카스너 계량

1. 개요

카스너 계량은 3차원 이상의 시공간에서 공간이 서로 다른 비율로 확장하거나 수축하는 시공간을 설명하는 계량이다. 카스너 지수라고 불리는 상수들을 포함하며, 아인슈타인 방정식의 엄밀해 중 하나이다. 카스너 지수는 두 가지 카스너 조건을 만족해야 하며, 이 조건들은 해의 공간을 정의한다. 카스너 해는 공간 조각의 부피가 시간에 따라 변하며, 빅뱅 또는 빅 크런치를 설명할 수 있다는 특징을 갖는다. 또한, 등방성 팽창이나 수축이 불가능하며, 음의 카스너 지수를 가질 수 있다.

2. 계량 및 조건

차원 $D>3$인 시공간에서 카스너 계량은 다음과 같다.

:$\backslash text\{d\}s^2\; =\; -\backslash text\{d\}t^2\; +\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{D-1\}\; t^\{2p\_j\}\; [\backslash text\{d\}x^j]^2$

여기에는 카스너 지수라고 불리는 $D-1$개의 상수 $p\_j$가 포함되어 있다. 카스너 계량은 등시간 조각이 공간적으로 평평한 시공간을 기술하는데, 이 공간은 서로 다른 방향으로 $p\_j$ 값에 따라 서로 다른 비율로 확장하거나 수축한다. 이 계량에서 공변좌표가 $\backslash Delta\; x^j$ 만큼 차이가 나는 시험 입자는 $t^\{p\_j\}\backslash Delta\; x^j$ 의 물리적 거리만큼 떨어져 있다.

카스너 계량은 카스너 지수가 다음의 카스너 조건을 만족할 때 진공에서 아인슈타인 등식의 엄밀해이다.

:$\backslash sum\_\{j=1\}^\{D-1\}\; p\_j\; =\; 1,$

:$\backslash sum\_\{j=1\}^\{D-1\}\; p\_j^2\; =\; 1.$

첫 번째 조건은 평면(카스너 평면)을 정의하고, 두 번째 조건은 구(카스너 구)를 설명한다. 따라서 두 조건을 충족하는 해($p\_j$의 선택)는 두 조건이 교차하는 구(때때로 혼란스럽게도 이것도 카스너 구로 불린다) 상에 있다. $D$ 차원의 시공간에서 해의 공간은 $D-3$ 차원의 구 $S^\{D-3\}$ 상에 존재한다.

3. 특징

카스너 해는 다음과 같은 몇 가지 두드러지고 특이한 특징을 갖는다.

* 공간 슬라이스(조각)의 부피는 항상 O(t)^영어이다.
* 공간의 등방성 팽창이나 수축은 허용되지 않는다.
* 적어도 하나의 카스너 지수는 항상 음수이다(단일 $p\_j=1$이고 나머지는 0인 해는 제외).
* 카스너 계량은 진공 아인슈타인 방정식의 해이므로, 리치 텐서는 항상 0이다. 전체 리만 텐서는 단일 $p\_j=1$이고 나머지가 0일 때만 0이 되며, 이 경우 공간은 평평해진다. 민코프스키 계량은 좌표 변환을 통해 찾을 수 있다.

3.1. 빅뱅/빅 크런치

카스너 해는 몇 가지 눈에 띄고 특이한 특징을 갖는다.

* 공간 조각의 부피는 항상 O(t)^영어인데, 이는 그 양이 $\backslash sqrt\{-g\}$에 비례하기 때문이며, 다음과 같다.

::$\backslash sqrt\{-g\}\; =\; t^\{p\_1\; +\; p\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; p\_\{D-1\}\}\; =\; t$

: 여기서 첫 번째 카스너 조건이 사용되었다. 따라서 $t\backslash to\; 0$일 때 $t$의 방향에 따라서 빅뱅 또는 빅 크런치를 설명할 수 있다.

* 공간의 등방성 확장이나 수축은 허용되지 않는다. 공간 조각이 등방성으로 확장되는 경우 모든 카스너 지수는 동일해야 하고, 따라서 첫 번째 카스너 조건을 만족시키기 위해서 $p\_j\; =\; 1/(D-1)$ 가 된다. 하지만 이때는 두 번째 카스너 조건이 충족될 수 없는데, 이는 다음과 같다.

::$\backslash sum\_\{j=1\}^\{D-1\}\; p\_j^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{D-1\}\; \backslash ne\; 1$

: 이와 대조적으로 우주론에서 사용되는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량은 물질의 존재로 인해 등방성으로 팽창하거나 수축할 수 있다.

* 좀 더 계산하면, 하나의 $p\_j=1$이고 나머지는 0이 되는 해가 아니라면, 최소한 하나의 카스너 지수가 항상 음수라는 것을 보여줄 수 있다. 시간 좌표 $t$가 0에서 증가한다고 가정하면, 이는 공간의 부피가 $t$와 같이 증가할 때에 적어도 하나의 방향(음의 카스너 지수에 해당)은 실제로 '수축'하고 있다는 것을 의미한다.

3.2. 비등방성 팽창/수축

카스너 해는 다음과 같은 몇 가지 특징을 가진다.

* 공간 조각의 부피는 항상 $O(t)$이다. 이는 부피가 $\backslash sqrt\{-g\}$에 비례하고,
::$\backslash sqrt\{-g\}\; =\; t^\{p\_1\; +\; p\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; p\_\{D-1\}\}\; =\; t$
:이기 때문이다. 여기서 첫 번째 카스너 조건이 사용되었다. 따라서 $t\backslash to\; 0$일 때 $t$의 방향에 따라서, 빅뱅 또는 빅 크런치를 설명할 수 있다.

* 공간의 등방성 확장이나 수축은 허용되지 않는다. 공간 조각이 등방성으로 확장되는 경우 모든 카스너 지수는 동일해야 하고, 따라서 첫 번째 카스너 조건을 만족시키기 위해서 $p\_j\; =\; 1/(D-1)$ 가 된다. 하지만 이때는 두 번째 카스너 조건이 충족될 수 없는데, 이는
::$\backslash sum\_\{j=1\}^\{D-1\}\}\; p\_j^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{D-1\}\; \backslash ne\; 1$
:이기 때문이다. 이와 대조적으로 우주론에서 사용되는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량은 물질의 존재로 인해 등방성으로 팽창하거나 수축할 수 있다.

* 하나의 $p\_j=1$이고 나머지는 0이 되는 해가 아니라면, 최소한 하나의 카스너 지수가 항상 음수라는 것을 보일 수 있다. 시간 좌표 $t$가 0에서 증가한다고 가정하면, 공간의 부피가 $t$와 같이 증가할 때, 적어도 하나의 방향(음의 카스너 지수에 해당)은 실제로 수축하고 있다는 것을 의미한다.

3.3. 음의 카스너 지수

시간 좌표 $t$가 0에서 증가한다고 가정할 때, 공간의 부피는 $t$와 같이 증가하지만, 적어도 하나의 방향(음의 카스너 지수에 해당)은 실제로 수축하고 있음을 의미한다. 이는 최소한 하나의 카스너 지수가 항상 음수이기 때문이다(단일 $p\_j=1$이고 나머지는 0인 해는 제외).

3.4. 곡률

카스너 계량은 진공 아인슈타인 방정식의 해이므로, 리치 텐서는 카스너 조건을 충족하는 어떤 지수에 대해서도 항상 0이다. 전체 리만 텐서는 하나의 $p\_j=1$이고 나머지가 0일 때만 0이 되며, 이 경우 공간은 평평해진다. 민코프스키 계량은 좌표 변환 $t\text{'}\; =\; t\; \backslash cosh\; x\_j$ 및 $x\_j\text{'}\; =\; t\; \backslash sinh\; x\_j$를 통해 찾을 수 있다.