군의 표시

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1. 개요

군의 표시는 생성자 집합과 관계자 집합을 사용하여 군을 정의하는 방법이다. 군의 표시는 $\langle S \mid R \rangle$ 형태로 나타내며, 여기서 S는 군을 생성하는 원소들의 집합이고, R은 생성자들 간의 관계를 나타내는 단어들의 집합이다. 군의 표시는 자유곱과 직접곱을 계산하는 데 사용되며, 모든 군은 표현을 가진다. 또한, 유한 생성, 유한 관계, 유한 표현 등 표현의 종류가 있으며, 기하학적 군론에서 케일리 그래프를 통해 기하학적 성질을 결정하는 데 사용된다. 노비코프-분 정리에 따르면, 임의의 유한 표시 군에 대해 단어 문제를 해결하는 알고리즘은 존재하지 않는다.

군의 표시

정의

정의	군론에서 군의 표시는 군을 생성원과 관계식으로 나타내는 것이다.

개요

개요	군은 생성원들의 집합과 그 생성원들 사이의 관계식들의 집합으로 완전히 결정될 수 있다. 이는 군을 다루는 데 매우 유용한 방법이며, 특히 무한군을 다룰 때 그 유용성이 크다.

형식적 정의

형식적 정의	군 G의 표시는 순서쌍 로, 여기서 S는 G의 생성원들의 집합이고, R은 S의 원소들 사이의 관계식들의 집합이다. 모든 관계식은 S의 원소들로 생성되는 자유군 FS의 원소로 생각할 수 있다. R은 FS의 정규 부분군 N을 생성하며, G는 FS를 N으로 나눈 몫군과 동형이다. G ≅ FS / N

예시

순환군	n차 순환군 Cn은 다음과 같이 표시될 수 있다.
자유군	집합 S에 의해 생성된 자유군 FS는 다음과 같이 표시될 수 있다. ~~(관계식이 없음)~~
덧셈 군	정수 덧셈 군 Z는 다음과 같이 표시될 수 있다.
표시
대칭군	3차 대칭군 S3은 다음과 같이 표시될 수 있다.
표시
이면군	n차 이면군 Dn은 다음과 같이 표시될 수 있다.
표시

활용

활용	군의 표시는 군의 구조를 이해하고, 군의 성질을 연구하는 데 매우 유용하게 사용된다. 특히, 유한군이나 무한군을 다룰 때, 군의 표시는 군의 연산이나 군의 부분군, 군의 동형 등을 파악하는 데 도움을 줄 수 있다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 생성자와 관계자
- 2.2. 형식적 정의
3. 성질
- 3.1. 자유곱 (Free Product)
- 3.2. 직접곱 (Direct Product)
4. 표현의 종류
5. 예시
6. 역사
7. 기하학적 군론과의 관계
8. 노비코프-분 정리 (Novikov-Boone Theorem)
9. 응용

2. 정의

군 표현은 생성자와 관계자로 군을 기술하는 방법이다.

표시는 순서쌍 $\langle S|R\rangle$ 으로 표현된다. 여기서 S는 생성자들의 집합이고, R은 생성자들 간의 관계를 나타내는 관계자들의 집합이다.

예를 들어, 차수 16의 이각형 군 D₈은 8차 회전 r과 2차 뒤집기 f로 생성될 수 있다. D₈의 모든 원소는 r과 f의 곱으로 표현될 수 있지만, 이러한 표현은 유일하지 않다. 예를 들어, $rfr = f^{-1}$ , $r^8 = 1$ , $f^2 = 1$ 과 같은 관계가 존재한다. 이러한 관계들을 이용하여 D₈을 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\langle r, f \mid r^8 = 1, f^2 = 1, (rf)^2 = 1\rangle.$

이는 D₈이 생성자 r과 f를 가지고, 관계자 $r^8 = 1$ , $f^2 = 1$ , $(rf)^2 = 1$ 을 가진다는 것을 의미한다.

임의의 군은 생성원과 기본 관계에 의한 표시를 갖는다. 주어진 군 $G$ 에 대해 $G$ 위의 자유군 $F_G$ 를 만들 수 있다. 군 준동형 $\phi: F_G \rightarrow G$ 로 그 $G$ 로의 제한이 항등 사상이 되는 것이 유일하게 존재한다. 이 준동형의 핵을 $K$ 라고 하면, $K$ 는 $F_G$ 의 정규 부분군이 된다. 따라서, $G \cong \langle G \mid K \rangle$ 로 표현 가능하다.

임의의 유한군은 유한 표시를 갖는다. 주어진 군의 모든 원소를 생성원으로 하고, 곱셈표를 기본 관계로 하면 된다.

표트르 노비코프와 윌리엄 분은 단어 문제에 대한 부정적인 해답을 제시했다. 즉, 유한 표시 $\langle S \mid R \rangle$ 에 대해, 주어진 두 단어가 같은 원소를 나타내는지를 결정하는 알고리즘은 존재하지 않는다.

2.1. 생성자와 관계자

S의 원소는 $\langle S \mid R\rangle$ 의 생성자라고 불리며, R의 원소는 관계자라고 불린다. 생성자는 군을 생성하는 원소들의 집합이다. 관계자는 생성자들 사이의 관계를 나타내는 식이다.

관계자는 $x = y$ 형태로 쓰는 것이 일반적인 관행이며, 여기서 x와 y는 S에 대한 단어이다. 이것은 $y^{-1}x\in R$ 임을 의미한다. 이것은 몫군에서 x와 y의 이미지가 같아야 한다는 직관적인 의미를 갖는다. 따라서, 예를 들어, 관계자 목록에서 rⁿ은 $r^n=1$ 과 동일하다.

$X$ 가 유한 집합일 때 $G$ 는 유한 생성이라고 하고, $R$ 이 유한 집합일 때 $G$ 는 유한 관계라고 한다. 또한 $X$ 와 $R$ 이 모두 유한 집합일 때, 군 $G$ 는 유한형 또는 유한 표시라고 한다.

2.2. 형식적 정의

군 $\langle S|R\rangle$ 는 다음과 같은 순서쌍이다.
* $S$ 는 집합이다.
* $R\subset\operatorname{Free}(S)$ 는 $S$ 및 $^{-1}$ 로 구성되는 유한 문자열들의 집합이다.

이 순서쌍에 의하여 표시되는 군은 다음과 같다.
: $\langle S|R\rangle=\operatorname{Free}(S)/\operatorname{Free}(S)^{-1}R\operatorname{Free}(S)$

여기서
* $\operatorname{Free}(S)$ 는 $S$ 로부터 생성되는 자유군이다.
* $\operatorname{Free}(S)^{-1}R\operatorname{Free}(S)$ 는 $R$ 를 포함하는 $\operatorname{Free}(S)$ 의 최소 정규 부분군이다. 이는 $R$ 와 $R^{-1}$ 의 켤레 원소들의 유한 곱으로 구성된다.

$\langle S|R\rangle$ 표현을 갖는 군을 형성하기 위해, $F_S$ 를 R의 각 원소를 포함하는 가장 작은 정규 부분군으로 나눈다. 이 부분군은 $F_S$ 에서 R의 정규 폐포 N이라고 불린다. 그러면 군 $\langle S \mid R\rangle$ 은 몫군으로 정의된다.
: $\langle S \mid R \rangle = F_S / N.$

S의 원소는 $\langle S \mid R\rangle$ 의 생성자라고 불리며, R의 원소는 관계자라고 불린다. 군 G가 $\langle S \mid R\rangle$ 과 동형이면 G는 $\langle S \mid R\rangle$ 표현을 갖는다고 한다.

관계자는 $x = y$ 형태로 쓰는 것이 일반적인 관행이며, 여기서 x와 y는 S에 대한 단어이다. 이것은 $y^{-1}x\in R$ 임을 의미한다. 이것은 몫군에서 x와 y의 이미지가 같아야 한다는 직관적인 의미를 갖는다. 따라서 관계자 목록에서 rⁿ은 $r^n=1$ 과 동일하다.

군의 표시는 알파벳 $S \cup S^{-1}$ 에 대한 단어의 동치류 측면에서 재구성될 수 있다. 이 관점에서, 우리는 일련의 움직임을 통해 한 단어에서 다른 단어로 이동할 수 있는 경우 두 단어를 동등하다고 선언한다. 여기서 각 움직임은 $S$ 의 $x$ 에 대해 연속적인 쌍 $x x^{-1}$ 또는 $x^{-1} x$ 를 추가하거나 제거하거나, 관계자 사본을 연속적으로 추가하거나 제거하는 것으로 구성된다. 군의 원소는 동치류이며, 군의 연산은 연결이다.

$X$ 에서 생성된 자유군을 $F$ 라 하고, $R$ 을 $X$ 위의 단어로 이루어진 집합이라고 하자. 이 때, $R$ 의 정규 폐포 $N$ 에 의한 몫군을 $G = F/N$ 이라고 하자. 이것을
: $G = \langle X \mid R\rangle$
로 표기하며, (생성원과 기본 관계에 의한) 군의 표시라고 한다. 또한 이 때, $X$ 의 원을 생성원, $R$ 의 원을 관계 (또는 정의 관계, 기본 관계)라고 하며, 군 $G$ 는 생성원과 기본 관계에 의해 주어진다고 말한다. 기본 관계 $w \in R$ 에 대해, 식 $w = 1$ ( $1$ 은 $G$ 의 단위원)은 기본 관계식이라고도 불린다. 간략하게 말하면, $N$ 으로 나누는 것은 $G$ 가 자유군 $F$ 의 원 중 $R$ 에 속하는 원을 단위원 $1$ 과 같다고 간주하여 얻어지는 것임을 의미한다.

3. 성질

군의 표현은 유일하지 않다. 즉, 동일한 군에 대해 여러 가지 다른 표현이 존재할 수 있다.

집합 S에 대한 자유군은 각 원소가 다음과 같은 형태의 유한 길이 곱으로 유일하게 설명될 수 있는 군이다.

: $s_1^{a_1} s_2^{a_2} \cdots s_n^{a_n}$

여기서 s_i는 S의 원소이고, 인접한 s_i는 서로 다르며, a_i는 0이 아닌 정수이다(하지만 n은 0일 수 있다). 덜 공식적으로 말하면, 군은 생성자와 그들의 역원에서의 단어들로 구성되며, 단지 생성자와 그것의 역원의 인접한 발생을 상쇄하는 것만 적용된다.

만약 G가 어떤 군이고, S가 G의 생성 부분 집합이라면, G의 모든 원소는 또한 위의 형태를 갖는다. 그러나 일반적으로 이러한 곱은 유일하게 G의 원소를 설명하지 않는다.

예를 들어, 차수 16의 이각형 군 D₈은 8차의 회전 r과 2차의 뒤집기 f에 의해 생성될 수 있으며, D₈의 모든 원소는 r과 f의 곱이다. 하지만, 예를 들어 rfrf = 1, r⁸ = 1 등과 같이 표현이 유일하지 않다.

두 군의 자유곱과 직접곱은 각각의 군 표현을 이용하여 표현할 수 있는데, 자세한 내용은 자유곱과 직접곱 문단을 참고하라.

3.1. 자유곱 (Free Product)

3.2. 직접곱 (Direct Product)

표시된 두 군 $\langle S|R\rangle$ , $\langle T|Q\rangle$ 의 직접곱은 다음과 같다.

: $\langle S|R\rangle\times\langle T|Q\rangle=\langle S\cup T|R\cup Q\cup\{rqr^{-1}q^{-1}\colon r\in R,\;q\in Q\}\rangle$

G가 표현 $\langle S|R\rangle$ 를 가지고 H가 표현 $\langle T|Q\rangle$ 를 가지며, S와 T는 서로소라고 가정하자. 그러면 직접곱 $G \times H$ 는 표현 $\langle S, T|R, Q, [S, T]\rangle$ 를 가지며, 여기서 [S, T]는 S의 모든 원소가 T의 모든 원소와 교환 가능함을 의미한다.

Let^영어 $G = \langle X|R\rangle$ , $H = \langle Y|S\rangle$ 를 군의 표시라고 하자. 군의 직곱은 다음과 같다.

: $G \times H \cong \langle X \cup Y|R \cup S \cup [X, Y]\rangle$

4. 표현의 종류

표현은 S가 유한하면 유한 생성이라고 하고, R이 유한하면 유한 관계라고 한다. 둘 다 유한하면 유한 표현이라고 한다. 군이 유한 생성(각각 유한 관계, 유한 표현)된다는 것은 유한 생성(각각 유한 관계, 유한 표현)인 표현을 갖는 경우이다. 단일 관계를 가진 유한 표현을 갖는 군을 일 관계자 군이라고 한다.

만약 S가 모든 자연수 N 또는 유한 부분 집합으로 구성된 집합 I에 의해 인덱싱되면, 자유군 S에서 자연수로의 간단한 일대일 코딩(또는 괴델 수 매기기)을 설정하여, 주어진 f(w)에 대해 w를 계산하고 그 반대도 계산할 수 있는 알고리즘을 찾을 수 있다. 그런 다음 F_S의 부분 집합 U를 f(U)가 재귀적(각각 재귀적 가산)이면 재귀적(각각 재귀적으로 열거 가능)이라고 부를 수 있다. S가 위와 같이 인덱싱되고 R이 재귀적으로 열거 가능하면, 이 표현은 재귀적 표현이고, 해당 그룹은 재귀적으로 표현된다.

모든 유한 표현 그룹은 재귀적으로 표현되지만, 유한하게 표현될 수 없는 재귀적으로 표현된 그룹이 있다. 그러나 그레이엄 하이먼의 정리에 따르면 유한 생성 그룹은 유한하게 표현된 그룹에 임베딩될 수 있을 때만 재귀적 표현을 갖는다.

5. 예시

다음은 다양한 군에 대한 표현 예시를 정리한 표이다.

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\| 표현 \|\| 설명
S 위의 자유군	$\langle S \mid \varnothing \rangle$	자유군은 어떤 관계에도 종속되지 않는다는 의미에서 "자유"이다.
$\pi_1(S_g)$ , 가향 종수 $g\ge 0$ 의 곡면군	$\left\langle a_1, b_1,\ldots, a_g, b_g \mid [a_1, b_1][a_2, b_2]\ldots [a_g, b_g] \right\rangle$	괄호는 교환자를 나타낸다: $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$
C_n, 차수 n의 순환군	$\langle a \mid a^n \rangle$
D_n, 차수 2n의 이각형군	$\langle r,f \mid r^n , f^2 , (rf)^2 \rangle$	여기서 r은 회전을 나타내고 f는 반사를 나타낸다.
D_∞, 무한 이각형군	$\langle r,f \mid f^2, (rf)^2 \rangle$
Dic_n, 이중 순환군	$\langle r,f \mid r^{2n}, r^n=f^2, frf^{-1}=r^{-1} \rangle$	사원수군 Q₈은 n = 2인 특수한 경우이다.
Z × Z	$\langle x,y \mid xy = yx \rangle$
Z/mZ × Z/nZ	$\langle x,y \mid x^m, y^n, xy=yx \rangle$
S 위의 자유 아벨군	$\langle S \mid R \rangle$ 여기서 R은 S의 요소의 모든 교환자의 집합이다.
S_n, n개의 기호에 대한 대칭군	생성자: $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$ 관계:	여기서 σ_i는 i번째 요소와 i+1번째 요소를 교환하는 순열이다. 곱 σ_iσ_i+1은 집합 {i, i+1, i+2}에 대한 3-사이클이다.
B_n, 땋임군	생성자: $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$	대칭군과의 유사성에 유의해야 한다. 유일한 차이점은 관계 $\sigma_i^2 = 1$ 의 제거이다.
V₄^영어 ≅ D₂^영어, 클라인 4군	$\langle s,t \mid s^2, t^2, (st)^2 \rangle$
T^영어 ≅ A₄^영어, 사면체군	$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle$
O^영어 ≅ S₄^영어, 팔면체군	$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle$
I^영어 ≅ A₅^영어, 정이십면체 대칭군	$\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle$
Q₈^영어, 사원수군	$\langle i,j \mid i^4, jij = i, iji = j \rangle\,$	대안적인 표현은 위의 Dic_n을 n=2로 참조.
SL(2, Z)	$\langle a,b \mid aba=bab, (aba)^4 \rangle$	위상수학적으로 a와 b는 토러스에 대한 Dehn 꼬임으로 시각화할 수 있다.
GL(2, Z)	$\langle a,b,j \mid aba=bab, (aba)^4,j^2,(ja)^2,(jb)^2 \rangle$	SL(2, Z)의 비자명한 Z/2Z – 군 확장
PSL(2, Z), 모듈러 군	$\langle a,b \mid a^2, b^3 \rangle$	PSL(2, Z)는 순환군 Z/2Z와 Z/3Z의 자유 곱이다.
하이젠베르크 군	$\langle x,y,z \mid z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, yz=zy \rangle$
BS(m, n), 바움슬라그-솔리터 군	$\langle a, b \mid a^n = b a^m b^{-1} \rangle$
티츠 군	$\langle a, b \mid a^2, b^3, (ab)^{13}, [a, b]^5, [a, bab]^4, ((ab)^4 ab^{-1})^6 \rangle$	[a, b]^영어는 교환자이다.

위 표에서 일부 군에 대한 표현은 하위 섹션에서 이미 자세히 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게 표로 제시하였다.

5.1. 기본 예제

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군	표시	비고
자명군	\langle>\rangle
자유군	\langle S>\rangle	집합 $S$ 로부터 생성되는 자유군
자유 아벨 군	\langle S>\{aba^{-1}b^{-1}\colon a,b\in S\}\rangle	>S\|인 자유 아벨 군
순환군 $Z_n$	\langle a>a^n\rangle
대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$	\langle\sigma_1,\dots,\sigma_n>\sigma_i^2,\;\sigma_i\sigma_j\sigma_i^{-1}\sigma_j^{-1}\;(j \ne i\pm 1),\;(\sigma_i\sigma_{i+1})^3\rangle
정사면체군	\langle s,t>s^2, t^3, (st)^3 \rangle
정팔면체군	\langle s,t>s^2, t^3, (st)^4 \rangle
정이십면체군	\langle s,t>s^2, t^3, (st)^5 \rangle
사원수군	\langle i,j>jiji^{-i}, ijij^{-1}\rangle

5.2. 대칭군 및 관련 군

대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ 은 다음과 같이 표현된다.
: $\langle\sigma_1,\dots,\sigma_n|\sigma_i^2,\;\sigma_i\sigma_j\sigma_i^{-1}\sigma_j^{-1}\;(j \ne i\pm 1),\;(\sigma_i\sigma_{i+1})^3\rangle$
여기서 $\sigma_i$ 는 i번째 요소와 i+1번째 요소를 교환하는 순열을 나타낸다. 곱 $\sigma_i\sigma_{i+1}$ 은 집합 {i, i+1, i+2}에 대한 3-사이클이다.

땋임군(B_n)은 다음과 같이 표현된다.
: $\langle\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i\sigma_j\sigma_i^{-1}\sigma_j^{-1}\;(j \ne i\pm 1),\;(\sigma_i\sigma_{i+1})^3\rangle$
대칭군 표현과 비교했을 때, 유일한 차이점은 $\sigma_i^2 = 1$ 관계가 제거되었다는 것이다.

이각형군(D_n)은 차수가 2n이며, 다음과 같이 표현된다.
: $\langle r,f \mid r^n , f^2 , (rf)^2 \rangle$
여기서 r은 회전을, f는 반사를 나타낸다.

5.3. 정다면체 군

정다면체의 대칭군은 다음과 같이 표현된다.

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군	표시
정사면체군	\langle s,t>s^2, t^3, (st)^3 \rangle
정팔면체군	\langle s,t>s^2, t^3, (st)^4 \rangle
정이십면체군	\langle s,t>s^2, t^3, (st)^5 \rangle

5.4. 기타 예제

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\| 표현 \|\| 비고
사원수군	\langle i,j>jiji^, ijij^\rangle
하이젠베르크 군	$\langle x, y, z \mid z = xyx^y^, xz = zx, yz = zy\rangle$
바움슬라그-솔리터 군 BS(m, n)	$\langle a, b \mid a^n = ba^mb^\rangle$
티츠 군	$\langle a, b \mid a^2, b^3, (ab)^, [a,b]^5, [a,bab]^4, (ababababab^)^6\rangle$	[a, b]^영어는 교환자

6. 역사

윌리엄 로언 해밀턴은 1856년 아이코시안 미적분을 통해 정이십면체군을 표현하는 초기 연구 사례를 제시했다. 펠릭스 클라인의 제자인 발터 폰 디크(Walther von Dyck)는 1880년대 초 조합적 군론의 기초를 확립하여 군 표현에 대한 체계적인 연구를 진행했다.

7. 기하학적 군론과의 관계

군의 표현은 기하학적 군론에서 군의 기하학적 성질을 연구하는 데 사용된다. 케일리 그래프와 단어 거리를 통해 군의 기하학적 구조를 시각화하고 분석할 수 있다. 케일리 그래프는 거리인 단어 거리를 가지며, 약한 순서와 브루하 순서 그리고 해당 하세 다이어그램과 같은 두 가지 순서를 갖는다. 콕서터 군이 중요한 예시이다.

이 그래프의 일부 속성(조잡한 기하학)은 생성기의 선택과 무관하게 고유하다.

8. 노비코프-분 정리 (Novikov-Boone Theorem)

군에 대한 단어 문제에 대한 부정적인 해답으로, 임의의 유한 표시 에 대해, 주어진 두 단어 가 그 군의 같은 원소를 나타내는지를 결정하는 알고리즘은 존재하지 않는다는 것이 알려져 있다. 이는 표트르 노비코프가 1955년에, 또한 다른 증명을 윌리엄 분이 1958년에 각각 얻었다.

9. 응용

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