콕서터 길이 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 길이 함수의 성질
- 3.2. 최장 원소
4. 예
- 4.1. A_n, D_n, E_6, I_2(p)의 최장 원소
참조

1. 개요

콕서터 길이 함수는 콕서터 군의 원소에 자연수를 대응시키는 함수로, 원소를 표현하기 위해 필요한 단순 반사의 최소 개수를 의미한다. 콕서터 군의 원소 g의 길이는 g를 나타내기 위해 필요한 반사의 최소 개수이며, g의 축소 단어는 최소 길이의 반사로 구성된 문자열이다. 콕서터 군의 원소 사이에는 브뤼아 순서, 오른쪽 약한 순서, 왼쪽 약한 순서의 세 가지 부분 순서가 정의된다. 콕서터 길이 함수는 몇 가지 성질을 가지며, 이를 통해 콕서터 군 위에 거리 함수를 정의할 수 있다. 유한 콕서터 군에는 최장 원소가 존재하며, 최장 원소는 여러 가지 특징을 갖는다. 예를 들어, 최장 원소는 브루앗 순서에 대한 유일한 최대 원소이며, 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.

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콕서터 길이 함수

2. 정의

콕서터 군 $G$ 에는 다음과 같은 성질이 성립한다.

: $\ell(g) = \ell(g^{-1})\qquad\forall g\in G$

: $\ell(g) = 0 \iff g = 1$

: $\ell(gh) \le \ell(g) + \ell(h)\qquad\forall g,h\in G$

즉, $G$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 줄 수 있다.

: $d(g,h) = \ell(g^{-1}h)\qquad(g,h\in G)$

유한 콕서터 군 $G$ 에서, 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재하며, 이를 $G$ 의 '''최장 원소'''(longest element^영어)라고 한다. 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다. $G$ 의 최장 원소가 $w\in G$ 일 때, 다음 성질을 갖는다.

$w^2 = 1$
$\forall g\in G\colon \ell(wg) = \ell(gw) = \ell(w) - \ell(g)$
$\ell(w)$ 는 $G$ 의 근계의 양근의 수이다.
$w$ 의 임의의 축소 단어에는 $G$ 의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, $\ell(w)\ge n$ 이다.)

유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다.

$A_n$ ( $n\ge2$ ), $D_{2k+1}$ , $E_6$ , $I_2(2k+1)$ 의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 $-1$ × 콕서터 도표의 반사 대칭이다.
나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 $-1$ 이다.
콕서터 군은 유한할 때에만 최장 원소를 갖는다. 이는 군의 크기가 최댓값보다 작거나 같은 길이의 단어의 수로 제한되기 때문이다.
콕서터 군의 최장 원소는 브루앗 순서에 대해 유일한 최대 원소이다.
최장 원소는 최댓값 길이의 고유성(원소의 역원은 그 원소와 길이가 같다)에 의해 대합이다(차수 2: $w_0^{-1} = w_0$ ).^[1]
모든 $w \in W$ 에 대해, 길이는 $\ell(w_0w) = \ell(w_0) - \ell(w)$ 를 만족한다.^[1]
최장 원소에 대한 축약 표현은 일반적으로 유일하지 않다.
최장 원소에 대한 축약 표현에서 모든 단순 반사는 적어도 한 번은 나타나야 한다.^[1]
콕서터 군이 유한하면 ''w''₀의 길이는 양근의 수이다.^[1]
반단순 대수군 ''G''의 브루앗 분해에서 열린 세포 ''Bw''₀''B''는 자리스키 위상에서 조밀하며, 위상적으로는 분해의 최상위 차원 세포이며, 기본류를 나타낸다.
최장 원소는 $A_n$ ( $n \geq 2$ ), 홀수 ''n''에 대한 $D_n$ , $E_6,$ 그리고 홀수 ''p''에 대한 $I_2(p)$ 를 제외하고 중심 원소 –1이며, 이 경우 콕서터 다이어그램의 차수 2 자기 동형 사상에 –1을 곱한 값이다.^[2]

2. 1. 콕서터 군의 정의

표시가 주어진 콕서터 군

:

G = \langle r_1,\dotsc,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle

에서,

r_1,\dotsc,r_n

을

G

의 '''단순 반사'''(單純反射, simple reflection^영어)라고 한다.

G

위에서, 다음과 같은 자연수 값의 함수를 정의한다.

:

\ell\colon G\to \mathbb N

:

\ell(g) = \min \{k\in\mathbb N\colon \exists f\colon \{1,\dotsc,k\}\to\{1,\dotsc,n\}\colon r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(n)} = g\}

즉,

\ell(g)

는

g

를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소

g

의 '''길이'''(length^영어)라고 한다.

g

를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열

:

g = r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell(g))}

을

g

의 '''축소 단어'''(縮小單語, reduced word^영어)라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다.

2. 2. 길이 함수

표시가 주어진 콕서터 군

:

G = \langle r_1,\dotsc,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle

에서,

r_1,\dotsc,r_n

을

G

의 '''단순 반사'''(單純反射, simple reflection^영어)라고 한다.

G

위에 다음과 같은 자연수 값의 함수를 정의한다.

:

\ell\colon G\to \mathbb N

:

\ell(g) = \min \{k\in\mathbb N\colon \exists f\colon \{1,\dotsc,k\}\to\{1,\dotsc,n\}\colon r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(n)} = g\}

즉,

\ell(g)

는

g

를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소

g

의 '''길이'''(length^영어)라고 한다.

g

를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열

:

g = r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell(g))}

을

g

의 '''축소 단어'''(縮小單語, reduced word^영어)라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다.

2. 3. 브뤼아 순서

G

위에는 다음과 같은 세 부분 순서를 정의할 수 있다. 우선, 임의의 두 원소

g, g' \in G

의 (임의의) 축소 단어

:

g = r_{f(1)} \dotsm r_{f(\ell(g))}

:

g' = r_{f'(1)} \dotsm r_{f'(\ell(g'))}

가 주어졌다고 하자.

부분 순서의 이름	$g \le g'$ 일 필요충분조건
브뤼아 순서(Bruhat order^영어)	$f = f$ \circ j이게 하는 단사 증가 함수 $j \colon \{1, \dotsc, \ell(g)\} \to \{1, \dotsc, \ell(g$ )\}가 존재함
오른쪽 약한 순서(right weak order^영어)	$\ell(g) \le \ell(g$ ), $f(i) = f$ (i) \; \forall i \le \ell(g)
왼쪽 약한 순서(left weak order^영어)	$\ell(g) \le \ell(g$ ), $f(i) = f$ (i + \ell(g') - \ell(g)) \; \forall i \le \ell(g)

여기서, 정의들은 항상 “ $g \le g'$ 일 필요충분조건은 다음 조건을 만족시키는 $g$ 와 $g'$ 의 축소 단어 $f$ , $f'$ 가 적어도 하나 이상 존재하는 것이다”의 꼴이다. (즉, 모든 가능한 축소 단어가 위 조건을 충족시키지는 않아도 된다.)

3. 성질

콕서터 군은 유한할 때에만 최장 원소를 갖는다. 군의 크기가 최댓값보다 작거나 같은 길이의 단어의 수로 제한되기 때문이다. 콕서터 군의 최장 원소는 브루앗 순서에 대해 유일한 최대 원소이다.

반단순 대수군 ''G''의 브루앗 분해에서 열린 세포 ''Bw''₀''B''는 자리스키 위상에서 조밀하며, 위상적으로는 분해의 최상위 차원 세포이며, 기본류를 나타낸다. 최장 원소는 $A_n$ ( $n \geq 2$ ), 홀수 ''n''에 대한 $D_n$ , $E_6,$ 그리고 홀수 ''p''에 대한 $I_2(p)$ 를 제외하고 중심 원소 –1이며, 이 경우 콕서터 다이어그램의 차수 2 자기 동형 사상에 –1을 곱한 값이다.^[2]

3. 1. 길이 함수의 성질

콕서터 군

G

에서는 다음 성질들이 성립한다.

$\ell(g) = \ell(g^{-1})\qquad\forall g\in G$
$\ell(g) = 0 \iff g = 1$
$\ell(gh) \le \ell(g) + \ell(h)\qquad\forall g,h\in G$

즉,

G

위에 다음과 같은 거리 함수를 줄 수 있다.

$d(g,h) = \ell(g^{-1}h)\qquad(g,h\in G)$

3. 2. 최장 원소

유한 콕서터 군

G

에서 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재한다. 이를

G

의 '''최장 원소'''(longest element^영어)라고 한다. (그러나 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.)

G

의 최장 원소가

w\in G

일 때, 다음 성질을 갖는다.

$w^2 = 1$

:축소 단어

w=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell(w))}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

w^{-1} = r_{f(\ell(w))}\dotsm r_{f(1)}

역시 축소 단어이며, 최장 원소가 유일하므로

w=w^{-1}

이다.

모든 $g\in G$ 에 대해, $\ell(wg) = \ell(gw) = \ell(w) - \ell(g)$
$\ell(w)$ 는 $G$ 의 근계의 양근의 수이다.
$w$ 의 임의의 축소 단어에는 $G$ 의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, $\ell(w)\ge n$ 이다.)
콕서터 군은 유한할 때에만 최장 원소를 갖는다. "유일한 경우"는 군의 크기가 최댓값보다 작거나 같은 길이의 단어의 수로 제한되기 때문이다.
콕서터 군의 최장 원소는 브루앗 순서에 대해 유일한 최대 원소이다.
최장 원소는 최댓값 길이의 고유성(원소의 역원은 그 원소와 길이가 같다)에 의해 대합이다(차수 2: $w_0^{-1} = w_0$ ).^[1]
모든 $w \in W$ 에 대해, 길이는 $\ell(w_0w) = \ell(w_0) - \ell(w)$ 를 만족한다.^[1]
최장 원소에 대한 축약 표현은 일반적으로 유일하지 않다.
최장 원소에 대한 축약 표현에서 모든 단순 반사는 적어도 한 번은 나타나야 한다.^[1]
콕서터 군이 유한하면 ''w''₀의 길이는 양근의 수이다.^[1]
반단순 대수군 ''G''의 브루앗 분해에서 열린 세포 ''Bw''₀''B''는 자리스키 위상에서 조밀하며, 위상적으로는 분해의 최상위 차원 세포이며, 기본류를 나타낸다.
최장 원소는 $A_n$ ( $n \geq 2$ ), 홀수 ''n''에 대한 $D_n$ , $E_6,$ 그리고 홀수 ''p''에 대한 $I_2(p)$ 를 제외하고 중심 원소 –1이며, 이 경우 콕서터 다이어그램의 차수 2 자기 동형 사상에 –1을 곱한 값이다.^[2]

4. 예

유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다.

`A_n` (n≥2), `D_(2k+1)`, `E_6`, `I_2(2k+1)`의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 -1과 콕서터 도표의 반사 대칭의 곱이다.
나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 -1이다.

4. 1. A_n, D_n, E_6, I_2(p)의 최장 원소

A_n

(

n\ge2

),

D_{2k+1}

,

E_6

,

I_2(2k+1)

의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소

-1

과 콕서터 도표의 반사 대칭의 곱이다.^[2] 나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소

-1

이다.^[2]

참조

_[1] 서적 https://books.google[...]
_[2] 서적

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