공집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다른 표현
3. 표기법
4. 성질
5. 연산
6. 응용
7. 역사
8. 철학적 논의
참조

1. 개요

공집합은 아무런 원소도 포함하지 않는 집합을 의미하며, 수학에서 중요한 개념으로 사용된다. 기호로는 ∅, {}, Ø 등이 사용되며, 1939년 앙드레 베유에 의해 도입되었다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며, 공집합의 멱집합은 공집합 자신만을 포함하는 집합이다. 공집합의 원소 개수는 0이며, 위상수학에서는 열린 집합이자 닫힌 집합으로 정의된다. 범주론에서는 초기 대상이며, 집합론에서 자연수를 정의하는 데 사용되기도 한다. 공집합은 수학적 개념이지만, 철학적으로는 존재론적 논쟁의 대상이 되기도 한다.

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공집합

2. 정의

원소를 전혀 갖지 않는 집합을 공집합이라고 하며, $\varnothing,\;\emptyset,\;\{\}$ 등으로 표기한다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.^[12]

임의의 $x\in\varnothing$ 에 대하여, $x\ne x$

실수 집합의 맥락에서, 칸토어는 "

P

는 단일 점을 포함하지 않는다"를 나타내기 위해

P\equiv O

를 사용했다. 이

\equiv O

표기법은 정의에 사용되었다. 예를 들어, 칸토어는 두 집합의 교집합에 점이 없는 경우 두 집합을 서로소라고 정의했다. 그러나 칸토어가

O

를 그 자체로 존재하는 집합으로 보았는지, 아니면 단순히

\equiv O

를 비어있음을 나타내는 술어로 사용했는지는 논쟁의 여지가 있다. 체르멜로는

O

자체를 집합으로 받아들였지만, 이를 "부적절한 집합"으로 간주했다.

소박하게는 일정한 규칙에 따르는 수학적인 대상의 모임이지만, 집합론을 논의할 때 "아무것도 포함하지 않는 모임", "아무것도 모으지 않은 모임"을 집합 중 하나로 간주하는 것이 자연스럽다. 집합을 주머니에 비유할 때 공집합은 빈 주머니에 해당한다.

공집합 기호는 부르바키가 수학 원론의 첫 번째 권 '결과의 요약'에서 Ø를 사용한 것이 시작이다.^[12] 앙드레 베유는 1991년에 출판한 '수업 시대의 추억'Souvenirs d'apprentisage^프랑스어에서, 부르바키 내에서 노르웨이어를 아는 사람은 자신 뿐이었고, 그 알파벳 Ø를 공집합 기호로 제안했음을 회상하고 있다. 그리스 문자의 Φ로 대신하는 경우도 있어 "파이"라고 읽히기도 하지만 Φ와는 무관하다.

2. 1. 다른 표현

공집합을 나타내는 일반적인 표기법에는 "{ }", "

\emptyset

", "∅"가 있다. 뒤의 두 기호는 1939년 부르바키 그룹(특히 앙드레 베유)에 의해 소개되었으며, 덴마크어와 노르웨이어 알파벳의 문자 Ø (Ø|오^da)에서 영감을 얻었다.^[2] 과거에는 숫자 "0" (0)이 공집합 기호로 사용되기도 했지만, 현재는 부적절한 표기법으로 간주된다.^[3]

기호 ∅는 유니코드 코드 포인트에서 사용할 수 있다.^[4] 집합이란, 소박하게는 일정한 규칙에 따르는 수학적인 대상의 모임이지만, 집합론을 논의할 때 "아무것도 포함하지 않는 모임", "아무것도 모으지 않은 모임"을 집합 중 하나로 간주하는 것이 자연스럽다. 아무것도 포함하지 않는 집합 {}이 공집합이다. "…의 집합"이라는 문장에서 "…"을 해당하는 것이 없는 조건(4로 나누어 떨어지는 홀수, 10보다 큰 음수 등)으로 하면 이 집합은 공집합이 된다. 집합을 주머니에 비유할 때 공집합은 빈 주머니에 해당한다.

3. 표기법

공집합을 나타내는 일반적인 표기법에는 "{ }", " $\emptyset$ ", "∅"가 있다. 후자 두 기호는 1939년 부르바키 그룹(특히 앙드레 베유)에 의해 소개되었으며, 덴마크어와 노르웨이어 알파벳의 문자 Ø (Ø|오^da)에서 영감을 얻었다.^[2] 과거에는 숫자 "0" (0)이 공집합 기호로 사용되기도 했지만, 현재는 부적절한 표기법으로 간주된다.^[3]

기호 ∅는 유니코드 코드 포인트 U+2205에서 사용할 수 있다.^[4] 이는 HTML에서 `∅`, `∅` 또는 `∅`로 코딩할 수 있다.

덴마크어 및 노르웨이어와 같이 공집합 문자와 알파벳 문자 Ø를 혼동할 수 있는 언어로 작성할 때는 유니코드 문자 U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰를 대신 사용할 수 있다.^[5]

공집합을 나타내는 기호로 ∅, $\emptyset$ 또는 {}가 있다. 기호 ∅는 노르웨이어 등에서 사용되는 알파벳 Ø(슬래시가 있는 오)에서 유래되었다. 모양이 비슷한 그리스 문자 φ, Φ(파이), 키릴 문자 Ф, ф(에프) 및 ⌀ (지름 기호)와는 전혀 관계가 없다.

앙드레 베유는 1991년에 출판한 '수업 시대의 추억'(Souvenirs d'apprentisage)에서, 부르바키 내에서 노르웨이어를 아는 사람은 자신 뿐이었고, 그 알파벳 Ø를 공집합 기호로 제안했음을 회상하고 있다.

기호	유니코드	JIS X 0213	문자 참조	명칭
∅	U+2205	1-2-39	∅	공집합

4. 성질

공집합은 원소를 가지지 않는 유일한 집합이다.
모든 집합 $A$ 에 대하여 다음이 성립한다.
공집합은 $A$ 의 부분집합이다.
$A$ 와 공집합의 합집합은 $A$ 이다.
$A$ 와 공집합의 교집합은 공집합이다.
$A$ 와 공집합의 곱집합은 공집합이다.
공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
공집합의 기수는 0이며, 유한집합이다.
$A$ 는 공집합과 서로소이다.
$A-\varnothing=A$
표준적인 공리적 집합론에서 외연성의 공리에 의해 두 집합은 같은 원소를 가지면 같으므로, 원소가 없는 집합은 단 하나만 존재한다. 따라서 "공집합"이라는 용어가 사용된다.
자연수의 집합론적 정의에서, 0은 공집합으로 모델링된다.
집합족의 첨자 집합이 공집합일 때 합집합은 $\textstyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \varnothing$ 이다. 또한 집합족이 어떤 집합의 부분 집합으로 이루어져 있고, 그 첨자 집합이 공집합일 때 교집합은 $\textstyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = E$ 이다.

4. 1. 공허하게 참인 명제 (Vacuously True Statement)

'''공허하게 참인 명제'''(vacuously true statement^영어)는 공집합에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.

$\forall x\in\varnothing\colon\phi(x)$
$\phi\implies\psi$ (여기서 $\phi$ 는 거짓 명제이다.)

공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.

예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.

임의의 $x\in\varnothing$ 에 대하여, $x\ne x$
만약 $3 라면, 6<2x<4 이다.$
모든 집합은 공집합을 부분 집합으로 포함한다. 즉, 임의의 집합 ''A''에 대해 ∅ ⊆ ''A''이다. 왜냐하면, 임의의 집합 ''A''에 대해 명제 " $\forall x : x \in \varnothing \implies x \in A$ "는 항상 참이기 때문이다. (공허한 진실 참조). 특히 $A=\varnothing$ 로 두면, $\varnothing \subseteq \varnothing$ 이 성립하는 것을 알 수 있다.
어떤 것이든, 공집합에 원소로 포함되지 않는다.

::

\forall x, x \notin \varnothing.

공집합의 부분 집합은 공집합 자신뿐이다.

::

({\forall}A)[A \subseteq \varnothing \implies A=\varnothing].

공집합의 원소의 개수는 0이다.

::|∅| = 0.

어떤 집합 ''A''에 대해서도, ''A''와 공집합 ∅의 합집합은 ''A''와 같고, ''A''와 ∅의 교집합이나 곱집합은 ∅와 같다.

::''A'' ∪ ∅ = ''A'', ''A'' ∩ ∅ = ∅, ''A'' × ∅ = ∅ = ∅ × ''A''.

공집합을 정의역으로 하는 사상은 공역을 정할 때마다 유일하게 정해지며, 단사 함수이다. 특히, 공역 또한 공집합인 경우 $\varnothing \to \varnothing$ 는 전단사 함수가 된다. (공사상 항목 참조).
집합족의 첨자 집합이 공집합일 때 합집합은 $\textstyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \varnothing$ 이다. 또한 집합족이 어떤 집합의 부분 집합으로 이루어져 있고, 그 첨자 집합이 공집합일 때 교집합은 $\textstyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = E$ 이다.

4. 2. 확장된 실수

실수의 통상적인 순서를 갖는 실수의 부분 집합으로 간주될 때, 모든 실수는 공집합의 상계이자 하계이다.^[7] 확장된 실수의 부분 집합으로 간주될 때 (즉, 모든 다른 확장된 실수보다 작은 것으로 정의된 음의 무한대(

-\infty

)와 모든 다른 확장된 실수보다 큰 것으로 정의된 양의 무한대(

+\infty

)로 표시됨), 다음이 성립한다.

:

\sup\varnothing=\min(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=-\infty

:

\inf\varnothing=\max(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=+\infty

즉, 공집합의 최소 상계(sup 또는 상한)는 음의 무한대이고, 최대 하계(inf 또는 하한)는 양의 무한대이다. 확장된 실수의 영역에서 음의 무한대는 최댓값 연산자와 상한 연산자의 항등원인 반면, 양의 무한대는 최솟값 연산자와 하한 연산자의 항등원이다.

4. 3. 위상수학

임의의 위상 공간 ''X''에서, 공집합은 정의상 열린 집합이며, ''X'' 또한 열린 집합이다. 여집합은 닫힌 집합이고, 공집합과 ''X''는 서로의 여집합이므로, 공집합은 열린 닫힌 집합이 된다. 또한, 공집합은 모든 유한 집합이 콤팩트하다는 사실에 의해 콤팩트 집합이다.

공집합의 폐포는 공집합이다. 이것은 "0항 연산의 합집합 보존"으로 알려져 있다.

4. 4. 범주론

만약

A

가 집합이라면, 공집합에서

A

로 가는 정확히 하나의 함수

f

, 즉 공함수가 존재한다. 결과적으로, 공집합은 집합과 함수의 범주에서 유일한 초기 대상이다.^[1]

공집합은 공집합을 열린 집합으로 정의함으로써 단 하나의 방법으로 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 공위상 공간은 연속 함수를 갖는 위상 공간의 범주에서 유일한 초기 대상이다.^[1] 사실, 이것은 엄격한 초기 대상인데, 공집합에서 공집합으로 가는 함수는 공집합뿐이기 때문이다.^[1]

5. 연산

편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다.^[6] 즉, 다음과 같다.

: $\sum_{x\in\varnothing}x=0$

: $\prod_{x\in\varnothing}x=1$

이는 0이 덧셈의 항등원, 1이 곱셈의 항등원이기 때문이다.^[6]

예를 들어, 합

: $\sum_{n=p}^qa_n$

은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

: $\sum_{n=p}^qa_n=\begin{cases}0&p>q\\\displaystyle\sum_{n=p}^{q-1}a_n+a_q&p\le q\end{cases}$

편의를 위해, 집합 $A$ 의 0번 곱집합 $A^{\times0}$ 은 임의의 한원소 집합 $\{\bullet\}$ 으로 정의된다. 이 경우, 집합 $A$ 위의 영항 연산

: $f\colon A^{\times0}\to A$

는 $A$ 의 원소

: $f(\bullet)\in A$

와 일대일 대응한다.

순열은 고정점이 없는 집합의 순열이다. 공집합은 자기 자신의 순열로 간주될 수 있는데, 이는 공집합은 단 하나의 순열( $0!=1$ )을 가지며, (공집합의) 어떠한 원소도 원래의 위치를 유지하는 것을 찾을 수 없다는 것이 자명하게 참이기 때문이다.

6. 응용

수, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하는 방법이 있다. $0:=\varnothing, \ 1:=\{\varnothing\}, \ 2:=\{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \ \cdots$ 와 같이 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있는데, 이는 무한 공리에서 사용하는 방법이다.

폰 노이만 순서수 구성에서 0은 공집합으로 정의되며, 순서수의 후속자는 $S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}$ 로 정의된다. 따라서 $0=\varnothing$ , $1 = 0\cup\{0\}=\{\varnothing\}$ , $2=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ 등과 같다. 폰 노이만 구성은 최소 하나의 무한 집합의 존재를 보장하는 무한 공리와 함께, 산술의 페아노 공리를 만족하는 자연수 집합 $\N_0$ 을 구성하는 데 사용될 수 있다.

7. 역사

공집합 기호 $\varnothing$ 는 프랑스의 수학자이자 니콜라 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다.^[2] 앙드레 베유는 부르바키에서 은퇴한 후, 1991년에 출판한 '수업 시대의 추억'(Souvenirs d'apprentisage)에서, 부르바키 내에서 노르웨이어를 아는 사람은 자신뿐이었고, 자신이 Ø를 공집합 기호로 제안했음을 회상하고 있다.

공집합을 나타내는 일반적인 표기법에는 "{ }", " $\emptyset$ ", "∅"가 있다. 이 기호들은 1939년 부르바키 그룹(특히 앙드레 베유)에 의해 소개되었으며, 덴마크어와 노르웨이어 알파벳의 문자 Ø에서 영감을 얻었다.^[2] 과거에는 숫자 "0" (0)이 공집합 기호로 사용되기도 했지만, 현재는 부적절한 표기법으로 간주된다.^[3]

그리스 문자의 Φ로 대신하는 경우도 있어 "파이"라고 읽히기도 하지만 Φ와는 무관하다.^[12]

8. 철학적 논의

공집합은 표준적이고 널리 받아들여지는 수학적 개념이지만, 존재론적 호기심으로 남아 있으며, 그 의미와 유용성은 철학자와 논리학자들 사이에서 논쟁의 대상이 된다.

공집합은 무(nothing)와 같은 것이 아니다. 오히려, 그 안에 아무것도 없는 집합이며, 집합은 항상 어떤 것이다. 이 문제는 집합을 가방으로 간주함으로써 극복할 수 있는데, 빈 가방은 의심할 여지 없이 여전히 존재한다. Darling (2004)은 공집합이 무가 아니라 "네 변을 가진 모든 삼각형의 집합, 9보다 크고 8보다 작은 모든 숫자의 집합, 그리고 체스에서 킹과 관련된 모든 오프닝 수의 집합"이라고 설명한다.^[9]

다음의 유명한 삼단논법은 다음과 같다.

:무는 영원한 행복보다 낫지 않다. 햄 샌드위치는 무보다 낫다. 그러므로 햄 샌드위치는 영원한 행복보다 낫다.

이 삼단논법은 무(nothing)의 개념과 공집합 간의 철학적 관계를 설명하기 위해 자주 사용된다. Darling은 "무는 영원한 행복보다 낫지 않다"와 "[A] 햄 샌드위치는 무보다 낫다"라는 문장을 수학적인 어조로 다시 작성함으로써 그 대비를 볼 수 있다고 쓴다. Darling에 따르면, 전자는 "영원한 행복보다 더 나은 모든 것들의 집합은 $\varnothing$ 이다"와 같고, 후자는 "집합 {햄 샌드위치}는 집합 $\varnothing$ 보다 낫다"와 같다. 전자는 집합의 원소들을 비교하고, 후자는 집합 자체를 비교한다.^[9]

조나단 로우는 공집합에 대해 다음과 같이 주장한다.

:공집합은 의심할 여지 없이 수학 역사에서 중요한 이정표였지만, 계산에서의 유용성이 실제로 어떤 객체를 나타내는 것에 의존한다고 가정해서는 안 된다.

또한 그는 다음과 같이 말한다.

:"공집합에 대해 우리가 아는 것은 (1) 집합이고, (2) 원소가 없으며, (3) 원소가 없다는 점에서 집합들 중 유일하다는 것이다. 그러나 집합론적 의미에서 '원소가 없는' 것은 매우 많다. 즉, 집합이 아닌 모든 것들이다. 이러한 것들이 왜 원소를 갖지 않는지는 명백하다. 왜냐하면 그것들은 집합이 아니기 때문이다. 불분명한 것은 원소가 없는 집합이 집합들 중에서 어떻게 유일하게 존재할 수 있는가 하는 것이다. 우리는 단순히 규정을 통해 그러한 실체를 만들어낼 수 없다."^[10]

조지 불로스는 집합론에 의해 지금까지 얻어진 많은 것들이 다른 개체들을 원소로 갖는 단일 실체로서 집합을 실체화하지 않고, 개별 객체들에 대한 복수 한정사를 통해 매우 쉽게 얻을 수 있다고 주장했다.^[11]

참조

_[1] 웹사이트 Empty Set https://mathworld.wo[...] 2020-08-11
_[2] 웹사이트 Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic. http://jeff560.tripo[...]
_[3] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[4] 웹사이트 Unicode Standard 5.2 https://www.unicode.[...]
_[5] 서적 Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen
_[6] 서적 Linear Algebra and Geometry https://archive.org/[...]
_[7] 간행물 Elementary Real Analysis http://classicalreal[...]
_[8] 논문 The Empty Set, the Singleton, and the Ordered Pair https://math.bu.edu/[...] Bulletin of Symbolic Logic 2023-08-21
_[9] 서적 The Universal Book of Mathematics John Wiley and Sons
_[10] 서적 Locke Routledge
_[11] 논문 To be is to be the value of a variable Harvard University Press
_[12] 웹사이트 Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic http://jeff560.tripo[...] 2015-12-23

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