토렐리 정리

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1. 개요

토렐리 정리는 리만 곡면 모듈러스 공간에서 아벨 다양체 모듈러스 공간으로 가는 사상이 단사 함수임을 나타내는 정리이다. 종수 g인 리만 곡면 Σg로부터 야코비 다양체를 정의할 수 있으며, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간에서 아벨 다양체 모듈러스 공간으로 가는 사상을 정의한다. 이 정리는 루제로 토렐리가 1913년에 증명했다. 종수가 0 또는 1인 경우와 종수가 2, 3인 경우, 종수가 4 이상인 경우에 따라 그 특성이 다르다. 특히, 종수가 4 이상인 경우, 이 사상의 상을 결정하는 문제는 숏키 문제로 알려져 있다.

토렐리 정리

개요

이름	토렐리 정리
분야	대수기하학, 복소기하학
설명	콤팩트 리만 곡면은 야코비 다양체에 의해 결정된다.

상세 내용

내용	콤팩트 리만 곡면 $X$가 주어지면, 그 야코비 다양체 $J(X)$는 $X$의 피카드 다양체이다. 토렐리 정리는 $X$의 야코비 다양체 $J(X)$가 $X$를 결정한다는 것을 말한다. 즉, 두 콤팩트 리만 곡면 $X$와 $Y$가 동형인 야코비 다양체를 가지면, $X$와 $Y$는 동형이다.
일반화	토렐리 정리는 K3 곡면과 아벨 다양체와 같은 다른 종류의 대수다양체로 일반화되었다.
역사	토렐리 정리는 라그랑주 토렐리에 의해 1913년에 처음으로 증명되었다.

참고 문헌

참고 문헌	"Complex Multiplication and Shimura Varieties." G. Cornell, J.H. Silverman, G. Stevens. Springer-Verlag, 1986. "Arithmetic Geometry." G. Cornell, J.H. Silverman. Springer-Verlag, 1986. Stable rationality of moduli spaces of algebraic varieties A new proof of the global Torelli theorem for K3 surfaces

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 역사

2. 정의

종수가 $g$ 인 리만 곡면들의 모듈러스 공간 $\mathcal M_g$ 는 ( $g>1$ 인 경우) $3g-3$ 차원 복소 공간이다. $g$ 차원 복소 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간
: $\mathcal A_g\cong\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)$
은 $g(g+1)/2$ 차원 복소 공간이다. 주기 사상에 의하여, 주어진 종수 $g$ 의 리만 곡면 $\Sigma_g$ 로부터 그 야코비 다양체
: $J(\Sigma_g)=H^1(\Sigma_g;\mathbb C)/H^1(\Sigma_g;\mathbb Z)$
를 정의할 수 있다. 야코비 다양체는 $g$ 차원 아벨 다양체이므로, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간 $\mathcal M_g$ 에서 아벨 다양체 모듈러스 공간 $\mathcal A_g$ 로 가는 사상
: $\iota\colon\mathcal M_g\to\mathcal A_g$
를 정의한다. 토렐리 정리에 따르면, 이는 단사 함수이다.

3. 예

종수가 $g=0$ 인 경우, $\mathcal M_0$ 와 $\mathcal A_0$ 둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

$g=1$ 인 경우,
: $\mathcal M_0\cong\mathcal A_1\cong\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)$
이다. (종수 1의 리만 곡면과 1차원 아벨 다양체 둘 다 타원 곡선이다.) 이 경우 주기 사상은 단사 함수일 뿐만 아니라 전단사 함수이다.

종수가 $g=2,3$ 인 경우에도 $\dim\mathcal M_g=\dim\mathcal A_g$ 이다. 이 경우, $\iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g$ 의 폐포는 $\mathcal A_g$ 전체이다.

종수가 $g\ge4$ 인 경우 $\dim\mathcal M_g<\dim\mathcal A_g$ 이다. 이 경우, $\iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g$ 는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 숏키 문제(Schottky problem^영어)라고 한다.

3.1. 종수가 0인 경우

종수가 $g=0$ 인 경우, $\mathcal M_0$ 와 $\mathcal A_0$ 둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

3.2. 종수가 1인 경우

종수가 $g=1$ 인 경우, $\mathcal M_0\cong\mathcal A_1\cong\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)$ 이다. 종수 1의 리만 곡면과 1차원 아벨 다양체는 모두 타원 곡선이기 때문이다. 이 경우 주기 사상은 단사 함수일 뿐만 아니라 전단사 함수이다.

3.3. 종수가 2, 3인 경우

종수가 $g=2,3$ 인 경우에도 $\dim\mathcal M_g=\dim\mathcal A_g$ 이다. 이 경우, $\iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g$ 의 폐포는 $\mathcal A_g$ 전체이다.

3.4. 종수가 4 이상인 경우

종수가 $g\ge4$ 인 경우 $\dim\mathcal M_g<\dim\mathcal A_g$ 이다. 이 경우, $\iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g$ 는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 숏키 문제(Schottky problem^영어)라고 한다.

4. 역사

루제로 토렐리(Ruggiero Torelli^{이탈리아어})가 1913년 증명하였다.