복소기하학

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1. 개요

복소기하학은 복소다양체, 복소대수다양체, 복소해석적다양체 등을 연구하는 기하학의 한 분야이다. 복소다양체는 하우스도르프 공간이면서 국소적으로 복소수 공간과 위상동형인 공간이며, 아핀 복소해석적 다양체는 특이점을 가질 수 있는 복소다양체의 부분집합이다. 복소기하학은 층 코호몰로지와 같은 대수기하학적 기법을 사용하며, 켈러 다양체, 슈타인 다양체, 칼라비-야우 다양체 등 다양한 종류의 복소 공간을 분류하고 연구한다.

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복소기하학
개요
분야	수학, 기하학
하위 분야	대수기하학 미분기하학 복소해석학 다양체론
관련 개념
주요 개념	복소다양체 코흐 순환 슈타인 다양체 켈러 다양체 호지 이론 돌보 코호몰로지
관련 항목
주요 연구 대상	다변수 복소함수 복소다양체의 기하학적 구조 대수기하학과의 연관성

2. 정의

복소 기하학은 복소 평면을 모델로 하는 공간 및 기하학적 대상을 다룬다. 복소 평면의 특징, 방향성(복소 평면의 모든 점에서 반시계 방향으로 90도 회전), 정칙 함수의 경직성(단일 복소 도함수의 존재는 모든 차수에 대한 복소 미분 가능성을 의미) 등은 복소 기하학 연구 전반에 나타난다. 모든 복소 다양체는 정규적으로 방향을 지정할 수 있으며, 리우빌 정리는 콤팩트 복소 다양체 또는 사영 복소 대수다형체에 적용된다.

복소 기하학은 실수직선을 기반으로 하는 '실' 기하학과 다르다. 매끄러운 다양체는 열린 집합에서 1이고 다른 곳에서 0인 매끄러운 함수 집합 단위 분할을 허용하지만, 복소 다양체는 이러한 정칙 함수 집합을 허용하지 않는다. 이는 항등 정리의 결과이다.

복소 다양체는 복소 구조를 잊으면 실수 평면과 선형 대수학적으로 동형인 복소 평면 때문에 매끄러운 다양체이다. 그러나 복소 기하학은 미분 기하학의 특정 분야로 간주되지 않는다. 세르의 GAGA 정리에 따르면, 모든 사영 해석 다형체는 대수다형체이며, 해석적 다양체의 정칙적 정보 연구는 대수적 정보 연구와 동일하다.

이는 복소 기하학이 미분 기하학보다 대수기하학에 더 가깝다는 것을 의미한다. 유리형 함수의 특이점은 쉽게 설명할 수 있지만, 실수 값 연속 함수의 특이 작용은 특성화하기 어렵다. 따라서 복소 기하학에서는 특이 공간을 쉽게 연구할 수 있다.

복소 기하학은 미분 기하학, 대수 기하학, 다변수 복소 해석학의 교차점에 있으며, 이 세 분야의 방법을 모두 사용하여 복소 공간을 연구한다. 주요 관심사는 복소 공간 분류, 정칙적 대상(예: 정칙 벡터 다발, 연접층) 연구, 복소 기하학적 개체와 수학 및 물리학의 다른 영역 간의 관계 등이다.

2. 1. 복소 다양체

복소다양체는 다음과 같은 조건을 만족하는 위상 공간

X

이다.

$X$ 는 하우스도르프 공간이고 제2 가산이다.
$X$ 는 어떤 고정된 $n$ 에 대해 $\mathbb{C}^n$ 의 열린 부분집합에 국소적으로 위상동형이다. 즉, 모든 점 $p\in X$ 에 대해, $p$ 의 열린 이웃 $U$ 와 열린 부분 집합 $V\subseteq \mathbb{C}^n$ 로 가는 위상동형사상 $\varphi: U \to V$ 가 존재한다. 이러한 열린 집합을 ''좌표 조각''이라고 한다.
만약 $(U_1,\varphi)$ 와 $(U_2,\psi)$ 가 $\mathbb{C}^n$ 의 열린 집합 $V_1, V_2$ 에 각각 사상되는 두 개의 겹치는 좌표 조각이면, ''추이사상'' $\psi \circ \varphi^{-1}:\varphi(U_1\cap U_2) \to \psi(U_1\cap U_2)$ 는 쌍정칙사상이다.

모든 쌍정칙사상은 미분동형사상이며,

\mathbb{C}^n

는

\mathbb{R}^{2n}

과 실 선형 공간으로서 동형이므로, 모든

n

차원 복소 다양체는 매끄러운

2n

차원 다양체이다.

전형적인 복소 공간의 예는 복소 사영 직선이다. 이는 미분 기하학에서 파생된 매끄러운 구 또는 무한대점을 추가하여 복소 평면을 확장한 리만 구로 볼 수 있다.

2. 2. 복소 대수/해석 다형체

복소 기하학은 어떤 의미에서 복소 평면에 모델링된 공간 및 기하학적 대상과 관련이 있다. 복소 평면의 특징과 방향성(복소 평면의 모든 점에서 반시계 방향으로 일관되게 90도 회전할 수 있음)의 내재적 개념, 정칙 함수의 경직성(단일 복소 도함수의 존재는 모든 차수에 대한 복소 미분 가능성을 의미함)은 복소 기하학 연구의 모든 형태에서 나타나는 것으로 보인다. 예를 들어, 모든 복소 다양체는 정규적으로 방향을 지정할 수 있으며 리우빌 정리 형식은 콤팩트 복소 다양체 또는 사영 복소 대수다형체에 적용된다.

복소 기하학은 실수직선의 기하학적 및 해석적 특성을 기반으로 하는 공간 연구인 '실' 기하학과 성격이 다르다. 예를 들어, 매끄러운 다양체는 일부 열린 집합에서 값이 1이고 다른 곳에서는 값이 0일 수 있는 매끄러운 함수의 집합 단위 분할을 허용하는 반면, 복소 다양체는 그러한 정칙 함수 집합을 허용하지 않는다. 이것은 일변수 복소 해석학에서 전형적인 결과인 항등 정리이다. 어떤 의미에서 복소 기하학의 참신함은 이 근본적인 관찰로 거슬러 올라갈 수 있다.

모든 복소 다양체는 매끄러운 다양체이다. 이는 복소 평면

\mathbb{C}

때문인데, 복소 평면은 복소 구조를 잊으면 실수 평면

\mathbb{R}^2

과 선형 대수학적으로 동형이다. 그러나 복소 기하학은 일반적으로 매끄러운 다양체에 대한 연구인 미분 기하학의 특정 분야로 간주되지 않는다. 특히 세르의 GAGA 정리는 모든 사영 해석 다형체는 실제로는 대수다형체이며, 해석적 다양체에 대한 정칙적인 정보를 연구하는 것은 대수적 정보를 연구하는 것과 동일하다고 말한다.

이 동등성은 복소 기하학이 어떤 의미에서 미분기하학 보다 대수기하학에 더 가깝다는 것을 나타낸다. 복소 평면의 특성으로 다시 연결되는 이것의 또 다른 예는 일변수 복소 해석학에서 유리형 함수의 특이점을 쉽게 설명할 수 있다는 것이다. 대조적으로, 실수 값 연속 함수의 가능한 특이 작용은 특성화하기가 훨씬 더 어렵다. 그 결과, 미분 기하학에서 특이 공간에 대한 연구는 종종 기피되는 반면, 단일 복소 해석적 다양체 또는 특이 복소 대수다형체와 같은 복소 기하학에서 특이 공간을 쉽게 연구할 수 있다.

복소 기하학은 미분 기하학, 대수 기하학 및 다변수 복소 해석학의 교차점에 있으며 복소 기하학은 세 분야의 방법을 모두 사용하여 복소 공간을 연구한다. 복소 기하학에 대한 일반적인 관심 방향에는 복소 공간의 분류, 여기에 부착된 정칙적 대상(예: 정칙 벡터 다발과 연접층)에 대한 연구, 복소 기하학적 개체와 수학과 물리학의 다른 영역 간의 친밀한 관계가 포함된다. 복소 기하학은 복소다양체, 복소 대수 및 복소 해석 다형체에 대한 연구와 관련이 있다. 이 절에서는 이러한 유형의 공간을 정의하고 이들 사이의 관계를 제시한다.

'''복소다양체'''는 다음과 같은 위상 공간

X

이다.

$X$ 는 하우스도르프이고 제2 가산이다.
$X$ 는 고정된 $n$ 에 대해 $\mathbb{C}^n$ 의 열린 부분집합에 국소적으로 위상동형이다. 즉, 모든 점 $p\in X$ 에 대해, 열린 부분 집합 $V\subseteq \mathbb{C}^n$ 로 가는 위상동형사상 $\varphi: U \to V$ 이 존재하는 $p$ 의 열린 이웃 $U$ 가 존재한다. 이러한 열린 집합을 '좌표 조각'이라고 한다.
만약에 $(U_1,\varphi)$ 와 $(U_2,\psi)$ 가 $\mathbb{C}^n$ 의 열린 집합 $V_1, V_2$ 에 사상되는 두 개의 겹치는 좌표 조각이면 각각 '추이사상' $\psi \circ \varphi^{-1}:\varphi(U_1\cap U_2) \to \psi(U_1\cap U_2)$ 는 쌍정칙사상이다.

모든 쌍정칙사상은 미분동형사상이며,

\mathbb{C}^n

는

\mathbb{R}^{2n}

과 실 선형 공간으로서의 동형이기 때문에, 모든

n

차원 복소 다양체는 매끄러운

2n

차원 다양체이다.

복소 다양체는 항상 매끄럽지만, 복소 대수 기하학은 특이점을 가진 공간과도 관련이 있다. '''아핀 복소 해석 다형체'''

X

는 각 점

p\in X

에 대해

X\cap U = \{z\in U \mid f_1(z) = \cdots = f_k(z) = 0\} = Z(f_1,\dots,f_k)

인

p

의 열린 이웃

U

와 정칙 함수들

f_1, \dots, f_k: U \to \mathbb{C}

이 존재하는 부분 집합

X\subseteq \mathbb{C}^n

이다. 규칙에 따라 집합

X

도 기약임이 필요하다. 점

p\in X

는 정칙 함수들의 벡터

(f_1,\dots,f_k)

의 야코비 행렬이

p

에서 꽉찬 랭크가 아니면 특이점이고 그렇지 않으면 특이점이 아니다. '''사영 복소 해석 다형체'''

X

는 국소적으로

\mathbb{CP}^n

의 열린 부분집합에 대한 유한개의 정칙 함수들의 근에 의해 주어진 복소 사영 공간 부분 집합

X\subseteq \mathbb{CP}^n

이다.

비슷하게 '''아핀 복소수 대수다형체'''

X

를 부분 집합

X\subseteq \mathbb{C}^n

으로 정의할 수 있다. 이는 국소적으로 유한개의

n

복소 변수 다항식들의 영점 집합으로 주어진다. '''사영 복소 대수다형체'''를 정의하려면 유한히 많은 동차다항식들의 영점 집합에 의해 국소적으로 주어지는 부분 집합

X\subseteq \mathbb{CP}^n

이 필요하다.

일반적인 복소 대수 또는 복소 해석적 다형체를 정의하기 위해서는 국소적으로 환 달린 공간의 개념이 필요하다. '''복소 대수/해석적 다형체'''는 국소적으로 환 달린 공간

(X,\mathcal{O}_X)

이다. 이는 국소적으로 환 달린 공간으로서 아핀 복소 대수/해석적 다형체와 국소적으로 동형이다. 해석적인 경우에는 일반적으로

X

를 국소적으로

\mathbb{C}^n

의 열린 부분 집합으로 식별하기 때문에 부분 위상과 국소적으로 동일한 위상을 갖는다. 반면 대수적인 경우

X

에는 종종 자리스키 위상이 주어져 있다. 관례에 따라 이 국소 환 달린 공간이 기약인 것을 가정한다.

특이점의 정의는 국소적이기 때문에 아핀 해석/대수적 다형체에 대해 주어진 정의는 모든 복소 해석적 또는 대수다형체의 점에 적용된다. 다형체

X

의 특이점들의 집합을 특이 궤적

X^{sing}

이라고 한다. 여집합은 비특이 또는 '매끄러운 궤적'

X^{nonsing}

으로 표시된다. 특이 궤적이 비어 있으면 복소 다양체가 매끄럽다 또는 특이하지 않다고 말한다. 즉, 비특이 궤적과 동일한 경우이다.

정칙 함수에 대한 음함수 정리에 의해, 모든 복소 다양체는 비특이 복소 해석 다형체이지만, 일반적으로 아핀 또는 사영적이지 않다. 세르의 GAGA 정리에 따르면 모든 사영 복소 해석 다형체는 사영 복소 대수다형체이다. 복소 다형체가 특이하지 않은 경우 복소 다양체이다. 보다 일반적으로, 복소 다형체의 비특이 궤적은 복소 다양체이다.

2. 3. 특이점

'''아핀 복소 해석 다형체

X

'''는 각 점

p\in X

에 대해

X\cap U = \{z\in U \mid f_1(z) = \cdots = f_k(z) = 0\} = Z(f_1,\dots,f_k)

인

p

의 열린 근방

U

와 정칙 함수들

f_1, \dots, f_k: U \to \mathbb{C}

이 존재하는 부분 집합

X\subseteq \mathbb{C}^n

이다. 여기서

X

는 기약대수적 집합이어야 한다. 점

p\in X

는 정칙 함수들의 벡터

(f_1,\dots,f_k)

의 야코비 행렬이

p

에서 꽉찬 랭크가 아니면 특이점이고, 그렇지 않으면 특이점이 아니다.

특이점의 정의는 국소적이므로, 아핀 해석/대수적 다형체에 대해 주어진 정의는 모든 복소 해석적 또는 대수다형체의 점에 적용된다. 다형체

X

의 특이점들의 집합을 특이 궤적

X^{sing}

이라고 한다. 여집합은 비특이 또는 ''매끄러운 궤적''

X^{nonsing}

으로 표시된다. 특이 궤적이 비어 있으면 복소 다양체가 매끄럽다 또는 특이하지 않다고 말한다. 즉, 비특이 궤적과 동일한 경우이다.

3. 복소 공간의 종류

복소 기하학은 어떤 의미에서 복소평면을 모델로 하는 공간 및 기하학적 대상과 관련이 있다. 복소 평면의 특징과 방향성(즉, 복소 평면의 모든 점에서 반시계 방향으로 일관되게 90도 회전할 수 있음)의 내재적 개념, 정칙함수의 경직성(즉, 단일 복소 도함수의 존재는 모든 차수에 대한 복소 미분 가능성을 의미함)은 복소 기하학 연구의 모든 형태에서 나타난다. 예를 들어, 모든 복소 다양체는 정규적으로 방향을 지정할 수 있으며, 리우빌 정리 형식은 콤팩트 복소 다양체 또는 사영 복소 대수다형체에 적용된다.^[4]

복소 기하학은 실수선의 기하학적 및 해석적 속성을 기반으로 하는 공간을 연구하는, 소위 "실" 기하학과 다른 특징을 갖는다. 예를 들어, 매끄러운 다양체는 어떤 열린 집합에서 동일하게 1이고 다른 곳에서는 동일하게 0인 매끄러운 함수의 모임인 분할을 허용하는 반면, 복소 다양체는 그러한 정칙 함수 모음을 허용하지 않는다. 이것은 항등 정리의 발현이며, 단일 변수의 복소해석학에서 전형적인 결과이다. 어떤 의미에서, 복소 기하학의 참신함은 이러한 기본적인 관찰에서 비롯될 수 있다.^[4]

모든 복소 다양체는 특히 실 매끄러운 다양체이다. 이는 복소 평면 $\mathbb{C}$ 이 복소 구조를 잊어버리면 실 평면 $\mathbb{R}^2$ 와 동형이기 때문이다. 그러나 복소 기하학은 일반적으로 매끄러운 다양체의 연구인 미분 기하학의 특정 하위 분야로 간주되지 않는다. 특히, 세르의 GAGA 정리에 따르면, 모든 사영 해석 다양체는 실제로 대수 다양체이며, 해석 다양체에서 정칙 데이터의 연구는 대수 데이터의 연구와 동등하다.^[4]

이러한 동등성은 복소 기하학이 미분 기하학보다 대수 기하학에 더 가깝다는 것을 나타낸다. 복소 평면의 본질과 연결되는 또 다른 예는 단일 변수의 복소 해석에서 유리형 함수의 특이점을 쉽게 설명할 수 있다는 것이다. 반대로, 연속적인 실수 값 함수의 가능한 특이적 행동은 특징짓기가 훨씬 더 어렵다. 이로 인해 복소 기하학에서 특이 복소 해석 다양체 또는 특이 복소 대수 다양체와 같은 특이 공간을 쉽게 연구할 수 있는 반면, 미분 기하학에서는 특이 공간의 연구를 종종 피한다.^[4]

복소 기하학은 미분 기하학, 대수 기하학, 그리고 여러 복소 변수의 해석학의 교차점에 위치하며, 복소 기하학자는 복소 공간을 연구하기 위해 세 분야의 도구를 모두 사용한다. 복소 기하학에서 전형적인 관심 방향은 복소 공간의 분류, 복소 공간에 부착된 정칙 객체(예: 정칙 벡터 다발 및 연접층)의 연구, 복소 기하학적 객체와 수학 및 물리학의 다른 분야 사이의 밀접한 관계를 포함한다.^[4]

복소 공간의 종류에는 켈러 다양체, 슈타인 다양체, 초켈러 다양체, 칼라비-야우 다양체, 복소 파노 다형체, 원환 다형체 등이 있다.

3. 1. 켈러 다양체

복소 다양체는 리만 계량 또는 사교 형식과 같은 추가적인 기하학적 구조를 갖추어 미분 기하학적 관점에서 연구될 수 있다. 이 추가 구조가 복소 기하학에 관련이 있으려면 적절한 의미에서 복소 구조와 호환되도록 요구해야 한다. 켈러 다양체는 복소 구조와 호환되는 리만 계량과 심플렉틱 구조를 가진 복소 다양체이다. 켈러 다양체의 모든 복소 부분 다양체는 켈러이므로, 특히

\mathbb{C}^n

또는

\mathbb{CP}^n

에 대한 표준 에르미트 계량 또는 푸비니-슈투디 계량을 각각 제한하면 모든 비특이 아핀 또는 사영 복소 대수 다양체는 켈러이다.^[5]

켈러 다양체의 다른 중요한 예로는 리만 곡면, K3 곡면, 칼라비-야우 다양체가 있다.

고다이라 매입 정리는 콤팩트 켈러 다양체 위의 라인 번들이 양수인 것과, 라인 번들이 풍부하다는 것이 동치라는 정리이다.

3. 2. 슈타인 다양체

장피에르 세르의 GAGA 정리는 모든 사영 복소 해석 다형체가 대수다형체라고 주장한다. 이 주장은 엄밀하게는 아핀 다형체에 대해 사실이 아니지만, 슈타인 다양체라고 하는 아핀 복소 대수다형체와 아주 비슷한 복소 다양체들이 있다. 다양체

X

가 정칙적으로 볼록하고 정칙적으로 분리 가능한 경우 슈타인 다양체라고 한다(자세한 정의는 슈타인 다양체에 대한 문서 참조). 그러나 이것은 어떤

n

에 대해

X

가

\mathbb{C}^n

의 복소 부분다양체임과 동일하다는 것을 보일 수 있다. 슈타인 다양체가 아핀 복소수 대수다형체와 비슷함을 보이는 또 다른 방법은 카르탕의 정리 A와 B가 슈타인 다양체에 대해 유지된다는 것이다.

슈타인 다양체의 예에는 비콤팩트 리만 곡면과 비특이 아핀 복소수 대수다형체가 포함된다.

3. 3. 초켈러 다양체

초켈러 다양체는 적분 가능한 거의 복소 구조

I,J,K

세 개가 서로 호환 가능하며 리만 다양체이고, 사원수 관계식

I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -\operatorname{Id}

를 만족한다. 따라서 초켈러 다양체는 세 가지 다른 방식으로 켈러 다양체가 되며, 풍부한 기하학적 구조를 갖는다.

초켈러 다양체의 예로는 ALE 공간, K3 곡면, 힉스 번들 모듈라이 공간, 퀴버 다형체, 게이지 이론과 표현론에서 파생된 여러 모듈라이 공간이 있다.

3. 4. 칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체는 특정 종류의 켈러 다양체이다. 이는 자명한 표준 다발

K_X = \Lambda^n T_{1,0}^* X

을 갖는 켈러 다양체로 정의된다. 일반적으로 칼라비-야우 다양체는

X

가 콤팩트해야 한다는 조건이 필요하다. 이 경우 야우의 칼라비 추측 증명에 따르면

X

는 리치 곡률이 사라지는 켈러 계량을 허용하며, 이는 칼라비-야우의 동등한 정의로 간주될 수 있다.

칼라비-야우 다양체는 끈 이론에서 중요하게 사용된다. 끈 이론의 10차원 시공간 모형에서 기존 물리학의 전통적인 4차원 시공간 이외에 여분의 축소화된 6차원 시공간을 모델링하는 데 사용된다. 거울 대칭 가설은 특정한 두 칼라비-야우 다양체들이 가진 서로 다른 종류의 정보들이 서로 일치한다는 가설이다.

칼라비-야우 다양체의 예로는 타원 곡선, K3 곡면, 복소 아벨 다형체 등이 있다.

3. 5. 복소 파노 다형체

복소수 파노 다형체는 풍부한 반표준 선다발(즉,

K_X^*

가 풍부함)을 갖는 복소수 대수 다양체이다. 파노 다형체는 복소 대수 기하학, 특히 쌍유리 기하학에서 상당한 관심을 받고 있으며, 최소 모형 프로그램에서 자주 발생한다. 파노 다형체의 기본적인 예로는

K=\mathcal{O}(-n-1)

인 사영 공간

\mathbb{CP}^n

과

n+1

보다 작은 차수의

\mathbb{CP}^n

의 매끄러운 초곡면이 있다.

3. 6. 원환 다형체

원환 다형체는

(\mathbb{C}^*)^n

과 쌍정칙적인 열린 조밀 부분 집합을 포함하는

n

차원 복소 대수다형체이다. 그 열린 조밀 부분 집합에 대한 작용을

(\mathbb{C}^*)^n

로 확장한 작용을 가지고 있다. 원환 다형체는 원환 팬에 의해 조합적으로 서술될 수 있으며, 적어도 그것이 특이하지 않은 경우에는 모멘트 다포체에 의해 기술될 수 있다.^[1] 이는 임의의 꼭지점이

\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})

의 작용에 의해 양수 분면의 꼭지점이라는 표준 형태로 놓일 수 있다는 성질을 가진

\mathbb{R}^n

안의 다각형이다. 이 원환 다형체는 다포체 위에 올을 형성하는 적절한 공간으로 얻을 수 있다.^[1]

원환 다형체에 대해 수행되는 많은 구성은 모멘트 다포체 또는 관련 원환 팬의 조합 및 기하학 측면에서 대체적 설명을 할 수 있다. 이로 인해 원환 다형체는 복소기하학의 많은 구조에 대한 매력적인 시험 사례가 된다. 원환 다형체의 예로는 복소 사영 공간과 그 위의 다발이 있다.^[1]

4. 복소 기하학의 기법

복소 기하학은 미분기하학, 대수기하학, 다변수 복소해석학의 교차점에 있으며, 이들 분야의 방법을 모두 사용하여 복소 공간을 연구한다. 일반적인 관심 방향에는 복소 공간의 분류, 정칙 벡터 다발과 연접층과 같은 정칙적 대상에 대한 연구, 그리고 복소 기하학적 개체와 수학 및 물리학의 다른 영역 간의 관계 등이 있다.

정칙 함수와 복소 다양체가 가진 강한 조건들로 인해, 복소 다양체와 복소 사영 대수다형체를 연구하는 데 사용되는 기법은 보통의 미분기하학에서 사용되는 기법과 다르며 대수기하학에서 사용되는 기법에 더 가깝다. 예를 들어, 미분기하학에서는 많은 문제를 국소적 구조를 취하여 단위 분할을 사용하여 전역적으로 붙이는 방식으로 접근하지만, 단위 분할은 복소 기하학에 존재하지 않으므로 국소 정보를 대역적 정보로 붙일 수 있는 경우는 더 미묘하다.

복소 기하학은 미분 기하학 및 해석학에서 사용하는 기법도 활용한다. 예를 들어, 히르체부르흐-리만-로흐 정리는 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로, 기저에 깔려 있는 매끄러운 복소 선형 다발의 특성류 측면에서 정칙 선형 다발의 정칙 오일러 특성을 계산한다.

4. 1. 층 코호몰로지

층 코호몰로지는 층과 그 코호몰로지 군을 활용하여 복소기하학에서 국소적 정보를 대역적 정보로 확장할 수 있는 조건을 나타내는 중요한 도구이다. 정칙함수와 복소다양체가 가진 강한 조건들로 인해, 복소다양체와 복소사상을 연구하는 데 일반적으로 사용되는 기법은 보통의 미분기하학에서 사용되는 기법과 다르며 대수기하학에서 사용되는 기법에 더 가깝다.

예를 들어 미분기하학에서는 많은 문제를 국소적 구조를 취하여 단위 분할을 사용하여 전역적으로 붙여 접근하지만, 단위 분할은 복소기하학에 존재하지 않는다. 따라서 국소 정보가 대역적 정보에 접착될 수 있는 경우의 문제는 더 미묘하며, 이 조건은 층 코호몰로지로 측정된다.

현대적 정의 도입 이전의 여러 다변수 복소 해석학에서 유명한 문제인 쿠쟁 문제는 전역 유리형 함수를 얻기 위해 국소 유리형 정보를 붙일 수 있는 정확한 조건을 묻는데, 층과 코호몰로지 군을 도입하여 간단히 해결할 수 있다.

복소기하학에서 사용되는 층의 특수한 예로는 정칙 선다발(및 관련 인수), 정칙 선형 다발 및 연접층이 있다. 층 코호몰로지는 복소기하학에서 방해물을 측정하기 때문에, 사용되는 한 가지 기술은 소실 정리를 증명하는 것이다. 소실 정리의 예에는 콤팩트 켈러 다양체에서 선 다발의 코호몰로지에 대한 고다이라 소실 정리와 아핀 복소 다형체에 대한 연접층의 코호몰로지에 대한 카르탕의 정리 A 및 B가 있다.

복소기하학은 미분 기하학 및 해석학에서 쓰는 기법을 사용하기도 한다. 예를 들어, 히르체부르흐-리만-로흐 정리는 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로, 기저에 깔려 있는 매끄러운 복소 선형 다발의 특성류 측면에서 정칙 선형 다발의 정칙 오일러 특성을 계산한다.

4. 2. 소실 정리

층 코호몰로지는 복소기하학에서 장애물을 측정하므로, 사용되는 한 가지 기법은 소실 정리를 증명하는 것이다. 복소기하학에서 소실 정리의 예로는 콤팩트 켈러 다양체 위의 선다발의 코호몰로지에 대한 고다이라 소실 정리, 그리고 아핀 복소대수다양체 위의 가환층의 코호몰로지에 대한 카르탕의 정리 A와 B가 있다. 콤팩트 복소다양체와 비콤팩트 복소다양체 모두에 대해 소실 정리의 여러 버전이 있지만, 모두 보흐너 방법(Bochner method)을 기반으로 한다.

4. 3. 조화 해석

조화 해석을 사용하면 복소 기하학의 몇 가지 심오한 결과를 얻을 수 있다.

5. 복소 기하학의 분류

복소 기하학의 주요 주제 중 하나는 복소 다양체의 분류이다. 복소 다양체와 다형체의 엄격한 특성으로 인해 이러한 공간을 분류하는 문제는 다루기 쉬운 경우가 많다. 복소 대수 기하학의 분류는 종종 그 자체가 복소 기하학에서 발생하는 다른 기하학적 대상을 분류하는 복소 다양체 또는 다형체인 모듈라이 공간의 연구를 통해 발생한다.

베른하르트 리만은 리만 곡면 연구에서 '모듈라이'라는 용어를 만들었으며, 분류 이론은 콤팩트 리만 곡면에 대해 가장 잘 알려져 있다.

복소 기하학은 복소 공간뿐만 아니라 그 공간에 부착된 다른 정칙적 대상과도 관련이 있다. 복소 다형체 $X$ 위의 정칙 선다발은 $X$ 의 피카드 다형체 $\operatorname{Pic}(X)$ 에 의해 분류된다.

5. 1. 리만 곡면

베른하르트 리만은 리만 곡면에 대한 연구에서 ''모듈라이''라는 용어를 만들었다. 닫힌 유향 곡면의 분류에 따라 콤팩트 리만 곡면은 종수

g

(주어진 콤팩트 리만 곡면의 구멍 수를 세는 음이 아닌 정수)로 측정되는 자연수에 따라 분류된다.

리만 곡면 분류는 균일화 정리에 따라 다음과 같이 이루어진다.^[8]^[9]^[10]

종수 ( $g$ )	설명
$g = 0$	복소 사영 직선 ( $\mathbb{CP}^1$ )
$g = 1$	타원 곡선을 분류하는 1차원 복소 다양체인 모듈러 곡선이 존재한다. 균일화 정리에 의해 모든 타원 곡선은 몫 $\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z})$ 으로 쓸 수 있다. 여기서 $\tau$ 는 허수부가 양수인 복소수이다. 모듈라이 공간은 뫼비우스 변환에 의해 상반평면에 작용하는 군 $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 의 몫이다.
$g > 1$	1보다 큰 각 종수 $g$ 에 대해 종수 $g$ 인 콤팩트 리만 곡면의 모듈라이 공간 $\mathcal{M}_g$ 이 있다. $\dim_{\mathbb{C}} \mathcal{M}_g = 3g-3$ 이다. 타원 곡선의 경우와 비슷하게 이 공간은 군 $\operatorname{Sp}(2g, \mathbb{Z})$ 의 작용에 의해 지겔 상반 공간의 몫으로 얻을 수 있다.

5. 2. 정칙 선다발

복소 다양체

X

위의 정칙 선다발은

X

의 피카르 다양체

\operatorname{Pic}(X)

에 의해 분류된다.

피카르 다양체는

X

가 종수 g인 콤팩트 리만 곡면인 경우 쉽게 설명할 수 있다. 이 경우, 피카르 다양체는 복소 아벨 다양체들의 분리합집합이며, 각 다양체는 곡선의 야코비 다양체와 동형이고, 0차 인자들을 선형 동형에 의해 분류한다.

토렐리 정리에 따르면, 콤팩트 리만 곡면은 야코비 다양체에 의해 결정된다. 이는 공간 자체를 분류할 수 있다는 점에서 복소 공간의 구조에 대한 연구가 유용할 수 있는 한 가지 이유를 보여준다.

X

를 복소다양체라고 하고,

\mathcal{O}

를

X

위의 정칙 함수^[5],

\mathcal{O}^*

를 그 가역적인 원소로 이루어진 부분층이라고 정의한다.^[5]

U_i

를 X 위의 아핀 차트로 했을 때

U

에서

\Gamma(U, \mathcal{O}_X)

의 분수의 전체 환에 부수되는 X 위의 층을

\mathcal{M}_X

라고 한다. 그러면

\mathcal{M}_X^*/\mathcal{O}_X^*

의 전역 절단(여기서 *는 곱셈군을 나타냄)을 X 위의 카르티에 인자라고 부른다.^[5]

\operatorname{Pic}(X)

를 X 위의 라인 번들의 모든 동형류의 집합으로 정의한다. 이것을 X의 피카르 군이라고 부르며, 자연스럽게

H^1(X, \mathcal{O}^*)

와 동형이다.^[5] 짧은 완전열

:

0 \to \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \to  \mathcal{O}^* \to 0

을 취한다. 여기서 두 번째 사상은

f \mapsto \exp (2\pi i f)

이다. 이 짧은 완전열은 군의 준동형

:

\operatorname{Pic}(X) \to H^2(X, \mathbb{Z})

을 의미하며, 이 사상의 라인 번들

\mathcal{L}

의 상은

c_1(\mathcal{L})

로 표시되며,

\mathcal{L}

의 제1 천(차른)류라고 불린다.^[5]

X 위의 인자 D는 초곡면(1차원 부분 다양체)의 국소적으로 유한 합이 되는 형식 합

:

D = \sum a_i V_i, \quad a_i \in \mathbb{Z}

이다.^[5] X 위의 모든 인자의 집합은

\operatorname{Div}(X)

로 표시된다. 이 조건은

H^0(X, \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)

와 동일시할 수 있다. 몫

\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*

의 긴 완전열을 취하면, 준동형

:

\operatorname{Div}(X) \to \operatorname{Pic}(X)

을 얻을 수 있다.^[5]

5. 3. 인자

피카르 다양체

\operatorname{Pic}(X)

는 복소 다양체

X

위의 정칙 선다발을 분류한다.^[5]

X

가 종수

g

인 콤팩트 리만 곡면인 경우, 피카르 다양체는 복소 아벨 다양체들의 분리합집합이며, 각 다양체는 곡선의 야코비 다양체와 동형이다. 야코비 다양체는 0차 인자들을 선형 동형에 의해 분류한다.

토렐리 정리에 의해 콤팩트 리만 곡면은 야코비 다양체에 의해 결정된다. 이는 복소 공간의 구조에 대한 연구가 유용할 수 있는 한 가지 이유를 보여준다.

X

를 복소다양체라고 하고,

\mathcal{O}

를

X

위의 정칙 함수의 층,

\mathcal{O}^*

를 가역적인 정칙 함수들의 부분층이라고 하자.

\mathcal{M}_X

를

X

위의 유리형 함수 층이라고 하면,

\mathcal{M}_X^*/\mathcal{O}_X^*

의 전역 절단을

X

위의 카르티에 인자라고 부른다.

\operatorname{Pic}(X)

는

X

위의 선다발들의 동형류 집합을 나타내며,

X

의 피카르 군이라고 불린다. 이는

H^1(X, \mathcal{O}^*)

와 동형이다. 짧은 완전열

:

0 \to \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \to  \mathcal{O}^* \to 0

에서 두 번째 사상은

f \mapsto \exp (2\pi i f)

이며, 군의 준동형

:

\operatorname{Pic}(X) \to H^2(X, \mathbb{Z})

을 유도한다. 이 사상에서 선다발

\mathcal{L}

의 상은

c_1(\mathcal{L})

로 표시되며,

\mathcal{L}

의 제1 천(차른)류라고 불린다.

X

위의 인자

D

는 초곡면(1차원 부분 다양체)의 국소적으로 유한한 형식 합

:

D = \sum a_i V_i, \quad a_i \in \mathbb{Z}

이다.^[5]

X

위의 모든 인자의 집합은

\operatorname{Div}(X)

로 표시되며,

H^0(X, \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)

와 동일시할 수 있다. 몫

\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*

의 긴 완전열을 취하면, 준동형

:

\operatorname{Div}(X) \to \operatorname{Pic}(X)

을 얻는다.

5. 4. 복소 벡터 다발

복소 벡터 다발

\pi: E \to X

의 기본 불변량은 다발의 천(차른)류이다. 천 류는

c_i(E)

가

H^{2i}(X, \mathbb{Z})

의 원소이며, 다음 공리를 만족하는 수열

c_1, c_2, \dots

이다.^[6]

1. 임의의 미분가능 사상

f: Z \to X

에 대해,

c_i(f^*(E)) = f^*(c_i(E))

이다.

2.

c(E \oplus F) = c(E) \cup c(F)

. 여기서 F는 E와 다른 다발이며

c = 1 + c_1 + c_2 + \dots

이다.

3.

i > \operatorname{rk}E

에 대해,

c_i(E) = 0

이다.

4.

E_1

을

\mathbb{C}\mathbf{P}^1

위의 표준 다발이라고 하면,

-c_1(E_1)

은

H^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1, \mathbb{Z})

를 생성한다.

L을 라인 다발이라고 하면, L의 천 지표는

\operatorname{ch}(L) = e^{c_1(L)}

로 주어진다. 더 일반적으로, E를 랭크 r의 벡터 다발이라고 하면, 형식적인 분해

\sum c_i(E)t^i = \prod_1^r (1+ \eta_i t)

를 얻고,

\operatorname{ch}(E) = \sum e^{\eta_i}

로 둘 수 있다.

참조

_[1] 논문 The Hodge conjecture Springer, Cham 2016
_[2] 서적 Lectures on Riemann surfaces Springer Science & Business Media 2012
_[3] 서적 Algebraic curves and Riemann surfaces American Mathematical Soc. 1995
_[4] 서적 Riemann surfaces Oxford University Press 2011
_[5] 문서
_[6] 서적 1996
_[7] 논문 The Hodge conjecture Springer, Cham 2016
_[8] 서적 Lectures on Riemann surfaces Springer Science & Business Media 2012
_[9] 서적 Algebraic curves and Riemann surfaces American Mathematical Soc. 1995
_[10] 서적 Riemann surfaces Oxford University Press 2011

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