프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

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1. 개요

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(FLRW 계량)은 우주의 균질성과 등방성을 가정하여 일반 상대성 이론의 해를 구한 것으로, 팽창하는 우주 모델을 설명하는 데 널리 사용된다. 1920년대 알렉산드르 프리드만, 조르주 르메트르 등에 의해 독립적으로 연구되었으며, 로버트슨-워커 계량 또는 FRW 계량이라고도 불린다. FLRW 계량은 척도 인자를 포함하며, 시공간의 곡률을 나타내는 k 값에 따라 다양한 형태로 표현된다. 이 계량과 아인슈타인 방정식을 결합하면 프리드만 방정식을 얻을 수 있으며, 이는 현재의 표준 우주론 모형의 기초가 된다. 최근 연구에서는 FLRW 계량과 관측 결과 간의 불일치와 허블 상수 값의 차이가 나타나, 우주의 균질성과 등방성에 대한 의문이 제기되고 있다.

개요

유형	계량 텐서
분야	일반 상대성 이론, 우주론

정의

형식	ds² = -c²dt² + a(t)²[dr²/(1-k*r²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²)]
변수	c: 광속 t: 우주 시간 a(t): 우주 팽창의 시간에 따른 변화 r, θ, φ: 공간 좌표 k: 공간의 곡률 (0: 평탄, +1: 닫힘, -1: 열림)

상세 정보

설명	알렉산드르 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 로버트슨, 아서 워커가 독립적으로 유도한 일반 상대성 이론의 정확한 해
특징	우주의 균질성과 등방성을 가정 우주론 모형의 기본 틀 제공
응용	빅뱅 이론 우주의 팽창 우주의 나이 추정

관련 방정식	프리드만 방정식
관련 이론	Λ-CDM 모형

참고 문헌	Ellis, G. F. R.; van Elst, H. (1999). Cosmological models (Cargèse lectures 1998). NATO Science Series C. 541. pp. 1–116. arXiv:gr-qc/9812046. Bibcode:1999ASIC..541....1E. ISBN 978-0792359463. Marc Lachièze-Rey. Theoretical and Observational Cosmology. Bergström, Lars; Goobar, Ariel (2008). Cosmology and particle astrophysics. Chichester, UK: Praxis Publ. p. 61. ISBN 978-3-540-32924-4. Lachieze-Rey, M.; Luminet, J.-P. (1995). Cosmic Topology. Physics Reports. 254 (3): 135–214. arXiv:gr-qc/9605010. Bibcode:1995PhR...254..135L. doi:10.1016/0370-1573(94)00085-H. S2CID 119500217.

2. 일반 계량

FLRW 계량은 공간의 균질성과 등방성을 가정한다. 또한, 계량의 공간 구성 요소가 시간에 따라 변할 수 있다고 가정한다. 이러한 조건을 충족하는 일반 계량은 다음과 같다.

: $- c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2$

여기서 $\mathbf{\Sigma}$ 는 균일한 곡률을 가진 3차원 공간, 즉 타원 공간, 유클리드 공간, 또는 쌍곡 공간을 나타낸다. $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}$ 는 t에 의존하지 않으며, 시간 의존성은 모두 "척도 인자"라고 알려진 함수 a(t)에 있다.

이 계량은 알렉산드르 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 P. 로버트슨, 아서 제프리 워커가 1920년대에 독립적으로 연구하였으며, 이들의 이름을 따 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량 (FLRW 계량) 또는 로버트슨-워커 계량 (RW 계량) 등으로 불린다.

2.1. 축소된-원주 극좌표

축소된-원주 극좌표에서 공간 계량은 다음과 같은 형식을 갖는다.

: $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{where } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2.$

k는 공간의 곡률을 나타내는 상수이다. 두 가지 일반적인 단위 규칙은 다음과 같다.

* k는 길이^-2의 단위를 갖는 것으로 간주될 수 있으며, 이 경우 r 은 길이 단위를 갖고 a(t)는 단위가 없다. k는 a(t) = 1 일 때 공간의 가우스 곡률이다. r 은 원점을 중심으로 측정된 원(r 값에서)의 측정된 원주를 2π로 나눈 값(슈바르츠실트 좌표의 r 과 유사)과 같기 때문에 가끔 축소된 원주라고도 불린다. 적절한 경우, $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}$ 가 공변거리를 측정하도록, a(t)는 종종 현재 우주론적 시대에 1과 같도록 선택된다.

* 대안적으로, k는 {−1,0,+1} 집합에 속하는 것으로 간주될 수 있다 (각각 음수, 0 및 양의 곡률에 대해서). 그러면 r 은 단위가 없고 a(t)에는 길이 단위가 있다. k = ±1 일 때 a(t)는 공간의 곡률 반경이며 R(t)로 표기되기도 한다.

축소된 원주 좌표의 단점은 양의 곡률의 경우 3차원 초구(3-sphere)의 절반만을 덮는다는 것이다. 그 지점 이후의 둘레는 감소하기 시작하여 축퇴로 이어진다. (공간이 타원형인 경우, 즉 반대 점이 식별된 3차원 초구에는 문제가 되지 않는다.)

2.2. 초구면 좌표계

초구면 좌표계에서 r은 반경 거리에 비례하며, 공간 계량은 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}r^2 + S_k(r)^2 \, \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2$

여기서 $\mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2$ 이고,

: $S_k(r) =\begin{cases}\sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), &k > 0 \\r, &k = 0 \\\sqrt$

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^{\,-1} \sinh (r \sqrt

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), &k < 0.\end{cases}
이다.

일반적으로 사용되는 두 가지 단위 규칙은 다음과 같다.

* k는 길이⁻² 단위를 가지며, 이 경우 r은 길이 단위를 갖고, a(t)는 단위가 없다. k는 a(t) = 1 일 때 공간의 가우스 곡률이다.

\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}

가 공변거리를 측정하도록, a(t)는 종종 현재 우주론적 시대에 1과 같도록 선택된다.
* k는 {−1, 0, +1} 집합에 속하는 것으로 간주될 수 있다 (각각 음수, 0, 양의 곡률). 이 경우 r는 단위가 없고, a(t)는 길이 단위를 갖는다.

S는 k와 r의 해석 함수이며, 거듭제곱 급수로도 표현 가능하다.

:

S_k(r) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n k^n r^{2n+1}}{(2n+1)!} = r - \frac{k r^3}{6} + \frac{k^2 r^5}{120} - \cdots

또는,

:

S_k(r) = r \; \mathrm{sinc} \, (r \sqrt{k}) ,

로 표현할 수 있다. 여기서 sinc는 비정규화된 싱크함수이고,

\sqrt{k}

는 k의 허수, 0 또는 실수 제곱근 중 하나이다. 이러한 정의는 모든 k에 대해 유효하다.

2.3. 데카르트 좌표계

k = 0 일 때는 공간 계량을 다음과 같이 간단하게 데카르트 좌표계로 나타낼 수 있다.

: $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.$

이는 k ≠ 0 인 경우로 확장할 수 있는데, 이때는 다음을 정의한다.

: $x = r \cos \theta \,$ ,
: $y = r \sin \theta \cos \phi \,$ ,
: $z = r \sin \theta \sin \phi \,$ .

여기서 r은 반지름 좌표축 중 하나를 나타내지만, 드물게 사용된다.

3. 곡률

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(FLRW 계량)은 공간의 균질성과 등방성을 가정하여 유도된다. 또한 계량의 공간적 요소가 시간에 따라 달라질 수 있다고 가정한다. 이러한 조건을 만족하는 일반적인 계량은 다음과 같다.

: $- c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 ,$

여기서 $\mathbf{\Sigma}$ 는 균일한 곡률을 가진 3차원 공간, 즉 타원 공간, 유클리드 공간, 또는 쌍곡 공간을 나타낸다. $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}$ 는 t에 의존하지 않으며, 시간 의존성은 모두 "척도 인자" a(t)에 있다.

FLRW 공간에서 리치 텐서와 스칼라 곡률(리치 스칼라)은 다음과 같이 표현된다.

구면 좌표(위에서 "축소된 둘레 극좌표"라고 함)를 사용하는 일반적인 FLRW 공간에서 리치 텐서의 성분은 다음과 같다.

: $R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a},$
: $R_{rr}=\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}$
: $R_{\theta\theta} = r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t)) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)$
: $R_{\phi\phi} =r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t)) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)$

그리고 리치 스칼라는 다음과 같다.

: $R = \frac{6}{c^2} \left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} + \frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)} + \frac{k}{a^2(t)}\right).$

3.1. 데카르트 좌표계

k = 0 일 때, 데카르트 좌표계를 사용하면 다음과 같이 간단하게 쓸 수 있다.

: $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.$

평평한(k=0) FLRW 공간에서 데카르트 좌표를 사용할 때, 살아남는 리치 텐서의 성분은 다음과 같다.

: $R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, \quad R_{xx}= R_{yy} = R_{zz} = c^{-2} (a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2)$

스칼라 곡률(리치 스칼라) R은 다음과 같다.

: $R = 6 c^{-2} \left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} + \frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}\right).$

3.2. 구면좌표계

구면 좌표를 사용하는 일반적인 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량 (FLRW) 공간에서 리치 곡률 텐서의 구성 요소는 다음과 같다:

: $R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a},$
: $R_{rr}=\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}$
: $R_{\theta\theta} = r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t)) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)$
: $R_{\phi\phi} =r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t)) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)$

스칼라 곡률은 다음과 같이 주어진다.

: $R = \frac{6}{c^2} \left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)} + \frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)} + \frac{k}{a^2(t)}\right).$

4. 해

FLRW 계량은 에너지-운동량 텐서가 등방성 및 균질성을 갖는다고 가정할 때, 아인슈타인 장 방정식의 해석적 해를 가지며, 이는 프리드만 방정식으로 주어진다.

결과 방정식은 다음과 같다:

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방정식
$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{8\pi G}{3}\rho$
$2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\frac{8\pi G}{c^{2}} p.$

이 방정식들은 ΛCDM 모형을 포함하는 현재 표준 대폭발(빅뱅) 우주론 모형의 기초이다.

4.1. 프리드만 방정식

FLRW 계량은 아인슈타인 장 방정식에 대한 해석적 해를 가지며, 이는 프리드만 방정식으로 주어진다. 이 방정식들은 다음과 같다:

: $\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{8\pi G}{3}\rho$
: $2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\frac{8\pi G}{c^{2}} p.$

이 방정식은 현재 ΛCDM 모형을 포함하는 표준 대폭발(빅뱅) 우주론 모형의 기초이다.

FLRW 모형은 우주가 균질하다고 가정하기 때문에, 대폭발 모형이 관측된 우주의 덩어리짐을 설명할 수 없다는 오해가 있다. 그러나 엄밀한 FLRW 모형에는 은하단, 별, 사람과 같이 밀도가 높은 물체는 없다. FLRW 모형은 계산이 간단하여 실제 우주의 진화에 대한 첫 번째 근사값으로 사용되며, 이후 덩어리짐을 계산하는 모형이 추가된다. 대부분의 우주론자들은 관측 가능한 우주가 초기 우주의 양자 요동을 제외하면 거의 FLRW 모형에 가깝다는 데 동의한다.

4.2. 해석

FLRW 계량은 공간의 균질성과 등방성을 가정하여 유도된다. 또한 계량의 공간적 요소가 시간에 따라 변할 수 있다고 가정한다. 이러한 가정을 만족하는 일반적인 계량은 다음과 같다.

::-c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 ,

여기서 $\mathbf{\Sigma}$ 는 균일한 곡률을 가진 3차원 공간( 타원 공간, 유클리드 공간, 쌍곡 공간)을 나타낸다. $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}$ 는 시간에 의존하지 않고, 모든 시간 의존성은 "척도 인자" a(t)에 있다.

아인슈타인 장 방정식은 계량의 일반 형식을 유도하는 데 사용되지 않으며, 이는 균질성과 등방성의 기하학적 특성에서 비롯된다. 하지만, $a(t)$ 의 시간 변화를 결정하기 위해서는 아인슈타인 장 방정식과 우주론 상태 방정식과 같이 밀도 $\rho (t)$ 를 계산하는 방법이 필요하다.

에너지-운동량 텐서가 등방성 및 균질성을 갖는다고 가정하면, 아인슈타인 장 방정식 $G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$ 에 대한 해석적 해를 통해 프리드만 방정식을 얻을 수 있다. 결과 방정식은 다음과 같다.

: $\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{\kappa c^4}{3}\rho$
: $2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\kappa c^{2} p .$

이 방정식들은 ΛCDM 모형을 포함하는 표준 대폭발(빅뱅) 우주론 모형의 기초이다.

위의 방정식 쌍은 다음 방정식 쌍과 동일하다.

: ${\dot \rho} = - 3 \frac{\dot a}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^{2}}\right)$
: $\frac{\ddot a}{a} = - \frac{\kappa c^4}{6}\left(\rho + \frac{3p}{c^{2}}\right) + \frac{\Lambda c^{2}}{3}$

여기서 $k$ 는 공간 곡률 지표로, 첫 번째 방정식의 적분 상수 역할을 한다.

첫 번째 방정식은 열역학적 고려를 통해서도 유도할 수 있으며, 우주의 팽창이 단열 과정이라고 가정할 때 (프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 유도에서 암묵적으로 가정됨) 열역학 제1법칙과 동일하다.

두 번째 방정식은 에너지 밀도와 압력이 모두 우주의 팽창 속도 ${\dot a}$ 를 감소시킨다는 것을 나타낸다. 즉, 둘 다 우주 팽창의 감속을 유발한다. 이는 중력의 결과이며, 일반 상대성 이론의 원리에 따르면 압력은 에너지(또는 질량) 밀도와 유사한 역할을 한다. 반면에, 우주 상수는 우주 팽창을 가속화한다.

우주 상수 항은 다음을 대체하여 생략할 수 있다.

: $\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{\kappa c^2}$
: $p \rightarrow p + \frac{\Lambda}{\kappa}.$

따라서, 우주 상수는 크기가 에너지 밀도와 같고 음의 압력을 갖는 에너지 형태에서 발생하는 것으로 해석할 수 있다.

: $p = - \rho c^2 \,,$

이는 암흑 에너지를 가진 진공의 상태 방정식이다.

이를 일반화하려는 시도는 다음과 같다.

: $p = w \rho c^2$

추가적인 수정 없이는 일반 공변성을 갖지 못할 것이다.

사실, 우주의 팽창을 가속화하는 항을 얻기 위해서는 다음을 만족하는 스칼라장 이론이 충분하다.

: $p < - \frac {\rho c^2} {3} .$

이러한 장은 때때로 퀘신스라고 불린다.

프리드만 방정식은 다음 두 방정식과 같다.

: $- a^3 {\dot \rho} = 3 a^2 {\dot a} \rho + \frac{3 a^2 p {\dot a}}{c^2} \,$
: $\frac{{\dot a}^2}{2} - \frac{\kappa c^4 a^3 \rho}{6a} = - \frac{k c^2}{2} \,.$

첫 번째 방정식은 고정된 정육면체(변의 길이가 순간적으로 a)에 포함된 질량의 감소량이 우주의 팽창으로 인해 측면을 통해 빠져나가는 양과 배출되는 물질에 대한 압력이 행한 일에 해당하는 질량과 같다는 것을 나타낸다. 이는 우주의 일부에 포함된 질량-에너지 보존(열역학 제1법칙)이다.

두 번째 방정식은 팽창과 함께 움직이는 단위 질량의 입자가 원점에서 볼 때 갖는 운동 에너지와 그 입자의 (음의) 중력 위치 에너지(원점에 더 가까운 물질의 구에 포함된 질량에 상대적)의 합이 우주의 곡률과 관련된 상수와 같다는 것을 나타낸다. 다시 말해, 자유 낙하하는 공변 입자의 에너지(원점에 상대적)는 보존된다. 일반 상대성 이론은 단지 우주의 공간적 곡률과 그러한 입자의 에너지 사이의 연결을 추가한다. 즉, 양의 총 에너지는 음의 곡률을 의미하고 음의 총 에너지는 양의 곡률을 의미한다.

우주 상수 항은 암흑 에너지로 간주되어 밀도 및 압력 항에 통합되는 것으로 가정한다.

플랑크 시대 동안에는 양자역학적 효과를 무시할 수 없다. 따라서 이것들은 프리드만 방정식으로부터의 이탈을 야기할 수 있다.

4.3. 우주상수

우주상수 $\Lambda$ 항은 다음 대치를 통해 생략할 수 있다.
: $\rho \rightarrow \rho + \frac{\Lambda c^{2}}{8 \pi G}$
: $p \rightarrow p - \frac{\Lambda c^{4}}{8 \pi G}.$
따라서 우주상수는 양의 에너지 밀도와 크기가 동일한 음압을 갖는 에너지 형태에서 발생하는 것으로 해석할 수 있다.
: $p = - \rho c^2. \,$
이러한 형태의 에너지(우주상수 개념의 일반화)는 암흑 에너지로 알려져 있다.

사실 우주 팽창을 가속시키는 항을 얻기 위해서는 다음을 만족하는 스칼라장이 있으면 충분하다.
: $p < - \frac {\rho c^2} {3}. \,$
그러한 장은 때때로 퀸테선스라고 불린다.

우주 상수 항은 다음을 대체하여 생략할 수 있다.
: $\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{\kappa c^2}$
: $p \rightarrow p + \frac{\Lambda}{\kappa}.$

따라서, 우주 상수는 크기가 에너지 밀도와 같고 음의 압력을 갖는 에너지 형태에서 발생하는 것으로 해석할 수 있다.
: $p = - \rho c^2 \,,$
이는 암흑 에너지를 가진 진공의 상태 방정식이다.

이것을 일반화하려는 시도는 다음과 같다.
: $p = w \rho c^2$
추가적인 수정 없이는 일반 공변성을 갖지 못할 것이다.

사실, 우주의 팽창을 가속화하는 항을 얻기 위해서는 다음을 만족하는 스칼라장 이론이 충분하다.
: $p < - \frac {\rho c^2} {3} .$
이러한 장은 때때로 퀘신스라고 불린다.

4.4. 뉴턴 해석

맥크레_McCrea와 밀른_Milne은 프리드만 방정식이 다음 두 방정식 쌍과 같다고 제시했는데, 이는 때때로 프리드만의 것으로 잘못 알려지기도 한다.

: $- a^3 {\dot \rho} = 3 a^2 {\dot a} \rho + \frac{3 a^2 p {\dot a}}{c^2} \,$
: $\frac{{\dot a}^2}{2} - \frac{G \frac{4 \pi a^3}{3} \rho}{a} = - \frac{k c^2}{2} \,.$

첫 번째 방정식은 고정된 정육면체(한 변의 길이가 순간적으로 a인)에 포함된 질량이 감소하는 현상을 설명한다. 이는 우주가 팽창하면서 측면을 통해 빠져나가는 양과, 배출되는 물질에 대한 압력이 작용한 결과에 해당하는 질량을 더한 것과 같다. 이는 우주의 한 부분에 포함된 질량-에너지 보존(열역학 제1법칙)을 나타낸다.

두 번째 방정식은 팽창에 따라 움직이는 단위 질량의 입자가 원점에서 보았을 때 가지는 운동 에너지와, 그 입자의 (음의) 중력 위치 에너지(원점에 더 가까운 물질의 구에 포함된 질량에 상대적인)의 합이 우주의 곡률과 관련된 상수와 같음을 의미한다. 다시 말해, 자유 낙하하는 공변 입자의 에너지(원점에 상대적인)는 보존된다. 일반 상대성이론은 단지 우주의 공간적 곡률과 그러한 입자의 에너지 사이의 연결을 추가한다. 즉, 양의 총 에너지는 음의 곡률을 의미하고 음의 총 에너지는 양의 곡률을 의미한다.

우주 상수 항은 암흑 에너지로 간주되어 밀도 및 압력 항에 통합되는 것으로 가정한다.

플랑크 시대 동안에는 양자역학적 효과를 무시할 수 없다. 따라서 이것들은 프리드만 방정식에서 벗어나게 할 수 있다.

5. 이름과 역사

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric, FLRW metric)은 알렉산더 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 P. 로버트슨, 아서 제프리 워커의 연구를 통해 발전되었다. 이들은 1920년대와 1930년대에 걸쳐 독립적으로 이 문제를 연구했으며, 이들의 이름을 따서 로버트슨-워커 계량 (RW metric) 또는 프리드만-로버트슨-워커 계량 (FRW metric)으로도 불린다.

FLRW 계량은 팽창 우주 모델, 즉 빅뱅 표준 우주 모델의 1차 근사로 널리 사용되는 해이다. 이 계량은 다음과 같이 표현된다.

: $ds^2 = -c^2 dt^2+a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2}+{r}^2 d \,\Omega^2 \right]$
:: 여기서, $d\,\Omega^2 = d\theta^2+\sin^2\!\theta \, d\phi^2 \,$

$a(t)$ 는 척도 인자(팽창 인자)라고 불리는 양으로, 시각 $t$ 에서의 우주의 크기를 상대적으로 나타낸다. $k$ 는 시공간에 가정하는 곡률로, 양수, 음수, 0의 값을 가지며, 각각 $k {=} +1,\, -1,\, 0$ 에 대응한다.

이 계량을 사용하여, 물질 분포 (에너지-운동량 텐서)에 완전 유체 근사를 적용하고, 아인슈타인 방정식으로부터 유도되는 시공간의 운동 방정식이 프리드만 방정식이다.

5.1. 프리드만과 르메트르의 초기 연구

알렉산더 프리드만은 1922년과 1924년에 FLRW 모형의 주요 결과를 도출했다. 비록 권위 있는 물리학 저널인 《물리학을 위한 저널(Zeitschrift für Physik)》에 그의 연구가 게재되었지만, 동시대 사람들에게는 상대적으로 주목받지 못했다. 프리드만은 《물리학을 위한 저널》의 과학적 심사관 역할을 한 알베르트 아인슈타인과 직접 소통했다. 결국 아인슈타인은 프리드만의 계산이 정확하다는 것을 인정했지만, 프리드만의 예측이 갖는 물리적인 의미는 인식하지 못했다.

프리드만은 1925년에 사망했다. 1927년 벨기에의 사제이자 천문학자이며 루뱅 가톨릭 대학교의 물리학 교수인 조르주 르메트르는 프리드만의 결과와 비슷한 결과를 독립적으로 발표하여 《브뤼셀 과학회 연보》(Annales de la Scientifique de Bruxelles)에 발표하였다. 1920년대 후반 에드윈 허블이 우주 팽창에 대한 관측 증거를 제시하자, 르메트르의 연구 결과는 특히 아서 에딩턴에 의해 주목받았고, 1930-31년에 르메트르의 논문은 영어로 번역되어 《왕립천문학회 월간 공지(Monthly Notices of the Royal Astronomical Society)》에 실렸다.

5.2. 로버트슨과 워커의 기여

미국의 하워드 P. 로버트슨과 영국의 아서 제프리 워커는 1930년대에 이 문제를 더 탐구했다. 1935년에 로버트슨과 워커는 FLRW 계량이 공간적으로 균질하고 등방성인 시공간에서 유일하다는 것을 엄밀하게 증명했다. (위에서 언급했듯이 이것은 기하학적 결과이며, 프리드만과 르메트르가 항상 가정한 일반 상대성 이론의 방정식에 특별히 얽매이지 않는다.)

이 해는 종종 로버트슨-워커 계량이라고 불리는데, 이는 그들이 일반적인 속성을 증명했기 때문이며, 응력-에너지에 대한 유일한 기여가 차가운 물질("먼지"), 복사 및 우주 상수라고 가정하는 a(t)에 대한 특정 해인 역학적인 "프리드만-르메트르" 모형과는 다르다.

6. 아인슈타인의 우주 반경

아인슈타인의 우주 반경은 우리 우주를 이상화된 형태로 표현하기 위해 오랫동안 방치되었던 정적 모형인 아인슈타인의 우주 공간의 곡률 반경이다. 프리드만 방정식에
: $\dot{a} = \ddot{a} = 0$
를 대입하면, 이 우주 공간의 곡률 반경(아인슈타인 반경)은
: $R_E=c/\sqrt {4\pi G\rho}$
이다. 여기서 $c$ 는 빛의 속도, $G$ 는 뉴턴의 중력 상수, $\rho$ 는 이 우주의 밀도이다. 아인슈타인의 반경의 수치값은 현재 관측 가능한 우주의 반경인 약 465억 광년과 같은, 10¹⁰ 광년 차수이다.

7. 현재 상태

현재 관측 데이터와 이론적 결과에 따르면, 천체물리학자들은 우주가 거의 FLRW 시공간이라는 데 동의한다. 이는 WMAP와 플랑크 같은 실험 관측과 엘러스-게렌-삭스 정리의 이론적 결과를 종합한 결과이다. 그러나 전파은하와 퀘이사 연구를 통해 우주 마이크로파 배경(CMB) 쌍극자의 순수 운동학적 해석을 확인하려는 시도는 FLRW 계량으로 기술되는 우주와 상충되는 결과를 보여준다.

또한, 현재 관측에서 허용되는 FLRW 우주론 내에서 허블 상수의 최대값은 71 ± 1 km/Mpc 인데, 이는 후기 우주에서 FLRW 계량이 붕괴될 수 있음을 시사하며, FLRW 계량을 넘어서는 설명이 필요할 수 있음을 나타낸다.

이러한 상황은 우주가 정말로 균질하고 등방적인지, 아니면 비균질 또는 비등방성인지에 대한 근본적인 질문을 제기한다. 이는 우주론 원리와 FLRW 계량의 유효성에 대한 논쟁으로 이어지며, 특히 후기 우주에서의 유효성에 대한 의문이 제기된다. 이러한 문제는 ΛCDM 모형을 포함한 표준 우주론 모형의 기반에 대한 도전 과제이며, 한국을 포함한 국제적인 연구 협력을 통해 해결해야 할 중요한 문제로 남아있다.