'', ''G''가 ''X'' 위의 가결 층이며, ''i''가 정수라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 ''n''₀가 존재한다.

: $\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0$ .^[17]

9. 1. 국소 자유 분해

(''X'', ''O'')가 환 달린 공간이고, ''F'', ''H''가 ''X'' 위의 ''O''-가군 층이라고 하자. ''H''의 ''F''에 의한 확장은 ''O''-가군의 짧은 완전열

:

0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0

이다.

군 확장과 마찬가지로, ''F''와 ''H''를 고정하면, ''H''의 ''F''에 의한 모든 확장의 동치류는 아벨 군을 형성하며 (바이어 합 참조), 이는 Ext 군

\operatorname{Ext}_O^1(H,F)

와 동형이다.

\operatorname{Ext}_O^1(H,F)

의 항등원은 자명한 확장에 해당한다.

''H''가 ''O''인 경우, 임의의 ''i'' ≥ 0에 대해 다음이 성립한다.

:

\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{Ext}_O^i(O,F)

이는 양변 모두 동일한 함자

\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)

의 오른쪽 유도 함자이기 때문이다.

'''참고''': 일부 저자는 아래첨자 ''O''를 생략한다.

''X''가 뇌터 환 위의 사영 스킴이고, ''F'', ''G''가 ''X'' 위의 가결 층이며, ''i''가 정수라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 ''n''₀가 존재한다.

:

\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0

.^[17]

9. 1. 1. 초곡면

매끄러운 차수

d

의 초곡면

X

를 생각해보자. 그러면 다음과 같은 분해를 계산할 수 있다.

:

\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}

그리고 다음을 찾을 수 있다.

:

\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F}) = h^i(\mathcal{Hom}(\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}, \mathcal{F}))

9. 1. 2. 매끄러운 완전 교차의 합집합

다음과 같은 스킴을 고려하자.

:

X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]}{(f)(g_1,g_2,g_3)} \right) \subseteq \mathbb{P}^n

여기서

(f,g_1,g_2,g_3)

는 매끄러운 완전 교차이고

\deg(f) = d

,

\deg(g_i) = e_i

이다. 다음과 같은 복소수를 갖는다.

:

\mathcal{O}(-d-e_1-e_2-e_3) \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_3 \\ -g_2 \\ -g_1 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_1-e_3) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_2 & g_3 & 0 \\ -g_1 & 0 & -g_3 \\ 0 & -g_1 & g_2 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_3)  \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} fg_1 & fg_2 & fg_3 \end{bmatrix}} \mathcal{O}

이 복소수는

\mathcal{O}_X

를 해소하며, 이를 사용하여

\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})

를 계산할 수 있다.

참조

_[1] 문서 Math 216: Foundations of algebraic geometry http://math.stanford[...]
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 문서 canonical homomorphism
_[5] 문서 tensor inverse
_[6] 서적
_[7] 웹사이트 https://math.stackex[...]
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_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
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_[13] 웹사이트 Section 30.2 (01X8): Čech cohomology of quasi-coherent sheaves—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2023-12-07
_[14] 서적 2021
_[15] 서적 Local Cohomology Cambridge University Press
_[16] 서적 1955
_[17] 서적
_[18] 서적 Algebraic Geometry
_[19] 문서 Math 216: Foundations of algebraic geometry http://math.stanford[...]
_[20] 서적
_[21] 서적
_[22] 문서 標準的な準同型
_[23] 문서 テンソル逆を持つこと
_[24] 서적
_[25] 웹사이트 http://math.stackexc[...]
_[26] 서적
_[27] 서적
_[28] 서적
_[29] 서적
_[30] 서적
_[31] 서적

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