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키르히호프의 전기회로 법칙

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목차

1. 개요

키르히호프의 전기회로 법칙은 전기 회로의 분석에 사용되는 두 가지 기본 법칙으로, 키르히호프의 전류 법칙(KCL)과 키르히호프의 전압 법칙(KVL)으로 구성된다. KCL은 회로의 한 노드(분기점)에 들어오는 전류의 합은 나가는 전류의 합과 같다는 법칙이며, 전하 보존의 원리에 기반한다. KVL은 회로의 닫힌 루프에서 전압(전위차)의 합이 0이라는 법칙으로, 에너지 보존의 원리에 기반한다. 이 두 법칙은 옴의 법칙과 함께 회로의 전류와 전압을 계산하는 데 사용되며, 회로 시뮬레이션 소프트웨어의 기반이 된다. 하지만, 고주파 회로에서는 전송선과 같은 소자의 전하 밀도 변화 및 자기장의 영향으로 인해 KCL과 KVL이 정확히 적용되지 않을 수 있다.

2. 키르히호프의 전류 법칙 (KCL, Kirchhoff's Current Law)

회로상의 임의의 한 분기점에서 들어온 전류의 합은 교점에서 나간 전류의 합과 같다.


키르히호프의 전류 법칙은 전기 회로의 노드(분기점)에서 유입되는 전류의 합과 유출되는 전류의 합이 같다는 법칙이다. 이는 전하 보존 법칙에 기반하며, '전류 보존 법칙'이라고도 불린다.[2][3]

2. 1. 정의

이 법칙은 키르히호프의 지점의 법칙, 키르히호프의 분기점 법칙(또는 노달법), 그리고 키르히호프의 첫 번째 법칙이라고도 한다.

전류 법칙은 다음과 같다.

: 전류가 흐르는 분기점(선의 연결지점, 만나는 지점)에서, 들어온 전류의 양과 나간 전류의 양의 합은 같다. 즉 0이다.

: 도선망(회로)안에서 전류의 대수적 합은 0이다.(단, 들어온 전류의 양을 양수로, 나간 전류의 양을 음수로 가정하며, 도선상의 전류 손실은 없다고 가정한다).

전류는 노드로부터 들어오거나 나가는 정수(양의 정수, 음의 정수)이다. 식은 다음과 같다.

:\sum_{junction} {I} = 0

''n''은 노드로부터 나가거나 들어오는 가지의 전체 숫자이다.

(위의 식을 풀어서 쓰면: {I}_1 + {I}_2 + {I}_3 = 0)

(그림을 예를 들면: {i}_1 = -1, {i}_2 = +5, {i}_3 = +2, {i}_4 = ? 이면 -1 + 5 + 2 + {i}_4 =0 가 되고 {i}_4=-6 이 된다.)

다시 이 식을 복소수화(일반화) 하면:

:\sum_{k=1}^n \tilde{i}_k = 0

어떤 접합점으로 들어가는 전류는 그 접합점을 나가는 전류와 같다.


이 법칙은 전기 회로의 모든 노드(분기점)에서 해당 노드로 유입되는 전류의 합은 해당 노드에서 유출되는 전류의 합과 같다고 명시한다. 또는 다음과 같이 표현할 수 있다.

> ''어떤 지점에서 만나는 도체 네트워크에서 전류의 대수 합은 0이다.''

전류가 노드에서 향하거나 멀어지는 방향을 반영하는 부호가 있는(양수 또는 음수) 양이라는 점을 상기하면서, 이 원리는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\sum_{i=1}^n I_i = 0

여기서 n은 노드로 향하거나 노드에서 멀어지는 전류가 흐르는 총 가지의 수이다.

키르히호프의 회로 법칙은 원래 실험 결과로부터 얻어졌다. 그러나 전류 법칙은 전하 보존의 확장으로 볼 수 있는데, 전하는 전류와 전류가 흐른 시간의 곱이기 때문이다. 어떤 영역의 순 전하가 일정하면 전류 법칙은 해당 영역의 경계에서 유지된다.[2][3] 이는 전류 법칙이 전선과 부품의 순 전하가 일정하다는 사실에 의존함을 의미한다.

그림과 같이 "중심점에 유입되는 전류 ''i1''과 ''i2''의 총합이 유출되는 전류 ''i3''와 ''i4''의 총합과 같다"라고 해석할 수 있으므로 일종의 보존 법칙으로 "전류 보존 법칙"이라고도 한다.

회로망의 임의의 접속점에 유입・유출되는 전류의 총합(대수적 합)은 0임을 나타낸다.

접속점에 연결되는 경로 수를 N, 각 경로의 전류값을 I_k라고 하면 다음 식으로 주어진다.

:\sum_{k=1}^N I_k = 0

단, 접속점에 유입되는 전류와 유출되는 전류는 부호를 반전하여 계산한다.

2. 2. 활용

키르히호프의 전류 법칙(KCL)은 SPICE와 같은 대부분의 회로 시뮬레이션 소프트웨어의 기반이 된다.[2][3] 이 법칙은 옴의 법칙과 함께 노드 해석을 수행하는 데 사용되며, 네트워크의 특성에 관계없이 단방향 또는 양방향, 능동 또는 수동, 선형 또는 비선형 등 모든 집중 회로망에 적용할 수 있다.

키르히호프의 전류 법칙은 모든 반도체 디자인 회로 시뮬레이션 소프트웨어의 기본 법칙으로, 모든 회로를 해석하고 반도체를 디자인하는 데 기초적인 법칙으로 적용된다.

2. 3. 한계

키르히호프의 회로 법칙은 집중 요소 모델에 기반하며, 두 법칙 모두 모델 적용 가능성에 의존한다. 모델을 적용할 수 없는 경우 법칙은 성립하지 않는다.

전류 법칙은 전선, 접합, 집중 요소의 순 전하가 일정하다는 가정에 의존한다. 그러나 회로 부분 사이에 정전 결합과 같이 전기장이 무시할 수 없는 경우, 이 가정은 성립하지 않는다. 이는 집중 요소 모델을 적용할 수 없는 고주파 교류 회로에서 발생한다.[4] 예를 들어, 전송선에서 도체의 전하 밀도는 끊임없이 변할 수 있다.

전송선에서 도체의 서로 다른 부분의 순 전하는 시간에 따라 변하며, 이는 키르히호프 전류 법칙(KCL)에 위배된다.


반면, 전압 법칙은 시간 변화하는 자기장의 작용이 인덕터와 같은 개별 소자에 국한된다는 사실에 의존한다. 실제로는 인덕터에 의해 생성된 유도 전기장이 완전히 국한되지 않지만, 누설되는 전장은 종종 무시할 수 있다.

3. 키르히호프의 전압 법칙 (KVL, Kirchhoff's Voltage Law)

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키르히호프 전압 법칙(KVL, Kirchhoff's Voltage Law)은 '''키르히호프의 두 번째 법칙''' 또는 '''키르히호프의 루프 법칙'''이라고도 불린다. 이 법칙은 에너지 보존 법칙에 기반하며, 닫힌 회로(폐회로)에서 전압의 변화를 설명한다.

3. 1. 정의



이 법칙은 '''키르히호프의 두 번째 법칙''', '''키르히호프의 루프 법칙'''이라고도 불린다.

이 법칙은 에너지 보존 법칙에 기반하며, 옴의 법칙(V=IR, V: 전압, I: 전류, R: 저항)은 키르히호프 제2법칙의 가장 간단한 형태이다.

닫힌 루프 안에서 전압(전위차)의 합은 0이다. 이를 다르게 표현하면, 폐쇄된 회로에서 인가된 전원의 합과 분배된 전위차의 합은 그 루프 안에서 같다는 의미이다. 또는, 하나의 루프 안에서 도체에 걸린 전압의 대수 합과 그 루프에 인가된 전체 전원 대수의 합은 같다.

KCL(키르히호프 전류 법칙)과 같이 식으로 표현하면 다음과 같다.

:\sum_{closed loop} \Delta V = 0

여기서 ''n''은 측정된 전체 전압의 개수이다.

(예: \sum_{k=1}^n V_k = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 0)

이를 일반화(복소수화)하면 다음과 같다.

:\sum_{k=1}^n \tilde{V}_k = 0

이 법칙은 에너지의 인가와 출력, 공급과 소비의 포텐셜장(에너지 보유장) 기초 원칙이 된다.(루프 안에서의 에너지는 소멸되지 않는다는 가정 하에서) 인가된 전압 포텐셜, 완전히 폐쇄된 루프의 전하량은 증가하거나 감소하지 않으며, 처음 인가된 전하량을 유지한다.

회로망 중 임의의 폐회로에서 한 바퀴 도는 경로에 포함된 기전력(전원)의 총합과 전압 강하의 총합은 같다.

경로에 포함된 기전력의 수를 N, 각 전압을 V_k, 임피던스를 갖는 소자 수를 M, 각 소자에 의한 전압 강하를 E_k라고 하면 다음 식으로 주어진다.

:\sum_{k=1}^N V_k = \sum_{k=1}^M E_k

단, 한 바퀴 도는 방향에 일치하는 방향의 전위차와 반대 방향의 전위차는 부호를 반전하여 계산한다.

; 한계점

패러데이의 전자기 유도 법칙에 따르면 자기장이 변하는 곳에 있는 도체에는 전위차(전압)가 발생한다. 실제 전자기장에서는 전하량 보존 법칙이 성립되지 않는다. 실질적인 회로 상태에서는 완전하고 완벽한 폐쇄 회로를 만들 수 없으므로, KVL(키르히호프 전압 법칙)이 존재하는 회로는 존재하지 않는다.

3. 2. 일반화

키르히호프의 전압 법칙(KVL)은 '''키르히호프의 제2법칙''' 또는 '''키르히호프의 루프 법칙'''이라고도 불리며, 임의의 폐회로(닫힌 루프)에서 모든 전위차(전압)의 합은 0이라는 법칙이다.

이는 에너지 보존 법칙에 기반하며, 회로 내에서 에너지가 생성되거나 소멸되지 않는다는 것을 의미한다. 전압 법칙은 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.

:\sum_{k=1}^n \tilde{V}_k = 0

여기서 ''n''은 측정된 전체 전압의 개수이다.

쉽게 설명하자면, 폐회로에서 전압을 공급하는 요소(예: 건전지)와 전압을 소비하는 요소(예: 저항)가 있을 때, 공급되는 전압의 총합과 소비되는 전압의 총합이 같다는 것이다.

; 한계점

패러데이의 전자기 유도 법칙에 따르면, 자기장이 변하는 곳에서는 전위차(전압)가 발생한다. 이는 전자기장에서는 전하량 보존 법칙이 항상 성립하지는 않는다는 것을 보여준다. 따라서 실제 회로에서는 완벽한 폐회로를 구성하는 것이 불가능하며, KVL이 엄밀하게 적용되지 않는 경우가 존재한다.

3. 3. 한계

패러데이의 전자기 유도 법칙에 따르면, 자기장이 변하는 곳에 있는 도체에는 전위차(전압)가 발생한다. 그러나 실제 전자기장에서는 전하량 보존 법칙이 완벽하게 성립하지 않는다. 따라서 실제 회로에서는 완전한 폐쇄 회로를 만들기 어렵기 때문에, 키르히호프 전압 법칙(KVL)이 정확하게 적용되는 회로는 존재하지 않는다.[3][4]

이는 집중 요소 모델이 적용될 수 없는 고주파 교류 회로에서 특히 두드러진다. 예를 들어, 전송선에서는 도체의 전하 밀도가 시간에 따라 계속 변할 수 있다.

4. 실제 회로 모델링

키르히호프의 전류 법칙의 행렬 버전은 SPICE와 같은 대부분의 회로 시뮬레이션 소프트웨어의 기반이다. 전류 법칙은 옴의 법칙과 함께 사용하여 노드 해석을 수행한다.

전류 법칙은 네트워크의 특성에 관계없이 단방향 또는 양방향, 능동 또는 수동, 선형 또는 비선형 등 모든 집중 회로망에 적용할 수 있다. 키르히호프의 회로 법칙은 집중 요소 모델의 결과이며, 두 법칙 모두 해당 회로에 모델을 적용할 수 있는지에 따라 달라진다. 모델을 적용할 수 없는 경우 법칙은 적용되지 않는다.

전류 법칙은 임의의 전선, 접합 또는 집중 요소의 순 전하가 일정하다는 가정에 의존한다. 두 전선이 정전 결합과 같이 회로의 부분 사이의 전기장이 무시할 수 없을 때, 이 가정이 성립하지 않을 수 있다. 이는 집중 요소 모델을 더 이상 적용할 수 없는 고주파 교류 회로에서 발생한다.[4] 예를 들어, 전송선에서 도체의 전하 밀도는 끊임없이 변할 수 있다.

반면에, 전압 법칙은 시간 변화하는 자기장의 작용이 인덕터와 같은 개별 소자에 국한된다는 사실에 의존한다. 실제로는, 인덕터에 의해 생성된 유도 전기장은 국한되지 않지만, 누설되는 전장은 종종 무시할 수 있다.

회로에 대한 럼프 소자 근사는 저주파수에서 정확하다. 더 높은 주파수에서는 도체 내에서 누설된 플럭스 및 변화하는 전하 밀도가 중요해진다. 어느 정도까지는 이러한 회로를 기생 부품을 사용하여 모델링할 수 있다. 주파수가 너무 높으면 유한 요소 모델링 또는 다른 기술을 사용하여 필드를 직접 시뮬레이션하는 것이 더 적절할 수 있다.

두 법칙을 모두 사용할 수 있도록 회로를 모델링하려면 ''물리적'' 회로 소자와 ''이상적인'' 럼프 소자의 차이점을 이해하는 것이 중요하다. 예를 들어 전선은 이상적인 도체가 아니다. 이상적인 도체와 달리 전선은 서로(그리고 자체적으로) 유도 및 용량성 결합을 할 수 있으며 유한한 전파 지연을 갖는다. 실제 도체는 용량성 결합을 모델링하기 위해 도체 사이에 분포된 기생 커패시턴스 또는 유도성 결합을 모델링하기 위해 기생 (상호) 인덕턴스를 고려하여 럼프 소자 측면에서 모델링할 수 있다.[4] 전선은 또한 자체 인덕턴스를 갖는다.

5. 예제

키르히호프 법칙 예제 회로


전압원 2개와 저항 3개로 구성된 전기 회로망을 가정해 보자.

제1법칙(키르히호프의 전류 법칙)에 따르면:

: i_1 - i_2 - i_3 = 0

제2법칙(키르히호프의 전압 법칙)을 닫힌 회로 s|s1영어에 적용하고, 옴의 법칙을 사용하여 전압을 대체하면 다음과 같다.

:-R_2 i_2 + \mathcal{E}_1 - R_1 i_1 = 0

제2법칙을 닫힌 회로 s|s2영어에 적용하고 옴의 법칙을 다시 결합하면 다음과 같다.

:-R_3 i_3 - \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1 + R_2 i_2 = 0

이는 i_1, i_2, i_3에 대한 선형 연립 방정식을 생성한다.

:\begin{cases}

i_1 - i_2 - i_3 & = 0 \\

  • R_2 i_2 + \mathcal{E}_1 - R_1 i_1 & = 0 \\
  • R_3 i_3 - \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1 + R_2 i_2 & = 0

\end{cases}

이것은 다음과 같다.

:\begin{cases}

i_1 + (- i_2) + (- i_3) & = 0 \\

R_1 i_1 + R_2 i_2 + 0 i_3 & = \mathcal{E}_1 \\

0 i_1 + R_2 i_2 - R_3 i_3 & = \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2

\end{cases}

다음과 같이 가정한다.

:\begin{align}

R_1 &= 100\Omega, & R_2 &= 200\Omega, & R_3 &= 300\Omega, \\

\mathcal{E}_1 &= 3\text{V}, & \mathcal{E}_2 &= 4\text{V}

\end{align}

해는 다음과 같다.

:\begin{cases}

i_1 = \frac{1}{1100}\text{A} \\[6pt]

i_2 = \frac{4}{275}\text{A} \\[6pt]

i_3 = -\frac{3}{220}\text{A}

\end{cases}

전류 i_3은 음수 부호를 가지며, 이는 i_3의 가정된 방향이 잘못되었고 i_3가 실제로 그림에 표시된 빨간색 화살표와 반대 방향으로 흐르고 있음을 의미한다. R_3에 흐르는 전류는 왼쪽에서 오른쪽으로 흐른다.

참조

[1] 학위논문 The doctrine of description: Gustav Kirchhoff, classical physics, and the "purpose of all science" in 19th-century Germany University of California, Berkeley
[2] 웹사이트 Kirchoff's current law and Kirchoff's voltage law http://www.ams.jhu.e[...] 2018-12-06
[3] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 22: AC Circuits https://feynmanlectu[...] 2018-12-06
[4] 서적 Grounding and Shielding Techniques in Instrumentation Wiley-Interscience


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